Đs9 chủ đề 7 bất đẳng thức – cực trị ( 5 buổi )

Đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức, chúng ta cần chỉ ra đủ hai điềukiện được nêu trong định nghĩa ở trên... Dạng 2: Phương pháp sử dụng các tính

Trang 1

50 BUỔI CHINH PHỤC VÀO 10 GIAI ĐOẠN 2021-2022ĐS9-CHỦ ĐỀ 7.BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ ( 5 BUỔI )

A.CẦN NHỚ

CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA BẤT ĐẲNG THỨC

1 a b b a

2 Nếu các số thực a, b, c thỏa mãn a b và b c thì ta có a c

3 Nếu a, b là hai số thực thỏa mãn a b thì với mọi số thực c ta có a c b c  

4 Nếu a, b là hai số thực thỏa mãn a b thì với mọi số thực c ta có

• a  b  a b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab 0

• a  b  a b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab 0

BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC

Nếu a, b, c là ba cạnh của tam giácABC thì:

Trang 2

50 BUỔI CHINH PHỤC VÀO 10 GIAI ĐOẠN 2021-2022

Cho biểu thức F x y z , ,  với các biến x, y, z thỏa mãn điều kiện D cho trước.

Ta nói M là giá trị lớn nhất của F khi nó thỏa mãn hai điều kiện sau:

• F x y z , ,  M 1 với mọi x, y, z thỏa mãn điều kiện D

• Tồn tại x y z0, ,0 0 thỏa mãn D và F x y z 0, ,0 0 M

Hay nói cách khác dấu đẳng thức ở  1 có xảy ra Tương tự cho giá trị nhỏ nhất của F trên D.

Đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức, chúng ta cần chỉ ra đủ hai điềukiện được nêu trong định nghĩa ở trên

+ Dạng tích hai thừa số cùng dấu: A B  X Y2n 2n 0

+ Xây dựng các bất đẳng thức từ các điều kiện ban đầu: Nếu x y z, , a b;  thì ta nghĩ ngay tới một trong các bất đẳng thức đúng sau đây:

Trang 3

Nhận xét: Biến đổi tương đương bất đẳng thức bậc hai thường xuất hiện các đại lượng a b 2; b c 2

; c a 2 với điều kiện dấu đẳng thức xảy ra tại a b c  Do đó trước khi biến đổi bất đẳng thức ta nên dự đoán dấu đẳng thức xảy ra để từ đó có định hướng hợp lí

Ví dụ 2: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a3b3  a b Chứng minh rằng:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh: a2b2ab1

Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số thực x ta luôn có:

Trang 4

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta có:

Cách 2 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Dạng 2: Phương pháp sử dụng các tính chất của tỉ số, tính chất giá trị tuyệt đối và tính chất của tam thức bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức

Trang 5

• a b a  b Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a, b cùng dấu

• a b  a b Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a, b cùng dấu

• a  b  a b Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b 0 hoặc a b 0

• Cho các số thực a1, a2, a3, , a n thì a1a2a3 a n a1 a2  a n

• Cho các số thực a, b 0 bất kì thì a b 2

b a 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab

c) Một số tính chất của tam thức bậc hai thường dùng trong bất đẳng thức

Cho tam thức bậc hai f x  ax2bx c với a 0 Khi đó, ta có:

 

2 2

Tính chất 3: Nếu  b2 4ac0 và đa thức có hai nghiệm x1, x2 x1x2 thì:

• af x   0 với mọi giá trị x1 x x2

• af x   0 với mọi giá trị x x 1 hoặc x x 2

Trang 6

Vậy bài toán được chứng minh

Ví dụ 2: Cho a, b, c là các số thực dương bất kì Chứng minh rằng:

a b abc b c abc c a abc abc

• Định hướng

Dự đoán đẳng thức xảy ra tại a b c 

Cần phải thay đại lượng ở các mẫu bên vế trái bởi các đại lượng nhỏ hơn sao cho khi biểu thức thu đượcvẫn nhỏ hơn hoặc bằng vế phải

Trang 7

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c 

Khi phân tích bài toán ta cần chú ý đến các yếu tố như đẳng thức xảy ra ở đâu, tính đồng bậc của bất đẳng thức, chọn chiều đánh giá như thế nào cho hợp lí,

Ví dụ 3: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn 3



1

c z ab

Dấu bằng xảy ra khi a 3, b c 0 và các hoán vị

b) Sử dụng tính chất giá trị tuyệt đối

Ví dụ 4: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

Ví dụ 5: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a b c  3 Chứng minh rằng:

3

a  ab b  b  bc c  c  ca a 

Trang 8

Trang 9

Dạng 3: Phương pháp phản chứng

Phương pháp giải:

Bước 1: Giả sử điều cần chứng minh là sai (phủ định lại mệnh đề cần chứng minh).

Bước 2: Từ điều giả sử ta suy ra một số tính chất hoặc quan hệ mới, mà những tính chất này mâu thuẫn

với điều đã cho hoặc trái với tính chất ta đã biết

Bước 3: Ta kết luận điều giả sử ban đầu là sai Vậy bài toán được chứng minh.

