CHUYÊN đề 5 cực trị hình học hồ khắc vũ tam kỳ quảng nam

Qua A dựng đường thẳng d cắt cạnh BC của tam giác sao cho tổng các khoảng cách từ B và C đến d có giá trị nhỏ nhất... Gọi K là trung điểm AB, ta có: OEOK hằng số; OEOKE trùng K Vậy di

CHUYÊN ĐỀ 5:

CỰC TRỊ HÌNH HỌC

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

Định nghĩa: Các bài toán về cực trị hình học là các bài toán có liên quan tới giá trị

lớn nhất (Max) hoặc giá trị nhỏ nhất (Min) của một đại lượng hình học biên thiên nào

đó

Các cách trình bày bài giải:

1) Chỉ ra một vị trí của hình rồi chứng minh rằng ở đó hình có đại lượng cần tìm đạt cực trị

2) Thay một đại lượng cần tìm cực trị thành một đại lượng khác tương ứng (nếu được) rồi từ đó dùng kiến thức tìm GTNN và GTLN của A với A là đại lượng nào

K A

H

C

D a) là đường kính, CD là dây bất kỳ

b) OH OK là các khoảng cách từ tâm ,đến dây AB,CD

ABCDOH OK

c) AB CD là các cung nhỏ của (O): ,

ABCD AOBCOD

d) AB CD, LÀ CÁC CUNG NHỎ CỦA (O) :ABCD ABCD

Dạng 4 Sử dụng bất đẳng thức về lũy thừa bậc hai

Các bất đẳng thức về lũy thừa bậc hai được sử dụng dưới dạng:

A2  0; A2 0

Do đó với m là hằng số, ta có:

K

H O

O

B A

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi x y

TH3:Với x0;y0;x y không đổi thì xy lớn nhất khi và chỉ khi x y

TH4:Với x0, y0, xy không đổi thì xy nhỏ nhất khi và chỉ khi x y

Dạng 6.Vận dụng quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên hình chiếu, khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Nếu a/ / ,b khoảng cách giữa a và b là h, A a B b ,  thì độ dài nhỏ nhất của AB là h, xảy

ra khi ABa

Dạng 7.Vận dụng quy tắc các điểm, bất đẳng thức tam giác

 Với ba điểm bất kỳ A, B, C ta luôn có: ABACBC

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi A thuộc đoạn BC

 Với n điểm A A1, 2, ,A n ta có:

1 2 2 3 n 1 n 1 n

A A A A  A A  A A

Dấu bằng xảy ra khi A A1, 2, ,A nthẳng hàng

Dạng 8 Vận dụng các bài toán cực trị đại số

Các bài toán cực trị đại số thường áp dụng

 2 2

0

A B  với moi giá trị của các biểu thức A và B, dấu " " xảy ra  A B Tổng quát tổng các bình phương của các biểu thức thì không âm, tổng đó bằng 0 khi

và chỉ khi giá trị của từng biểu thức bằng 0

 Với a b, là hai số không âm ta có a b 2 ab, dấu " " xảy ra  a b

MN MN  nên MN là đường trung bình của ABC

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC. Qua A dựng đường thẳng d cắt cạnh BC của tam giác sao cho tổng các khoảng cách từ B và C đến d có giá trị nhỏ nhất

K

H

G A

N

Vậy đường thẳng d phải dựng là đường thẳng chứa cạnh lớn nhất trong 2 cạnh AB, AC

Ví dụ 3 Cho tứ giác lồi ABCD Tìm điểm M có tổng khoảng cách tới bốn đỉnh của tứ giác

là nhỏ nhất

d

D N M A

Ví dụ 4 Cho đường thẳng xy và hai điểm A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là xy a) Tìm điểm M thuộc xy sao cho MA MB là nhỏ nhất

b) Tìm điểm N thuộc xy sao cho NANB là lớn nhất

Dấu " " xảy ra khi MA B' khi đó M M0

b) Nếu lấy một điểm N bất kỳ trên xy thì NANB  AB Giá trị lớn nhất của NANB

bằng AB khi và chỉ khi B là điểm nằm giữa hai điểm A và N

Suy ra :

