Eureka uni _ tích phân mặt loại 1

GIẢI TÍCH 2 FULL VIDEO MIỄN PHÍFull playlist: https:eurekauni.tiny.usGiaiTich2+ Ch1. Hàm nhiều biến: https:tinyurl.comHamSoNhieuBien+ Ch2. Tích phân bội: https:rotf.lolTichPhanBoi+ Ch3. Tích phân đường, mặt: https:tinyurl.comTPDuongTPMat+ Ch4. Phương trình vi phân: https:tinyurl.comPTViPhan+ Hỏi đáp Giải tích: https:eurekauni.tiny.usGiaiTichQAFULL VIDEO MIỄN PHÍ CÁC MÔN:1. ĐẠI SỐ: https:tinyurl.comDaiSoFull2. GIẢI TÍCH: https:tinyurl.comGiaiTichFull3. GIẢI TÍCH 1: https:tinyurl.comGiaiTich1Full4. GIẢI TÍCH 2: https:eurekauni.tiny.usGiaiTich25. TOÁN CAO CẤP NEU: https:tinyurl.comToanCaoCapNEU6. XSTK: https:eurekauni.tiny.usXSTKFull7. KINH TẾ LƯỢNG: https:eurekauni.tiny.usKinhTeLuongFull8. KINH TẾ LƯỢNG NÂNG CAO: https:tinyurl.comKinhTeLuongNangCaoDonate cho Eureka Uni+ Vietinbank: 107006662834 Hoang Ba Manh+ Momo: 0986.960.312

Trang 1

EUREKA ! UNI – YOUTUBE

GIẢI TÍCH 2 CHƯƠNG 3 TÍCH PHÂN MẶT

Đạo diễn: Hoàng Bá Mạnh

Tài liệu tham khảo

1 Bùi Xuân Diệu (2017) Bài giảng Giải tích II Cập nhật 2017 Viện Toán ứng dụng và Tin học

ĐH BKHN

2 Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Dĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2006) Giáo trình Toán học cao cấp tập III Tái bản lần 10 NXB Giáo Dục

Free Video Playlists

2 GIẢI TÍCH 1: https://tinyurl.com/GiaiTich1Full

4 GIẢI TÍCH 2: https://tinyurl.com/GiaiTich2Full

5 TOÁN CAO CẤP NEU: https://tinyurl.com/ToanCaoCapNEU

6 XÁC SUẤT & THỐNG KÊ: https://eureka-uni.tiny.us/XSTKFull

7 KINH TẾ LƯỢNG: https://eureka-uni.tiny.us/KinhTeLuongFull

8 KINH TẾ LƯỢNG NÂNG CAO: https://tinyurl.com/KinhTeLuongNangCao

DONATE cho Eureka! Uni

* Vietinbank: 107006662834 - Hoang Ba Manh * Ví Momo: 0986.960.312

Trang 2

Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com)

3.3 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I

3.3.1 Các công thức cần nhớ

Tích phân mặt loại I

𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) liên tục trên mặt 𝑆𝑆 ⊂ 𝑂𝑂𝑥𝑥𝑦𝑦𝑧𝑧

�𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)d𝑆𝑆

𝑆𝑆

Diện tích mặt 𝑆𝑆 tính bằng

�d𝑆𝑆

𝑆𝑆

Cách tính tích phân mặt loại I

Mặt 𝑆𝑆 cho bởi 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) liên tục, có 𝑧𝑧𝑥𝑥′, 𝑧𝑧𝑦𝑦′ liên tục trong miền 𝐷𝐷 đóng

𝐷𝐷 là hình chiếu của mặt 𝑆𝑆 lên mặt 𝑂𝑂𝑥𝑥𝑦𝑦

𝑆𝑆 = � 𝑓𝑓�𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)��1 + (𝑧𝑧𝑥𝑥′)2 + �𝑧𝑧𝑦𝑦′�2d𝑥𝑥d𝑦𝑦

