Eureka uni giải tích 1 ch2 hàm số giới hạn tính liên tục full dạng

Giải tích 1 Chương 2 Hàm số: Giới hạn và tính liên tục Full dạng Free Video Playlists 1. ĐẠI SỐ: https:tinyurl.comDaiSoFull 2. GIẢI TÍCH 1: https:tinyurl.comGiaiTich1Full 3. GIẢI TÍCH: https:tinyurl.comGiaiTichFull 4. GIẢI TÍCH 2: https:tinyurl.comGiaiTich2Full 5. TOÁN CAO CẤP NEU: https:tinyurl.comToanCaoCapNEU 6. XÁC SUẤT THỐNG KÊ: https:eurekauni.tiny.usXSTKFull 7. KINH TẾ LƯỢNG: https:eurekauni.tiny.usKinhTeLuongFull 8. KINH TẾ LƯỢNG NÂNG CAO: https:tinyurl.comKinhTeLuongNangCao DONATE cho Eureka Uni MomoShopeeVietinbankTechcombankVPBank: 0986.960.312 Hoang Ba Manh

EUREKA ! UNI – YOUTUBE

GIẢI TÍCH 1

CHƯƠNG 2 HÀM SỐ: GIỚI HẠN

& TÍNH LIÊN TỤC

Đạo diễn: Hoàng Bá Mạnh

Tài liệu tham khảo

1 Lê Đình Thúy, Nguyễn Quỳnh Lan (2012) Giáo trình Toán cao cấp cho các nhà kinh

tế NXB Đại học KTQD ĐH KTQD

2 Nguyễn Ngọc Cừ, Lê Huy Đạm, Trịnh Danh Đằng, Trần Thanh Sơn (2010) Giáo

trình Giải tích 1 NXB ĐH Quốc gia Hà Nội

3 Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Dĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2006) Giáo trình Toán học cao

