Eureka uni _ tích phân mặt loại 2

GIẢI TÍCH 2 FULL VIDEO MIỄN PHÍ Full playlist: https:eurekauni.tiny.usGiaiTich2 + Ch1. Hàm nhiều biến: https:tinyurl.comHamSoNhieuBien + Ch2. Tích phân bội: https:rotf.lolTichPhanBoi + Ch3. Tích phân đường, mặt: https:tinyurl.comTPDuongTPMat + Ch4. Phương trình vi phân: https:tinyurl.comPTViPhan + Hỏi đáp Giải tích: https:eurekauni.tiny.usGiaiTichQA FULL VIDEO MIỄN PHÍ CÁC MÔN: 1. ĐẠI SỐ: https:tinyurl.comDaiSoFull 2. GIẢI TÍCH: https:tinyurl.comGiaiTichFull 3. GIẢI TÍCH 1: https:tinyurl.comGiaiTich1Full 4. GIẢI TÍCH 2: https:eurekauni.tiny.usGiaiTich2 5. TOÁN CAO CẤP NEU: https:tinyurl.comToanCaoCapNEU 6. XSTK: https:eurekauni.tiny.usXSTKFull 7. KINH TẾ LƯỢNG: https:eurekauni.tiny.usKinhTeLuongFull 8. KINH TẾ LƯỢNG NÂNG CAO: https:tinyurl.comKinhTeLuongNangCao Donate cho Eureka Uni + Vietinbank: 107006662834 Hoang Ba Manh + Momo: 0986.960.312

EUREKA ! UNI – YOUTUBE

GIẢI TÍCH 2

CHƯƠNG 3 TÍCH PHÂN MẶT

Đạo diễn: Hoàng Bá Mạnh

Tài liệu tham khảo

1 Bùi Xuân Diệu (2017) Bài giảng Giải tích II Cập nhật 2017 Viện Toán ứng dụng và Tin học

ĐH BKHN

2 Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Dĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2006) Giáo trình Toán học cao cấp tập III Tái bản lần 10 NXB Giáo Dục

Free Video Playlists

2 GIẢI TÍCH 1: https://tinyurl.com/GiaiTich1Full

4 GIẢI TÍCH 2: https://tinyurl.com/GiaiTich2Full

5 TOÁN CAO CẤP NEU: https://tinyurl.com/ToanCaoCapNEU

6 XÁC SUẤT & THỐNG KÊ: https://eureka-uni.tiny.us/XSTKFull

7 KINH TẾ LƯỢNG: https://eureka-uni.tiny.us/KinhTeLuongFull

8 KINH TẾ LƯỢNG NÂNG CAO: https://tinyurl.com/KinhTeLuongNangCao

DONATE cho Eureka! Uni

* Vietinbank: 107006662834 - Hoang Ba Manh * Ví Momo: 0986.960.312

3.4 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II

3.4.1 Tóm tắt công thức

Mặt định hướng (mặt 2 phía)

Mặt không định hướng

Kí hiệu

𝐼𝐼 = �𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)d𝑦𝑦d𝑧𝑧 + 𝑄𝑄(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)d𝑧𝑧d𝑥𝑥 + 𝑅𝑅(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)d𝑥𝑥d𝑦𝑦

𝑆𝑆

Cách tính

1) Đưa về tích phân bội 2

S: 𝐹𝐹(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 0

𝐼𝐼 = �𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)d𝑦𝑦d𝑧𝑧

𝑆𝑆

= 𝐼𝐼1 + 𝐼𝐼2 + 𝐼𝐼3 Tính

𝐼𝐼3 = �𝑅𝑅(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)d𝑥𝑥d𝑦𝑦

𝑆𝑆

𝑆𝑆: 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)

𝐷𝐷 là hình chiếu của 𝑆𝑆 lên mặt 𝑧𝑧 = 0

Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com)

Hướng đã chọn tạo với tia Oz một góc nhọn/tù:

𝐼𝐼3 = ± � 𝑅𝑅�𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)�d𝑥𝑥d𝑦𝑦

𝐷𝐷

Tương tự với 𝐼𝐼1, 𝐼𝐼2

2) Công thức Ostrogradsky – đưa về tích phân bội 3

𝑃𝑃, 𝑄𝑄, 𝑅𝑅 là các hàm khả vi, liên tục trên miền 𝑉𝑉 ⊂ ℝ3 giới hạn bởi mặt cong kín 𝑆𝑆

�𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)d𝑦𝑦d𝑧𝑧 + 𝑄𝑄(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)d𝑧𝑧d𝑥𝑥 + 𝑅𝑅(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)d𝑥𝑥d𝑦𝑦