Chú ý: Trong các bước suy luận phản chứng nêu trên, bước 1 rất quan trọng vì cần tạo ra mệnh đề phủ

+ Trường hợp thứ hai là có ít nhất hai số lớn hơn 2015, chẳng hạn là a, b Khi đó ta được a 2015;

Suy ra c 2015, dẫn đến abc 20153 điều này mâu thuẫn với giả thiết abc 20153

Vậy điều giả sử không thể xảy ra Do đó bài toán được chứng minh

Ví dụ 2: Cho 2015 số tự nhiên a1, a2, , a2015 khác 0 thoả mãn điều kiện:

Trang 10

Bất đẳng thức thu được mâu thuẫn với giả thiết của bài toán

Vậy điều ta giả sử là không xảy ra hay bài toán được chứng minh

Ví dụ 3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc 1 Chứng minh rằng:

y b y

z c z

Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là sai, tức là ta có bất đẳng thức x y z  1

Khi đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được

Trang 11

Hay 8xyz x y y z z x        , suy ra bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức sai Vậy điều giả

sử không thể xảy ra, tức là bài toán được chứng minh

Dạng 4: Phương pháp quy nạp toán học

Phương pháp giải:

Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức A n B n  với n n 0, n  , ta tiến hành các bước như sau:

• Bước 1: Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n n 0

• Bước 2: Giả sử bất đẳng thức đúng với n k k n k   0,  

• Bước 3: Chứng minh bất đẳng thức đúng với n k 1 và kết luận bất đẳng thức đúng với n n 0

• Thông thường khi chứng minh bất đẳng thức có sự phụ thuộc vào số nguyên dương n, thì ta nên chú ý

sử dụng phương pháp quy nạp toán học

• Trong phương pháp quy nạp toán học thì bất đẳng thức có được từ bước thứ hai chính là một giả thiết mới được dùng để chứng minh bất đẳng thức trong bước thứ ba

Do đó cần phải khai thác thật hiệu quả giả thiết quy nạp

Trang 12

Ví dụ 2: Cho x 1 là một số thực cho trước Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có

Từ giả thiết 0k m  2 k m  ,  ta thấy các mẫu số đều dương và 3m  2 0

Quy đồng mẫu số hai vế ta có:

Trang 13

Bất đẳng thức cuối cùng đúng theo giả thiết, nên bài toán phụ được chứng minh

Viết lại biểu thức P và áp dụng bài toán phụ ta có:

n

x x x x n

Trang 14

Trang 15

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a 3, b 4, c 2

Khi giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức thì các đánh giá trung gian phải được bảo toàn dấu đẳng thức nên việc xác định đúng vị trí dấu bằng xảy ra sẽ tránh cho ta sử dụng các đánh giá trung gian sai lầm

Trong đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân, việc xác định giá trị dấu bằng xảy ra đúng sẽ chỉ cho ta cách chọn các đánh giá hợp lí trong chuỗi các đánh giá mà ta cần phải sử dụng

Trang 16

a2b2 b2c2 c2a2 8a b c2 2 2 8a b c2 2 2

Nhận xét: Chỉ được nhân các vế của bất đẳng thức cùng chiều (kết quả được bất đẳng thức cùng chiều)

khi và chỉ khi các vế cùng không âm

Để ý rằng ta sử dụng cách đánh giá x2y22 x y2 2 2 |xy| khi chưa xác định được x, y âm hay

3

1 1.1.1

3

1 1.1.1

2

a b b c c a       a b c  

Điều này trái với giả thiết

Ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi a b c 

Trang 17

Ví dụ 5: Cho a, b, c là các số thực dương bất kì Chứng minh rằng:

Nhận xét: Khi đánh giá một bất đẳng thức bằng bất đẳng thức Cô-si nếu bị ngược chiều thì ta có thể đổi

chiều bất đẳng thức bằng cách nhân hai vế với –1 rồi cộng thêm hằng số để cả hai vế đều dương Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô-si như trên còn được gọi là kĩ thuật Cô-si ngược dấu

Ví dụ 6: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca  1 Chứng minh rằng:

10a 10b c 4

• Lời giải

Trang 18

ab bc ca

a b c

b b  b  Quy ước nếu b 1 0 thì a 1 0.

Dạng 4: Cho hai dãy số tùy ý a1, a2, , a n và x1, x2, x3, , x n với x1, x2, x3, , x  n 0.

