Giải tích 2 ch2 tích phân kép lý thuyết ví dụ và bài tập tự luyện có đáp án

GIẢI TÍCH 2. TÍCH PHÂN KÉP FULL Nội dung chính Tóm tắt lý thuyết, phương pháp tính và ứng dụng Ví dụ minh họa tính toán và ứng dụng tích phân kép Bài tập tự luyện có giải chi tiết và hình vẽ Full playlist: https:eurekauni.tiny.usGiaiTich2 FULL VIDEO MIỄN PHÍ CÁC MÔN: 1. ĐẠI SỐ: https:tinyurl.comDaiSoFull 2. GIẢI TÍCH: https:tinyurl.comGiaiTichFull 3. GIẢI TÍCH 1: https:tinyurl.comGiaiTich1Full 4. GIẢI TÍCH 2: https:eurekauni.tiny.usGiaiTich2 5. TOÁN CAO CẤP NEU: https:tinyurl.comToanCaoCapNEU 6. XSTK: https:eurekauni.tiny.usXSTKFull 7. KINH TẾ LƯỢNG: https:eurekauni.tiny.usKinhTeLuongFull 8. KINH TẾ LƯỢNG NÂNG CAO: https:tinyurl.comKinhTeLuongNangCao DONATE cho Eureka Uni Vietinbank: 107006662834 Hoang Ba Manh Ví Momo: 0986.960.312 Tài liệu tham khảo 1. Lê Đình Thúy, Nguyễn Quỳnh Lan (2012). Giáo trình Toán cao cấp cho các nhà kinh tế. NXB ĐH KTQD. 2. Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Dĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2006). Giáo trình Toán học cao cấp tập III. Tái bản lần 10. NXB Giáo Dục. Kênh học online free Eureka Uni: https:www.youtube.comEurekaUni Group Toán cao cấp: https:fb.comgroupstoancaocap.neu Group Xác suất thống kê: https:fb.comgroupsxacsuatneu Group Kinh tế lượng: https:fb.comgroupskinhteluong.neu Group Kinh tế vi mô: https:fb.comgroupsmicroeconomics.neu Group Kinh tế vĩ mô: https:fb.comgroupsmacroeconomics.neu Fanpage của Eureka Uni: https:fb.comEurekaUni.Official Fanpage của Eureka Uni: https:fb.comeureka.uni.vn Website Eureka Uni: https:eurekauni.com

Trang 1

EUREKA ! UNI – YOUTUBE

GIẢI TÍCH 2

CHƯƠNG 2 TÍCH PHÂN BỘI

Đạo diễn: Hoàng Bá Mạnh

Tài liệu tham khảo

1 Lê Đình Thúy, Nguyễn Quỳnh Lan (2012) Giáo trình Toán cao cấp cho các nhà kinh tế NXB Đại học

5 TOÁN CAO CẤP NEU https://tinyurl.com/ToanCaoCapNEU

6 XÁC SUẤT & THỐNG KÊ https://eureka-uni.tiny.us/XSTKFull

7 KINH TẾ LƯỢNG https://eureka-uni.tiny.us/KinhTeLuongFull

8 KINH TẾ LƯỢNG NÂNG CAO https://tinyurl.com/KinhTeLuongNangCao

DONATE cho Eureka! Uni

Trang 2

2.1 TÍCH PHÂN BỘI 2 (TÍCH PHÂN KÉP)

Tích phân bội

Tích phân bội 2 (kép)

Lý thuyết Bài tập

Tích phân bội 3

Lý thuyết Bài tập

Trang 3

Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com)

2.1.1 Tóm tắt lý thuyết

2.1.1.1 So sánh với tích phân xác định hàm 1 biến

𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục và bị chặn trong miền 𝐷 thì khả tích

Trang 4

= − ∫ 𝑓(𝑥)d𝑥

𝑎 𝑏

= ∫ 𝑓(𝑥)d𝑥

𝑐 𝑎

+ ∫ 𝑓(𝑥)d𝑥

𝑏 𝑐

= ∫ 𝑓(𝑥)d𝑥

𝑏 𝑎

± ∫ 𝑔(𝑥)d𝑥

𝑏 𝑎

= 𝑐 ∫ 𝑓(𝑥)d𝑥

𝑏 𝑎

Trang 5

≥ ∫ 𝑔(𝑥)d𝑥

𝑏 𝑎

| ≤ ∫ |𝑔(𝑥)|d𝑥

𝑏 𝑎

Trang 6

𝑏 𝑎

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑥d𝑦

𝐷

= ∫ d𝑦∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑥

𝑏 𝑎

𝑑 𝑐

𝑏 𝑎

= ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑥d𝑦

𝑏 𝑎

𝑑 𝑐

Đổi biến – đổi “cận”, đổi vi phân

Δ → 𝐷: {𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣)

𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣)d𝑥d𝑦 → |J(𝑢, 𝑣)|d𝑢d𝑣

Trang 7

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑥d𝑦

𝐷

= ∫ d𝑥

𝑏 𝑎

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑦

𝐺(𝑥) 𝑔(𝑥)

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑥

𝐻(𝑦) ℎ(𝑦)

∫ 𝑓(𝑟 cos 𝜑 , 𝑟 sin 𝜑)𝑟d𝑟

𝑟2(𝜑)

𝑟1(𝜑)

Trang 9

2.1.2 Bài tập tổng hợp tích phân bội 2

Tính tích phân bội: (i) Tích phân lặp (ii) Đổi biến (tọa độ cực)

Trang 10

= ∫ (3𝑥2 − 3)d𝑥

1 0

= (𝑥3 − 3𝑥) |1

0 = −2 Hoặc tính theo 𝑥 trước

𝐼0 = ∬ (𝑥2 − 𝑦2)d𝑥d𝑦

𝐷

= ∫ ∫ (𝑥2 − 𝑦2)d𝑥d𝑦

1 0

2

−1

= ∫ (∫ (𝑥2 − 𝑦2)d𝑥

1 0

Trang 11

⇒ {𝑥 = 1𝑦 = 1

1 ≤ 𝑥 ≤ 2, 1

𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 2𝑥 − 1 Tính tích phân lặp (𝑦 trước, 𝑥 sau)

2 1

= ∫ d𝑥 (𝑥2𝑦 −1

3𝑦

3) |2𝑥 − 11/𝑥

2 1

= ∫ d𝑥 [𝑥2(2𝑥 − 1) −1

3(2𝑥 − 1)3 − 𝑥21

𝑥 +

13𝑥3]

2 1

3𝑥) |

2

1 =1124

Trang 12

Nếu tính theo 𝑥 trước

Ta xác định được khoảng giá trị của 𝑦 là

𝑥 ≤ 2 ⇒ {𝑦 =

1

𝑥 ≥

12

𝑦 = 2𝑥 − 1 ≤ 4 − 1 = 31

2 ≤ 𝑦 ≤ 3 Biểu diễn 𝑥 theo 𝑦

𝑦 = 1

𝑥 ⇔ 𝑥 =

1𝑦

𝑦 = 2𝑥 − 1 ⇔ 𝑥 = 1

2(𝑦 + 1) 1

𝐼0 = ∫ d𝑦 ∫ (𝑥2 − 𝑦2)d𝑥

2 1 𝑦

1 1 2

+ ∫ d𝑦 ∫ (𝑥2 − 𝑦2)d𝑥

2 𝑦+1 2

3 1

= ∫ (8

3− 2𝑦

2 − 13𝑦3 + 𝑦) d𝑦

1

1 2

= ⋯ = 11

24

c) 𝐷 giới hạn bởi hình tròn tâm O bán kính bằng 2 và các đường 𝑦 = 0, 𝑥 = 0

Vẽ miền 𝐷: 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0

Trang 13

2 0

= ∫ (𝑥2√4 − 𝑥2 −1

3(4 − 𝑥2)√4 − 𝑥2) d𝑥

2 0

= 4

3∫ (𝑥

2 − 1)√4 − 𝑥2d𝑥

2 0

√4 − 𝑥2 = √4(1 − sin2𝑡) = 2|cos 𝑡| = 2 cos 𝑡

Trang 14

Cách 2 Đổi biến – tọa độ cực

Đặt

{𝑥 = 𝑟 cos 𝜑𝑦 = 𝑟 sin 𝜑 (0 ≤ 𝑟 ≤ 2, 𝜑 ∈ [0,𝜋

2]) d𝑥d𝑦 → 𝑟d𝑟d𝜑

⇒ 𝐼0 = ∫ ∫ [(𝑟 cos 𝜑)2 − (𝑟 sin 𝜑)2]𝑟d𝑟d𝜑

2 0

𝜋 2 0

= ∫ ∫ 𝑟3cos 2𝜑 d𝑟d𝜑

2 0

𝜋 2 0

= ∫ (∫ 𝑟3cos 2𝜑 d𝑟

2 0

) d𝜑

𝜋 2 0

= ∫ 2 cos 2𝜑 d𝜑

𝜋 2 0

= sin 2𝜑 |𝜋/2

0 = 0 Tính thể tích của vật thể trong tình huống này?