Nếu AB/ /xy không tìm được điểm M thỏa mãn điều kiện

Nếu AB không song song với xy Gọi N là giao điểm của AB và xy thi 0 N là điểm cần 0

Vẽ MH / /OA MK, / /OB thì S OHMK không đổi

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN (cứ 10 bài giải 1 lần)

Bài 1 Qua đỉnh A của tam giác ABC, dựng đường thẳng d sao cho tổng khoảng cách từ

M B

Bài 5 Cho tam giác nhọn ABC có các cạnh a, b,c tương ứng đường cao AH h Hãy dựng hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong tam giác ABC sao cho nó có diện tích lớn nhất Biết MAB N, AC P Q, , BC

Bài 6 Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB BC CA DA, , , ta lấy theo thứ tự các điểm

, , ,

E F G H sao cho AEBF CGDH. Xác định vị trí của các điểm E F, ,G,H sao cho

tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất

Bài 7 Cho tam giác nhọn ABC. Từ một điểm I nằm trong tam giác ta kẻ IM BC ,

CD Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ABFE.

Bài 9 Cho hình vuông ABCD cạnh a Vẽ cung BD tâm A bán kính a (nằm trong hình vuông), một tiếp tuyến bất kỳ với cung đó cắt BC, CD theo thứ tự ở M và N Tính độ dài nhỏ nhất của MN

Bài 10 Cho tam giác ABC có ̂là góc tù, điểm D di chuyển trên cạnh BC. Xác định vị trí của điểm D sao cho tổng các khoảng cách từ B và C đến đường thẳng AD có giá trị lớn nhất

ĐÁP ÁN BÀI 1 – ĐẾN – BÀI 10 Bài 1

E

Trường hợp 2 Đường thẳng d không cắt BC

Gọi M là trung điểm của BC Kẻ MM'd Tứ giác BB CC' ' là hình thang nhận MM’ làm đường trung bình nên BB'CC'2MM' mà MM'AM (đường vuông góc và đường xiên kẻ từ M tới d), do đó BB'CC' lớn nhất khi M' A lúc đó BB'CC'2AM

Trên tia MA lấy điểm A' sao cho ' ,

MA chứng minh tương tự BAC BA C' 900

Ngược lại, nếu 0

AM  nếu không thì trên ta có BAC900 2AM BC

Từ kết quả trên ta suy ra :

- Nếu ABC cho trước có A900 thì đường thẳng d đi qua A phải dựng là đường thẳng vuông góc với trung tuyến AM của ABC

- Nếu A900 bài toán có hai lời giải: Dựng đường thẳng d qua A và vuông góc với

AM hoặc d' qua A và vuông góc với BC

- Nếu A90 :0 Đường thẳng d qua A và vuông góc với BC

M

A

A'

Trên nửa mặt phẳng bờ AP chứa điểm B dựng tam giác ABD đều

- Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm P dựng tam giác ACB đều Tam giác ABC

là tam giác đều phải dựng

Gọi EFGH là hình vuông nội tiếp trong hình vuông ABCD Tâm của hai hình này phải trùng nhau tại một điểm O

Gọi K là trung điểm AB, ta có: OEOK (hằng số); OEOKE trùng K

Vậy diện tích EFGH nhỏ nhất khi E F G, , ,H là các trung điểm các cạnh của hình vuông ABCD

G

H

C

B A

D

K

F E

H Q

Gọi O là giao điểm của AC và EG Tứ giác AECG có AECG,AE/ / CGnên là hình bình hành suy ra O là trung điểm của AC EG, , do đó O là tâm của cả hai hình vuông ABCD

Đặt BKk,CMm,ANn,BCa,ACb,AB c

M

N K

A

I

D

Vậy khi DB thì tổng các khoảng cách từ B và C đến AD có giá trị lớn nhất

ĐỀ BÀI TỪ BÀI 11 ĐẾN BÀI 20

Bài 11 Cho góc xOy và điểm A nằm trong góc đó Xác định điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho OBOC và tổng AB AC là nhỏ nhất