𝑆𝑆

= ��𝑃𝑃𝑥𝑥′ + 𝑄𝑄𝑦𝑦′ + 𝑅𝑅𝑧𝑧′�d𝑥𝑥d𝑦𝑦d𝑧𝑧

𝑉𝑉

Tích phân bội 3 lấy theo hướng pháp tuyến ngoài

3.4.2 Bài tập vận dụng

3.4.2.1 Tính theo tích phân bội 2

Ví dụ 1.1 Tính ∬ 𝑧𝑧(𝑥𝑥𝑆𝑆 2 + 𝑦𝑦2)d𝑥𝑥d𝑦𝑦 trong đó 𝑆𝑆 là nửa mặt cầu 𝑥𝑥2 +

𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 = 3, 𝑧𝑧 ≥ 0, hướng của 𝑆𝑆 là phía ngoài mặt cầu

Ví dụ 1.2 Tính ∬ 𝑦𝑦d𝑥𝑥d𝑧𝑧 + 𝑧𝑧𝑆𝑆 2d𝑥𝑥d𝑦𝑦 trong đó 𝑆𝑆 là phía ngoài mặt 𝑥𝑥2 +

𝑦𝑦2

4 +𝑧𝑧92 = 1, 𝑧𝑧 ≥ 0, 𝑦𝑦 ≥ 0, 𝑥𝑥 ≥ 0

Ví dụ 1.3 Tính ∬ 𝑥𝑥𝑆𝑆 2𝑦𝑦2𝑧𝑧d𝑥𝑥d𝑦𝑦 trong đó 𝑆𝑆 là mặt trên của nửa mặt cầu

𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 = 1, 𝑧𝑧 ≤ 0

Ví dụ 1.4 Tính ∬ 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑧𝑧d𝑥𝑥d𝑦𝑦𝑆𝑆 trong đó 𝑆𝑆 là mặt ngoài của phần hình cầu xác định bởi 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 = 2, 𝑥𝑥 ≥ 0, 𝑦𝑦 ≥ 0

Ví dụ 1.5 Tính ∬ 𝑥𝑥d𝑦𝑦d𝑧𝑧 + d𝑧𝑧d𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑧𝑧𝑆𝑆 2d𝑥𝑥d𝑦𝑦 trong đó 𝑆𝑆 là mặt ngoài của phần hình cầu xác định bởi 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 = 1, 𝑥𝑥 ≥ 0, 𝑦𝑦 ≥ 0, 𝑧𝑧 ≥ 0

Ví dụ 1.6 Tính tích phân mặt ∬ 𝑦𝑦d𝑧𝑧d𝑥𝑥𝑆𝑆 , trong đó 𝑆𝑆 là phía ngoài của mặt Paraboloid 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 (0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 2)

Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com)

Ví dụ 1.1 Tính ∬ 𝑧𝑧(𝑥𝑥𝑆𝑆 2 + 𝑦𝑦2)d𝑥𝑥d𝑦𝑦 trong đó 𝑆𝑆 là nửa mặt cầu 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 +

𝑧𝑧2 = 3, 𝑧𝑧 ≥ 0, hướng của 𝑆𝑆 là phía ngoài mặt cầu

Giải

𝑧𝑧 ≥ 0 ⇒ 𝑧𝑧 = �3 − 𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2

Hình chiếu của 𝑆𝑆 lên mặt 𝑧𝑧 = 0 là D hình

tròn tâm O bán kính √3

𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 ≤ 3

Hướng đã chọn tạo với tia Oz một góc

nhọn, vì vậy:

𝐼𝐼 = �𝑧𝑧(𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2)d𝑥𝑥d𝑦𝑦

𝑆𝑆 = � (𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2)�3 − (𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2)d𝑥𝑥d𝑦𝑦

𝐷𝐷

Chuyển sang tọa độ cực

𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 , 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑 , 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ √3, 0 ≤ 𝜑𝜑 ≤ 2𝜋𝜋, 𝐽𝐽 = 𝑟𝑟

𝐼𝐼 = � d𝑟𝑟 � 𝑟𝑟2𝜋𝜋 2�3 − 𝑟𝑟2𝑟𝑟d𝜑𝜑

0

√3

0

= 2𝜋𝜋 � 𝑟𝑟√3 2�3 − 𝑟𝑟2𝑟𝑟d𝑟𝑟

0

Đặt 𝑡𝑡 = √3 − 𝑟𝑟2 ⇒ 𝑟𝑟2 = 3 − 𝑡𝑡2, 𝑟𝑟d𝑟𝑟 = −𝑡𝑡d𝑡𝑡, 𝑟𝑟 �√3

0 ⇒ 𝑡𝑡 � 0√3

⇒ 𝐼𝐼 = 2𝜋𝜋 � (3 − 𝑡𝑡0 2)𝑡𝑡(−𝑡𝑡d𝑡𝑡)

