Hsg t7 cđ15 cực trị hình học

QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN, ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU I.. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên Định lý 1.. Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở

a C H

B D

A

a C H

B D

A

C

A

B

M

A

CHỦ ĐỀ 2 QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC

VÀ ĐƯỜNG XIÊN, ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Định lý 1 Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm

ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là

đường ngắn nhất

AH⊥a  AH AC , AH AD

( ,C D a )

2 Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu

Định lý 2 Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng

đó:

• Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.

,

AH⊥a HD HC  ADAC

• Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.

AH⊥a , AD AC  HD HC

• Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại, nếu hai hình chiếu

bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau

ABAC  HB HC

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Bài 1: Cho ABC vuông tại A Trên các cạnh AB AC, lần lượt lấy các điểm M N,

a Chứng minhMN BNBC

b Có thể nói BNcó hình chiếu xuống AClà ANcòn CM có hình chiếu xuống AC là

AC nên CM BN được không?

Lời giải:

a) Hình chiếu AM ABnên đường xiên MNBN

Hình chiếu ANACnên đường xiên BNBC

Bởi vậy MN BNBC

b) Không được vì M và B khác nhau

C H

B

A

D

B

A

Bài 2 Cho ABCcó AB AC Kẻ AH⊥BC tại H, điểm D thuộc đoạn AH So sánh:

a DB và DC; b DB vàAB

Lời giải:

a) Đường xiên AB AC nên hình chiếuHB HC

Hình chiếu HB HC nên đường xiên DB DC

b) BAvà BDcó hình chiếu lần lượt là AHvà DH

Mà AH BH  BA BD

Bài 3 Cho ABC cân tại A Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ Ađến BC, điểm Dthuộc cạnh BC (D H ) Chứng minh AH AD AB

Lời giải:

Ta có AH  AD(quan hệ đường vuông góc, đường xiên)

Nếu D HC  HD HC  AD AC AB

Nếu D HB  HD HB  AD AB AC 

Bởi vậy AH AD AB

Bài 4: Cho ABC có B và C là các góc nhọn Gọi D là điểm bất kì thuộc cạnh BC, gọi H

và K là chân các đường vuông góc kẻ từ B và C đến đường thẳng AD So sánh:

a BH và BD Có khi nào BH bằng BD không?

b HC và BK khi

2

BC

BD 

Lời giải:

a) Ta có BH BD (đường vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên)

BH BD H D ADBC

b) XétMPQ có BK2 BH2 HK2BK2

Xét CHK có CH2 CK2HK2.Mà

2

BC

BD  nên BH CK Vậy BKHC

Bài 5: Cho ABCcân tại A Trên tia đối của tia CB lấy điểm D

a So sánh AD và AB

b Vẽ BEAC và DF AB So sánh BE và DF

Lời giải:

a Kẻ AH BC tại H.Ta có ABAC  HB HC

Lại có D thuộc tia đối của tia CB

Vậy HD HC HB  ADAB

A

C

B

E

K D

I

F

E

D

A

B

b Diện tích 1 .

2

ABC

S  AH BC;

Diện tích 1 .

2

ABD

S  AH BD

Mà BC BD Suy ra SABC SABD

Lại có: 1 .

2

ABC

S  AC BE; 1 .

2

ABD

S  AB DF

Suy ra 1 . 1 .

2AC BE2AB DF Mà ABAC nên BE DF

Bài 6: Cho ABC vuông tại A K, là trung điểm của BC, qua Kkẻ đường thẳng vuông góc với

AK, đường thẳng này cắt các đường thẳng AB AC, lần lượt ở Dvà E, Gọi I là trung điểm của DE

a CMR : AI BC

b Có thể nói DE BC được không?

Lời giải:

a, ADE vuông tại A có đường trung tuyến AI

=>AIE cân tại I

và ACK cân tại K  A1 E ,C1CAK

mà E CAK  900  A C11 900 AH CK

b, Để so sánh DEvới BC ta so sánh IEvới CK và AIvới AK

AKI

 vuông  AIAK  DE BC khi K trùng với I hay ABC vuông cân tại A

Bài 7: Cho ABCcân tại A, góc A tù, trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD CE , trên tia đối của tia CAlấy điểm I sao cho CI CA

a CMR: ABDICE và AB AC  AD AE

b Từ D và E kẻ các đường thẳng cùng vuông góc với BCcắt AB, AI lần lượt tại

M và N, CMR: BM CN

c CMR: Chu vi ABC nhỏ hơn chu vi AMN

Lời giải:

a CM: ABD ICE c g c .Ta có :

