Các bài toán Bất đẳng thức - Cực trị hình học ôn thi vào chuyên Toán năm 2023

BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC I) SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐƠN GIẢN 1) Bất đẳng thức liên hệ giữa độ dài các cạnh một tam giác AB AC BC AB BC Chú ý rằng a) Với 3 điểm , ,ABC bất kỳ ta luôn có AB BC AC Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi , ,ABC thẳng hàng và điểm B nằm giữa hai điểm ,AC b) Với 3 điểm , ,ABC bất kỳ ta luôn có AB AC BC Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi , ,ABC thẳng hàng và điểm B nằm giữa hai điểm ,AC c) Cho hai điểm ,AB nằm về một phía đường thẳng ( )d Điểm M chuyển động trên đường thẳng ([.]

BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC I) SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐƠN GIẢN

1) Bất đẳng thức liên hệ giữa độ dài các cạnh một tam giác

Chú ý rằng:

a) Với 3 điểm A B C, , bất kỳ ta luôn có: AB BC AC Dấu bằng xảy

ra khi và chỉ khi A B C, , thẳng hàng và điểm B nằm giữa hai điểm A C,

b) Với 3 điểm A B C, , bất kỳ ta luôn có: AB AC BC Dấu bằng xảy

ra khi và chỉ khi A B C, , thẳng hàng và điểm B nằm giữa hai điểm A C,

c) Cho hai điểm A B, nằm về một phía đường thẳng ( )d Điểm M chuyển

động trên đường thẳng ( )d Gọi A là điểm đối xứng với A qua ' ( )d Ta có kết quả sau:

+ MA MB MA' MB A B Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là 'giao điểm cuả 'A B và đường thẳng ( )d ( M trùng với M ) 0

+ MA MB AB Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm cuả

AB và đường thẳng ( )d ( M trùng với M ) 1

d) Cho hai điểm A B, nằm về hai phía đường thẳng ( )d Điểm M chuyển

động trên đường thẳng ( )d Gọi A là điểm đối xứng với A qua ' ( )d Ta có kết quả sau:

+ MA MB AB Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm cuả

AB và đường thẳng ( )d ( M trùng với M ) 0

+ MA MB MA' MB A B Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là 'giao điểm cuả A B và đường thẳng ' ( )d ( M trùng với M ) 1

e) Trong quá trình giải toán ta cần lưu ý tính chất: Đường vuông góc luôn

nhỏ hơn hoặc bằng đường xiên

Trong hình vẽ: AH AB

M1

M0A'

A

2) Trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất

3) Cho đường tròn ( ; )O R và một điểm A Đường thẳng AO cắt đường

tròn tại hai điểm M M Giả sử 1, 2 AM1 AM Khi đó với mọi điểm M 2

nằm trên đường tròn ta luôn có: AM1 AM AM 2

Ví dụ 1:Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác Chứng minh

rằng:

a) MB MC AB AC

b) 1

2 AB BC CA MA MB MC AB BC CA

c) BM MN NC AB AC trong đó điểm N nằm trong tam

giác sao cho MN cắt hai cạnh AB AC,

A

c) Giả sử AB AC Gọi AD AM, theo thứ tự là đường phân giác,

đường trung tuyến của tam giác ABC Chứng minh rằng:

+ Gọi D là điểm đối xứng với A qua M thì ABDC là hình bình hành nên

AB CD và AD 2AM Trong tam giác ACD ta có:

A

b) Áp dụng bất đẳng thức ở câu a) Cho 3 đường trung tuyến AM BN CP, ,

Kết quả này vẫn đúng với D là điểm

bất kỳ nằm bên trong đoạn BC

Dựng AH BC Với AB AC thì AM AD Với AB AC thì

BM BH M thuộc đoạn BH

Hơn nữa ADB ADC ADB tù Do đó D thuộc đoạn BH

Lấy điểm P trên AB sao cho AP AC ADP ADC (c.g.c)