0

= 2𝜋𝜋 �𝑡𝑡3 −15 𝑡𝑡5� �√3

0 = 2𝜋𝜋 �3√3 −15 9√3� = 12√3

5 𝜋𝜋

Ví dụ 1.2 Tính ∬ 𝑦𝑦d𝑥𝑥d𝑧𝑧 + 𝑧𝑧𝑆𝑆 2d𝑥𝑥d𝑦𝑦 trong đó 𝑆𝑆 là phía ngoài mặt 𝑥𝑥2 +

𝑦𝑦2

4 +𝑧𝑧92 = 1, 𝑧𝑧 ≥ 0, 𝑦𝑦 ≥ 0, 𝑥𝑥 ≥ 0

Giải

𝐼𝐼 = �𝑦𝑦d𝑥𝑥d𝑧𝑧 + 𝑧𝑧2d𝑥𝑥d𝑦𝑦

𝑆𝑆

= �𝑦𝑦d𝑥𝑥d𝑧𝑧

𝑆𝑆 + �𝑧𝑧2d𝑥𝑥d𝑦𝑦

𝑆𝑆 = 𝐼𝐼1 + 𝐼𝐼2

𝐼𝐼1 = �𝑦𝑦d𝑥𝑥d𝑧𝑧

𝑆𝑆

𝑦𝑦 ≥ 0 ⇒ 𝑦𝑦 = 2�1 − 𝑥𝑥2 −19 𝑧𝑧2

Hình chiếu của 𝑆𝑆 lên mặt 𝑦𝑦 = 0 là miền 𝐷𝐷𝑦𝑦 có phương trình:

𝑥𝑥2 +19 𝑧𝑧2 ≤ 1, 𝑥𝑥 ≥ 0, 𝑧𝑧 ≥ 0 Hướng đã chọn tạo với Oy góc nhọn nên:

𝐼𝐼1 = � 2�1 − 𝑥𝑥2 −19 𝑧𝑧2

Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com)

Đổi biến

𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 , 𝑧𝑧 = 3𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑 , 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 1, 0 ≤ 𝜑𝜑 ≤ 𝜋𝜋

2

𝐽𝐽 = �𝑥𝑥𝑧𝑧𝑟𝑟′ 𝑥𝑥𝜑𝜑′

𝑟𝑟′ 𝑧𝑧𝜑𝜑′ � = 3𝑟𝑟

𝐼𝐼1 = � d𝜑𝜑

𝜋𝜋 2

0 � 2�1 − 𝑟𝑟1 23𝑟𝑟d𝑟𝑟

0 = −2𝜋𝜋 × 3 � (1 − 𝑟𝑟1 2)12d(1 − 𝑟𝑟2)

0

= −6𝜋𝜋 ×23(1 − 𝑟𝑟2)32�10 = 4𝜋𝜋 𝑑𝑑(1 − 𝑟𝑟2) = (1 − 𝑟𝑟2)′𝑑𝑑𝑟𝑟 = −2𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟

𝐼𝐼2 = �𝑧𝑧2d𝑥𝑥d𝑦𝑦

𝑆𝑆

𝑧𝑧 ≥ 0 ⇒ 𝑧𝑧 = 3�1 − 𝑥𝑥2 −14 𝑦𝑦2

Hình chiếu của 𝑆𝑆 lên mặt 𝑧𝑧 = 0 là miền 𝐷𝐷𝑧𝑧 có

phương trình:

𝑥𝑥2 +14 𝑦𝑦2 ≤ 1, 𝑥𝑥 ≥ 0, 𝑦𝑦 ≥ 0

Hướng đã chọn tạo với Oz góc nhọn nên:

𝐼𝐼2 = � 9 �1 − 𝑥𝑥2 − 14 𝑦𝑦2�

Đổi biến

𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 , 𝑦𝑦 = 2𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑 , 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 1, 0 ≤ 𝜑𝜑 ≤ 𝜋𝜋2 , 𝐽𝐽 = 2𝑟𝑟

𝐼𝐼2 = � d𝜑𝜑

𝜋𝜋 2

0 � 9(1 − 𝑟𝑟1 2)2𝑟𝑟d𝑟𝑟

0

= 36𝜋𝜋 �12 𝑟𝑟2 −14 𝑟𝑟4� �10 = 9𝜋𝜋 Vậy 𝐼𝐼 = 𝐼𝐼1 + 𝐼𝐼2 = 4𝜋𝜋 + 9𝜋𝜋 = 13𝜋𝜋

Ví dụ 1.3 Tính ∬ 𝑥𝑥𝑆𝑆 2𝑦𝑦2𝑧𝑧d𝑥𝑥d𝑦𝑦 trong đó 𝑆𝑆 là mặt trên của nửa mặt cầu

𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 = 1, 𝑧𝑧 ≤ 0

Giải

𝑧𝑧 ≤ 0 ⇒ 𝑧𝑧 = −�1 − 𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2

Hình chiếu của 𝑆𝑆 lên mặt 𝑧𝑧 = 0 là 𝐷𝐷

𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 ≤ 1 Hướng đã chọn tạo với 𝑂𝑂𝑧𝑧 góc nhọn nên

𝐼𝐼 = �𝑥𝑥2𝑦𝑦2𝑧𝑧d𝑥𝑥d𝑦𝑦

𝑆𝑆 = � 𝑥𝑥2𝑦𝑦2�−�1 − 𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2� d𝑥𝑥d𝑦𝑦