𝑥2 − 𝑦2 = 0 ⇔ 𝑥 = 𝑦 ⇔ cos 𝜑 = sin 𝜑 ⇔ 𝜑 = 𝜋

4

𝑉1 = ∫ d𝜑 ∫ 𝑟2(cos2𝜑 − sin2𝜑)𝑟d𝑟

𝑟 0

𝜋 4 0

= ⋯ = sin 2𝜑 |𝜋/4

0 = 1

Trang 15

𝑉2 = ∫ d𝜑 ∫ 𝑟2(sin2𝜑 − cos2𝜑)𝑟d𝑟

𝑟 0

𝜋 2 𝜋 4

𝑆𝐷 = ∫ (√4 − 𝑥2 − 0) d𝑥

2 0

= ⋯ = 𝜋 Đặt 𝑥 = 2 sin 𝑡, từng phần

= ∫ d𝑥 (𝑦 |√4 − 𝑥2

2 0

= ∫ d𝑥 (√4 − 𝑥2)

2 0

= ∫ √4 − 𝑥2d𝑥

2 0

= ∫ d𝑟 (𝑟𝜑 |𝜋/2

0 )

2 0

= 𝜋

2∫ 𝑟d𝑟

2 0

Trang 16

Đặt

{𝑥 = 𝑟 cos 𝜑𝑦 = 𝑟 sin 𝜑 (0 ≤ 𝑟 ≤ 2, 𝜑 ∈ [0,𝜋

2]) d𝑥d𝑦 → 𝑟d𝑟d𝜑

𝑆𝑓 = ∫ d𝑟 ∫ 𝑟√1 + 4𝑟2d𝜑

𝜋 2 0

2 0

= ∫ d𝑟 (𝑟√1 + 4𝑟2𝜑 |

𝜋20)

2 0

= 𝜋

2d𝑢

√17 1

Trang 17

1 0

(1 + 𝑥2 + 𝑦2)32

d𝑥d𝑦

2 0

1 0

𝐼12 = ∫ d𝑥 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑦

2−𝑥

𝑥2

4−12

−6

Trang 18

𝐼13 = ∫ d𝑥 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑦

ln 𝑥 0

𝐼15 = ∫ d𝑦 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑥

1+√1−𝑦22−𝑦

1 0

Ví dụ 3 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt:

a) 𝑧 = 1 − 𝑥2 − 𝑦2, 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = √3𝑥, 𝑧 = 0 và ở góc phần tư thứ nhất b) 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 2𝑧, 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2

Ví dụ 4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) 𝑥 = 4𝑦 − 𝑦2, 𝑥 + 𝑦 = 6

b) 𝑟 = 2 cos 𝜑 , 𝑟 = 3 cos 𝜑 , (0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋)

Ví dụ 5 Tính diện tích các mặt nón 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2, 𝑧 ≥ 0 nằm trong mặt trụ

𝑥2 + 𝑦2 = 1

Trang 19

GIẢI CHI TIẾT

1 0

) d𝑦

1 0

(1 + 𝑥2 + 𝑦2)32

d𝑥d𝑦

2 0

1 0

) d𝑥

2 0

= ∫ (∫ (1 + 𝑥2 + 𝑦2)−32d(1 + 𝑥2 + 𝑦2)

1 0

) d𝑥

2 0

= ∫ [−1

2(1 + 𝑥2 + 𝑦2)−12|1

0] d𝑥

2 0

= ∫ [1

2(1 + 𝑥2)−12 − 1

2(2 + 𝑥2)−12] d𝑥

2 0

Trang 20

Cách 1: Tính theo biến 𝑦 trước

𝐼3 = ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑦

𝑥 0

𝜋

0

= ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑦 + 𝑥) 𝑑(𝑦 + 𝑥)

𝑥 0

𝜋 0

= ∫ 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛(𝑦 + 𝑥) |𝑥

0

𝜋 0

= ∫ 𝑑𝑥[𝑠𝑖𝑛(2𝑥) − 𝑠𝑖𝑛 𝑥]

𝜋 0

= ∫ [𝑠𝑖𝑛(2𝑥) − 𝑠𝑖𝑛 𝑥]𝑑𝑥

𝜋 0

= ∫ 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 𝑑𝑥

𝜋 0

− ∫ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥

𝜋 0

=

= 1

2∫ 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 𝑑(2𝑥)

𝜋 0

− ∫ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥

𝜋 0

0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋, 𝑦 = 𝑥 ⇔ 𝑥 = 𝑦 ⇒ 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑦

Trang 21

𝐼3 = ∫ d𝑦 ∫ cos(𝑥 + 𝑦) d𝑥

𝑦 0

𝜋

0

= ∫ d𝑦 ∫ cos(𝑥 + 𝑦) d(𝑥 + 𝑦)