Bài 12 Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc cạnh AD Xác định vị trí các điểm F thuộc cạnh AB, G thuộc cạnh BC, H thuộc cạnh CD sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ

F

E H

A

B

C D

b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên đường chéo BD thì tổng chu vi hai đường tròn không đổi

c) Xác định vị trí của điểm M trên BD để tổng diện tích của hai hình tròn đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 14.Cho tam giác ABC vuông tại A Tìm vị trí của điểm M thuộc đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC,sao cho nếu gọi D E, theo thứ tự là hình chiếu của M trên các đường thẳng AB, AC thì DE có độ dài lớn nhất

Bài 15.Cho đường tròn (O) và dây AB Điểm M di chuyển trên cung nhỏ AB Gọi I, K theo

thứ tự là hình chiếu của M trên các tiếp tuyến tại A, tại B của đường tròn Tìm vị trí của M

để tích MI MK có giá trị lớn nhất

Bài 16.Cho đường tròn (O) và dây BC không đi qua O Điểm A di chuyển trên đường tròn

(O) sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.Tìm vị trí của điểm A để tổng HAHBHC có giá trị lớn nhất

Bài 17.Cho đường tròn (O) và dây AB.Tìm điểm C thuộc cung nhỏ AB sao cho tổng

CACB có giá trị nhỏ nhất

Bài 18.Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) Tìm điểm M thuộc cung BC sao

cho nếu gọi H I K, , theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB BC AC, , thì tổng

MA MB MCMHMI MK có giá trị nhỏ nhất, lớn nhất

Bài 19.Cho điểm I nằm trên đoạn thẳng AB IA IB.Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ

AB vẽ nửa đường tròn đường kính AB và các tiếp tuyến Ax By, Điểm M di chuyển trên nửa đường tròn đó Đường vuông góc với IM tại M cắt Ax By, theo thứ tự tại D, E

a) Chứng minh rằng tích AD BE có giá trị không đổi

b) Tìm vị trí của M để hình thang ADBE có diện tích nhỏ nhất

Bài 20.Cho đường tròn (O;R) Dựng đường tròn (O’;R’) sao cho tâm O nằm trên đường

tròn O R'; ' Dây cung AB của (O;R) di động và tiếp xúc với ( O R'; ') Gọi C là tiếp điểm

S AC BC đạt giá trị lớn nhất Tính giastrij lớn nhất đó theo R và R’

ĐÁP ÁN TỪ BÀI 11 ĐẾN BÀI 20

Bài 11

Kẻ tia Om nằm ngoài góc xOy sao cho ̂ ̂ Trên tia Om lấy điểm D sao cho

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi CAD

Vậy minAC AB AD Khi đó C là giao điểm của AD và Oy, B thuộc tia Ox sao cho

OBOC

Bài 12

y m

x B

D

O

A C

M

I

G K

M K

I

G E

F

Gọi I K L, , theo thứ tự là trung điểm của EF EG EH, ,

a) Qua M kẻ đường vuông góc với BD cắt AB BC CD DA, , , tại P Q F E, , ,

Do AB BC, tiếp xúc với  K nên KMB

PQKM nên PQ là tiếp tuyến của  K

Vậy tổng chu vi hai đường tròn (I) và (K) bằng 2 2 2

c) Gọi x y, là bán kính các đường tròn (I) và (K)

dnhỏ nhất khi M Bhoặc M C(khi đó cả d và 1 d đều nhỏ nhất) 2

dlớn nhất khi M ở chính giữa cung BC(khi đó cả d d đều lớn nhất) 1, 2

Bài 19

a) Áp dụng tứ giác nội tiếp AD BE AI BI

b) Diện tích hình thang ABEDnhỏ nhất khi và chỉ khi ADBEnhỏ nhất khi và chỉ khi IM  AB)

ĐỀ BÀI TỪ BÀI 21 ĐẾN BÀI 30

Bài 21 Cho hai điểm A và B nằm trong góc nhọn xOy Xác định điểm M trên tia Ox, điểm N trên tia Oy sao cho đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ nhất

Bài 22.Cho hình vuông ABCD Trên các cạnh AB BC CD DA, , , ta lấy theo thứ tự các điểm