𝐷𝐷

= − � 𝑥𝑥2𝑦𝑦2�1 − 𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2d𝑥𝑥d𝑦𝑦

𝐷𝐷

Đổi sang tọa độ cực

𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 , 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑 , 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 1, 0 ≤ 𝜑𝜑 ≤ 2𝜋𝜋, 𝐽𝐽 = 𝑟𝑟

Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com)

𝐼𝐼 = − � d𝜑𝜑2𝜋𝜋

0 � 𝑟𝑟1 4sin2𝜑𝜑 cos2𝜑𝜑 �1 − 𝑟𝑟2𝑟𝑟d𝑟𝑟

0

= − � sin2𝜋𝜋 2𝜑𝜑 cos2𝜑𝜑 d𝜑𝜑

0

𝐼𝐼1 = � sin2𝜋𝜋 2𝜑𝜑 cos2𝜑𝜑 d𝜑𝜑

0

= 18 �𝜑𝜑 −14 sin 4𝜑𝜑� �2𝜋𝜋0 = 𝜋𝜋4 sin 2𝑎𝑎 = 2 sin 𝑎𝑎 cos 𝑎𝑎 , sin2𝑎𝑎 = 12(1 − cos 2𝑎𝑎)

𝐼𝐼2 = � 𝑟𝑟1 4�1 − 𝑟𝑟2𝑟𝑟d𝑟𝑟

0

Đặt �1 − 𝑟𝑟2 = 𝑡𝑡 ⇒ 𝑟𝑟2 = 1 − 𝑡𝑡2, 𝑟𝑟d𝑟𝑟 = −𝑡𝑡d𝑡𝑡, 𝑟𝑟 �10 ⇒ 𝑡𝑡�01

𝐼𝐼2 = � (1 − 𝑡𝑡0 2)2𝑡𝑡(−𝑡𝑡d𝑡𝑡)

0

= �13 𝑡𝑡3 −25 𝑡𝑡5 +17 𝑡𝑡7� �10 = 105 8

⇒ 𝐼𝐼 = −𝐼𝐼1𝐼𝐼2 = −𝜋𝜋4 ×105 = −8 105 2𝜋𝜋

Ví dụ 1.4 Tính ∬ 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑧𝑧d𝑥𝑥d𝑦𝑦𝑆𝑆 trong đó 𝑆𝑆 là mặt ngoài của phần hình cầu xác định bởi 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 = 2, 𝑥𝑥 ≥ 0, 𝑦𝑦 ≥ 0

Mặt phẳng 𝑧𝑧 = 0 cắt 𝑆𝑆 thành 2 nửa:

𝑆𝑆1 (𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 = 2, 𝑥𝑥 ≥ 0, 𝑦𝑦 ≥ 0, 𝑧𝑧 ≥ 0)

𝑆𝑆2 (𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 = 2, 𝑥𝑥 ≥ 0, 𝑦𝑦 ≥ 0, 𝑧𝑧 ≤ 0)

𝐼𝐼 = �𝑥𝑥𝑦𝑦𝑧𝑧d𝑥𝑥d𝑦𝑦

𝑆𝑆

= � 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑧𝑧d𝑥𝑥d𝑦𝑦

𝑆𝑆2

= 𝐼𝐼1 + 𝐼𝐼2

𝐼𝐼1 = � 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑧𝑧d𝑥𝑥d𝑦𝑦

𝑆𝑆1

𝑧𝑧 = �2 − 𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2

Hình chiếu của 𝑆𝑆1 lên mặt 𝑧𝑧 = 0 là 𝐷𝐷: 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 ≤ 2, 𝑥𝑥 ≥ 0, 𝑦𝑦 ≥ 0

Phương đã chọn tạo với 𝑂𝑂𝑧𝑧 góc nhọn

𝐼𝐼1 = � 𝑥𝑥𝑦𝑦�2 − 𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2d𝑥𝑥d𝑦𝑦

𝐷𝐷

Đổi sang tọa độ cực

𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 , 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑 , 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ √2, 0 ≤ 𝜑𝜑 ≤ 𝜋𝜋2 , 𝐽𝐽 = 𝑟𝑟

𝐼𝐼1 = � d𝜑𝜑

𝜋𝜋 2

0 � 𝑟𝑟√2 2cos 𝜑𝜑 sin 𝜑𝜑 �2 − 𝑟𝑟2𝑟𝑟d𝑟𝑟

0

= � cos 𝜑𝜑 sin 𝜑𝜑 d𝜑𝜑

𝜋𝜋 2

0

Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com)

𝐼𝐼11 = � cos 𝜑𝜑 sin 𝜑𝜑 d𝜑𝜑

𝜋𝜋 2

𝜋𝜋 2

0 = −14 cos 2𝜑𝜑 �𝜋𝜋2

0 =

1

2

𝐼𝐼12 = � 𝑟𝑟√2 2�2 − 𝑟𝑟2𝑟𝑟d𝑟𝑟

0

Đặt 𝑡𝑡 = √2 − 𝑟𝑟2 → 𝑟𝑟2 = 2 − 𝑡𝑡2, 𝑟𝑟d𝑟𝑟 = 𝑡𝑡d𝑡𝑡, 𝑟𝑟 �√2

0 ⇒ 𝑡𝑡 � 0√2

𝐼𝐼12 = � (2 − 𝑡𝑡0 2)𝑡𝑡(−𝑡𝑡d𝑡𝑡)

