Eureka uni giải tích 2 ch3 tích phân đường full

Nội dung chính Minh họa trực quan tích phân đường loại 1. Tóm tắt các cách tính tích phân đường loại 1. Bài tập ví dụ giải chi tiết tích phân đường loại 1. Tóm tắt tích phân đường loại 2. Tóm tắt các cách tính tích phân đường loại 2. Bài tập ví dụ giải chi tiết tích phân đường loại 2. + Ch1. Hàm nhiều biến: https:tinyurl.comHamSoNhieuBien + Ch2. Tích phân bội: https:rotf.lolTichPhanBoi + Ch3. Tích phân đường, mặt: https:tinyurl.comTichPhanDuongVaMat + Ch4. Phương trình vi phân: https:tinyurl.comPTViPhan FULL VIDEO MIỄN PHÍ CÁC MÔN: 1. ĐẠI SỐ: https:tinyurl.comDaiSoFull 2. GIẢI TÍCH: https:tinyurl.comGiaiTichFull 3. GIẢI TÍCH 1: https:tinyurl.comGiaiTich1Full 4. GIẢI TÍCH 2: https:eurekauni.tiny.usGiaiTich2 5. TOÁN CAO CẤP NEU: https:tinyurl.comToanCaoCapNEU 6. XSTK: https:eurekauni.tiny.usXSTKFull 7. KINH TẾ LƯỢNG: https:eurekauni.tiny.usKinhTeLuongFull 8. KINH TẾ LƯỢNG NÂNG CAO: https:tinyurl.comKinhTeLuongNangCao DONATE cho Eureka Uni Vietinbank: 107006662834 Hoang Ba Manh Ví Momo: 0986.960.312 Tài liệu tham khảo 1. Bùi Xuân Diệu (2017). Bài giảng Giải tích II. Cập nhật 2017. Viện Toán ứng dụng và Tin học. ĐH BKHN. 2. Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Dĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2006). Giáo trình Toán học cao cấp tập III. Tái bản lần 10. NXB Giáo Dục. Kênh học online free Eureka Uni: https:www.youtube.comEurekaUni Group Toán cao cấp: https:fb.comgroupstoancaocap.neu Group Xác suất thống kê: https:fb.comgroupsxacsuatneu Group Kinh tế lượng: https:fb.comgroupskinhteluong.neu Group Kinh tế vi mô: https:fb.comgroupsmicroeconomics.neu Group Kinh tế vĩ mô: https:fb.comgroupsmacroeconomics.neu Fanpage của Eureka Uni: https:fb.comEurekaUni.Official Fanpage của Eureka Uni: https:fb.comeureka.uni.vn Website Eureka Uni: https:eurekauni.com

Trang 1

Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com)

GIẢI TÍCH 2 CHƯƠNG 3 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

Đạo diễn: Hoàng Bá Mạnh

Tài liệu tham khảo

1 Bùi Xuân Diệu (2017) Bài giảng Giải tích II Cập nhật 2017 Viện Toán ứng dụng và Tin học

ĐH BKHN

2 Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Dĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2006) Giáo trình Toán học cao cấp tập