𝐷𝐷

Δ𝑇𝑇𝑖𝑖 là HCN trên tiếp diện của mặt 𝑆𝑆 tại điểm 𝑇𝑇

Δ𝑆𝑆𝑖𝑖 và Δ𝑇𝑇𝑖𝑖 có hình chiếu xuống Oxy

đều là Δ𝐷𝐷𝑖𝑖

𝜃𝜃 là góc tạo bởi pháp tuyến đơn vị

của mặt Δ𝑇𝑇𝑖𝑖 và véc-tơ đơn vị 𝑘𝑘�⃗

cos 𝜃𝜃 = Δ𝐷𝐷Δ𝑇𝑇𝑖𝑖

�1 + 𝑝𝑝2 + 𝑞𝑞2

𝑝𝑝 = −𝑧𝑧𝑥𝑥′(𝑀𝑀), 𝑞𝑞 = −𝑧𝑧𝑦𝑦′(𝑀𝑀)

Khi các Δ𝑆𝑆𝑖𝑖 trở nên rất nhỏ, ta có:

Trang 3

3.3.2 Bài tập ví dụ

Ví dụ 1 Tính tích phân mặt ∬ 𝑥𝑥𝑆𝑆 2𝑦𝑦2𝑧𝑧d𝑆𝑆, trong đó 𝑆𝑆 là phần mặt nón

𝑧𝑧 = �𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 ở dưới mặt phẳng 𝑧𝑧 = 1

Ví dụ 2 Tính tích phân mặt ∬ �𝑧𝑧 + 2𝑥𝑥 +𝑆𝑆 4𝑦𝑦3 � d𝑆𝑆, 𝑆𝑆 là phần mặt phẳng

𝑥𝑥

2 +𝑦𝑦3 + 𝑧𝑧4 = 1 nằm trong góc phần tám thứ nhất

Ví dụ 3 Tính tích phân mặt ∬ (𝑦𝑦𝑧𝑧 + 𝑧𝑧𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑦𝑦)d𝑆𝑆𝑆𝑆 , 𝑆𝑆 là phần mặt nón

𝑧𝑧 = �𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 nằm trong mặt trụ 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 − 6𝑥𝑥 = 0

Ví dụ 4 Tính tích phân mặt ∬ 𝑦𝑦d𝑆𝑆𝑆𝑆 , 𝑆𝑆 là phần của mặt 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦2, 0 ≤

𝑥𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 2

Ví dụ 5 Tính tích phân mặt ∬ (𝑥𝑥𝑆𝑆 2𝑧𝑧2 + 𝑧𝑧2𝑦𝑦2)d𝑆𝑆, 𝑆𝑆 là mặt cầu 𝑥𝑥2 +

𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 = 4

Ví dụ 6 Tính tích phân mặt ∬ (𝑦𝑦𝑆𝑆 2 + 𝑧𝑧2)d𝑆𝑆, 𝑆𝑆 là phần của mặt 𝑥𝑥 = 4 −

𝑦𝑦2 − 𝑧𝑧2 nằm ở trên mặt phẳng 𝑥𝑥 = 0

Ví dụ 7* Tính tích phân mặt ∬ 𝑧𝑧d𝑆𝑆𝑆𝑆 , 𝑆𝑆 là biên của vật thể giới hạn bởi các mặt 𝑧𝑧 = 0, 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 1, 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 1

GIẢI CHI TIẾT

Ví dụ 1 Tính tích phân mặt ∬ 𝑥𝑥𝑆𝑆 2𝑦𝑦2𝑧𝑧d𝑆𝑆, trong đó 𝑆𝑆 là phần mặt nón 𝑧𝑧 =

�𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 ở dưới mặt phẳng 𝑧𝑧 = 1

𝐷𝐷

Trang 4

Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) Hình chiếu của 𝑆𝑆 lên mặt 𝑂𝑂𝑥𝑥𝑦𝑦 là hình tròn tâm