Trang 19

a

a a b b

Trang 20

Ví dụ 2: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2b2c2 abc Chứng minh rằng:

12

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c  3

Ví dụ 3: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác Chứng minh rằng:

Dấu đẳng thức xảy ra tại a b c 

Dạng 7:Tổng hợp

Câu 1: Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng

Trang 21

Trang 22

Vậy ta được điều phải chứng minh

Câu 4: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 Chứng minh rằng:

(Dấu đẳng thức cuối đúng do abc 1)

Vậy ta có điều phải chứng minh

Câu 5: Cho x, y, z là các số thực dương Chứng minh rằng:

Câu 6: Cho a, b, c là ba số thực dương Chứng minh bất đẳng thức sau:

a a b b b c c c a  abc

Trang 23

50 BUỔI CHINH PHỤC VÀO 10 GIAI ĐOẠN 2021-2022 Lời giải

Từ đó ta được điều phải chứng minh

Câu 7: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc 1 Chứng minh rằng:

Trang 24

Suy ra a3 b3 1 b3 c3 1 c3 a3 1 3 3

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương ta được

Câu 8: Cho các số thực không âm a, b thỏa mãn a b 2   a b 2 Chứng minh rằng:

Trang 25

Câu 9: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x y z  1

Dấu bằng xảy ra khi a b c  1

Câu 11: Cho các số thực a b c , , 2 thỏa mãn 1 1 1 1

a b c   Chứng minh rằng:

a 2 b 2 c 21

Trang 26

Câu 12: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

Trang 27

Câu 14: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác và x, y, z là các số thực Chứng minh rằng:

Trang 28

Trang 29

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0 4

x y

x y y

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là -9

Bài 2 Cho hai số thực a, b khác 0 thoả mãn

2 2

Vậy giá trị lớn nhất của S là 2011

Bài 3 Cho các số thực x, y thoả mãn x y 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang 30

a b b

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q bằng 2018

Bài 5 Cho hai số thực dương x, y thoả mãn xy 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P     Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3

Bài 6 Cho hai số thực dương x, y thoả mãn 2 1

3

x

xy   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

4153

Trang 31

Bài 7 Cho x, y, z là ba số thực dương thoả mãn x  y z 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

N   Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x  y z 1

Từ đó, suy ra Q 3 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x  y z 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q bằng 3 đạt được khi x  y z 1

Trang 32

50 BUỔI CHINH PHỤC VÀO 10 GIAI ĐOẠN 2021-2022 Bài 8 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Coi (1) là phương trình bậc hai ẩn t, P là tham số

Phương trình này có nghiệm t khi và chỉ khi

Dễ dàng nhận thấy P 0 với mọi x

Do vậy điều kiện trên trở thành P 2 Khi đó 2 P0 nên phương trình (1) có ít nhất một nghiệm không âm

Trường hợp P 2ta tìm được nghiệm t 0 hay x 0

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 2 đạt được khi x 0

Bài 9 Cho hai số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện 2 2

Trang 33

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng -6 và giá trị lớn nhất của A bằng 3

Bài 10 Với các số thực a b c, , thay đổi thỏa mãn a b c  5 và a2b2c29

Trang 34

Vậy Kmax 2khi ( , , )a b c là hoán vị của (1; 2; 2)

Bài 11.Cho các số thực dương a, b thay đổi luôn thỏa mãn a 3 b 3 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P a b

Trang 35

Bài 13.Cho x y, là các số thực thỏa mãn x³ 2 và x+ ³y 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :P x2 y2 1 1

Min = Dấu " "= xảy ra Û x=2;y=1 (thỏa mãn điều kiện)

Bài 13 Cho a; b; c; d là các số không âm Chứng minh rằng:

8 8 2 4 4 2 8

a b  c  d  abcd

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

Trang 36

Trang 37

50 BUỔI CHINH PHỤC VÀO 10 GIAI ĐOẠN 2021-2022 Bài 16 Cho

S  Điều phải chứng minh

Bài 17 Cho a, b, c, d dương Chứng minh rằng:

32

Từ các bất đẳng thức (1), (2), (3) và (4) cộng vế với vế, ta được điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi

Điều này không xảy ra vì a b c d , , , 0

Bài 18 Cho a2; b3;c4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Trang 38

Trang 39

Vậy giá trị lớn nhất của Q khi 2

3

a b c  

Bài 20 Cho các số a, b, c đều lớn hơn 25

4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

b

c c

a a

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 15 khi a b c  25

Bài 21 Cho x; y là các số dương thỏa mãn x y 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T xy 10

Trang 40

Dấu bằng xảy ra khi x y 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 11 khi x y 1

Bài 22 Cho a, b, c, d là các số thực dương có tổng bằng 1.

Trang 41

Trang 42

Dấu bằng xảy ra khi

9 11

a a

b

a b c b

c c

Vậy tam giác ABC là tam giác đều

Bài 26 Cho x; y; z là các số không âm Chứng minh rằng:

Dấu bằng xảy ra khi x y z

Bài 27 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 1 1 1 3

a b c  

Trang 43

Vậy giá trị lớn nhất của P là 3 khi a b c  1

Bài 28 Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn 1 1 1 1 * 

Trang 44

Điều phải chứng minh

Bài 29 Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x2y2z2 3xyz Chứng minh rằng:

32

Điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi x  y z 1

Tiêu đề	Bất đẳng thức – Cực trị
Trường học	Trường Đại Học Quốc Gia Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Bài giảng
Năm xuất bản	2021-2022
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	58
Dung lượng	2,62 MB