CUC TRI HINH HOC 8

Xác định vị trí của các điểm E, F, G, H sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất... Xáx định vị trí của các điểm C, D sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất.. Xác định vị trí của điểm

TÓM TẮT KIẾN THỨC :

1) Cực trị hình học : Cho biểu thức f phụ thuộc điểm X biến thiên

trên miền D Ta nói :

( ) ,: ( )

r r r: bán kính các đường tròn bàng tiếp góc A, B, C củaABC

Một số điểm đặc biệt trong tam giác

Điểm Lemoine:

Định nghĩa: Trên các cạnh BC, CA, AB của ABC lấy các điểm A B C1, 1, 1

tương ứng sao cho 1 2 1 2 1 2

Tính chất: ChoABC, L là điểm trong tam giác Gọi H, K, N theo thứ tự

là hình chiếu của L trên BC, CA, AB Khi đó L là điểm Lemoine của

120 Điểm T như vậy gọi là điểm Toricelli của ABC

Điểm Gergone: Đường tròn nội tiếp ABC tiếp xúc Với các cạnh BC,

CA, AB lần lượt tại A B C1, 1, 1 Khi đó các đường thẳng AA BB CC1, 1, 1đồng quy tại điểm J gọi là điểm Gergone

Điểm Naghen: Các đường tròn bàng củaABC tiếp xúc Với các cạnh

BC, CA, AB lần lượt tại A B C1, 1, 1 Khi đó các đường thẳng

Ví dụ 1.1: Cho hình vuông ABCD Trên các cạnh AB, BC, CD, DA ta

lấy theo thứ tự các điểm E, F, G, H sao cho AE= BF= CG= DH Xác định vị trí của các điểm E, F, G, H sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất

Giải:

HAE= EBF(c-g-c) HE= EF

Tương tự ta có: HE= EF= FG= GH nên tứ giác EFGH là hình thoi

HAE= EBF còn suy ra AHE BEF

Ta lại cóAHE AEH  90 0 n n BEFê  AEH 90 0

Do đó: HEF  90 0 Như vậy hình thoi EFGH là hình vuông

Gọi O là giao điểm của AC và EG Tứ giác AECG có AE= CG, AE//

CG nên là hình bình hành, suy ra O là trung điểm của AC và của EG,

do đó O là tâm của cà hai hình vuông ABCD và EFGH

HOE vuông cân: 2 2

HE  OE HEOE

Chu vi EFGH= 4.HE= 4 2.OE Do đó chu vi EFGH nhỏ nhất  OE nhỏ nhất

Kẻ OK  AB Theo quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên: OE

 OK( độ dài OK không đổi) nên OE= OK E K

Do đó min OE= OK

Như vậy, chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất khi và chỉ khi E, F, G, H là trung điểm của AB, BC, CD, DA

Nhận xét về phương pháp giải: trong cách giải trên có các biến

đổi tương đương sau:

tự ở C, D Xáx định vị trí của các điểm C, D sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất

Giải: Gọi K là giao điểm của CM và DB

Ví dụ 1.3: Cho tam giác ABC có góc B là góc tù, điểm D di chuyển

trên cạnh BC Xác định vị trí của điểm D sao cho tổng các khoảng cách

Đường xiên AD nhỏ nhất  hình chiếu HD nhỏ nhất

Ta có HD  HB ( do ABD  90 0) và HD = HB khi và chỉ khi DB Như vậy khi D trùng B thì tổng các khoảng cách từ B và từ C đến AD

có giá trị lớn nhất

Ví dụ 1.4: Cho hình bình hành ABCD Qua A vẽ đường thẳng d không cắt hình bình hành Gọi B’, C’, D’, lần lượt là hình chiếu vuông góc của các điểm B, C, D trên đường thẳng d

Xác định vị trí của đường thẳng d để tổng BB’ + CC’ + DD’ có giá trị lớn nhất

Giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD

O’ là hình chiếu vuông góc của O trên d

Dấu “=” xảy ra O’  Ad vuông góc AC tại A

Ví dụ 2.1: Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc cạnh AD Xác định vị trí các điểm: F thuộc cạnh AB, G thuộc cạnh BC, H thuộc cạnh

CD sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất

Giải:

Gọi I, K, M theo thứ tự là trung điểm của EF, EG và GH

AEF vuông tại A có AI là trung tuyến  AI= 1.

