Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Chuyên đề nâng cao BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ VỚI TỨ GIÁC I Kiến thức cần nhớ 1 Quan hệ giữa góc và cạnh của một tam giác Trong một tam giác, góc đối diện[.]
Trang 1Chuyên đề nâng cao
BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ VỚI TỨ GIÁC
I Kiến thức cần nhớ
1 Quan hệ giữa góc và cạnh của một tam giác
Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn
Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn
ABC, AC > AB <=>
2 Quan hệ đường xiên và hình chiếu
Trong các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng
đó, đường vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên
Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó :
+ Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn
+ Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn
3 Bất đẳng thức tam giác
Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai
cạnh kia
|b - c| < a < b + c;
|a - b| < c < a + b ;
|a – c| < b < a + c
4 Bất đẳng thức đại số
Dấu "=" xảy ra <=> a = b
II Một số ví dụ
Ví dụ 1 Cho tứ giác lồi ABCD có AC + AD BC + BD Chứng minh AD < BD.
Giải
Gọi I là giao điểm của AC và BD Trong tam giác IAD có : AD < IA + ID
Tương tự : BC < IB + IC
Từ đó AD + BC < AC + BD (1)
Trang 2Giải (
Trên tia đối của tia PB lấy điểm E sao cho PE = PB
Ta có BCP = EDP (c.g.c) => DE = BC = b
Ta có MP là đường trung bình của AABE nên
Xét ADE có AE < AD + DE => AE d + b
Suy ra (1)
Chứng minh tương tự, ta có :
(2)
Từ (1) và (2), suy ra :
Dấu bằng xảy ra khi ABCD là hình bình hành
Nhận xét
Từ bài trên, bạn đọc có thể giải được bài toán sau : Cho tứ giác ABCD có độ dài cạnh là a, b, c, d Gọi M,
N, P, Q là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng : điều kiện cần và đủ để ABCD là
hình bình hành là
Ví dụ 3 Cho hình chữ nhật ABCD có chu vi không nhỏ hơn 2V2 Lấy M, N, p, Q thứ tự thuộc đoạn
thẳng AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng chu vi tứ giác MNPQ không nhỏ hơn 2
Giải (h.43)
Trang 3Cách 1 Áp dụng bất đẳng thức :
ta có ;
Tương tự ta có
Từ (1) (2) (3) (4) cộng vế với vế ta được :
hay chu vi tứ giác MNPQ không nhỏ hơn 2
Cách 2 Gọi I, K, H lần lượt là trưng điểm MQ, MP, PN Áp dụng tính chất
đường trung tuyến trong tam giác vuông và đường trung bình trong tam giác ta được :
Vậy chu vi tứ giác MNPQ không nhỏ hơn 2
III Bài tập tự luyện
1 Cho tam giác ABC nhọn có H là trực tâm Chứng minh rằng
2 Cho hình vuông ABCD Lấy điểm M thuộc cạnh CD Tia phân giác góc ABM cắt AD tại N Chứng
minh
3 Trong tất cả các tứ giác lồi với hai đường chéo có độ dài đã cho và góc giữa hai đường chéo có độ lớn
đã cho, xác định tứ giác có chu vi nhỏ nhất
Trang 4MB + MC max { AB + AC ; DB + DC}
7 Cho hình chữ nhật ABCD Lấy điểm M bất kỳ thuộc miền trong của hình chữ nhật, chứng minh rằng :
MA + MB + MC + MD < AB + AC + AD
8 Cho hình thang ABCD (AB// CD) có AB < CD Chứng minh rằng :
9 Cho hình thang ABCD (AB// CD) có Chứng minh rằng AC > BD
10 Cho tứ giác ABCD Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm AC, BD Chứng minh rằng : AC + BD + 2 IJ <
AB + BC + CD + AD.
Trang 5Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng
I Luyện Thi Online
-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học
-Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II Khoá Học Nâng Cao và HSG
-Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG
-Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III Kênh học tập miễn phí
-HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
V ng vàng n n t ng, Khai sáng t ữ ề ả ươ ng lai
H c m i lúc, m i n i, m i thi t bi – Ti t ki m ọ ọ ọ ơ ọ ế ế ệ
90%
HOC247 NET c ng đ ng h c t p mi n phí ộ ồ ọ ậ ễ HOC247 TV kênh Video bài gi ng mi n phí ả ễ