𝑂𝑂 bán kính bằng 1 (𝐷𝐷)

𝑧𝑧𝑥𝑥′ = 𝑥𝑥

�𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2, 𝑧𝑧𝑦𝑦′ = 𝑦𝑦

�𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2

�1 + (𝑧𝑧𝑥𝑥′)2 + �𝑧𝑧𝑦𝑦′�2 = �1 + 𝑥𝑥2𝑥𝑥+ 𝑦𝑦2 2 +𝑥𝑥2𝑦𝑦+ 𝑦𝑦2 2

= √2

⇒ 𝐼𝐼1 = �𝑥𝑥2𝑦𝑦2𝑧𝑧d𝑆𝑆

𝑆𝑆 = √2 � 𝑥𝑥2𝑦𝑦2�𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2d𝑥𝑥d𝑦𝑦

𝐷𝐷

Chuyển sang tọa độ cực

𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 , 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑 , 0 ≤ 𝜑𝜑 ≤ 2𝜋𝜋, 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 1, 𝐽𝐽 = 𝑟𝑟

𝐼𝐼1 = √2 � d𝑟𝑟 � 𝑟𝑟2𝜋𝜋 6cos2𝜑𝜑 sin2𝜑𝜑 d𝜑𝜑

0

1 0

= √2 � 𝑟𝑟1 6d𝑟𝑟

0 � cos2𝜋𝜋 2𝜑𝜑 sin2𝜑𝜑 d𝜑𝜑

0

= √2 �17 𝑟𝑟7

�10��2𝜋𝜋14(sin22𝜑𝜑)d𝜑𝜑

0

= √27 �2𝜋𝜋18(1 − cos 4𝜑𝜑)d𝜑𝜑

0 = √256 �𝜑𝜑 −14 sin 4𝜑𝜑� �2𝜋𝜋0 = √228 𝜋𝜋 sin 2𝑎𝑎 = 2 sin 𝑎𝑎 cos 𝑎𝑎 , sin2𝑎𝑎 = 1

2(1 − cos 2𝑎𝑎)

Trang 5

Ví dụ 2 Tính tích phân mặt ∬ �𝑧𝑧 + 2𝑥𝑥 +𝑆𝑆 4𝑦𝑦3 � d𝑆𝑆, 𝑆𝑆 là phần mặt phẳng

𝑥𝑥

2 +𝑦𝑦3 +𝑧𝑧4 = 1 nằm trong góc phần tám thứ nhất

𝐷𝐷

Hình chiếu của 𝑆𝑆 xuống mặt 𝑂𝑂𝑥𝑥𝑦𝑦 là hình tam

giác với các đường biên là:

𝑥𝑥 = 0, 𝑦𝑦 = 0, 𝑥𝑥2 +𝑦𝑦3 = 1 (𝐷𝐷)

𝑥𝑥

2 +

𝑦𝑦

3 +

𝑧𝑧

4 = 1 ⇔ 𝑧𝑧 = 4 − 2𝑥𝑥 −

4

3 𝑦𝑦

⇒ 𝑧𝑧𝑥𝑥′ = −2, 𝑧𝑧𝑦𝑦′ = −4

3

𝐼𝐼2 = � �𝑧𝑧 + 2𝑥𝑥 +4𝑦𝑦3 � d𝑆𝑆

𝑆𝑆

= � �4 − 2𝑥𝑥 − 43 𝑦𝑦 + 2𝑥𝑥 +43 𝑦𝑦��1 + (−2)2 + �−43�2d𝑥𝑥d𝑦𝑦

𝐷𝐷

3 � d𝑥𝑥d𝑦𝑦𝐷𝐷 =

4√61

3−32𝑥𝑥 0

2 0

3 � �3 −

3

2 𝑥𝑥� d𝑥𝑥

2

3 �3𝑥𝑥 −

3

4 𝑥𝑥2� �20 = 4√61

Trang 6

Ví dụ 3 Tính tích phân mặt ∬ (𝑦𝑦𝑧𝑧 + 𝑧𝑧𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑦𝑦)d𝑆𝑆𝑆𝑆 , 𝑆𝑆 là phần mặt nón 𝑧𝑧 =

�𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 nằm trong mặt trụ 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 − 6𝑥𝑥 = 0

𝐷𝐷

𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 − 6𝑥𝑥 = 0 ⇔ (𝑥𝑥 − 3)2 + 𝑦𝑦2 = 9

Hình chiếu của 𝑆𝑆 lên mặt Oxy là hình tròn

tâm (3,0,0) bán kính bằng 3 (𝐷𝐷)

𝑧𝑧𝑥𝑥′ = 𝑥𝑥

�𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2, 𝑧𝑧𝑦𝑦′ = 𝑦𝑦

�𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2

�1 + (𝑧𝑧𝑥𝑥′)2 + �𝑧𝑧𝑦𝑦′�2

𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑦𝑦2

𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = √2

⇒ 𝐼𝐼3 = �(𝑦𝑦𝑧𝑧 + 𝑧𝑧𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑦𝑦)d𝑆𝑆

𝑆𝑆

= � �𝑦𝑦�𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑥𝑥�𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑥𝑥𝑦𝑦� √2d𝑥𝑥d𝑦𝑦

𝐷𝐷

𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 , 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑 , −𝜋𝜋2 ≤ 𝜑𝜑 ≤ 𝜋𝜋2 , 𝐽𝐽 = 𝑟𝑟

𝑟𝑟2 − 6𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 = 0 ⇔ 𝑟𝑟 = 6 cos 𝜑𝜑 ⇒ 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 6 cos 𝜑𝜑

Trang 7

𝐼𝐼3 = √2 � d𝜑𝜑 �6 cos 𝜑𝜑(𝑟𝑟2cos 𝜑𝜑 + 𝑟𝑟2sin 𝜑𝜑 + 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑)𝑟𝑟d𝑟𝑟

0

𝜋𝜋 2

−𝜋𝜋2

= √2 � d𝜑𝜑 �6 cos 𝜑𝜑(cos 𝜑𝜑 + sin 𝜑𝜑 + cos 𝜑𝜑 sin 𝜑𝜑)𝑟𝑟3d𝑟𝑟

0

𝜋𝜋 2

−𝜋𝜋2

= √2 � d𝜑𝜑 �(cos 𝜑𝜑 + sin 𝜑𝜑 + cos 𝜑𝜑 sin 𝜑𝜑)14 𝑟𝑟4�6 cos 𝜑𝜑0 �

𝜋𝜋 2

−𝜋𝜋2

= 644 �√2 (cos5𝜑𝜑 + sin 𝜑𝜑 cos4𝜑𝜑 + cos5𝜑𝜑 sin 𝜑𝜑)d𝜑𝜑

𝜋𝜋 2

−𝜋𝜋2

= 644 � cos√2 5𝜑𝜑 d𝜑𝜑

𝜋𝜋 2

64√2

2 � cos5𝜑𝜑 d𝜑𝜑

𝜋𝜋 2 0

= 642 �√2 (1 − sin2𝜑𝜑)2d(sin 𝜑𝜑)

𝜋𝜋 2 0

= 642 �√2 (1 − 2 sin2𝜑𝜑 + sin4𝜑𝜑)d(sin 𝜑𝜑)

𝜋𝜋 2 0

= 64√2

2 �sin 𝜑𝜑 −

2

3 sin3𝜑𝜑 +

1

5 sin5𝜑𝜑� �𝜋𝜋/20 = 17285 𝜋𝜋

Trang 8

Ví dụ 4 Tính tích phân mặt ∬ 𝑦𝑦d𝑆𝑆𝑆𝑆 , 𝑆𝑆 là phần của mặt 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦2, 0 ≤