2 EF

K I

2 EH

Do đó: chu vi EFGH= EF + FG + GH +HE= 2(AI + IK + KM + MC)

Ta lại có: AI + IK + KM + MC  AC (so sánh độ dài đoạn thẳng và đường gấp khúc)

Suy ra: chu vi EFGH  2AC ( không đổi)

Chu vi EFGH nhỏ nhất bằng 2AC  A, I, K , M, C thẳng hàng

 Nhận xét về phương pháp giải: bằng cách vẽ trung điểm các cạnh

EF, GH, và trung điểm của đường chép EG, ta tính được chu vi của tứ giác EFGH bằng hai lần độ dài đường gấp khúc AIKMC, độ dài đường gấp khúc trên nhỏ nhất khi đường gấp khúc đó trở thành đoạn thẳng

Cách 1: Xét tam giác MNP nội tiếp ABC một cách tùy ý ( M thuộc

AB, N thuộc BC, P thuộc AC) Vẽ E, F sao cho AB là đường trung trực của NE, AC là đường trung trực của NF

Chu vi MNP = NM + MP + PN = EM + MP + PF  EF

1 2 A

Ta cần xét khi nào thì EF nhỏ nhất Ta có EAF  2A1 2A2  2BAC

EAF là tam giác cân có góc ở đỉnh không đổi nên cạnh đáy nhỏ nhất khi và chỉ khi cạnh bên nhỏ nhất

EF nhỏ nhất  AE nhò nhất  AN nhỏ nhất  AN BC

Như vậy chu vi tam giác MNP nhỏ nhất khi N là chân đường cao kẻ

từ A, còn M và P là giao điểm cùa EF Với AB, AC

Ta có nhận xét rằng khi N là chân đường cao kẻ từ A thì M và P cũng

là chân hai đường cao còn lại của tam giác

CM:

Xét HMP: AB là đường phân giác của góc EMH, AC là đường phân giác ngoài của góc FPH Ta có AB, AC gặp nhau tại A nên HA là tia phân giác của góc MHP Vì AH  HC nên HC là đường phân giác ngoài tại đỉnh H Theo trên AC là đường phân giàc ngoài tại đỉnh P,

HC gặp AC tại C nên MC là tia phân giác góc trong tại đỉnh M

H A

M P

Cách 2: Lấy M, N, P tùy ý trên AB, BC, CA và nối tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Với M, N, P

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, S là diện tích tam giác

1 2

2

1 3

1

x

O

C B

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi OA  MP, OB  MN, OC  NP Ta

sẽ CM rằng khi đó thì AN, BP, CM là các đường cao của tam giác ABC

Thật vậy, giả sử OA  MP, OB  MN, OC  NP Kẻ tiếp tuyến Ax

Ta có C M2 ( cùng bằng góc BAx) Chứng minh tương tự C M1 Do

đó M1M2 suy ra M2 M3 Như vậy MA là phân giác ngoài của tam giác MNP Tương tự PA là đường phân giác ngoài tam giác MNP Suy

ra NA là đường phân giác của góc MNP Ta lại có N1N2 nên NABC Chứng minh tương tự BP AC CM,  AB Tam giác MNP có chu vi nhò nhất khi và chỉ khi N, P, M là chân các đường cao của tam giác ABC

Ví dụ 2.3: Cho tam giác đều ABC và trung điểm M của AB Trước tiên An chọn một điểm N trên BC, tiếp đó Bình chọn một điểm P trên

AC Mục tiêu của An là muốn tổng d = MN + NP + PM lớn nhất, còn Bình muốn tổng d nhỏ nhất Hỏi rằng nếu cả hai đều có cách chọn tốt nhất thì N và P là những điểm nào?