cấp tập II Tái bản lần 10 NXB Giáo Dục

Free Video Playlists

1 ĐẠI SỐ: https://tinyurl.com/DaiSoFull

2 GIẢI TÍCH 1: https://tinyurl.com/GiaiTich1Full

3 GIẢI TÍCH: https://tinyurl.com/GiaiTichFull

4 GIẢI TÍCH 2: https://tinyurl.com/GiaiTich2Full

5 TOÁN CAO CẤP NEU: https://tinyurl.com/ToanCaoCapNEU

6 XÁC SUẤT & THỐNG KÊ: https://eureka-uni.tiny.us/XSTKFull

7 KINH TẾ LƯỢNG: https://eureka-uni.tiny.us/KinhTeLuongFull

8 KINH TẾ LƯỢNG NÂNG CAO: https://tinyurl.com/KinhTeLuongNangCao

DONATE cho Eureka! Uni

* Momo/Shopee/Vietinbank/Techcombank/VPBank: 0986.960.312 Hoang Ba Manh

MỤC LỤC

1 DẠNG 1 SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA CHỨNG MINH GIỚI HẠN HÀM SỐ 1

1.1 Trường hợp 𝑥𝑥 → ∞ 1

1.1.1 Giới hạn hữu hạn 1

1.1.2 Giới hạn vô hạn 2

1.2 Trường hợp 𝑥𝑥 → 𝑎𝑎 hữu hạn 3

1.2.1 Giới hạn hữu hạn 3

1.2.2 Giới hạn vô hạn 4

2 DẠNG 2 CÁC GIỚI HẠN DẠNG XÁC ĐỊNH CƠ BẢN 6

2.1 Giới hạn của các hàm sơ cấp cơ bản 6

2.2 Giới hạn của các hàm sơ cấp, hàm hợp 8

3 DẠNG 3 CÁC GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH CƠ BẢN 10

3.1 Tóm tắt lý thuyết 10

3.1.1 Các dạng vô định và giới hạn vô định cơ bản 10

3.1.2 Các giới hạn vô định kéo theo thường dùng 10

3.1.3 Tổng kết giới hạn vô định cơ bản và kéo theo thường dùng 12

3.2 Ví dụ luyện tập và lời giải 13

3.2.1 Ví dụ luyện tập 13

3.2.2 Các quy tắc tính giới hạn 13

3.2.3 Giải ví dụ luyện tập 13

4 DẠNG 4 SỬ DỤNG VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG 16

4.1 Vô cùng bé tương đương dạng cơ bản 16

4.1.1 Vô cùng bé và vô cùng bé tương đương 16

4.1.2 Ứng dụng VCB tương đương trong tính giới hạn 17

4.2 Tìm Vô cùng bé tương đương cho tổng các vô cùng bé 21

4.2.1 Tổng các vô cùng bé khác bậc – ngắt bỏ VCB bậc cao 21

4.2.2 Tổng các vô cùng bé cùng bậc 22

4.3 Tìm VCB tương đương bằng khai triển Taylor, Maclaurin 25

4.3.1 Các khai triển Maclaurin thường gặp 26

4.3.2 Khai triển gián tiếp cho hàm hợp 27

4.3.3 Áp dụng tính giới hạn 28

5 DẠNG 5 QUY TẮC KẸP (VÔ CÙNG BÉ) × (HÀM BỊ CHẶN) 36

5.1 Nội dung của Quy tắc kẹp 36

5.2 Ví dụ luyện tập 36

6 DẠNG 6 QUY TẮC L’HOSPITAL 41

6.1 Nội dung Quy tắc L’Hospital 41

6.2 Một số đạo hàm cơ bản 42

6.3 Ví dụ luyện tập giải chi tiết 43

7 DẠNG 7 GIỚI HẠN DẠNG THỨC LŨY THỪA MŨ 47

7.1 Cách cách dùng riêng cho 1∞ 47

7.1.1 Giới hạn vô định cơ bản 1∞ 47

7.1.2 Đổi về cơ số 𝒆𝒆 49

7.1.3 Quy tắc dùng cho dạng 𝟏𝟏∞ 50

7.2 Phương pháp Logarit hóa 50

8 DẠNG 8 XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 57

8.1 Hàm số liên tục, gián đoạn và phân loại điểm gián đoạn 57

8.1.1 Liên tục tại điểm 𝒙𝒙𝟎𝟎 57

8.1.2 Gián đoạn tại điểm 𝒙𝒙𝟎𝟎 59

8.1.3 Liên tục trên miền 60

8.1.4 Tính liên tục của các hàm sơ cấp 60

8.1.5 Tính chất của hàm liên tục 60

8.2 Hàm số Liên tục đều 61

8.2.1 Định nghĩa 61

8.2.2 Minh họa Hàm số liên tục đều 61

8.2.3 Minh họa Hàm số không liên tục đều 62

8.3 Ví dụ luyện tập 63

1 DẠNG 1 SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA CHỨNG MINH GIỚI HẠN HÀM SỐ

�2 − 3𝑥𝑥𝑥𝑥2 2 +13� = �3(2 − 3𝑥𝑥2 2)� = 3(3𝑥𝑥22 − 2) < 1𝑥𝑥 < 𝜀𝜀

⇔ 𝑥𝑥 > 1𝜀𝜀

𝑥𝑥 > 1 ⇒ 32(3𝑥𝑥2 − 2) > 3𝑥𝑥2 − 2 = 𝑥𝑥2 + 2(𝑥𝑥2 − 1) > 𝑥𝑥2 > 𝑥𝑥

⇒ 3(3𝑥𝑥22 − 2) < 1𝑥𝑥Vậy với 1 > 𝜀𝜀 > 0 bé tùy ý và chọn 𝑥𝑥0 = 1𝜀𝜀, ∀𝑥𝑥 > 𝑥𝑥0, ta luôn có:

� 𝑥𝑥2

2 − 3𝑥𝑥2 + 1

3� < 𝜀𝜀 Theo định nghĩa:

�2 − 3𝑥𝑥𝑥𝑥2 2 +13� = �3(2 − 3𝑥𝑥2 2)� = 3|3𝑥𝑥22 − 2| < |𝑥𝑥| < 𝜀𝜀 ⇔1 |𝑥𝑥| >

1𝜀𝜀

𝑥𝑥→−∞

𝑥𝑥22𝑥𝑥 − 3 = −∞

2(𝑥𝑥 − 3)2𝑥𝑥 − 3 �

< �√𝑥𝑥 + 6 − 3

2𝑥𝑥 − 3 � + 2 �

𝑥𝑥 − 32𝑥𝑥 − 3�

= � (𝑥𝑥 + 6) − 9(2𝑥𝑥 − 3)�√𝑥𝑥 + 6 + 3�� + 2 �

𝑥𝑥 − 32𝑥𝑥 − 3� =

(2𝑥𝑥 − 3)�√𝑥𝑥 + 6 + 3�� + 2 �

𝑥𝑥 − 32𝑥𝑥 − 3�

< �2𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 − 3 � + 2 �2𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 − 3 � = 3 �2𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 − 3 � < 3|𝑥𝑥 − 3| < 𝜀𝜀

⇔ |𝑥𝑥 − 3| < 3𝜀𝜀Với mọi 1 > 𝜀𝜀 > 0 bé tùy ý, chọn 𝛿𝛿 = 𝜀𝜀/3 Khi đó với |𝑥𝑥 − 3| < 𝛿𝛿 ta luôn có:

�√𝑥𝑥 + 62𝑥𝑥 − 3 − 1� < 𝜀𝜀 Vậy, theo định nghĩa:

lim

𝑥𝑥→3

√𝑥𝑥 + 62𝑥𝑥 − 3 = 1

𝑥𝑥→2

𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2)2 = +∞

Xét 𝐸𝐸 > 0 và do 𝑥𝑥 → 2 nên ta xét 𝑥𝑥 > 1, khi đó:

�(𝑥𝑥 − 2)𝑥𝑥 2� = (𝑥𝑥 − 2)𝑥𝑥 2 > (𝑥𝑥 − 2)1 2 > 𝐸𝐸 ⇔ (𝑥𝑥 − 2)2 < 𝐸𝐸1 ⇔ |𝑥𝑥 − 2|

< 1

√𝐸𝐸Với mọi 𝐸𝐸 > 0 lớn tùy ý, chọn 𝛿𝛿 = 1/√𝐸𝐸 Khi đó với |𝑥𝑥 − 2| < 𝛿𝛿 ta luôn có:

�(𝑥𝑥 − 2)𝑥𝑥 2� > 𝐸𝐸 Vậy, theo định nghĩa:

lim

𝑥𝑥→2

𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2)2 = +∞

Tại điểm 𝑥𝑥0 thuộc MXĐ

1≠𝑎𝑎>0

𝑎𝑎𝑥𝑥 = � 0,+∞, 𝑎𝑎 > 1𝑎𝑎 < 1 lim

𝑥𝑥→−∞𝑒𝑒𝑥𝑥 = lim−𝑥𝑥→+∞𝑒𝑒1−𝑥𝑥 = 0 lim

𝑥𝑥→−∞�1𝑒𝑒�𝑥𝑥 = lim−𝑥𝑥→+∞𝑒𝑒−𝑥𝑥 = +∞ lim

2.2 Giới hạn của các hàm sơ cấp, hàm hợp

𝑥𝑥→𝑥𝑥0

𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔(𝑥𝑥) =

𝐿𝐿4 = lim𝑥𝑥→0(cos 3𝑥𝑥)tan 𝑥𝑥 = 10 = 1

𝐿𝐿5 = lim𝑥𝑥→+∞𝑒𝑒𝜋𝜋 arccot(−𝑥𝑥)−32 = 𝑒𝑒𝜋𝜋 arccot(−∞)−32 = 𝑒𝑒𝜋𝜋𝜋𝜋−32 = 1𝑒𝑒

𝐿𝐿6 = lim𝑥𝑥→−∞ 5𝑥𝑥 − arctan(3−𝑥𝑥)

