Hsg t7 cđ4 chứng minh bất đẳng thức và tìm gtln, gtnn

CHUYÊN ĐỀ 4 - CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN PHẦN I.. Khái niệm bất đẳng thức: 1... Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối : V... Ta thấy tổng có 100 số, như vậy ta s

ĐS7 CHUYÊN ĐỀ 4 - CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN PHẦN I TÓM TẮT LÍ THUYẾT.

I Số thực dương, số thực âm:

 Nếu x là số thực dương, ta ký hiệu x  0

 Nếu x là số thực âm, ta ký hiệu x 0

 Nếu x là số thực dương hoặc x  , ta nói x là số thực không âm, ký hiệu00

II Khái niệm bất đẳng thức:

1 Định nghĩa 1: Số thực a gọi là lớn hơn số thực b , ký hiệu a b  nếu a b là một

số dương, tức là a b  Khi đó ta cũng ký hiệu b a0 

" A lớn hơn hay bằng B ", ký hiệu A B

" A nhỏ hơn hay bằng B ", ký hiệu A B

Hệ quả 5: Nếu a và b là hai số dương thì : ab a2 b2

Nếu a và b là hai số không âm thì : ab a2 b2

IV Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối :

V Bất đẳng thức trong tam giác:

Nếu a b c, , là ba cạnh của một tam giác thì:

 a0, b0, c0

 b c a b c   

Ta thấy tổng có 100 số, như vậy ta sẽ nhóm thành 50 ngoặc, mỗi ngoặc sẽ có haiphân số, gồm một phân số đứng đầu và một phân số đứng cuối, cứ như vậy dồn sâuvào trong tổng

TH1: Ta chứng minh

58

Thấy rằng tổng A có 2003 số hạng, số hạng ở giữa là

13005

=

3 4

25 151 150 150 3151

Nhận thấy tổng A giống với bài 18, muốn chứng minh lớn hơn ta để phân số dạng

Vậy A > 2007

Bài 22: Chứng minh rằng luôn tồn tại số tự nhiên n để:

So sánh các số hạng trong tông với các số hạng trong tông liên tiếp đế tìm mối quan

hệ Nếu muốn chứng minh lớn hơn 1 giá trị k nào đó, ta cần so sánh với số hạng cómẫu lớn hơn, và ngược lại

Đến đây ta sẽ so sánh với phân số có mẫu nhỏ hơn, vì yêu cầu bài toán là chứng minhnhỏ hơn

Bài 10: Chứng minh rằng với số tự nhiên n  thì 2 2 2 2 2 2

Vậy với số tự nhiên n  thì 2 2 2 2 2 2

2 4 8 16 32 64

A      

không thể là số nguyênb) Ta có 2 3 4 99 100

 với m > 0, và ngược lại

II Bài toán.

Bài 1: Cho

2 4 6 8 200

Vậy

125

Bài 6: Cho S 1 3 5 199 . Chứng minh rằng: 101S2 400

Vậy M không nguyên

Bài 2: Cho , , , x y z t là số tự nhiên khác 0 , Chứng minh rằng:

Vậy M không nguyên

Bài 3: Cho a b c, , là các số dương, và tổng hai số luôn lớn hơn số còn lại

Cộng theo vế ta được : 2 ab bc ca a b c      

Vậy a b c, , là ba cạnh của 1 tam giác thì 2 ab bc ca a b c     2 2 2

Bài 8: Cho ba số dương 0    Chứng minh rằng: a b c 1 1 1 1 2

ac a b c  và

21

bc a b c Cộng theo vế ta được:

b n c



 với a b c, , là các số nguyên đã biết.

I.Phương pháp giải.

+ Nếu a Z  thì:A có GTLN khi b n c.  là số dương nhỏ nhất ứng với n nguyên A

có GTNN khi b n c.  là số nguyên âm lớn nhất ứng với n nguyên

+ Nếu a Z  thì:A có GTLN khi b n c.  là số âm lớn nhất ứng với n nguyên A cóGTNN khi b n c.  là số dương nhỏ nhất ứng với n nguyên

II.Bài toán.

Bài 1 Cho phân số

20192020

P x

Vì x là số nguyên nên x  2020 1 Do đó

2019

20192020

P x

b n c có GTLN hoặc có GTNN (Bài toán dạng 1 )

II Bài toán.

Bài 1 Cho phân số:

Vậy n 0 thì phân số P có giá trị lớn nhất bằng 2.

Bài 2 Cho phân số

n 

Với n 3 thì

403

Vậy maxA13 khi a6

Bài 4 Tìm số tự nhiên n đế phân số

B

n n

Vì 11 0 và không đổi nên

11

2n 5 đạt giá trị lớn nhất khi: 2n 5 0  và đạt giá trị nhỏ nhất  2n 5 1  n3

x M

x 

Xét x 15 0 thì

27015

x  Vậy

2715

x  nhỏ nhất khi x 15 0 Phân số

2715

x  có

tử dương mẫu âm Khi đó

2715

x  nhỏ nhất khi x 15 là số nguyên âm lớn nhất hay

* Tìm A có giá trị nhỏ nhất.

Ta có:

72

Bài 7 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2

32

x y B

153

x B x

II Bài toán.

Bài 1 Tìm giá trị nhỏ nhất các biểu thức sau:

a)

12

x 

b)

123

x  

Do đó giá trị nhỏ nhất của biếu thức

12

x 

là 0 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

12

x 

là 0 đạt được khi

102

x  

hay

12

x 

Vậy giá trị nhỏ nhất của

12

103

x  

Suy ra:

1

2 23

x   

Giá trị nhỏ nhất của biếu thức

123

x  

là 2 đạt được khi

103

x  

hay

13

x 

Vậy giá trị nhỏ nhất của

123

x  

là 0 khi

13

x 

Vậy giá trị lớn nhất của  3x là 0 khi 1

13

x 

b) Ta có:  x2 0

Suy ra: 6 x2 6

Giá trị lớn nhất của biểu thức 6 x2 là 6 đạt được khi x   2 0 hay x  2

Vậy giá trị lớn nhất của 6 x2 là 6 khi x  2

c) Ta có: x   6 2 2 Suy ra:

6 2 2

x  

Giá trị lớn nhất của biểu thức x  6 2 là

Vậy với x y  thì A đạt giá trị nhỏ nhất là 2016 1

Bài 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2017 2018

2017 2019

x C x

A 0 , nên min A 0  (x, y, z) (20;28;30) hoặc (x, y, z) ( 20; 28; 30)   

Vậy MinA 0  ( , , ) (20;28;30)x y z  hoặc ( , , ) ( 20; 28; 30)x y z    

 HẾT 