Giải Vẽ các điểm D, E sao cho AC là đường trung trực của MD, BC là

đường trung trực của ME

Độ dài đường gấp khúc DPNE bằng d

Rõ ràng để tổng d nhỏ nhất thì Bình phải chọn P là giao điểm của ND

B trùng N

M

Trong trường hợp An chọn N trùng B thì Bình chọn P là giao điểm của

BD và AC, khi đó d = d1 MBBPPM Còn trong trường hớp An chọn N trùng C thì Bình chọn P là giao điểm của CD và AC, chính là

C, khi đó d = d2 MCCM 2MC

D

C trùng N trùng P A

M

Bây giờ ta so sánh d1 và d2 Đặt MC = h thì d2= 2h (1) Qua B kẻ

đường thẳng vuông góc Với AC, cắt MP ở B’ Ta có BP = B’P nên :

1

d = MB + Bp + PM = MB + B’P + PM = MB +B’M > BB’ = 2h (2)

Từ (1) và (2) suy ra d1d2

Do cả hai người đều chơi tối ưu nên An chọn N trùng B để có tổng d

lớn nhất, sau đó Bình chọn P là giao điểm của BD và AC

Ví dụ 2.4: Cho hai điểm A và B nằm trong góc nhọn xOy Xác định

điểm M trên tia Ox, điểm N trên tia Oy sao cho đường gấp khúc

B'

A'

O

A B

Vẽ các điểm A’, B’ sao cho Ox là đường trung trực của AA’, Oy là

đường trung trực của BB’ Độ dài đường gấp khúc AMNB bằng AM + MN+ NB = A’M + MN + NB’  A’B’

Độ dài đường gấp khúc đó nhỏ nhất trong trường hợp M, N nằm trên

A’B’

Phương pháp 3: Áp dụng bất đẳng thức trong đường tròn tìm cực trị

Ví dụ 3.1: Cho hai điểm A và B nằm trong nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d, hai điềm M,N thuộc d và dộ dài MN không đổi Xác định vị trí hai điềm M, N để dường gấp khúc AMNB đạt giá trị nhỏ nhất

Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất

Giải:

Ta có: AD  DC (gt), BC  DC (gt)  AD// BCABCD la hình thang mà D= 900 nên ABCD là hình thang vuông,

OM  DC nên OM // AD và O là trung điểm AB nên OM là đường trung bình của hình thang ABCD 

(ADC DCE AEC  90 0)  DC = EA

AEB= 900  E thuộc đường tròn đường kính AB,

 AE là dậy cung của đường tròn (o)

 DC  2R (trong đường tròn đườn kính là dây lớn nhất)

.2 2

ABCD

S R R R (không đổi)

Dấu bằng xảy ra  AE là đường kính cùa (O)

OM  AB  M là trung điểm của cung AB

Ví dụ 3.3: Cho đường tròn (O;R) BC là dây cung cố định (BC2R) A

là diểm chuyển động trên cung lớn BC Xác định vị trí của A để chu vi tam giác ABC lớn nhất

Giải:

ABC

P = AB + AC + BC (BC không đổi)

Trên tia đối của tia AB lấy D sao cho AD = AC

Ta có ABC cân tại A  BAC  2ADC

Mà BAC không đổi  ADCkhông đổi

Mặt khác BDC không đổi, BC cố định  D thuộc cung chứa góc có số

A

Giải: AMB  90 0(góc nội tíếp chắn nửa đường tròn)

Tam giác MAB có M  90 0 nên theo định lý Pitago ta có:

Ví dụ 4.2: Cho tam giác ABC cân (AB = AC) Lấy điểm D trên cạnh

BC ( D khác B,C ) Gọi r r1, 2 lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABD và ACD Xác định vị trí của D để tích r r1 2 đạt giá trị lớn nhất

Giải: Gọi O là giao điểm 3 đường phân giác của tam giác ABC, O1 là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD, O2 là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ACD Dễ thấy O1OB, O2OC Vì r r1, 2 > 0, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có :

M H

N K

O2 O

D

A

O1

Khi đó O KB1  O NC2 suy ra BK = CN Suy tiếp ra BH = CM

Từ đó AH = AM Vậy AHO1  AMO2 Nên AO1 AO2, kẻ

Giải

Xét A’BH và A’AC có BA H' AA C'  90 , ' 0 A BH A AC' ( Hai góc nhọn

có cạnh tương ứng vuông góc )

