Eureka uni giải tích 1 ch5 chuỗi số bài tập khảo sát hội tụ phân kì và tính tổng chuỗi

EUREKA UNI – YOUTUBE GIẢI TÍCH 1 CHƯƠNG 5 CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI HÀM Đạo diễn Hoàng Bá Mạnh Tài liệu tham khảo 1 Lê Đình Thúy, Nguyễn Quỳnh Lan (2012) Giáo trình Toán cao cấp cho các nhà kinh tế NXB Đại h.

Trang 1

EUREKA ! UNI – YOUTUBE

GIẢI TÍCH 1 CHƯƠNG 5 CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI HÀM

Đạo diễn: Hoàng Bá Mạnh

Tài liệu tham khảo

1 Lê Đình Thúy, Nguyễn Quỳnh Lan (2012) Giáo trình Toán cao cấp cho các nhà kinh tế NXB Đại học KTQD ĐH KTQD

2 Nguyễn Ngọc Cừ, Lê Huy Đạm, Trịnh Danh Đằng, Trần Thanh Sơn (2010) Giáo trình Giải tích 1 NXB ĐH Quốc gia Hà Nội

3 Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Dĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2006) Giáo trình Toán học cao cấp tập

II Tái bản lần 10 NXB Giáo Dục

Free Video Playlists

1 ĐẠI SỐ: https://tinyurl.com/DaiSoFull

2 GIẢI TÍCH 1: https://tinyurl.com/GiaiTich1Full

3 GIẢI TÍCH: https://tinyurl.com/GiaiTichFull

5 TOÁN CAO CẤP NEU: https://tinyurl.com/ToanCaoCapNEU

6 XÁC SUẤT & THỐNG KÊ: https://eureka-uni.tiny.us/XSTKFull

7 KINH TẾ LƯỢNG: https://eureka-uni.tiny.us/KinhTeLuongFull

8 KINH TẾ LƯỢNG NÂNG CAO: https://tinyurl.com/KinhTeLuongNangCao

DONATE cho Eureka! Uni

* Vietinbank: 107006662834 - Hoang Ba Manh *Momo: 0986.960.312

Trang 2

5.1 DẠNG 1 CHUỖI SỐ: XÉT HỘI TỤ/PHÂN KÌ

5.1.1 Chuỗi số: so sánh với dãy số

Trang 3

Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com)

Chuỗi đan dấu

- Hội tụ tuyệt đối

Trang 4

Tiêu chuẩn Cauchy

Chênh lệch giữa 2 tổng riêng bất kì có thể nhỏ tùy ý, miễn 𝑛𝑛 đủ lớn Nghĩa là ∀𝜀𝜀 > 0, ∃ 𝑛𝑛0 sao cho ∀𝑛𝑛 ≥ 𝑛𝑛0, 𝑚𝑚 ∈ ℕ∗ ta luôn có:

Trang 5

𝑆𝑆𝑛𝑛 = 1.3 +1 3.5 +1 5.7 + ⋯ +1 (2𝑛𝑛 + 1)(2𝑛𝑛 + 3)1

= 12 �1 −13� + 12 �13 − 15� + 12 �15 −17� + ⋯+12 �2𝑛𝑛 + 1 −1 2𝑛𝑛 + 3� =1 12 �1 −2𝑛𝑛 + 3� 1

⇒ 𝑆𝑆𝑛𝑛+𝑚𝑚 = 12 �1 −2(𝑛𝑛 + 𝑚𝑚) + 3� ,1 𝑚𝑚 ∈ ℕ∗Với mọi 𝜀𝜀 > 0 ta có:

|𝑆𝑆𝑛𝑛+𝑚𝑚 − 𝑆𝑆𝑛𝑛| = �12 2𝑛𝑛 + 3 −1 12 2𝑛𝑛 + 2𝑚𝑚 + 3�1

≤ 12 �2𝑛𝑛 + 3 +1 2𝑛𝑛 + 2𝑚𝑚 + 3� <1 2𝑛𝑛 + 3 <1 1𝑛𝑛 < 𝜀𝜀

⇔ 𝑛𝑛 > 1

𝜀𝜀 Theo 𝜀𝜀 > 0 bé tùy ý, chọn 𝑛𝑛0 = �1𝜀𝜀�, khi đó với mọi 𝑛𝑛 > 𝑛𝑛0, 𝑚𝑚 ∈ ℕ∗ ta luôn có:

|𝑆𝑆𝑛𝑛+𝑚𝑚 − 𝑆𝑆𝑛𝑛| < 𝜀𝜀 Theo tiêu chuẩn Cauchy, chuỗi đã cho hội tụ

Trang 6

1𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1)