III Tái bản lần 10 NXB Giáo Dục

Free Video Playlists

1 ĐẠI SỐ: https://tinyurl.com/DaiSoFull

2 GIẢI TÍCH 1: https://tinyurl.com/GiaiTich1Full

3 GIẢI TÍCH: https://tinyurl.com/GiaiTichFull

4 GIẢI TÍCH 2: https://tinyurl.com/GiaiTich2Full

5 TOÁN CAO CẤP NEU: https://tinyurl.com/ToanCaoCapNEU

6 XÁC SUẤT & THỐNG KÊ: https://eureka-uni.tiny.us/XSTKFull

7 KINH TẾ LƯỢNG: https://eureka-uni.tiny.us/KinhTeLuongFull

8 KINH TẾ LƯỢNG NÂNG CAO: https://tinyurl.com/KinhTeLuongNangCao

DONATE cho Eureka! Uni

* Vietinbank: 107006662834 - Hoang Ba Manh * Ví Momo: 0986.960.312

Trang 2

3.1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I VÀ II

MỤC LỤC

3.1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I VÀ II 2

3.1.1 Tóm tắt lý thuyết 3

3.1.2 Bài tập ví dụ 6

3.1.2.1 Tích phân đường loại I 6

3.1.2.2 Tích phân đường loại II 10

3.2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN VÀ GIẢI CHI TIẾT 15

3.1.2 Tích phân đường loại I 15

3.2.2 Tích phân đường loại II 21

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

LOẠI I

AB dạng

y = f(x)

AB dạng tham số

LOẠI II

Cung mở Cung kín Công thức Green

Trang 3

Chiều dương của L:

• “…là chiều sao cho một người đi dọc L theo chiều

đó sẽ thấy miền giới hạn bởi L gần mình nhất ở

vế bên trái…” (Nguyễn Đình Trí, 2006)

• “…là hướng sao cho một người đi dọc đường cong ấy theo hướng ấy sẽ nhìn thấy miền giới hạn bởi nó ở gần phía mình nhất nằm về phía bên trái…” (Bùi Xuân Diệu, 2017)

Trang 4

• là hướng khi đi trên đó, tay trái luôn nằm ở trong miền phẳng giới hạn bởi cung L (Hoàng Bá Mạnh, 2023)

Chiều dài cung 𝐴𝐴𝐴𝐴� tính bằng:

Tương tự với hàm ngược 𝑂𝑂 = 𝑂𝑂(𝑂𝑂)

Khi 𝐴𝐴𝐴𝐴� cho bởi 𝑂𝑂(𝑂𝑂) cho dạng tham số:

Trang 5

Điều kiện không phụ thuộc đường đi

Nếu 𝐷𝐷 đơn liên, liên thông, 𝑃𝑃, 𝑄𝑄 và các đạo hàm riêng liên tục trong 𝐷𝐷 Bốn mệnh đề sau tương đương:

1 𝑄𝑄𝑥𝑥′ ≡ 𝑃𝑃𝑦𝑦′ với mọi (𝑂𝑂, 𝑂𝑂) ∈ 𝐷𝐷

2 ∮ 𝑃𝑃d𝑂𝑂 + 𝑄𝑄d𝑂𝑂𝐿𝐿 = 0 với mọi 𝐿𝐿 nằm trong 𝐷𝐷

3 ∫ 𝑃𝑃d𝑂𝑂 + 𝑄𝑄d𝑂𝑂𝐴𝐴𝐴𝐴� = 0 với mọi đường nối A và B nằm trong 𝐷𝐷

4 𝑃𝑃d𝑂𝑂 + 𝑄𝑄d𝑂𝑂 ≡ d𝑤𝑤

Trang 6

Trong đó 𝐿𝐿′ là phần đường cong 𝐿𝐿 ở góc phần tư thứ nhất

Tham số hóa đường cong 𝐿𝐿′: 𝑂𝑂 = 8 cos3𝑡𝑡 , 𝑂𝑂 = 8 sin3𝑡𝑡 , 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝜋𝜋2