A' H A

Vậy AA’ HA’ 

A’ là trung điểm BC  A thuộc trung trực của BC

Vì ABC nhọn nên A nằm ngoài đường tròn đường kính BC

Ví dụ 5.1: Hãy tìm trong tam giác ABC một điểm M sao cho tích các

khoảng cách từ M đến ba cạnh có giá trị lớn nhất

Giải: Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ m đến ba cạnh BC, AC,

AB; h h h a, b, c tương ứng là đường cao xuất pháp từ các đỉnh A, B, C Ta

3

a b c

h  h  h  Khi đó M là trọng tâm tam giác ABC

Ví dụ 5.2: Cho điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AB Vẽ các tam

giác đều AMC và BMD về một phía của AB Xác định vị trí của M để

tổng diện tích hai tam giác đều trên là nhỏ nhất

Giải:

Cách 1: Gọi K là giao điểm AC và BD Các tam giác AMC, BMD

đồng dạng Với tam giác AKB

S S  a  x yM là trung điểm của AB

Ví dụ 5.3: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 12 cm, E là trung điểm của CD, điểm F thuộc cạnh BC sao cho CF = 4 cm Các điểm G

và H theo thứ tự di chuyển trên các cạnh AB và AD sao cho GH // EF Xác định vị trí của điểm G sao cho tứ giác EFGH có diện tích lớn nhất Tính diện tích lớn nhất đó

Giải:Đặt S EFGH S, BG = x và kí hiệu như hình vẽ

3

2

4 1

E

B A

F H

G

maxS = 75 khi và chỉ khi x = 3

Diện tích lớn nhất của tứ giác EFGH là 75 2

cm Với BG = 3cm

Ví dụ 5.4: Cho hình vuông ABCD có AB = 6m, điểm E nằm trên cạnh

AB sao cho AE = 2m Xác định vị trí điểm F trên cạnh BC sao cho hình thang EFGH ( G thuộc cạnh CD, H thuộc cạnh AB và EH // GF // BD) có diện tích lớn nhất Tính diện tích lớn nhất đó

PHẦN 2:

BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC

I Khái niệm về bài toán cực trị

Các bài toán về cực trị hình học là các bài toán có liên quan tới giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của một đại lượng hình học biến thiên nào đó (độ dài đoạn thẳng, số đo góc, tổng các đoạn thẳng, chu vi các hình, diện tích đa giác )

II Các cách trình bày bài toán cực trị

Các bài toán cực trị thường được trình bày theo hai cách :

Cách 1 : Chỉ ra một vị trí của hình rồi chứng minh rằng ở đó hình có đại lượng cần tìm đạt cực trị (Lớn hơn đại lượng tương ứng Với mọi vị trí khác của hình nếu là bài toán GTLN và nhỏ hơn đại lượng tương ứng Với mọi vị trí khác của hình nếu bài toán tìm GTNN)

Cách 2 : Thay một đại lượng cần tìm cực trị thành một đại lượng khác

tương ứng ( nếu được) rồi từ đó dùng đến kiến thức tìm GTLN và GTNN của A Với A là một đại lượng nào đó ( góc , đoạn thẳng… )

a/ Ta chứng minh được Am ( m không đổi ) có một hình sao cho A = m thì GTNN của a là m

b/ Ta chứng minh được An ( n không đổi ) có một hình sao cho A = n thì GTLN của A là n

Từ đó xác định vị trí của các điểm để đạt cực trị

Cách 3 : Thay việc Tìm cực đại của một đại lượng này bằng việc Tìm cực

tiểu của một đại lượng khác hoặc ngược lại

III Phân loại bài tập và ví dụ

Dạng 1: Vận dụng quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên hình chiếu, khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

A  a; B  b thì độ dài nhỏ nhất của AB là h, xảy ra khi AB  a

b Ví dụ:

Ví dụ 1: Trên hai cạnh BC, AC của tam giác đều ABC, lấy tương ứng hai điểm

M và N sao cho BM = CN Tìm vị trí của M để MN có giá trị nhỏ nhất

Giải :

