19 hsg8 2223 nga sơn thanh hoá

PHÒNG GD&ĐT NGA SƠN ( ĐỀ THI ) ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 NĂM HỌC 2022 2023 Môn thi Toán 8 Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi 23/03/2023 (Đề thi có 01 trang, gồm 05[.]

PHÒNG GD&ĐT NGA SƠN ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8

NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn thi: Toán 8

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 23/03/2023 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)

Câu I: (4,0 điểm) Cho biểu thức

:

P

2 Tìm xđể

1 2

P 

Câu II: (4,0 điểm)

2 Cho a b c, , là các số không đồng thời bằng 0, thỏa mãn a b c   0

Tính giá tri biểu thức

Q

Câu III: (4,0 điểm)

1 Chứng minh rằng f x  x2  x 12022x2  x 12023 2 chia hết cho g x  x2  x

2

2022 4045 2023

Câu IV: (6,0 điểm)

đường thẳng BN tại K

4 Khi

,

thì

2 2

CK  CN

có giá trị không đổi

Câu V: (2,0 điểm)

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3

P

HẾT

-ĐỀ THI

Họ và tên: ………Số báo danh: ………

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 8

I.1

2đ

1 1

x x x











 



2

P

Vậy

x x

1

x P x





0.5

0.5

0.75 0.25

I.2

2đ

1

x

x



2

1 ( )

1( )

x

x















P  x

0.5 0.5

0.5 0.5

II.1

2đ

;

3

4

1

2

Ðat

x







3( ) 2

5











3;

5

S  

0.25

0.25

0.25

0.5 0.5

0.25

2

2đ

ĐKXĐ: a2 b2 c2 ; b2 a2 c2 ; c2 a2 b2

Từ a b c   0

2

2

2

2 2 2

a b c

a b c

 



Nếu a 0,b 0,c 0 thì không thỏa mãn điều kiện vì

2 2 2 ; 2 2 2 ; 2 2 2

a b c b a c c a b nên a b c , , 0 Khi đó

+ b3+ c3 = 3abc (2)

Do đó từ (1) và (2) ta có:

, , 0

abc

abc

0.5

0.5

0,5 0,25

0,25

III.1

2đ

1 Đa thức g x  x2  x x x   1có hai nghiệm là x0,x1

Ta có f  1 1 1 1 2   20221 1 1 2   2023 2 0 

1

x

 

f x

đó f x chia hết cho x x  1

Vậy f x  x2  x 12022x2  x 12023 2chia hết cho g x  x2  x

0.5

0.5 0.5 0.25

0,25

III.2

2đ

2 Với a, b, c > 0 xét biểu thức:

F

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có

F

2

b c d a



  

0.25 0.25

0.5

 

2

2

2

4

2

2 2.

a c ad bc b d ab dc F

b c d a

a c ad bc b d ab cd b c d a F

b c d a

  

 

  

Mặt khác :

Đẳng thức xảy ra khi a = c, b = d

Áp dụng với a 2023,bx c, y d,  2022 Ta có :

2

2022 4045 2023

Đẳng thức xảy ra khi

2022, 2023

x y

Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương là: (x; y) = (2022; 2023)

0.5

0.5

IV.1

1,5đ 1.Xét BPOvà CQO, ta có :

 45 

PBO QCO

BO CO (tính chất đường chéo hình vuông)

BOP COQ

 .  BPO CQO

BPO CQO c g c S S

S S S  S S S S  S  a

4

BPOQ

S  a

0.5

0.5 0.25 0.25

0.5

1,5đ

PQ BN OQP QKB

Mà OQPOCQ do BPO  CQO  6

Từ (1), (2) suy ra QKBOCQ 3

Từ (3), (4)

 

0.5 0.5

IV.3

1,5đ

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

QB QC QB QC



Do đó

.

QB QC

4

QB QC

, tức là

Q

là trung điểm của BC

Suy ra P là trung điểm của AB

0.5 0.5 0,5

IV.4

1,5đ

mà

OQB CQK

(đối đỉnh) nên

( )

OBQ CKQ c g c

 ∽ 

 

45 6

OBQ CKQ

45 45 90

BKC BKQ CKQ

Ta có :

( )

BKC CKN g g

7

BK CK

CK KN CK BK KN

.

CN KN KCN CBN g g

BN CN CN BN KN

Từ (7) và (8) ta có :

 

2

9



2 2

.

CB BN CBN KBC g g

KB BC BK BN BC a

Từ (9) và (10) ta được :

CK  CN a

không đổi (vì a không đổi)

0.5

0.5 0.5

V

2đ

Với a, b, c >0 và a+b +c=3

a a 3a b ab (3a b ab ) 3a b ab

a

Theo bất đẳng thức a 2  b 2  2ab, do đó ta có

(1)

Áp dụng tương tự ta được

3





(2)

3





(3)

P

 

0.25

0.5 0.5 0.5 0.25

Vậy 3

MinP

5

Ghi chú : Câu IV học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không cho điểm.

Học sinh làm bài bằng cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.