𝑂𝑂′(𝑡𝑡) = (8 cos3𝑡𝑡)′ = 8.3 (cos 𝑡𝑡)′cos2𝑡𝑡 = −24 sin 𝑡𝑡 cos2𝑡𝑡 ,

𝑂𝑂′(𝑡𝑡) = 24 cos 𝑡𝑡 sin2𝑡𝑡

�(𝑂𝑂𝑡𝑡′)2 + (𝑂𝑂𝑡𝑡′)2 = �(24 sin 𝑡𝑡 cos2𝑡𝑡)2 + (24 cos 𝑡𝑡 sin2𝑡𝑡)2

= 24�sin2𝑡𝑡 cos4𝑡𝑡 + cos2𝑡𝑡 sin4𝑡𝑡 = 24�sin2𝑡𝑡 cos2𝑡𝑡

= 24 sin 𝑡𝑡 cos 𝑡𝑡

�d𝑠𝑠

𝐿𝐿 = 4 � 24 sin 𝑡𝑡 cos 𝑡𝑡 d𝑡𝑡

𝜋𝜋 2

= 48

Trang 7

Ví dụ 1.2 Tính tích phân đường ∫ (𝑂𝑂𝐿𝐿 2 + 𝑂𝑂2)d𝑠𝑠, với 𝐿𝐿 là biên của hình

Trang 9

Trang 10

3.1.2.2 Tích phân đường loại II

Trang 11

Ví dụ 2.2 Tính ∫ (𝑂𝑂𝑂𝑂 − 1)d𝑂𝑂 + 𝑂𝑂𝐴𝐴𝐴𝐴 2𝑂𝑂d𝑂𝑂 theo đường 𝑂𝑂2 +𝑦𝑦42 = 1 nối

điểm 𝐴𝐴(1,0) với 𝐴𝐴(0,2) theo chiều dương

Hướng 1 Biểu diễn tường minh 𝑂𝑂 theo 𝑂𝑂

𝑂𝑂 = cos 𝑡𝑡 , 𝑂𝑂 = 2 sin 𝑡𝑡 , 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝜋𝜋2

⇒ 𝑂𝑂′(𝑡𝑡) = − sin 𝑡𝑡 , 𝑂𝑂′(𝑡𝑡) = 2 cos 𝑡𝑡 Chiều dương trùng chiều tăng của 𝑡𝑡

Trang 12

� (𝑂𝑂𝑂𝑂 − 1)d𝑂𝑂 + 𝑂𝑂2𝑂𝑂d𝑂𝑂

𝐴𝐴𝐴𝐴

= � [cos 𝑡𝑡 2 sin 𝑡𝑡 − 1)(− sin 𝑡𝑡 d𝑡𝑡)

𝜋𝜋 2 0

+ cos2𝑡𝑡 2 sin 𝑡𝑡 2 cos 𝑡𝑡 d𝑡𝑡

= � (−2 sin2𝑡𝑡 cos 𝑡𝑡 + sin 𝑡𝑡 + 4 cos3𝑡𝑡 sin 𝑡𝑡)

𝜋𝜋 2

= −2 � sin2𝑡𝑡 cos 𝑡𝑡 d𝑡𝑡

𝜋𝜋 2

0 + 4 � cos3𝑡𝑡 sin 𝑡𝑡 d𝑡𝑡

𝜋𝜋 2 0

= −2 � sin2𝑡𝑡 d(sin 𝑡𝑡)

𝜋𝜋 2

0 − 4 � cos3𝑡𝑡 d(cos 𝑡𝑡)

𝜋𝜋 2 0

= �−23 sin3𝑡𝑡 − cos 𝑡𝑡 − cos4𝑡𝑡� �𝜋𝜋2

Ví dụ 2.3 Tính tích phân đường sau theo 2 cách:

Trang 13

𝐼𝐼𝐴𝐴𝐵𝐵 = � 𝑂𝑂 �2 12 + 𝑂𝑂� d𝑂𝑂

−2 = � �2 12 𝑂𝑂 + 𝑂𝑂2� d𝑂𝑂

−2 = �14 𝑂𝑂2 +13 𝑂𝑂3� � 2−2

= 163 CA: 𝑂𝑂 = 𝑂𝑂 + 1, (−1 ≤ 𝑂𝑂 ≤ 1) ⇒ 𝑂𝑂′ = 1

𝐼𝐼𝐵𝐵𝐴𝐴 = � 𝑂𝑂(𝑂𝑂 + 1) �− �𝑂𝑂 +−1 𝑂𝑂 + 12 � + �𝑂𝑂2 + 𝑂𝑂 + 1�� d𝑂𝑂

1

= 12 �−1(𝑂𝑂2 + 𝑂𝑂)d𝑂𝑂

1 = 12 �13 𝑂𝑂3 +12 𝑂𝑂2� �−11 = −13 Vậy

𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 = −1 + 163 − 13 = 4

Cách 2 Công thức Green

� 𝑂𝑂𝑂𝑂 �− �𝑂𝑂 + 𝑂𝑂2� d𝑂𝑂 + �𝑂𝑂2 + 𝑂𝑂� d𝑂𝑂�

𝐿𝐿

Trang 15

3.2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN VÀ GIẢI CHI TIẾT

3.1.2 Tích phân đường loại I

Bài 1.1 Tính độ dài các cung sau

a) 𝑂𝑂2 = 2𝑂𝑂, 𝑂𝑂 ∈ [0,3]

b) 𝑂𝑂 = 2(𝑡𝑡 − sin 𝑡𝑡), 𝑂𝑂 = 2(1 − cos 𝑡𝑡), (0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 2𝜋𝜋)

Bài 1.2 Tính các tích phân đường loại I

a) 𝐼𝐼 = ∫ 𝑂𝑂𝑂𝑂d𝑠𝑠𝐿𝐿 trong đó 𝐿𝐿 là cung ellip 𝑥𝑥42 + 𝑂𝑂2 = 1 nằm trong góc phần tư thứ nhất

𝐼𝐼 = ∫ �𝑂𝑂𝐿𝐿 2 + 𝑂𝑂2d𝑠𝑠, trong đó 𝐿𝐿 là đường tròn 𝑂𝑂2 + 𝑂𝑂2 = 4𝑂𝑂

Bài 1.3 Tính các tích phân đường loại I:

a) ∫ (𝑂𝑂 − 𝑂𝑂)d𝑠𝑠𝐴𝐴𝐴𝐴 , 𝐴𝐴𝐴𝐴 là đoạn thẳng nối hai điểm 𝐴𝐴(0,0), 𝐴𝐴(4,3) b) ∫ 𝑂𝑂𝑂𝑂d𝑠𝑠𝐿𝐿 , 𝐿𝐿 là biên của hình chữ nhật ABCD: 𝐴𝐴(0,0), 𝐴𝐴(4,0),𝐶𝐶(4,2), 𝐷𝐷(0,2)

Trang 16

𝑡𝑡

Trang 17

Bài 1.2 Tính các tích phân đường loại I

b) 𝐼𝐼 = ∫ 𝑂𝑂𝑂𝑂d𝑠𝑠𝐿𝐿 trong đó 𝐿𝐿 là cung ellip 𝑥𝑥42 + 𝑂𝑂2 = 1 nằm trong góc phần tư thứ nhất

Trang 18

= 2 � sin 𝑡𝑡 cos 𝑡𝑡 �1 + 3 sin2𝑡𝑡 d𝑡𝑡

𝜋𝜋 2 0

= 2 � sin 𝑡𝑡 �1 + 3 sin2𝑡𝑡 d(sin 𝑡𝑡)

𝜋𝜋 2 0

= � �1 + 3 sin2𝑡𝑡 d(sin2𝑡𝑡)

𝜋𝜋 2 0

= 13 � (1 + 3 sin2𝑡𝑡)12d(1 + 3 sin2𝑡𝑡)

𝜋𝜋 2 0

= 29(1 + 3 sin2𝑡𝑡)32�𝜋𝜋/20 = 29 �432 − 1� = 149 b) 𝐼𝐼 = ∫ �𝑂𝑂𝐿𝐿 2 + 𝑂𝑂2d𝑠𝑠, trong đó 𝐿𝐿 là đường tròn 𝑂𝑂2 + 𝑂𝑂2 = 4𝑂𝑂

Tham số hóa L: 𝑂𝑂 = 2(1 + cos 𝑡𝑡), 𝑂𝑂 = 2 sin 𝑡𝑡 , 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 2𝜋𝜋