𝑦 0

𝜋 0

= ∫ d𝑦 sin(𝑥 + 𝑦) |𝑦

0

𝜋 0

= ∫ d𝑦[sin(2𝑦) − sin 𝑦]

𝜋 0

= ∫ [sin(2𝑦) − sin 𝑦]d𝑦

𝜋 0

= ∫ sin 2𝑦 d𝑦

𝜋 0

− ∫ sin 𝑦 d𝑦

𝜋 0

=

= 1

2∫ sin 2𝑦 d(2𝑦)

𝜋 0

− ∫ sin 𝑦 d𝑦

𝜋 0

Trang 22

−3

= ∫ 𝑑𝑥 [− ∫ (𝑦 − 𝑥)𝑑(𝑦 − 𝑥)

2−𝑥22𝑥−1

𝑦 = 2𝑥 − 1 ⇔ 𝑥 = 1 + 𝑦

2 , 𝑦 = 2 − 𝑥

2 ⇔ 𝑥2 = 2 − 𝑦 ⇔ 𝑥 = ±√2 − 𝑦

Trang 23

𝐼4 = ∫ d𝑦 ∫ (𝑥 − 𝑦)d𝑥

1+𝑦 2

= ∫ d𝑦 ∫ (𝑥 − 𝑦)d(𝑥 − 𝑦)

1+𝑦 2

= ∫ d𝑦 [1

2(𝑥 − 𝑦)2|

1 + 𝑦2

= ⋯ = 64

15

Trang 24

3 0

= ∫ d𝑥 [𝑥1

2(9 − 𝑥2)]

3 0

= 1

2∫ (9𝑥 − 𝑥

3)d𝑥

3 0

𝐼5 = 4𝐼5′ = 81

2

Hướng 2 Tọa độ cực

Trang 25

3 0

= 4 ∫ d𝑟 ∫ 𝑟3sin 𝜑 cos 𝜑 d𝜑

𝜋/2 0

3 0

= ∫ d𝑟 ∫ 𝑟32 sin 2𝜑 d𝜑

𝜋/2 0

3 0

= ∫ d𝑟 (−𝑟3cos 2𝜑 |𝜋/2

0 )

3 0

= ∫ d𝑟(𝑟3 + 𝑟3)

3 0

= 2 ∫ 𝑟3d𝑟

3 0

= 1

2𝑟

4|30

= 812

Trang 26

2 1

Trang 27

𝜋 0

]

𝜋 0

= ∫ d𝜑1

2ln 2

𝜋 0

= 1

2ln 2 ∫ d𝜑

𝜋 0

= 1

2ln 2 𝜑 |

𝜋0

= 𝜋

2ln 2

Trang 28

𝐷1 = { (𝑥, 𝑦): −2 ≤ 𝑥 ≤ 2,

−√4 − 𝑥2 ≤ 𝑦 ≤ √4 − 𝑥2}

𝐷2 = { (𝑥, 𝑦): −3 ≤ 𝑥 ≤ 3,

−√9 − 𝑥2 ≤ 𝑦 ≤ √9 − 𝑥2} Tính 𝐼81

2𝜋

0

= ∫ d𝜑1∫ 𝑟12d𝑟1

2 0

2𝜋 0

= 8

3∫ d𝜑1

2𝜋 0

Đặt

{𝑥 = 𝑟𝑦 = 𝑟2cos 𝜑2

2sin 𝜑2 (0 ≤ 𝑟2 ≤ 3, 𝜑2 ∈ [0,2𝜋]) ⇒ 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟22

Trang 29

𝐼81 = ∫ d𝜑2∫ 𝑟2 𝑟2d𝑟2

3 0

2𝜋

0

= ∫ d𝜑2∫ 𝑟22d𝑟2

3 0

2𝜋 0

= 9 ∫ d𝜑2

2𝜋 0

= 9 𝜑2|2𝜋

0 = 18𝜋 Vậy

𝐼8 = 𝐼82 − 𝐼81 = 18𝜋 − 16

3 𝜋 =

38

3 𝜋

Trang 30

1 0

√𝑥 + √𝑦 = 1 ⇒ 𝑥, 𝑦 ∈ [0,1]