3 arccot √8𝑥𝑥2 − 7 − 𝑒𝑒3𝑥𝑥 = 0 − 𝜋𝜋2

3 × 0 − 0 = ∞

3 DẠNG 3 CÁC GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH CƠ BẢN

sin 𝑢𝑢

𝑢𝑢 = 1 lim

𝑥𝑥→0

tan 𝑎𝑎𝑥𝑥𝑎𝑎𝑥𝑥 = 1, 𝑢𝑢→0lim

tan 𝑢𝑢

𝑢𝑢 = 1 lim

𝑥𝑥→0

1 − cos(𝑎𝑎𝑥𝑥)(𝑎𝑎𝑥𝑥)2

arcsin 𝑢𝑢

𝑢𝑢 = 1 lim

𝑥𝑥→0

arctan 𝑥𝑥

𝑥𝑥 = 1 lim

𝑥𝑥→0

arctan(𝑎𝑎𝑥𝑥)(𝑎𝑎𝑥𝑥) = 1, 𝑢𝑢→0lim

𝑥𝑥→0

ln(1 + 𝑎𝑎𝑥𝑥)𝑎𝑎𝑥𝑥 = 1, 𝑢𝑢→0lim

ln(1 + 𝑢𝑢)

𝑢𝑢 = 1

𝑒𝑒𝑢𝑢 − 1

𝑢𝑢 = 1 lim

√1 + 𝑢𝑢

𝑛𝑛

− 1𝑢𝑢/𝑎𝑎 = 1

3.1.3 Tổng kết giới hạn vô định cơ bản và kéo theo

𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔(𝑥𝑥) =

𝑎𝑎

𝑏𝑏 (𝑏𝑏 ≠ 0) 𝑥𝑥→𝑥𝑥lim0[𝑓𝑓(𝑥𝑥)]𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑏𝑏 �� 𝑎𝑎 = 1𝑎𝑎 > 0

𝑏𝑏 ≠ ∞�

3.2.3 Giải ví dụ luyện tập

𝐿𝐿3 = lim𝑥𝑥→0 sin(2𝑥𝑥2) arctan2𝑥𝑥

(𝑒𝑒4𝑥𝑥 − 1) ln(1 + 𝑥𝑥2)

= lim𝑥𝑥→0

sin(2𝑥𝑥2)2𝑥𝑥2 × 2𝑥𝑥2 × �arctan 𝑥𝑥𝑥𝑥 �2 × 𝑥𝑥2(𝑒𝑒4𝑥𝑥 − 1)

𝐿𝐿41 = lim𝑥𝑥→0(1 + 𝑥𝑥2𝑒𝑒𝑥𝑥)𝑥𝑥21𝑒𝑒𝑥𝑥 = 𝑒𝑒

𝐿𝐿42 = lim𝑥𝑥→01 − cos 2𝑥𝑥𝑥𝑥2𝑒𝑒𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→02 sin𝑥𝑥2𝑒𝑒2𝑥𝑥𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→0 𝑒𝑒𝑥𝑥

2 �sin 𝑥𝑥𝑥𝑥 �2 =

12

4 DẠNG 4 SỬ DỤNG VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG

𝐿𝐿5 = lim𝑥𝑥→0(cos 3𝑥𝑥)cot2𝑥𝑥 𝐿𝐿6 = lim𝑥𝑥→0𝑥𝑥 ln(1 − 𝑥𝑥) + arcsin 4𝑥𝑥 𝑒𝑒2𝑥𝑥− cos 3𝑥𝑥

𝐿𝐿7 = lim𝑥𝑥→0ln(cos 2𝑥𝑥) − 𝑥𝑥 tan2𝑥𝑥

𝑒𝑒𝑥𝑥 2 − √1 − 3𝑥𝑥2 𝐿𝐿8 = lim𝑥𝑥→0𝑒𝑒3𝑥𝑥

2 −4𝑥𝑥 − cos 𝑥𝑥

𝑥𝑥2

𝐿𝐿9 = lim𝑥𝑥→0tan (sin 𝑥𝑥) − sin 𝑥𝑥𝑥𝑥3

4.1.1 Vô cùng bé và vô cùng bé tương đương

𝑥𝑥→0

sin 𝑥𝑥

arctan 𝑥𝑥

𝑥𝑥 = 1 arctan 𝑥𝑥 ~𝑥𝑥 arctan 𝑢𝑢 ~𝑢𝑢 lim

𝑥𝑥→0

ln(1 + 𝑥𝑥)