,

P

H D

B

A

+ Nếu ACB 900 (hình) thì

090

qua H song song AC cắt AB tại E

Tứ giác AEHD là hình bình hành nên

A

Ví dụ 4) Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 3a M là một điểm tùy ý

trên cạnh BC , gọi P Q, lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên

,

AB AC Tìm vị trí điểm M để:

a) PQ có độ dài nhỏ nhất

b) Dựng một đường thẳng song song với BC cắt AB AC, tại E F,

sao cho AE 2a Tìm vị trí điểm M sao cho MA ME MF

B

A

b) Gọi R là điểm đối xứng với E qua BC , I là trung điểm của BC Ta

bằng xảy ra khi và chỉ khi M I

Ví dụ 5: Cho đường tròn ( ; )O R và điểm A nằm ngoài đường tròn đó Một

đường thẳng thay đổi quanh A cắt ( ; )O R tại hai điểm M N, Tìm vị trí

Xét tam giác vuông OKA

Ta có: OK2 KA2 OA2 không đổi Như vậy AK lớn nhất khi và chỉ

khi OK nhỏ nhất OK 0 A M N O, , , nhỏ nhất

Ví dụ 6: Cho đường tròn ( ; )O R và dây cung AB cố định (AB 2 )R

Trên cung lớn AB lấy điểm M Tìm vị trí điểm M để chu vi tam giác

MAB lớn nhất

O

Hướng dẫn giải:

Trên tia đối của AM lấy điểm N sao cho

MN MB Khi đó chu vi tam giác MAB

Là 2p MA MB AB AN AB

Do AB không đổi nên chu vi tam giác

MAB lớn nhất khi và chỉ khi AN lớn

nhất.Tam giác BMN cân tại M và MH

là phân giác của góc BMN đồng thời

cũng là phân giác ngoài của góc AMB Phân giác trong của góc AMB là

MI với I là trung điểm cung lớn AB Suy ra MI MH Do đó MH

cắt đường tròn ( ; )O R tại điểm J và IJ là đường kính của ( ; )O R

Tam giác MBN cân tại M nên MJ là đường trung trực của BN Từ đó ta

có: JA JB JN Hay điểm N thuộc đường tròn tâm J cố định bán

kính JA Vì AN là dây cung của đường tròn J nên AN lớn nhất khi và

chỉ khi AN là đường kính của J M J Như vậy chu vi tam giác MAB lớn nhất khi và chỉ khi M trùng với trung điểm J của cung nhỏ

AB

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có A 600 Trên cạnh BC lấy điểm I cố

định Tìm trên cạnh AB AC, lấy hai điểm M N, để chu vi tam giác

IMN đạt giá trị nhỏ nhất

Hướng dẫn giải:

Gọi E F, lần lượt là các điểm đối xứng của

I qua AB AC, Do tam giác ABC cố

M

O

H N J

I

B A

F E

I

N M

C B

A

định nên E F, cố định:

Ta có: Chu vi tam giác IMN là

2 IM IN MN ME MN NF EF Dấu bằng xảy ra khi

và chỉ khi E M N F, , , thẳng hàng Hay M N, là các giao điểm của EF với

các cạnh AB AC,

Ví dụ 8: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB AC ngoại tiếp đường

tròn tâm O Gọi D E F, , lần lượt là tiếp điểm của O với các cạnh

AB AC BC; M là điểm di chuyển trên đoạn CE Gọi N là giao điểm

của BM với cung nhỏ EF của O , P và Q lần lượt là hình chiếu của

N trên các đường thẳng DE DF, Xác định vị trí của điểm M để PQ lớn nhất

EF Như vậy PQ lớn nhất bằng EF khi và chỉ

khi Q F khi đó P E , do P và Q lần lượt là hình chiếu của N trên

các đường thẳng DE DF, nên khi Q F , P E thì DN là đường

Q

P

N

M O

F

E D

C B

A

kính của ( )O Từ đó suy ra cách xác định M như sau: Dựng đường kính

DN cuả ( )O , M là giao điểm của BN và AC

Ví dụ 9: Cho hai đường tròn ( ; ),( ;O R1 1 O R cắt nhau tại 2 điểm 2 2) A B,

Một đường thẳng ( )d bất kỳ qua A cắt ( ; ),( ; )O R1 1 O R lần lượt tại 2 2 M N,