𝑥𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 2

Hình chiếu của 𝑆𝑆 lên mặt Oxy là hình chữ nhật (𝐷𝐷) có

các cạnh song song với hai trục trong mặt mẳng 𝑂𝑂𝑥𝑥𝑦𝑦

𝑧𝑧𝑥𝑥′ = 1, 𝑧𝑧𝑦𝑦′ = 2𝑦𝑦

�1 + (𝑧𝑧𝑥𝑥′)2 + �𝑧𝑧𝑦𝑦′�2 = �2 + 4𝑦𝑦2

𝐼𝐼4 = �𝑦𝑦d𝑆𝑆

𝑆𝑆 = � 𝑦𝑦�2 + 4𝑦𝑦2d𝑥𝑥d𝑦𝑦

0 � 𝑦𝑦�2 + 4𝑦𝑦2 2d𝑦𝑦

0

= � d𝑥𝑥1

0 �218�2 + 4𝑦𝑦2d(2 + 4𝑦𝑦2)

0

= �𝑥𝑥 �10��18 ×

2

3(2 + 4𝑦𝑦2)32�20� = 13√23

Ví dụ 5 Tính tích phân mặt ∬ (𝑥𝑥𝑆𝑆 2𝑧𝑧2 + 𝑧𝑧2𝑦𝑦2)d𝑆𝑆, 𝑆𝑆 là mặt cầu 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 +

𝑧𝑧2 = 4

Mặt cầu 𝑆𝑆 nhận mặt phẳng 𝑧𝑧 = 0 làm mặt đối xứng, bên cạnh đó hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn với biến 𝑧𝑧 Vì vậy, nếu gọi 𝑆𝑆′ là nửa phía trên mặt Oxy của mặt 𝑆𝑆 thì:

𝐼𝐼5 = �(𝑥𝑥2𝑧𝑧2 + 𝑧𝑧2𝑦𝑦2)d𝑆𝑆

𝑆𝑆 ′

Hình chiếu của 𝑆𝑆′ lên mặt Oxy là hình tròn tâm 𝑂𝑂 bán kính bằng 2 (D)

Trang 9

𝑧𝑧 ≥ 0 ⇒ 𝑧𝑧 = �4 − 𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2, 𝑧𝑧𝑥𝑥′ = −𝑥𝑥𝑧𝑧 , 𝑧𝑧𝑦𝑦′ = −𝑦𝑦𝑧𝑧

�1 + (𝑧𝑧𝑥𝑥′)2 + �𝑧𝑧𝑦𝑦′�2 = �1 +𝑥𝑥𝑧𝑧22 +𝑦𝑦𝑧𝑧22 = 2𝑧𝑧

⇒ 𝐼𝐼5 = 2 � (𝑥𝑥2𝑧𝑧2 + 𝑧𝑧2𝑦𝑦2)2

𝑧𝑧 d𝑥𝑥d𝑦𝑦

𝐷𝐷

= 4 � (𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2)�4 − 𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2d𝑥𝑥d𝑦𝑦

𝐷𝐷

𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 , 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑 , 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 2, 0 ≤ 𝜑𝜑 ≤ 2𝜋𝜋, 𝐽𝐽 = 𝑟𝑟

⇒ 𝐼𝐼1 = 4 � d𝜑𝜑 � 𝑟𝑟2 2�4 − 𝑟𝑟2𝑟𝑟d𝑟𝑟

0

2𝜋𝜋

0

= 4𝜋𝜋 � 𝑟𝑟2 2�4 − 𝑟𝑟2d(𝑟𝑟2)

0

= −4𝜋𝜋 � �−(4 − 𝑟𝑟2 2)32 + 4(4 − 𝑟𝑟2)12� d(4 − 𝑟𝑟2)