𝑥𝑥 = 1 ln(1 + 𝑥𝑥) ~𝑥𝑥 ln(1 + 𝑢𝑢) ~𝑢𝑢 lim

𝑥𝑥→0

𝑒𝑒𝑥𝑥 − 1

𝑥𝑥 = 1 (𝑒𝑒𝑥𝑥 − 1)~𝑥𝑥 (𝑒𝑒𝑢𝑢 − 1)~𝑢𝑢 lim

𝑥𝑥→0

(1 + 𝑥𝑥)𝛼𝛼 − 1

𝛼𝛼𝑥𝑥 = 1 [(1 + 𝑥𝑥)𝛼𝛼 − 1]~𝛼𝛼𝑥𝑥 [(1 + 𝑢𝑢)𝛼𝛼 − 1]~𝛼𝛼𝑢𝑢 lim

𝑥𝑥→0

√1 + 𝑥𝑥

𝑛𝑛

− 11

𝑢𝑢∗(𝑥𝑥)

𝑣𝑣∗(𝑥𝑥)

= 21

√2

= 2√2 sin 2𝑥𝑥 = cos �𝜋𝜋2 − 2𝑥𝑥� = cos 2 �𝜋𝜋4 − 𝑥𝑥�

𝑢𝑢 → 0: (tan 𝑢𝑢)2~𝑢𝑢2, 1 − cos 𝑢𝑢 ~𝑢𝑢22

𝐿𝐿4 = lim𝑥𝑥→0logcos 5𝑥𝑥(cos 3𝑥𝑥) = lim𝑥𝑥→0ln(cos 3𝑥𝑥)ln(cos 5𝑥𝑥) �00�

= lim𝑥𝑥→0ln(1 + cos 3𝑥𝑥 − 1)ln(1 + cos 5𝑥𝑥 − 1) = lim𝑥𝑥→0cos 3𝑥𝑥 − 1cos 5𝑥𝑥 − 1 = lim𝑥𝑥→01 − cos 3𝑥𝑥1 − cos 5𝑥𝑥

= lim𝑥𝑥→0

1

2 (3𝑥𝑥)21

𝐿𝐿5 = lim𝑥𝑥→0(cos 3𝑥𝑥)cot2𝑥𝑥 (1∞)

𝐿𝐿5 = lim𝑥𝑥→0(1 + cos 3𝑥𝑥 − 1)cos 3𝑥𝑥−1×(cos 3𝑥𝑥−1) cot1 2𝑥𝑥

= lim𝑥𝑥→0�(1 + cos 3𝑥𝑥 − 1)cos 3𝑥𝑥−11 �(cos 3𝑥𝑥−1) cot

2 𝑥𝑥

𝐿𝐿51 = lim𝑥𝑥→0(1 + cos 3𝑥𝑥 − 1)cos 3𝑥𝑥−11 = 𝑒𝑒

𝐿𝐿52 = lim𝑥𝑥→0(cos 3𝑥𝑥 − 1) cot2𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→0cos 3𝑥𝑥 − 1tan2𝑥𝑥

= lim𝑥𝑥→0−(1 − cos 3𝑥𝑥)tan2𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→0− (3𝑥𝑥)

4.2 Tìm Vô cùng bé tương đương cho tổng các vô

𝐿𝐿6 = lim𝑥𝑥→0𝑥𝑥 ln(1 − 𝑥𝑥) + arcsin 4𝑥𝑥𝑒𝑒2𝑥𝑥 − cos 3𝑥𝑥 �00� = lim𝑥𝑥→02𝑥𝑥4𝑥𝑥 = 12

𝑢𝑢(𝑥𝑥)~𝑘𝑘1(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝛼𝛼 và 𝑣𝑣(𝑥𝑥)~𝑘𝑘2(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝛼𝛼

(𝑘𝑘1, 𝑘𝑘2 ≠ 0) Nếu 𝑘𝑘1 + 𝑘𝑘2 ≠ 0 thì:

𝑢𝑢(𝑥𝑥) + 𝑣𝑣(𝑥𝑥)~(𝑘𝑘1 + 𝑘𝑘2)(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝛼𝛼

lim

𝑥𝑥→𝑥𝑥0

𝑢𝑢 + 𝑣𝑣(𝑘𝑘1 + 𝑘𝑘2)(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝛼𝛼 = (𝑘𝑘1 + 𝑘𝑘1 2) lim𝑥𝑥→𝑥𝑥0

𝑢𝑢 + 𝑣𝑣(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝛼𝛼

𝑒𝑒𝑥𝑥2 − �1 − 3𝑥𝑥2 = �𝑒𝑒𝑥𝑥2 − 1� − ��1 − 3𝑥𝑥2 − 1� ~52𝑥𝑥2

sin 𝑥𝑥 ~𝑥𝑥 tan(sin 𝑥𝑥) − sin 𝑥𝑥 → 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 = 0

⇒ không thể tìm tương đương cho [tan(sin 𝑥𝑥) − sin 𝑥𝑥] bằng các VCB cơ bản sẵn có

Sử dụng khai triển Maclaurin cho tan (sin 𝑥𝑥) (sẽ được trình bày kĩ trong video sau) ta tìm được:

𝑥𝑥 → 𝑥𝑥0 Khai triển Taylor 𝑡𝑡 = 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 → 0

𝑥𝑥 → 0 Khai triển Maclaurin

Tình huống

𝐿𝐿1 = lim𝑥𝑥→0𝑒𝑒𝑥𝑥 + 𝑒𝑒𝑥𝑥−𝑥𝑥2 − 2 = lim𝑥𝑥→0(𝑒𝑒𝑥𝑥 − 1) + (𝑒𝑒𝑥𝑥2 −𝑥𝑥 − 1)

+ Dùng VCB tương đương nhưng bị triệt tiêu

+ Biểu thức rất cồng kềnh, nhưng không dùng được VCB tương đương để thu gọn

𝐿𝐿 = lim𝑥𝑥→𝑥𝑥

0𝑢𝑢(𝑥𝑥) + 𝑣𝑣(𝑥𝑥)(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝑛𝑛 �00�

4.3.1 Các khai triển Maclaurin thường gặp

Các khai triển cơ bản

1

2 �12 − 1� … �12 − 𝑎𝑎 + 1�

𝑎𝑎! 𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑜𝑜(𝑥𝑥𝑛𝑛) 1

1 + 𝑥𝑥 = 1 − 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥3 + ⋯ + (−1)𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑜𝑜(𝑥𝑥𝑛𝑛)

𝑒𝑒𝑥𝑥 = 1 +1!𝑥𝑥 +𝑥𝑥2!2 + 𝑥𝑥3!3 + ⋯ +𝑥𝑥𝑎𝑎!𝑛𝑛 + 𝑜𝑜(𝑥𝑥𝑛𝑛) ln(1 + 𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥22 +𝑥𝑥33 − ⋯ + (−1)𝑛𝑛−1𝑥𝑥𝑎𝑎𝑛𝑛 + 𝑜𝑜(𝑥𝑥𝑛𝑛)

sin 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 −𝑥𝑥3!3 +𝑥𝑥5!5 + ⋯ + (−1)𝑛𝑛 𝑥𝑥2𝑛𝑛+1

(2𝑎𝑎 + 1)! + 𝑜𝑜(𝑥𝑥2𝑛𝑛+1) cos 𝑥𝑥 = 1 −𝑥𝑥2

4.3.2 Khai triển gián tiếp cho hàm hợp

Khai triển Maclaurin đến cấp 3 của

Khai triển gián tiếp

cos 𝑥𝑥 = 1 − 𝑥𝑥22 + 𝑜𝑜(𝑥𝑥3) 1

1 + 𝑥𝑥 = 1 − 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥3 + 𝑜𝑜(𝑥𝑥3)