𝑛𝑛 + 2

Trang 7

Dạng 1.2 Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi dương

Tiêu chuẩn D’Alembert (“tỉ số”)

Tiêu chuẩn Cauchy (“căn”)

Tiêu chuẩn tích phân

Trang 8

Phía trên hội tụ ⇒ Phía dưới hội tụ

Phía dưới phân kì ⇒ Phía trên phân kì

Trang 9

Trang 10

⇒ không kết luận được

Hướng 4: Tiêu chuẩn Cauchy (“căn”)

⇒ 𝑆𝑆𝑟𝑟4 không kết luận được

Hướng 5: Tiêu chuẩn tích phân

𝑺𝑺𝒏𝒏 và 𝑰𝑰𝒇𝒇 cùng hội tụ, phân kì, nếu:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) > 0 liên tục, đơn điệu giảm trên [1, +∞)

lim

𝑥𝑥→+∞𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0

Vận dụng

Trang 11

Trang 13

Tiêu chuẩn Tích phân

ln �1 + 1𝑛𝑛� ~1𝑛𝑛

Trang 14

𝑥𝑥 − ln(1 + 𝑥𝑥) Giải

𝑆𝑆𝑢𝑢 hội tụ tuyệt đối ⇒ 𝑆𝑆𝑢𝑢 hội tụ

𝑆𝑆𝑢𝑢 bán hội tụ ⇔ 𝑆𝑆𝑢𝑢 hội tụ nhưng 𝑆𝑆|𝑢𝑢| phân kì

𝑆𝑆𝑟𝑟21 = �(−1)𝑛𝑛sin 𝑛𝑛

𝑛𝑛2

∞

𝑛𝑛=1

Trang 15

Trang 17

Đáp án chi tiết phần tự luyện

Trang 19

𝑛𝑛54

< 8𝑛𝑛

1 8

Trang 20

𝑛𝑛→+∞

ln 𝑛𝑛𝑛𝑛(ln2𝑛𝑛 + 2)

1𝑛𝑛(ln 𝑛𝑛 + 1)

= 𝑒𝑒−2 < 1

⇒ 𝑆𝑆𝑟𝑟17 hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy

Trang 21

⇒ 𝑆𝑆𝑟𝑟18 hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alembert

𝑆𝑆𝑟𝑟20 = � ln

1

√𝑛𝑛sin 1

= 16 𝑥𝑥2

Trang 22

𝑛𝑛 → +∞ ⇒ 1

√𝑛𝑛 → 0 ⇒ ln

1

√𝑛𝑛sin 1

𝑢𝑢𝑛𝑛 = (−1)𝑛𝑛

𝑛𝑛�𝑛𝑛 − √𝑛𝑛� ⇒ |𝑢𝑢𝑛𝑛| =

1𝑛𝑛�𝑛𝑛 − √𝑛𝑛� =

1𝑛𝑛√𝑛𝑛�√𝑛𝑛 − 1� ≤

1𝑛𝑛√𝑛𝑛 ∀𝑛𝑛 ≥ 4

⇒ 𝑆𝑆𝑟𝑟23 hội tụ tuyệt đối

Chú ý: Nếu chỉ quan tâm tới tính hội tụ (không phải hội tụ tuyệt đối) thì

có thể dùng định lý Leibnitz cho chuỗi đan dấu

Trang 23

√𝑛𝑛 − 1 + √𝑛𝑛

𝑛𝑛 đơn điệu giảm và lim𝑛𝑛→+∞