5 𝑡𝑡5� �√20

= 43 √2 −45 √2 = 8√2

15

⇒ 𝐼𝐼1 = 𝐼𝐼11𝐼𝐼12 = 12 ×8√2

15 =

4√2

15

𝐼𝐼2 = � 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑧𝑧d𝑥𝑥d𝑦𝑦

𝑆𝑆2

𝑧𝑧 = −�2 − 𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2

Hình chiếu của 𝑆𝑆2 lên mặt 𝑧𝑧 = 0 cũng là 𝐷𝐷

Hướng đã chọn tạo với tia 𝑂𝑂𝑧𝑧 góc tù

𝐼𝐼2 = − � 𝑥𝑥𝑦𝑦 �−�2 − 𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2� d𝑥𝑥d𝑦𝑦

15 Vậy

𝐼𝐼 = 𝐼𝐼1 + 𝐼𝐼2 = 8√2

15

Ví dụ 1.5 Tính ∬ 𝑥𝑥d𝑦𝑦d𝑧𝑧 + d𝑧𝑧d𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑧𝑧𝑆𝑆 2d𝑥𝑥d𝑦𝑦 trong đó 𝑆𝑆 là mặt ngoài của phần hình cầu xác định bởi 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 = 1, 𝑥𝑥 ≥ 0, 𝑦𝑦 ≥ 0, 𝑧𝑧 ≥ 0

𝐼𝐼1 = �𝑥𝑥d𝑦𝑦d𝑧𝑧

𝑆𝑆

𝑥𝑥 = �1 − 𝑦𝑦2 − 𝑧𝑧2

Hình chiếu của 𝑆𝑆 xuống mặt 𝑥𝑥 = 0 là 𝐷𝐷1

𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 ≤ 1, 𝑦𝑦 ≥ 0, 𝑧𝑧 ≥ 0

Hướng dương đã chọn tạo với tia 𝑂𝑂𝑥𝑥 góc nhọn

𝐼𝐼1 = � �1 − 𝑦𝑦2 − 𝑧𝑧2d𝑦𝑦d𝑧𝑧

𝐷𝐷1

Đặt

𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 , 𝑧𝑧 = 𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑 , 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 1, 0 ≤ 𝜑𝜑 ≤ 𝜋𝜋2 , 𝐽𝐽 = 𝑟𝑟

𝐼𝐼1 = � 𝑑𝑑𝜑𝜑

𝜋𝜋

2

0 � �1 − 𝑟𝑟1 2𝑟𝑟d𝑟𝑟

0

= 𝜋𝜋2 �−12 �1(1 − 𝑟𝑟2)12𝑑𝑑(1 − 𝑟𝑟2)

= −𝜋𝜋4 ×23(1 − 𝑟𝑟2)32�10 = 𝜋𝜋6

𝐼𝐼2 = �d𝑧𝑧d𝑥𝑥

Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com)

𝑦𝑦 = √1 − 𝑥𝑥2 − 𝑧𝑧2

Hình chiếu của 𝑆𝑆 xuống mặt 𝑦𝑦 = 0 là 𝐷𝐷2

𝑥𝑥2 + 𝑧𝑧2 ≤ 1, 𝑥𝑥 ≥ 0, 𝑧𝑧 ≥ 0 Hướng dương đã chọn tạo với tia 𝑂𝑂𝑦𝑦 góc nhọn

𝐼𝐼2 = � d𝑧𝑧d𝑥𝑥

𝐷𝐷2 = 14(𝜋𝜋 × (1)2) = 𝜋𝜋4

𝐼𝐼3 = �𝑥𝑥𝑧𝑧2d𝑥𝑥d𝑦𝑦

𝑆𝑆

𝑧𝑧 = �1 − 𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2

Hình chiếu của 𝑆𝑆 xuống mặt 𝑧𝑧 = 0 là 𝐷𝐷3

𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 ≤ 1, 𝑦𝑦 ≥ 0, 𝑥𝑥 ≥ 0

Hướng dương đã chọn tạo với tia 𝑂𝑂𝑧𝑧 góc nhọn

𝐼𝐼3 = � 𝑥𝑥(1 − 𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2)d𝑥𝑥d𝑦𝑦

𝐷𝐷3

Đặt

𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 , 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑 , 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 1, 0 ≤ 𝜑𝜑 ≤ 𝜋𝜋2 , 𝐽𝐽 = 𝑟𝑟