= 8 � �sin2𝜋𝜋 2� d𝑡𝑡𝑡𝑡

0 = −16 cos2 �𝑡𝑡 2𝜋𝜋0

Trang 19

Bài 1.3 Tính các tích phân đường loại I:

d) ∫ (𝑂𝑂 − 𝑂𝑂)d𝑠𝑠𝐴𝐴𝐴𝐴 , 𝐴𝐴𝐴𝐴 là đoạn thẳng nối hai điểm 𝐴𝐴(0,0), 𝐴𝐴(4,3)

e) ∫ 𝑂𝑂𝑂𝑂d𝑠𝑠𝐿𝐿 , 𝐿𝐿 là biên của hình chữ nhật ABCD: 𝐴𝐴(0,0), 𝐴𝐴(4,0), 𝐶𝐶(4,2),𝐷𝐷(0,2)

Trang 20

= 𝑑𝑑�𝑑𝑑2 +34 �

3212

�𝑑𝑑2 + 34

d𝑑𝑑

3 2 1 2

= �32 √3 −12� − � �𝑑𝑑2 +34 d𝑑𝑑

3 2 1 2

�𝑑𝑑2 + 34

d𝑑𝑑

3 2 1 2

Trang 21

3.2.2 Tích phân đường loại II

Bài 2.1 Tính các tích phân đường loại II

a) ∫ (𝑂𝑂 − 𝑂𝑂)𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 2d𝑂𝑂 + (𝑂𝑂 + 𝑂𝑂)2d𝑂𝑂, 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶 là đường gấp khúc: 𝐴𝐴(0,0), 𝐴𝐴(2,2) và 𝐶𝐶(4,0)

∫ √𝑂𝑂d𝑂𝑂 − √𝑂𝑂 ln(1 + 𝑂𝑂) d𝑂𝑂𝐴𝐴𝐴𝐴 , trong đó 𝐴𝐴𝐴𝐴 là cung đường 𝑂𝑂 = (𝑂𝑂 −

1) ln(𝑂𝑂 + 1) giữa hai điểm có hoành độ 0 và 1

Bài 2.2 Tính ∫ (𝑂𝑂𝑂𝑂 − 1)d𝑂𝑂 + 𝑂𝑂𝐴𝐴𝐴𝐴 2𝑂𝑂d𝑂𝑂 theo các đường nối điểm 𝐴𝐴(1,0) với 𝐴𝐴(0,2):

a) 2𝑂𝑂 + 𝑂𝑂 = 2

b) 4𝑂𝑂 + 𝑂𝑂2 = 4

Bài 2.3 Tính các tích phân đường loại II:

a) ∮ (2𝑂𝑂𝑂𝑂 − 𝑂𝑂𝐿𝐿 2)d𝑂𝑂 + (𝑂𝑂 + 𝑂𝑂2)d𝑂𝑂, 𝐿𝐿 là đường kín gồm hai cung Parabol 𝑂𝑂 = 𝑂𝑂2 và 𝑂𝑂 = 𝑂𝑂2 theo chiều dương

b) ∮ (2𝑂𝑂𝐿𝐿 3 − 𝑂𝑂3)d𝑂𝑂 + (𝑂𝑂3 + 𝑂𝑂3)d𝑂𝑂, 𝐿𝐿 là đường tròn 𝑂𝑂2 + 𝑂𝑂2 = 1 theo chiều dương

c) ∫𝑂𝑂𝐴𝐴𝐴𝐴𝑂𝑂(𝑂𝑂2 + 𝑂𝑂2)d𝑂𝑂 + (𝑂𝑂2 − 𝑂𝑂2)d𝑂𝑂, 𝑂𝑂𝐴𝐴𝐴𝐴𝑂𝑂 là đường gấp khúc kín với các đỉnh 𝑂𝑂(0,0), 𝐴𝐴(1,0), 𝐴𝐴(0,1)

Bài 2.1 Tính các tích phân đường loại II

b) ∫ (𝑂𝑂 − 𝑂𝑂)𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 2d𝑂𝑂 + (𝑂𝑂 + 𝑂𝑂)2d𝑂𝑂, 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶 là đường gấp khúc: 𝐴𝐴(0,0), 𝐴𝐴(2,2) và 𝐶𝐶(4,0)