Kẻ MK, NH vuông góc Với AB và MG  NH Tứ giác MGHK là hình chữ nhật

vì có ba góc vuông, suy ra: MG = KH mà MN  MG  MN  KH

Các tam giác AHN, BKM đều là những tam giác

vuông có một góc nhọn bằng 60o, suy ra:

2

1 BK

; AN 2

AC AB ) NC AN ( 2

 MN là đường trung bình của ABC

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Tìm điểm M ở trong tam giác sao

cho MA.BC + MB.CA + MC.AB đạt giá trị nhỏ nhất

 BE.AM + CF.AM  (BD + DC).AM

Nhưng BE.AM = 2SAMB

CF.AM = 2SAMC

BD + DC = BC

Do đó: 2(SAMB + SAMC)  BC.AM (1)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi E và F trùng Với D Khi đó AM  BC

Tương tự ta có:

2(SABM + SCBM)  AC.BM (2)

2(SCBM + SACM)  AB.CM (3)

(1) + (2) + (3):

4(SABM + SACM + SBCM)  AM.BC + BM.CA + CM.AB

 min(AM.BC + BM.CA + CM.AB) = 4SABC

 AM  BC; BM  AC; CM  AB tức là M là trực tâm của ABC

Ví dụ 3: Qua đỉnh A của tam giác ABC, dựng đường thẳng d sao cho tổng

đỉnh B và C tới d Hai tam giác ABE và ACE

có chung đáy AE và các đường cao tương

CC.AE2

1'BB.AE2

Ta thấy BB' + CC' nhận giá trị lớn nhất khi AE nhận giá trị nhỏ nhất, khi đó AE

là đường cao kẻ từ đỉnh A của ABC, tức là d  BC Nếu gọi AH là độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A thì min (AE) = AH, do đó:

BC AH

) BC AH 2

1 ( 2 ' CC '

BB    (1)

Trường hợp II: Đường thẳng d không cắt BC

Gọi M là trung điểm của BC Kẻ MM' 

B

d C' M'

- Nếu MA > BC

2 thì A’ nằm giữa M và A khi đó BA’M

là góc ngoài của  BAA’ nên BAM < BA’M,

tương tự CAM < CA’M, suy ra = 900

-Nếu MA < BC

2 thì chứng minh tương tự ta có BAC > BA’C = 90

0 Ngược lại, Nếu BAC = 900, theo tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông

Từ kết quả trên ta suy ra:

- Nếu tam giác ABC cho trước có 0

90

A 



thì đường thẳng d đi qua A phải dựng

là đường thẳng vuông góc Với trung tuyến AM của ABC

: Đường thẳng d qua A và vuông góc Với BC

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC Qua A dựng đường thẳng d cắt cạnh BC của tam

giác sao cho tổng các khoảng cách từ B và C đến d có giá trị nhỏ nhất

Hướng dẫn:

Gọi D là giao điểm của d và cạnh BC Vẽ BM, CN vuông góc Với d Sử dụng

tiên đề về diện tích rồi biến đổi BM + CN =

Sau đó giả sử AC  AB rồi vận dụng quan hệ

giữa đường xiên và hình chiếu để Tìm cực trị

SBAD + S CAD = S ABC  AD BM  AD.CN S

2

1

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A thuộc đoạn BC

Với n điểm A1,A2,… An ta có :

A1 A2+A2A3+……+An1 An  A1 An

Dấu bằng xảy ra khi A1,A2,… Anthẳng hàng

b Cỏc Ví dụ

Ví dụ 1: Cho tứ giác lồi ABCD Tìm điểm M có tổng

khoảng cách tới bốn đỉnh của tứ giác là nhỏ nhất

Giải:

Với ba điểm A, C, M bất kỳ ta có:

MA + MC  AC dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi M  đoạn

AC

Tương tự: MB + MD  BD dấu "=" xảy ra  M  BD

 MA + MB + MC + MD  AC + BD; dấu "=" xảy ra khi

và chỉ khi M vừa thuộc AC vừa thuộc BD Vậy M là giao

điểm của hai đường chéo AC và BD (trong tứ giác lồi hai

đường chéo cắt nhau)