𝐼𝐼3 = � d𝜑𝜑

𝜋𝜋 2

0 � 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 (1 − 𝑟𝑟1 2)𝑟𝑟d𝑟𝑟

𝜋𝜋 2

0 � (𝑟𝑟1 2 − 𝑟𝑟4)d𝑟𝑟

0

= �sin 𝜑𝜑 �𝜋𝜋2� �1 3 −1 5

� �10 = 2

Vậy

𝐼𝐼 = 𝐼𝐼1 + 𝐼𝐼2 + 𝐼𝐼3 = 𝜋𝜋6 + 𝜋𝜋4 +15 =2 12 𝜋𝜋 +5 15 2

Ví dụ 1.6 Tính tích phân mặt ∬ 𝑦𝑦d𝑧𝑧d𝑥𝑥𝑆𝑆 , trong đó 𝑆𝑆 là phía ngoài của mặt Paraboloid 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 (0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 2)

Mặt phẳng 𝑦𝑦 = 0 chia 𝑆𝑆 thành 2 nửa:

𝑆𝑆1: 𝑦𝑦 = �𝑧𝑧 − 𝑥𝑥2, 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ √2, 0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 2

𝑆𝑆2: 𝑦𝑦 = −�𝑧𝑧 − 𝑥𝑥2, 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ √2, 0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 2

Hình chiếu của 𝑆𝑆1 và 𝑆𝑆2 lên mặt 𝑦𝑦 = 0 đều

là miền 𝐷𝐷 giới hạn bởi:

𝑥𝑥2 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 2, 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ √2

𝐼𝐼 = �𝑦𝑦d𝑧𝑧d𝑥𝑥

𝑆𝑆2 = 𝐼𝐼1 + 𝐼𝐼2

𝐼𝐼1 = � 𝑦𝑦d𝑧𝑧d𝑥𝑥

𝑆𝑆1

Hướng được chọn hợp với tia 𝑂𝑂𝑦𝑦 thành góc nhọn

𝐼𝐼1 = � �𝑧𝑧 − 𝑥𝑥2d𝑧𝑧d𝑥𝑥

0 � �𝑧𝑧 − 𝑥𝑥2 2𝑑𝑑𝑧𝑧

𝑥𝑥2

= � 𝑑𝑑𝑥𝑥√2

0 �23(𝑧𝑧 − 𝑥𝑥2)32� 2𝑥𝑥2� = 23 �√2(2 − 𝑥𝑥2)32d𝑥𝑥

0

Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com)

Đặt

𝑥𝑥 = √2 sin 𝑡𝑡 , 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝜋𝜋2 , d𝑥𝑥 = √2 cos 𝑡𝑡 d𝑡𝑡, 𝑥𝑥 �√2

0 ⇒ 𝑡𝑡 �

𝜋𝜋 2 0

𝐼𝐼1 = 23 � �√2 cos 𝑡𝑡�3√2 cos 𝑡𝑡 d𝑡𝑡

𝜋𝜋

2

𝜋𝜋 2 0

= 83 � 14(1 + cos 2𝑡𝑡)2d𝑡𝑡

𝜋𝜋 2

𝜋𝜋 2 0

= 23 � �32 + 2 cos 2𝑡𝑡 + 12 cos 4𝑡𝑡� d𝑡𝑡

𝜋𝜋 2 0

= 23 �32 𝑡𝑡 + sin 2𝑡𝑡 + 18 sin 4𝑡𝑡� �𝜋𝜋2

𝜋𝜋

2

𝐼𝐼2 = � 𝑦𝑦d𝑧𝑧d𝑥𝑥

𝑆𝑆2

𝑦𝑦 = −√𝑧𝑧 − 𝑥𝑥2

Hướng được chọn hợp với tia 𝑂𝑂𝑦𝑦 thành

góc tù

⇒ 𝐼𝐼2 = − � �−�𝑧𝑧 − 𝑥𝑥2� d𝑧𝑧d𝑥𝑥

𝐷𝐷

= � �𝑧𝑧 − 𝑥𝑥2d𝑧𝑧d𝑥𝑥

Vậy 𝐼𝐼 = 𝐼𝐼1 + 𝐼𝐼2 = 2𝐼𝐼1 = 𝜋𝜋

3.4.2.2 Công thức Ostrogradsky

Ví dụ 2.1 Tính ∬ 𝑥𝑥𝑆𝑆 3d𝑦𝑦d𝑧𝑧 + 𝑦𝑦3d𝑧𝑧d𝑥𝑥 + 𝑧𝑧3d𝑥𝑥d𝑦𝑦 trong đó 𝑆𝑆 là phía ngoài của mặt cầu 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 = 4

Ví dụ 2.2 Tính ∬ 𝑥𝑥𝑆𝑆 2d𝑦𝑦d𝑧𝑧 + 𝑦𝑦2d𝑧𝑧d𝑥𝑥 + 𝑧𝑧2d𝑥𝑥d𝑦𝑦 trong đó 𝑆𝑆 là phía ngoài của biên của hình lập phương: 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2, 0 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 2, 0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 2

Ví dụ 2.3 Tính ∬ 𝑥𝑥𝑧𝑧d𝑦𝑦d𝑧𝑧 + 𝑦𝑦𝑥𝑥d𝑧𝑧d𝑥𝑥 + 𝑧𝑧𝑦𝑦d𝑥𝑥d𝑦𝑦𝑆𝑆 trong đó 𝑆𝑆 là phía ngoài của biên của hình chóp 𝑥𝑥 ≥ 0, 𝑦𝑦 ≥ 0, 𝑧𝑧 ≥ 0, 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 ≤ 1