AB AC AI , Vì ABDICE AD EI

Áp dụng BĐT trong AEI: AE EI AI

hay AB AC AD AE

b CM: BDM CEN g c g   BM CN

c Vì BM CN  AB AC AM AN (1)

có BD CE (gt), BCDE

Gọi O là giao của MN và BC

O

A

E

N

I D

M

 OM OD

ON OE









  MO ON OD OE    MN DE  MN BC(2)

từ (1) và (2) ta có: Chu vi ABC nhỏ hơn chu vi AMN

Bài 8: Cho ABC vuông tại C, kẻ CH vuông góc vói AB, trên các cạnh AB, AC lấy tương

ứng hai điểm M N, sao cho BM BC và CN CH CMR:

a MN⊥AC

b AC BC  AB CH

Lời giải:

a Có BM BC(gt) CBM cân tại B

 MCB CMB

0

0

90 90

MCB ACM CMB MCH



 



ACM MCH

 .   

MNC MHC c g c MNC MCH

mà MCH 900  MNC 900 hay MN AC, vuông góc với nhau

b Ta có: BM BC, CN CH

AMN

 có N  900suy ra AM là cạnh lớn nhất

MB MA CH BC NC

      BA CH BC CA

Bài 9: Cho ABCvuông tại A, góc B 540, trên cạnh AC lấy điểm D sao cho ABD 360,

BElà tia phân giác ABD, trên đoạn BD lấy điểm F sao cho BFBA

a Tính EFD

b BECcân

c FD AE

d BD AC

Lời giải:

a Vì ABD360  DBC 180, mà là phân giác ABD

 ABE180 EBD DBC

ABE FBE

   (c.g.c) =>F A   900 EFD 900

b ABC vuông tại A có B 540  C 90 540 0 360

Mà EBC ABC ABE     EBC 54 180 0 360  EBC có EBC ECB  360

EBC

  cân tại E

c EFD vuông tại F có   

1

EDF B C  (góc ngoài của DBC  EDF 18 360 0 540

 900 540 360

FED    Vậy EFDcó E D   FD EF AE   1

d Ta có: ACAE EC FE BE

Và BD BF FD  , lại có EF FD chứng minh ở  1  BE BF vì BEF vuông tại

F suy ra BE là cạnh huyền Nên BE BF , vậy AC BD

A

H

M N

F E

C B

A

D

Bài 10: Cho ABCvuông tại B, phân giác AD, từ Dkẻ DHvuông góc với AC HAC,

HD vàAB kéo dài cắt nhau tại I , CMR:

a ABDAHD

b ADlà trung trực của BH

c DIC cân

d BH / /IC

e ADIC

g BCAC AD  2AB

Lời giải:

a ABDAHD( cạnh huyền- góc nhọn)

b ABAH( hai cạnh tương ứng)

suy ra Anằm trên đường trung trực của BH

BH HD( hai cạnh tương ứng)

Suy ra Dnằm trên đường trung trực của BH

Vậy ADlà đường trung trực của BH

c BDI HDC(cạnh góc vuông- góc nhọn kề)

DI DC

   DIC là tam giác cân

d Vì BDI HDC(cmt)  BI HC  AI AC

AIC

  cân tại A suy ra  1800 

2

IAC AIC  ,  ABH cân tại A  1800  

2

IAC ABH

Mà AIC ABH, là hai góc so le trong BH/ /IC

e AICcân tại A, có ADlà tia phân giác IAC suy ra ADlà đường trung trực của IC

g Ta có :

AC AD  AB    

AC AD  AB     

AD AH HC HD HC

Lại có: BCBD DC HD DC HD HC   vì DCHC

Bài 11: Cho ABCvuông tại A, đường phân giác BD, kẻ DEvuông góc với BC E BC  ,

trên tia đối của tia ABlấy điểm F sao cho AF CE , CM:

a ABDEBD

b BD là đường trung trực của AE

c AD DC

d BA điểm E D F, , thẳng hàng và BDCF

Lời giải:

a ABDEBD( cạnh huyền- góc nhọn)

b  AB BE (hai cạnh tương ứng)

suy ra Bthuộc đường trung trực của AE

Và DA DE ( hai cạnh tương ứng)

2 1

2 1

I

H

D

B

2 1

2 1

E

D

A

F

Dthuộc đường trung trực của AE

Vậy BD là đường trung trực của AE

c Ta có: DEC vuông tại E  DCDE

mà DEDA DC DA

d Ta có: DAFDEC(hai cạnh góc vuông)