Trang 22

c) ∫ √𝑂𝑂d𝑂𝑂 − √𝑂𝑂 ln(1 + 𝑂𝑂) d𝑂𝑂𝐴𝐴𝐴𝐴 , trong đó 𝐴𝐴𝐴𝐴 là cung đường 𝑂𝑂 =(𝑂𝑂 − 1) ln(𝑂𝑂 + 1) giữa hai điểm có hoành độ 0 và 1

Giải

a) ∫ (𝑂𝑂 − 𝑂𝑂)𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 2d𝑂𝑂 + (𝑂𝑂 + 𝑂𝑂)2d𝑂𝑂, 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶 là đường gấp khúc: 𝐴𝐴(0,0), 𝐴𝐴(2,2) và 𝐶𝐶(4,0)

Trang 23

Trang 24

Bài 2.3 Tính các tích phân đường loại II:

d) ∮ (2𝑂𝑂𝑂𝑂 − 𝑂𝑂𝐿𝐿 2)d𝑂𝑂 + (𝑂𝑂 + 𝑂𝑂2)d𝑂𝑂, 𝐿𝐿 là đường kín gồm hai cung Parabol 𝑂𝑂 = 𝑂𝑂2 và 𝑂𝑂 = 𝑂𝑂2 theo chiều dương

e) ∮ (2𝑂𝑂𝐿𝐿 3 − 𝑂𝑂3)d𝑂𝑂 + (𝑂𝑂3 + 𝑂𝑂3)d𝑂𝑂, 𝐿𝐿 là đường tròn 𝑂𝑂2 + 𝑂𝑂2 = 1 theo chiều dương

Trang 25

Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com)f) ∫𝑂𝑂𝐴𝐴𝐴𝐴𝑂𝑂(𝑂𝑂2 + 𝑂𝑂2)d𝑂𝑂 + (𝑂𝑂2 − 𝑂𝑂2)d𝑂𝑂, 𝑂𝑂𝐴𝐴𝐴𝐴𝑂𝑂 là đường gấp khúc kín với các đỉnh 𝑂𝑂(0,0), 𝐴𝐴(1,0), 𝐴𝐴(0,1)

𝑃𝑃 = 2𝑂𝑂3 − 𝑂𝑂3 ⇒ 𝑃𝑃𝑦𝑦′ = −3𝑂𝑂2

𝑄𝑄 = 𝑂𝑂3 + 𝑂𝑂3 ⇒ 𝑄𝑄𝑥𝑥′ = 3𝑂𝑂2

𝑄𝑄𝑥𝑥′ − 𝑃𝑃𝑦𝑦′ = 3𝑂𝑂2 + 3𝑂𝑂2

Trang 26

Tính trực tiếp

OA: 𝑂𝑂 = 0 (0 ≤ 𝑂𝑂 ≤ 1), 𝑂𝑂′ = 0

𝐼𝐼𝑂𝑂𝐴𝐴 = � 𝑂𝑂1 2d𝑂𝑂

0 = 13 𝑂𝑂3�10 = 13 AB: 𝑂𝑂 = −𝑂𝑂 + 1 (0 ≤ 𝑂𝑂 ≤ 1), 𝑂𝑂′ = −1

Trang 27

= − � d𝑂𝑂 �1−𝑥𝑥2(𝑂𝑂 − 𝑂𝑂)d(𝑂𝑂 − 𝑂𝑂)

0

1 0

Tiêu đề	Giải tích 2 Chương 3 - Tích phân Đường Full
Tác giả	Bùi Xuân Diệu, Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Dĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Hoàng Bá Mạnh
Trường học	Học Viện Toán Ứng Dụng Và Tin Học (https://www.vku.udn.vn/vi-vn)
Chuyên ngành	Giải tích
Thể loại	Tài liệu tham khảo
Năm xuất bản	2017
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	27
Dung lượng	702,88 KB