0

= −4𝜋𝜋 �−25(4 − 𝑟𝑟2)52 + 83(4 − 𝑟𝑟2)32� �20 = 51215 𝜋𝜋

Ví dụ 6 Tính tích phân mặt ∬ (𝑦𝑦𝑆𝑆 2 + 𝑧𝑧2)d𝑆𝑆, 𝑆𝑆 là phần của mặt 𝑥𝑥 = 4 −

𝑦𝑦2 − 𝑧𝑧2 nằm ở trên mặt phẳng 𝑥𝑥 = 0

Hình chiếu của 𝑆𝑆 lên mặt Oyz là miền phẳng 𝐷𝐷 giới hạn bởi đường tròn

𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 = 4

𝑥𝑥𝑦𝑦′ = −2𝑦𝑦, 𝑥𝑥𝑧𝑧′ = −2𝑧𝑧

Trang 10

�1 + �𝑥𝑥𝑦𝑦′�2 + (𝑥𝑥𝑧𝑧′)2 = �1 + 4(𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2)

⇒ 𝐼𝐼6 = �(𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2)d𝑆𝑆

𝑆𝑆 = � (𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2)�1 + 4(𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2)d𝑦𝑦d𝑧𝑧

𝐷𝐷

𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 , 𝑧𝑧 = 𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑 , 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 2, 0 ≤ 𝜑𝜑 ≤ 2𝜋𝜋, 𝐽𝐽 = 𝑟𝑟

𝐼𝐼6 = � d𝜑𝜑2𝜋𝜋

0 � 𝑟𝑟2 2�1 + 4𝑟𝑟2𝑟𝑟d𝑟𝑟

0

Đặt 𝑡𝑡 = √1 + 4𝑟𝑟2 ⇒ 𝑟𝑟2 = 14(𝑡𝑡2 − 1), 𝑟𝑟d𝑟𝑟 = 14𝑡𝑡d𝑡𝑡, 𝑟𝑟 �20 ⇒ 𝑡𝑡�√117

𝐼𝐼6 = 2𝜋𝜋 �√1714(𝑡𝑡2 − 1)𝑡𝑡 �14 𝑡𝑡d𝑡𝑡�

1

= 𝜋𝜋8 �15 𝑡𝑡5 − 13 𝑡𝑡3� �√17

391√17 + 1

Trang 11

Ví dụ 7* Tính tích phân mặt ∬ 𝑧𝑧d𝑆𝑆𝑆𝑆 , 𝑆𝑆 là biên của vật thể giới hạn bởi các mặt 𝑧𝑧 = 0, 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 1, 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 1

Mặt 𝑆𝑆 gồm 3 mặt:

𝑆𝑆1: 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 ≤ 1, 𝑧𝑧 = 0

𝑆𝑆2: 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 ≤ 1, 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 1

𝑆𝑆3: 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 1, 0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 𝑥𝑥 + 1

𝐼𝐼7 = �𝑧𝑧d𝑆𝑆

𝑆𝑆1 + � 𝑧𝑧d𝑆𝑆

𝑆𝑆2 + � 𝑧𝑧d𝑆𝑆

𝑆𝑆3

= 𝐼𝐼71 + 𝐼𝐼72 + 𝐼𝐼73 Trên 𝑆𝑆1 ta có 𝑧𝑧 = 0 ⇒ 𝐼𝐼71 = ∬ 𝑧𝑧d𝑆𝑆𝑆𝑆1 = ∬ 0d𝑆𝑆𝑆𝑆1 = 0

Trên 𝑆𝑆2 ta có 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 1 ⇒ 𝑧𝑧𝑥𝑥′ = 1, 𝑧𝑧𝑦𝑦′ = 0

�1 + (𝑧𝑧𝑥𝑥′)2 + �𝑧𝑧𝑦𝑦′�2 = √1 + 1 + 0 = √2 Hình chiếu của 𝑆𝑆2 lên mặt 𝑂𝑂𝑥𝑥𝑦𝑦 chính là 𝑆𝑆1