Ví dụ 2.4 Tính ∬ 𝑦𝑦𝑆𝑆 2𝑧𝑧d𝑥𝑥d𝑦𝑦 + 𝑥𝑥𝑧𝑧d𝑦𝑦d𝑧𝑧 + 𝑥𝑥2𝑦𝑦d𝑥𝑥d𝑧𝑧, trong đó 𝑆𝑆 là phía ngoài của miền 𝑥𝑥 ≥ 0, 𝑦𝑦 ≥ 0, 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 ≤ 1, 0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2

𝑃𝑃, 𝑄𝑄, 𝑅𝑅 là các hàm khả vi, liên tục trên miền 𝑉𝑉 ⊂ ℝ3 giới hạn bởi mặt cong kín 𝑆𝑆

�𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)d𝑦𝑦d𝑧𝑧 + 𝑄𝑄(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)d𝑧𝑧d𝑥𝑥 + 𝑅𝑅(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)d𝑥𝑥d𝑦𝑦

𝑆𝑆

= ��𝑃𝑃𝑥𝑥′ + 𝑄𝑄𝑦𝑦′ + 𝑅𝑅𝑧𝑧′�d𝑥𝑥d𝑦𝑦d𝑧𝑧

𝑉𝑉

Tích phân bội 3 lấy theo hướng pháp tuyến ngoài

Ví dụ 2.1 Tính ∬ 𝑥𝑥𝑆𝑆 3d𝑦𝑦d𝑧𝑧 + 𝑦𝑦3d𝑧𝑧d𝑥𝑥 + 𝑧𝑧3d𝑥𝑥d𝑦𝑦 trong đó 𝑆𝑆 là phía ngoài

của mặt cầu 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 = 4

Gọi 𝑉𝑉 là vật thể giới hạn bởi mặt cầu 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 = 4

𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝑥𝑥3, 𝑄𝑄(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝑦𝑦3, 𝑅𝑅(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝑧𝑧3 và các đạo hàm riêng cấp một của chúng liên tục trong miền 𝑉𝑉

Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com)

Áp dụng công thức Ostrogradsky

𝐼𝐼 = �𝑃𝑃d𝑦𝑦d𝑧𝑧 + 𝑄𝑄d𝑧𝑧d𝑥𝑥 + 𝑅𝑅d𝑥𝑥d𝑦𝑦

𝑉𝑉

= 3 �(𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 )d𝑥𝑥d𝑦𝑦d𝑧𝑧

𝑉𝑉

Chuyển sang tọa độ cầu:

Δ → 𝑉𝑉: �𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 sin 𝜃𝜃 cos 𝜑𝜑𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 sin 𝜃𝜃 sin 𝜑𝜑

𝑧𝑧 = 𝑟𝑟 cos 𝜃𝜃 , �

0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 2, 0 ≤ 𝜃𝜃 ≤ 𝜋𝜋,

0 ≤ 𝜑𝜑 ≤ 2𝜋𝜋, 𝐽𝐽 = −𝑟𝑟2sin 𝜃𝜃�

𝐼𝐼 = 3 �𝑟𝑟4sin 𝜃𝜃 d𝑟𝑟d𝜃𝜃d𝜑𝜑

0 � sin 𝜃𝜃 d𝜃𝜃𝜋𝜋

0 � 𝑟𝑟2 4d𝑟𝑟

0

= 3(2𝜋𝜋) �− cos 𝜃𝜃 �𝜋𝜋0��15 𝑟𝑟5�20� = 125 25𝜋𝜋

Ví dụ 2.2 Tính ∬ 𝑥𝑥𝑆𝑆 2d𝑦𝑦d𝑧𝑧 + 𝑦𝑦2d𝑧𝑧d𝑥𝑥 + 𝑧𝑧2d𝑥𝑥d𝑦𝑦 trong đó 𝑆𝑆 là phía ngoài của biên của hình lập phương: 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2, 0 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 2, 0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 2

Gọi 𝑉𝑉 là vật thể giới hạn bởi hình lập phương có biên 𝑆𝑆

𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝑥𝑥2, 𝑄𝑄(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝑦𝑦2, 𝑅𝑅(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝑧𝑧2 và các đạo hàm riêng cấp một của chúng liên tục trong miền 𝑉𝑉

Áp dụng công thức Ostrogradsky

𝐼𝐼 = �𝑥𝑥2d𝑦𝑦d𝑧𝑧 + 𝑦𝑦2d𝑧𝑧d𝑥𝑥 + 𝑧𝑧2d𝑥𝑥d𝑦𝑦

𝑉𝑉

= 2 � d𝑥𝑥2

0 � d𝑦𝑦2

0 � (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧)d𝑧𝑧2

0

= 2 � d𝑥𝑥2

0 � ��𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑧𝑧 + 12 𝑧𝑧2

� �20�d𝑦𝑦

2

0

= 4 � d𝑥𝑥2

0 � (2

0 1 + 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)d𝑦𝑦 = 4 � ��𝑦𝑦 + 𝑥𝑥𝑦𝑦 +12 𝑦𝑦2