, , ,

E F G H sao cho AEBF CGDH.Xác định vị trí các điểm E F G H, , , sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất

Bài 23.Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a Vẽ về một phía của AB các tia Ax và By vuông

góc với AB Qua trung điểm M của AB có hai đường thay đổi luôn vuông góc với nhau và cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D Xác định vị trí của các điểm C, D sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất

Bài 25.Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc cạnh AD Xác định vị trí các điểm :F

thuộc cạnh AB, G thuộc cạnh BC, H thuộc cạnh CD sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất

Bài 26.Cho tam giác ABC nhọn Dựng mọt tam giác có chu vi nhỏ nhất nội tiếp ABC,

tức là có ba đỉnh nằm trên ba cạnh của tam giác ấy

Bài 27.Cho hai điểm A và B nằm trong nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d, hai điểm

,

M N thuộc d và độ dài MN không đổi Xác định vị trí hai điểm M, N để đường gấp khúc

AMNB đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 28.Nửa đường tròn (O;R) đường kính AB M là điểm di động trên nửa đường tròn

Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, Gọi D, C lần lượt là hình chiếu của A, B trên tiếp tuyến ấy Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất

Bài 29.Cho đường tròn O R; , BC là dây cung cố định BC2R.A là điểm chuyển động trên cung lớn BC Xác định vị trí của A để chu vi tam giác ABC lớn nhất

Bài 30.Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB M là điểm chuyển đọng trên nửa

Bài 22

( )

HAE EBF c g c HE EF

Tương tự ta có: HEEF FGGHnên tứ giác EFGHlà hình thoi

HAE EBF AHE BEF

HEF  Như vậy hình thoi EFGHlà hình vuông

Gọi O là giao điểm của AC EG, Tứ giác AECGcó AECG AE, / /CG nên là hình bình hành, suy ra O là trung điểm của ACvà EG, do đó Olà tâm của cả hai hình vuông ABCD

và EFGH

HOE

 vuông cân: HE2 2.OE2 HEOE 2

Chu vi EFGH 4HE4 2OE Do đó chu vi EFGHnhỏ nhất OEnhỏ nhất

Kẻ OK AB.Theo quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên: OEOK(độ dài OK không đổi) nên OEOK E K, do đó minOEOK

Như vậy, chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất khi và chỉ khi E F G H, , , là trung điểm của

 có đường cao DM là trung tuyến nên là tam giác cân, suy ra HDM MDB

Kẻ MH CD.Do M thuộc tia phân giác của góc D nên MH MBa

Đường xiên ADnhỏ nhất hình chiếu HD nhỏ nhất

Ta có:HDHB do ABD( 90 )0 và HDHBkhi và chỉ khi DB

Như vậy khi D trùng B thì tổng các khoảng cách từ B và từ C đến AD có giá trị nhỏ nhất

Bài 25

F E

A

I

G E

Gọi I K M, , theo thứ tự là trung điểm của EF EG GH, ,

Xét MNPnội tiếp ABCmột cách tùy ý (M thuộc AB, N thuộc BC P, thuộc AC) Vẽ E,

F sao cho AB là đường trung trực của NE, AClà đường trung trực của NF

Bài 27

Dựng hình bình hành BNMB'BB'MN a(không đổi); NBMB', B’ cố định Gọi A'là điểm đối xứng với A qua đường thẳng d Ta có AM  A M A' , 'cố định Xét ba điểm A M B', , 'ta có: A M' MB' A B' '

E

Ta có: ADDC gt BC( ), DC gt( )AD/ /BC

ABCD

 là hình thang mà D900nên ABCDlà hình thang vuông

OM DCnên OM / /AD và O là trung điểm AB nên OM là đường trung bình của hình thang

2

AD BC ABCDOM  

D

C

Mặt khác BDCkhông đổi, BC cố định Dthuộc cung chứa góc có số đo 1

4sd BCcủa (O) dựng trên đoạn thẳng BC

AMB (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Tam giác MABcó M 900nên theo định lý Pytago ta có:

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi 3MAMB MABlà nửa tam giác đều sd MA600