Tiếp tuyến tại M của ( ; )O R và tiếp tuyến tại N của 1 1 ( ; )O R cắt nhau tại 2 2

I Tìm giá trị lớn nhất của bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IMN

khi ( )d quay quanh A

180 MIN Suy ra tứ giác IMBN nội tiếp

Các góc AMB ANB, là những góc nội tiếp chắn cung AB cố định của

( ; ),( ;O R O R nên ) AMB ANB không đối Suy ra MBN không đổi Suy ,

ra MIN 1800 MBN không đổi Gọi R bán kính vòng tròn ngoại tiếp

tam giác MIN thì 2 sin

2 sin

MN

MIN Do đó R lớn nhất khi và chỉ khi MN lớn nhất Gọi E F, là hình chiếu vuông góc của

1, 2

O O lên ( )d , K là hình chiếu vuông góc của O lên 1 O F thì 2

K

F E

O2

N M

B A I

Ví dụ 10) Trên các cạnh AB BC CD DA, , , của hình chữ nhật ABCD lần

lượt lấy các điểm M N E F, , , Tìm vị trí bốn điểm đó để chu vi tứ giác

MNEF đạt giá trị nhỏ nhất

Giải:

Ta chứng minh kết quả phụ sau:Cho điểm M cố định Khi chu

vi tứ giác MNEF đạt giá trị nhỏ

nhất ta có MNEF là hình bình

hành có các cạnh song song với

các đường chéo của hình chữ nhật

ABCD Thật vậy, gọi I J K, , lần lượt là trung điểm MN ME EF, , ta có:

IB MN IJ NE JK MF DK EF (hệ thức lượng trong

tam giác vuông)

Vậy chu vi tứ giác MNEF : 2 p 2 BI IJ JK KD 2BD Dấu

“=” xảy ra khi và chỉ khi B I J K D, , , , theo thứ tự nằm trên một đường thẳng MF/ /NE/ /BD

Tương tự ta có để chu vi tứ giác MNEF đạt giá trị nhỏ nhất thì MNEF là

hình bình hành có cạnh song song với đường chéo của hình chữ nhật

ABCD (kết quả phụ được chứng minh)

Từ chứng minh trên ta thấy, nếu tứ giác MNEF có các cạnh song song với các đường chéo của hình chữ nhật ABCD thì chu vi của nó là

2

p BD const , không phụ thuộc vào cách lấy điểm M trên cạnh AB

I F

E

N M

B A

Vậy chu vi tứ giác MNEF đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2BD khi MNEF là

hình bình hành có các cạnh song song với với các đường chéo của hình chữ nhật ABCD

Ta có bài toán tổng quát sau: Cho tứ giác ABCD Gọi M N P Q, , , lần

lượt là trung điểm của AB BC CD DA, , , Khi đó:

AD cắt AB tại Fcắt CD tại H Biết hình thoi ABCD có độ dài hai

đường chéo là d và 1 d Xác định 2 M sao cho chu vi tứ giác EFGH là nhỏ nhất?Tính chu vi đó theo d d 1, 2

Hướng dẫn giải:

Ta dễ dàng chứng minh được

EFGH là hình thang cân,

E Q

A

L

K

J I

A

AFME , MGCH là hình thoi,

Các tứ giác BFMG EDHM, là

hình bình hành Do đó các đường chéo

, EF

AM cắt nhau tại L , MC GH, cắt nhau tại J , BM FG, cắt nhau tại

I , DM EH, cắt nhau tại K thì L I J K, , , lần lượt là trung điểm của

khi và chỉ khi FG/ /AC FGHE là hình chữ nhật Tức điểm M O là

giao điểm của hai đường chéo của hình thoi ABCD

SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ

Ở cấp THCS, các em học sinh được làm quen với bất đẳng thức Cauchy dạng 2 số hoặc 3 số:

Để giải quyết tốt các bài toán hình học: Ta cần nắm chắc một số kết quả quan trọng sau:

Trước hết ta cần nắm được các kết quả cơ bản sau:

Ngoài ra các em học sinh cần nắm chắc các công thức về diện tích tam

giác ,liên hệ độ dài các cạnh và góc như:

+ a 2 sinR A, b 2 sin ,R B c 2 sinR C…

Ví dụ 1) Cho tam giác ABC có BC a CA, b AB, c M là một

điểm thuộc miền trong ABC Gọi E F K, , lần lượt là hình chiếu vuông

góc của M trên BC CA AB, , Xác định vị trí điểm M để tích

A

Ví dụ 2) Cho tam giác ABC cân đỉnh A Gọi O là trung điểm của BC Đường tròn O tiếp xúc với AB ở E tiếp xúc với AC ở F Điểm H

chạy trên cung nhỏ EF tiếp tuyến của đường tròn tại H cắt AB AC, lần lượt tại M N, Xác định vị trí của điểm H để diện tích tam giác AMN đạt giá trị lớn nhất

Ta lại có S AMN S ABC S BMNC

nên S AMN đạt giá trị lớn nhất

khi và chỉ khi S BMNC đạt giá trị

N

M

C B

A

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, từ (1) và (2) suy ra:

2

BMNC

BC

khi BM CN MN / /BC khi và chỉ khi H là giao điểm của đường

trung trực của BC với đường tròn O Vậy diện tích tam giác AMN đạt giá trị lớn nhất khi H là giao của đường trung trực của BC với đường tròn

O

Ví dụ 3) Cho tam giác ABC trên trung tuyến AD lấy điểm I cố định Đường thẳng d đi qua I lần lượt cắt cạnh AB AC, tại M N, Tìm vị trí của đường thẳng d để diện tích tam giác AMN đạt giá trị nhỏ nhất

N M

C B

A

Gọi h h là khoảng cách từ B, M B M, đến AC Áp dụng định lý Talet, ta có

1

.2

B ABC

AI khi d là đường thẳng đi qua I và song song với BC

Ví dụ 4) Cho góc nhọn xOy và điểm I cố định nằm ở trong các góc đó

Đường thẳng d đi qua I và cắt Ox Oy, lần lượt tại M N, Xác định đường thẳng d để diện tích tam giác OMN đạt giá trị nhỏ nhất

Giải:

Trước hết ta dựng đường thẳng đi qua I cắt Ox Oy, tại E F, sao cho

IE IF (*)

Ta dựng đường thẳng như sau:

Lấy O' là điểm đối xứng của

O qua I Từ O' kẻ đường

thẳng song song với Ox cắt

Oy tại F , song song với Oy

cắt Ox tại E Vì OEO F' là hình bình hành nên OO' EF I là trung

điểm của E Lấy là đường thẳng EF, ta có thỏa mãn điều kiện (*),

Giả sử d là đường thẳng bất kỳ qua I cắt Ox ở M, cắt Oy ở N Ta dễ

đường thẳng AB Góc vuông xIy quay xung quanh đỉnh I sao cho hai

cạnh của góc tương ứng cắt d ở M cắt 1 d ở N Tìm vị trí của 2 M N, để

diện tích tam giác IMN đạt giá trị nhỏ nhất

Giải:

Ta có:

N M

A

Khi đó AIM, BIN vuông cân tại các đỉnh A B, IM IN, hợp với

AB các góc bằng 450 Vậy diện tích tam giác IMN đạt giá trị nhỏ nhất khi

Kí hiệu S S S S lần lượt là diện tích a, , ,b c

tam giác MBC MAC MAB ABC, , ,

m

R

M H

D

C B

A

Sử dụng bất đẳng thức Cô si ta dễ chứng minh được kết quả sau(với

Ví dụ 7) Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý trong tam giác đó Các

đường thẳng AM BM CM, , cắt các cạnh BC CA AB, , tại các giao điểm

tương ứng là: A B C Kí hiệu , , ,1, ,1 1 S S S S lần lượt là diện tích tam giác a b c

C B

A

S S S S Hay M là trọng tâm của tam giác ABC

Chú ý rằng: Từ bài toán trên ta cũng có:

1

1

MBA MCA MBA MCA a

ABA ACA ABA ACA

Ví dụ 8 Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a Gọi đường vuông góc từ

điểm M nằm trong tam giác đến các cạnh BC CA AB, , lần lượt là

MD ME MF Xác định vị trí điểm M để:

a) 1 1 1

MD ME MF đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị đó

b) 1 1 1

MD ME ME MF MF MD đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá

trị đó

Hướng dẫn giải:

Gọi h là độ dài đường cao của

tam giác đều ABC thì 3

x y y z z x h a Trong cả hai trường hợp đẳng

thức xảy ra khi và chỉ khi x y z , lúc đó M là tâm của tam giác đều

D

F M

C B

A

Gọi diện tích các tam giác ABC HBC HAC HAB, , , lần lượt là S S S S , , ,1 2 3

Lập luận như trên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều

Bất đẳng thức (*) có tên là bất đẳng thức Netbis là bất đẳng thức đơn giản nhưng có rất nhiều ứng dụng Ta có thể chứng minh nó như sau:

A

2 2 2 6

Suy ra a b c

b c c a a b Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c= =

Ví dụ 10 Xét tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn O với

ba đường cao AA BB CC lần lượt cắt đường tròn O lần nữa tại 1, 1, 1

giá trị nhỏ nhất là 9 khi và chỉ khi

tam giác ABC đều

A

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC là tam giác đều

Ví dụ 11 Trong các tam giác ngoại tiếp đường tròn tâm O bán kính r hãy các định dạng của tam giác sao cho tổng độ dài ba đường cao đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị đó

khi h a h b h c 3 ,r h a h b h c 9r , lúc đó tam giác ABC đều

Ví dụ 12 Cho tam giác ABC và M là điểm nằm trong tam giác Kẻ

AM BM CM cắt các cạnh BC CA AB, , lần lượt tại A B C Xác định vị 1, ,1 1trí của điểm M để:

Lấy điểm M đối xứng với 1

điểm M qua đường phân

giác trong của BAC Dựng

1

BH AM và CK AM 1

M1K D H

M

C B

A

Giả sử AM cắt BC tại D Khi đó 1 BD BH DC, CK Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AD BC hay AM1 BC Từ đó ta có:

(Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho các biểu thức trong ngoặc)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c đồng thời M là trực tâm của 1

tam giác ABC Nói cách khác, M (và do đó cả M ) là tâm của tam giác 1

đều ABC Từ cách chứng minh trên chúng ta còn có một số kết quả sau:

Hệ quả 1 (Bất đẳng thức Erdos –Mordell dạng tích)

Cho tam giác ABC và M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác đó Gọi

, ,

a b c

R R R thứ tự là khoảng cách từ M đến các đỉnh A B C, , Còn d d d a, ,b clần lượt là khoảng cách từ M đến các cạnh BC CA AB, , Khi đó ta có bất đẳng thức R R R a .b c 8d d d a b c

Hệ quả 2 (Bất đẳng thức Erdos –Mordell dạng căn thức) Cho tam giác

ABC và M là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác đó Gọi R R R thứ a, ,b c

2 d a d b d Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các biểu c

thức trong ngoặc của bất đẳng thức trên Ta có điều cần chứng minh

Một số ứng dụng của bất đẳng thức Erdos – Mordell

Ví dụ 1 Gọi I là tâm r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều và

đẳng thức Erdos – Mordell cho điểm

I trong tam giác ABC , ta thấy IA IB IC 2 IH IJ IK 6r

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều Nói cách khác, điều

kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là IA IB IC 6r (đpcm)

Ví dụ 2 Giả sử M là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác ABC Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác Chứng minh rằng

A

a) Gọi O R; theo thứ tự là tâm và bán

kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ;

H

O

C B

A

(góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn

một cung) hay BAC HOC Tương tự có ABC AOI ACB; BOK

b) Dựng AA1 BC BB; 1 AC CC; 1 AB

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC

Do đó tứ giác BC HA nội tiếp nên 1 1

1

ABC A HC Tứ giác CA HB1 1 nội

tiếp nên ACB B HA1 Tứ giác

A