� �20�d𝑥𝑥

2

0

= 4 � (4 + 2𝑥𝑥)d𝑥𝑥2

) �20 = 48

Ví dụ 2.3 Tính ∬ 𝑥𝑥𝑧𝑧d𝑦𝑦d𝑧𝑧 + 𝑦𝑦𝑥𝑥d𝑧𝑧d𝑥𝑥 + 𝑧𝑧𝑦𝑦d𝑥𝑥d𝑦𝑦𝑆𝑆 trong đó 𝑆𝑆 là phía ngoài của biên của hình chóp 𝑥𝑥 ≥ 0, 𝑦𝑦 ≥ 0, 𝑧𝑧 ≥ 0, 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 ≤ 1

Đặt 𝑉𝑉 = {(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧): 𝑥𝑥 ≥ 0, 𝑦𝑦 ≥ 0, 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 ≤ 1}

𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝑥𝑥𝑧𝑧, 𝑄𝑄(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝑦𝑦𝑥𝑥, 𝑅𝑅(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝑧𝑧𝑦𝑦 liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng trong miền 𝑉𝑉

Áp dụng công thức Ostrogradsky

Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com)

𝐼𝐼 = �𝑥𝑥𝑧𝑧d𝑦𝑦d𝑧𝑧 + 𝑦𝑦𝑥𝑥d𝑧𝑧d𝑥𝑥 + 𝑧𝑧𝑦𝑦d𝑥𝑥d𝑦𝑦

𝑉𝑉

= � d𝑥𝑥1

0 �1−𝑥𝑥d𝑦𝑦

0 �1−𝑥𝑥−𝑦𝑦(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧)d𝑧𝑧

0

= � d𝑥𝑥1

0 �1−𝑥𝑥��𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 +12 𝑧𝑧� 𝑧𝑧 �1 − 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦0 � d𝑦𝑦

0

= 12 � d𝑥𝑥1

0 �1−𝑥𝑥[1 − (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2]d𝑦𝑦

0

= 12 � ��𝑦𝑦 −1 13(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)3� �1 − 𝑥𝑥0 � d𝑥𝑥

0

= 12 � �1 − 𝑥𝑥 −1 13 +13 𝑥𝑥3� d𝑥𝑥

Ví dụ 2.4 Tính ∬ 𝑦𝑦𝑆𝑆 2𝑧𝑧d𝑥𝑥d𝑦𝑦 + 𝑥𝑥𝑧𝑧d𝑦𝑦d𝑧𝑧 + 𝑥𝑥2𝑦𝑦d𝑥𝑥d𝑧𝑧, trong đó 𝑆𝑆 là phía ngoài của miền 𝑥𝑥 ≥ 0, 𝑦𝑦 ≥ 0, 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 ≤ 1, 0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2

Gọi 𝑉𝑉 là vật thể giới hạn bởi mặt ngoài của 𝑆𝑆

𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝑦𝑦2𝑧𝑧, 𝑄𝑄(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝑥𝑥𝑧𝑧, 𝑅𝑅(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) =

𝑥𝑥2𝑦𝑦 và các đạo hàm cấp 1 của chúng liên tục

trong 𝑉𝑉

Áp dụng công thức Ostrogradsky

𝐼𝐼 = �𝑦𝑦2𝑧𝑧d𝑥𝑥d𝑦𝑦 + 𝑥𝑥𝑧𝑧d𝑦𝑦d𝑧𝑧 + 𝑥𝑥2𝑦𝑦d𝑥𝑥d𝑧𝑧

𝑆𝑆

= �(𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧 + 𝑥𝑥2)d𝑥𝑥d𝑦𝑦d𝑧𝑧

𝑉𝑉

�𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑

𝑧𝑧 = 𝑧𝑧 , �0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 1, 0 ≤ 𝜑𝜑 ≤

𝜋𝜋

2 , 0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 𝑟𝑟2, 𝐽𝐽 = 𝑟𝑟�

⇒ 𝐼𝐼 = � d𝑟𝑟1

𝜋𝜋 2

0 � (𝑧𝑧 + 𝑟𝑟𝑟𝑟 2)𝑟𝑟d𝑧𝑧

2

𝜋𝜋 2

0 � (𝑧𝑧 + 𝑟𝑟𝑟𝑟 2)𝑟𝑟d𝑧𝑧

2

0

= 𝜋𝜋2 � d𝑟𝑟1

0 �12 𝑟𝑟𝑧𝑧2 + 𝑟𝑟3𝑧𝑧� �𝑟𝑟02 = 𝜋𝜋2 � �1 12 𝑟𝑟3 + 𝑟𝑟5� d𝑟𝑟

0

= 𝜋𝜋2 �1

8 𝑟𝑟4 +

1

6 𝑟𝑟6� �10 = 7𝜋𝜋48