ĐỀ BÀI TỪ BÀI SỐ 31 ĐẾN BÀI SỐ 40

Bài 31.Cho tam giác ABC cân ( AB AC).Lấy điểm D trên cạnh BC (D khác B, C) Gọi

,

r r lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABDvà ACD.Xác định vị trí của D

B O

M

A

Bài 33.Hãy tìm trong tam giác ABC một điểm M sao cho tích các khoảng cách từ M đến

ba cạnh có giá trị lớn nhất

Bài 34.Cho điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AB Vẽ các tam giác đều AMC và BMD về

một phía của AB Xác định vị trí của M để tổng diện tích hai tam giác đều trên là nhỏ nhất

Bài 35.Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 12cm E, là trung điểm của CD, điểm F thuộc cạnh BC sao cho CF 4cm.Các điểm G và H theo thứ tự di chuyển trên các cạnh AB và

AD sao cho GH//EF Xác định vị trí của điểm G sao cho tứ giác EFGH có diện tích lớn nhất Tính diện tích lớn nhất đó

Bài 36.Cho hình vuông ABCD có AB6 ,m điểm E nằm trên cạnh AB sao cho AE2 m

Xác định vị trí điểm F trên cạnh BC sao cho hình thang EFGH (G thuộc cạnh CD, H thuộc cạnh AB và EH / /GF/ /BD ) có diện tích lớn nhất Tìm diện tích lớn nhất đó

Bài 37.Cho hình bình hành ABCD Qua A vẽ đường thẳng d không cắt hình bình hành Gọi B C D', ', 'lần lượt là hình chiếu vuông góc của các điểm B C D, , trên đường thẳng d Xác định vị trí của đương thẳng d để tổng BB'CC'DD'có giá trị nhỏ nhất

Bài 38.Cho đường tròn (O) và điểm P nằm trong đường tròn (P không trùng với O) Xác

định vị trí của dây đi qua điểm P sao cho dây có độ dài nhỏ nhất

Bài 39 Trong các hình bình hành có hai đường chéo bằng 6cm, 8 cm Hình nào có diện

tích lớn nhất ? Tính diện tích lớn nhất đó

Bài 40.Cho hình vuông ABCD Trên các cạnh AB BC CD DA, , , ta lấy theo thứ tự các điểm

, , ,

E F G H sao cho AEBF CGDH.Xác định vị trí của các điểm E F G H, , , sao cho

tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất

ĐÁP ÁN TỪ BÀI SỐ 31 ĐẾN BÀI SỐ 40

Bài 31

Gọi O là giao điểm 3 đường phân giác của tam giác ABC, O là tâm đường tròn nội tiếp 1 ABD, 2

O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ACD Dễ

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi r1 r2

Khi đó OK B1  O NC2 suy ra BK CN.Suy tiếp ra BH CM

Từ đó, AH AM.Vậy AHO1 AMO2.Nên AO1 AO2, kẻ O I1  AD O J, 2  AD

Bài 32

Xét A BH' và A AC' có BA H' AA C' 90 , '0 A BH A AC' (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)

   là trung điểm của BCA'thuộc trung trực của BC

Vì ABCnhọn nên A nằm ngoài dường đường kính BC

Bài 33

H

A' A

Gọi x y z, , lần lượt là khoảng cách từ M đến ba cạnh BC AC AB, , h h h tương ứng là a, b, cđường cao xuất phát từ các đỉnh A B C, , Ta có:

B

C

S S  S Mlà trung điểm của AB

y x

2 1

D K

C

2 2

2 2

2 1

x

C

B A

D

G

F E

H

E

F

Bài 37

Gọi O là giao điểm của AC và BD O'là hình chiếu vuông góc của O trên d

DD d BB  d DD BB DD B Blà hình thang

Mà OO'd DD, ' d OO'/ /DD'và O là trung điểm BD (ABCD là hình bình hành)

Do đó OO'là đường trung bình của hình thang DD B B' '

OO d CC  d OO CC và O là trung điểm AC (ABCD là hình bình hành)

Do đó OO'là đường trung bình của ' ' ' ' 2 '