1 2

D D , mà D2ADE 1800     0

D ADE  FDE 180 0, hay E D F, , thẳng hàng

ABE

 có AB EB  AF EC  BF BC  BFC cân tại B

BD là tia phân giác FBC  BDlà đường trung trực  BD FC

e Ta có : AD AF > DF  2(AD+AF)>2DF =DF+DC>FC

Bài 12: Cho ABCvuông cân tại A, lấy điểm M bất kỳ trên cạnh BC, kẻ MH , MKlần lượt vuông góc với AB,AC, Gọi Olà giao điểm của AM và HK

a, CMR: AM HKvà O là trung điểm của AM và HK

b Lấy trung điểm D của BC,CM: DHK vuông cân tại D

c Điểm M ở vị trí nào trên BC thì HKcó độ dài nhỏ nhất

d So sánh HKvà AB

Lời giải:

a Cần chứng minh HM MK

AHM MKA

  ( cạnh huyền- góc nhọn)

HM AK (hai cạnh tương ứng)

  (hai cạnh góc vuông)

AM HK

 

1 1

1 1

,

OA OH M K  OM OK

b AD BC AD BD  , BHMvuông cân tại H

Vì   

1 2

45 ,o

B B A

và BH HM AK  BHDAKD (c.g.c)

HD KD và D 1 D 2 HDK vuông cân

c HK AM để HKđạt GTNN thì AM đạt GTNN khi AM AD suy ra M là trung điểm của BC

d HK AM AB

Bài 13: Cho ABCcó góc Bvà góc Clà hai góc nhọn, trên tia đối của tia ABlấy điểm Dsao cho ADAB, trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AEAC

a CMR: BE CD

b Gọi M là trung điểm của BE N, là trung điểm của CD, CMR: A M N, , thẳng hàng

c Axlà tia bất kì nằm giữa 2 tia ABvà AC, gọi Hvà K lần lượt là hình chiếu của B

và C trên Ax, CMR: BH CK BC

d Xác định vị trí của Ax để BH CK có GTLN

Lời giải:

2 1

1 1 1

1

45

2 1

O

K

H

A

D

A

D E

H K

O A

a ABE ACD(c.g,c)

b Chứng minhABM ADN

,

AM AN MAB NAD

mà BAN NAD  1800

nên M A N, , thẳng hàng

c Gọi I là giao BCvà Ax, ta có :

,

BH BI CK CI   BH CK BI CI BC   

d Theo câu c BH CK BC

nên BH CK lớn nhất khi bằng BC, hay BH BI

và CK CI  H trùng I và K trùng I Hay Ax⊥BC

Bài 14: Cho O nằm trong ABC, Gọi E F D, , lần lượt là hình chiếu của O trên AB BC CA, ,

CMR:

a AE2 BF2 CP2 AP2 BE2 CF2

b AB BC CA 2  OA OB OC  AB BC CA 

Lời giải:

a, Ta có:

Và AP2 AO2  OP2 ;BE2 BO2 OE2;CF2 CO2 OF2

Từ đó suy ra điều phải chứng minh :

Bài 15: Gọi H là trực tâm của ABC, CMR:

a HA HB HC  AB AC

3

HA HB HC   AB BC CA 

Lời giải:

a Kẻ NH/ /AC MH; / /AB

ta có: HA AM MH  AMAN (1)

do BH AC mà HN/ /AC  BH HN

Do đó: BH BN (2)

Chứng minh tương tự: HC CM (3)

Cộng (1), (2) và (3) ta có: HA HB HC  AMAN BN CM  AB AC

b Ta có: HA HB HC  AB AC (theo câu a)

Tương tự ta cũng có: HA HB HC BC AC   

HA HB HC  AB BC

A

H N

M

Bài 16: Cho ABCnhọn có AB AC , trên tia AClấy điểm Dsao cho CDAB , hai đường

trung trực của BD và AC cắt nhau tại E

a CMR: AEBCED

HA HB HC  AB BC

b AElà phân giác trong tại đỉnh A của ABC

c Gọi M là 1 điểm bất kì nằm trong tam giác, xác định vị trí của M để biểu thức:

MA BC MB AC MC AB  đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải:

c, Kẻ BH và CK cùng vuông góc với AM, ta có:

MAB MAC

S S  BD CE BC

( Đường vuông góc nhỏ hơn hoặc bằng đường xiên)Dấu “=” xảy ra khi AM BC (1)

Tương tự

2

MBC MAB

AC BM

2

MBC MAC

AB MC

Cộng (1), (2) và (3) ta được:

2

MAB MBC MAC

BC AM AC BM AB MC

S S S  MA BC MB CA MC AB    4.S ABC

Vậy min MA BC MB AC MC AB   4S ABC

Xảy ra khi:AM BC BM , AC CM, AB Hay M là trực tâm của ABC

E

A

D