Đặt

Trang 31

𝜋 2 0

= 1

20∫ (3 sin 𝜑 − sin 3𝜑)d𝜑

𝜋 2 0

Trang 32

𝜋 2 0

= 2

9∫ sin

32𝜑 d𝜑

𝜋 2 0

Trang 33

Ví dụ 2 Đổi thứ tự tính các tích phân sau

𝐼11 = ∫ d𝑥 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑦

𝑥2

𝑥3

1 0

0

Trang 34

𝑦 = 𝑥

2

4 − 1 ⇔ 𝑥

2 = 4 + 4𝑦 ⇔ −√4 + 4𝑦 ≤ 𝑥 ≤ √4 + 4𝑦 Khi 0 ≤ 𝑦 ≤ 8

𝑦 = 2 − 𝑥 ⇔ 𝑥 = 2 − 𝑦 ⇒ −√4 + 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 2 − 𝑦 Vậy

2−𝑦

−√4+4𝑦

Trang 35

𝐼13 = ∫ d𝑥 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑦

ln 𝑥 0

𝑒 1

𝐼14 = ∫ d𝑥 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑦

√1−𝑦21

2 (1−𝑦 2 )

1 0

Trang 36

⇒ 𝑥 = √1 − 2𝑦 (0 ≤ 𝑦 ≤ 1

2) Như vậy, cần tách thành 0 ≤ 𝑦 ≤ 1/2 và 1/2 ≤ 𝑦 ≤ 1

𝐼15 = ∫ d𝑦 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑥

1+√1−𝑦22−𝑦

1 0

Trang 37

1

Trang 38

1 2 0

+ ∫ d𝑥 ∫ (1 − 𝑥2 − 𝑦2)d𝑦

√1−𝑥2𝑥

1

√2 1 2

= ∫ d𝑥 [(1 − 𝑥2)𝑦 − 1

3𝑦

3] |√3𝑥𝑥

1 2 0

= ∫ [(√3 − 1)(1 − 𝑥2)𝑥 −3√3 − 1

3] d𝑥

1 2 0

= ⋯

= 𝜋48

Trang 39

𝜋 3 𝜋 4

= ∫ d𝜑 ∫ (𝑟 − 𝑟3)d𝑟

1 0

𝜋 3 𝜋 4

= 1

4∫ d𝜑

𝜋 3 𝜋 4

Trang 40

b) 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 2𝑧, 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2

Dễ thấy 𝑧 ≥ 0, nửa mặt cầu phía trên có

phương trình 𝑧 = 1 + √1 − 𝑥2 − 𝑦2,

nửa mặt nón phía dưới có phương trình

𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 Hai mặt giao nhau tại các

điểm có cao độ 𝑧 thỏa mãn:

𝑧2 + 𝑧2 = 2𝑧 ⇒ 𝑧 = 1 Giao điểm 2 mặt là đường tròn tâm

2𝜋 0

= ∫ d𝜑 ∫ (𝑟 − 𝑟2 + 𝑟(1 − 𝑟2)12) d𝑟

1 0

2𝜋 0

= 1

2𝜑 |

2𝜋0

= 𝜋

Trang 41

Ví dụ 4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) 𝑥 = 4𝑦 − 𝑦2, 𝑥 + 𝑦 = 6

Công thức tính

𝑆 = ∬ d𝑥d𝑦

𝐷

Minh họa miền D:

Chuyển qua tích phân lặp, diện tích cần tính là:

4𝑦−𝑦26−𝑦

3 2

= ∫ (4𝑦 − 𝑦2 − 6 + 𝑦)d𝑦

3 2

= ∫ (−6 + 5𝑦 − 𝑦2)d𝑦

3 2

𝑆 = ∬ d𝑥d𝑦

𝐷

Miền D trong hệ tọa độ Decartes là:

Trang 42

Chú ý rằng: 𝑟 = 2𝑎 cos 𝜑 biểu diễn trong tọa độ

Decartes là đường tròn tâm (0, 𝑎) có bán kính

bằng 𝑎

Gọi miền phẳng phía trên trục hoành là

𝐷′, và dựa vào tính đối xứng, ta có:

= ∫ d𝜑 (𝑟2|3 cos 𝜑

2 cos 𝜑)

𝜋 2 0

= 5 ∫ cos2𝜑 d𝜑

𝜋 2 0

= 5

2∫ (cos 2𝜑 + 1)d𝜑

𝜋 2 0

Trang 43

Dễ thấy hình chiếu D của phần này

xuống mặt phẳng Oxy là hình tròn tâm

Tiêu đề	Giải tích 2 Chương 2: Tích phân bội, lý thuyết, ví dụ và bài tập tự luyện có đáp án
Tác giả	Lê Đình Thúy, Nguyễn Quỳnh Lan, Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Dĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh
Trường học	Đại học Kinh tế Quốc dân
Chuyên ngành	Toán cao cấp
Thể loại	Tài liệu hướng dẫn học tập
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	43
Dung lượng	1,12 MB