𝐼𝐼72 = � 𝑧𝑧d𝑆𝑆

𝑆𝑆2 = � (𝑥𝑥 + 1)√2d𝑥𝑥d𝑦𝑦

𝑆𝑆1

Đặt 𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 , 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑 , 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 1, 0 ≤ 𝜑𝜑 ≤ 2𝜋𝜋, 𝐽𝐽 = 𝑟𝑟

𝐼𝐼72 = √2 � d𝑟𝑟1

0 � (𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 + 1)𝑟𝑟d𝜑𝜑2𝜋𝜋

0 (𝑟𝑟2sin 𝜑𝜑 + 𝑟𝑟𝜑𝜑) �2𝜋𝜋0

= 2√2𝜋𝜋 � 𝑟𝑟d𝑟𝑟1

�10 = 𝜋𝜋√2

Trang 12

Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) Mặt 𝑆𝑆3 nhận mặt 𝑦𝑦 = 0 làm mặt đối xứng Hàm dưới dấu

tích phân là chẵn với 𝑦𝑦 Gọi 𝑆𝑆3′ là phần 𝑆𝑆3 thỏa mãn 𝑦𝑦 ≥ 0,

khi đó ta có:

𝐼𝐼73 = � 𝑧𝑧d𝑆𝑆

𝑆𝑆3 = 2 � 𝑧𝑧d𝑆𝑆

𝑆𝑆3′

𝑆𝑆3′ xác định bởi: 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 1, 𝑦𝑦 ≥ 0, 0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 𝑥𝑥 + 1

⇒ 𝑦𝑦 = �1 − 𝑥𝑥2

𝑦𝑦𝑥𝑥′ = − 𝑥𝑥

√1 − 𝑥𝑥2, 𝑦𝑦𝑧𝑧′ = 0 Hình chiếu của 𝑆𝑆3′ lên mặt 𝑦𝑦 = 0 là hình tam giác (𝐷𝐷3) xác định bởi:

0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 𝑥𝑥 + 1, −1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1

⇒ 𝐼𝐼73 = 2 � 𝑧𝑧�1 +1 − 𝑥𝑥𝑥𝑥2 2d𝑥𝑥d𝑧𝑧

√1 − 𝑥𝑥2d𝑥𝑥d𝑧𝑧

𝐷𝐷3

= � d𝑥𝑥1

√1 − 𝑥𝑥2d𝑧𝑧

𝑥𝑥+1

√1 − 𝑥𝑥2�𝑥𝑥 + 10 �

= � (𝑥𝑥 + 1)2

√1 − 𝑥𝑥2 d𝑥𝑥

1

−1

Đặt 𝑥𝑥 = sin 𝑡𝑡 , −𝜋𝜋2 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝜋𝜋2, d𝑥𝑥 = cos 𝑡𝑡 d𝑡𝑡

Trang 13

𝐼𝐼73 = � (sin 𝑡𝑡 + 1)2

cos 𝑡𝑡 cos 𝑡𝑡 d𝑡𝑡

𝜋𝜋 2

2𝑡𝑡 + 2 sin 𝑡𝑡 + 1)d𝑡𝑡

𝜋𝜋 2

−𝜋𝜋2

= � (sin2𝑡𝑡 + 1)d𝑡𝑡

𝜋𝜋 2

−𝜋𝜋2

= �32 𝑡𝑡 −14 sin 2𝑡𝑡� �−𝜋𝜋/2 =𝜋𝜋/2 32 𝜋𝜋 Vậy

𝐼𝐼7 = 0 + 𝜋𝜋√2 +32 𝜋𝜋 = 3 + 2√22 𝜋𝜋

Tiêu đề	Tích phân mặt loại 1
Tác giả	Hoàng Bá Mạnh
Trường học	Đại Học Bách Khoa Hà Nội
Chuyên ngành	Giải tích
Thể loại	Giáo trình hoặc tài liệu hướng dẫn
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	520,27 KB