⇒ 1 + 𝑢𝑢1 = 1 − 𝑢𝑢 + 𝑢𝑢2 − 𝑢𝑢3 + 𝑜𝑜(𝑢𝑢3) Bước 1 Khai triển cho cos 𝑥𝑥 ở dưới mẫu:

1cos 𝑥𝑥 =

1

1 − 𝑥𝑥2 + 𝑜𝑜(𝑥𝑥2 3)Bước 2 Sử dụng tiếp khai triển của 1/(1 + 𝑥𝑥) dạng hàm hợp và thu gọn:

- Tìm hệ số các lũy thừa bậc ≤ 3

- Tất cả số hạng còn lại gộp hết vào 𝑜𝑜(𝑥𝑥3)

Áp dụng khai triển Taylor, Maclaurin để tính các giới hạn sau:

𝐿𝐿1 = lim𝑥𝑥→0𝑒𝑒𝑥𝑥 + 𝑒𝑒𝑥𝑥−𝑥𝑥2 − 2 𝐿𝐿2 = lim𝑥𝑥→1�𝑥𝑥 − 11 − sin(𝑥𝑥 − 1)1 �

𝑒𝑒𝑥𝑥 = 1 +1!𝑥𝑥 +𝑥𝑥2!2 + 𝑜𝑜(𝑥𝑥2)

𝑒𝑒−𝑥𝑥 = 1 −1!𝑥𝑥 +𝑥𝑥2!2 + 𝑜𝑜(𝑥𝑥2)Hướng 1: Thay công thức khai triển vào biểu thức của giới hạn

𝐿𝐿3 = lim𝑥𝑥→0�ln(1 + 𝑥𝑥)1 −1𝑥𝑥� = lim𝑥𝑥→0𝑥𝑥 − ln(1 + 𝑥𝑥)𝑥𝑥 ln(1 + 𝑥𝑥) = lim𝑥𝑥→0𝑥𝑥 − ln(1 + 𝑥𝑥)𝑥𝑥2

𝐿𝐿5 = lim𝑥𝑥→0tan(sin 𝑥𝑥) − sin 𝑥𝑥𝑥𝑥3sin 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 −𝑥𝑥3!3 + 𝑜𝑜(𝑥𝑥3) tan 𝑥𝑥 = sin 𝑥𝑥

cos 𝑥𝑥 = sin 𝑥𝑥 ×

1cos 𝑥𝑥

cos 𝑥𝑥 = 1 − 𝑥𝑥2!2 + 𝑜𝑜(𝑥𝑥3) 1

3 �13 − 1� … �13 − 𝑎𝑎 + 1�

𝑎𝑎! (−𝑥𝑥2)𝑛𝑛 + 𝑜𝑜((−𝑥𝑥2)𝑛𝑛) sin 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢 −𝑢𝑢3!3 + 𝑢𝑢5!5 + 𝑜𝑜(𝑢𝑢5)

sin 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 −𝑥𝑥3!3 +𝑥𝑥5!5 + ⋯ + (−1)𝑛𝑛 𝑥𝑥2𝑛𝑛+1

(2𝑎𝑎 + 1)! + 𝑜𝑜(𝑥𝑥2𝑛𝑛+1) (1 − 𝑥𝑥2)13 = 1 +13(−𝑥𝑥2) +

1

3 �13 − 1�

2! (−𝑥𝑥2)2 + 𝑜𝑜(𝑥𝑥4)

5 DẠNG 5 QUY TẮC KẸP (VÔ CÙNG BÉ) × (HÀM BỊ CHẶN)

1 + 𝑒𝑒𝑥𝑥+11 𝐿𝐿4 = lim𝑥𝑥→+∞2𝑥𝑥 sin 𝑥𝑥 + cos 3𝑥𝑥 − 𝑥𝑥3𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥2 2

𝐿𝐿5 = lim𝑥𝑥→2(𝑒𝑒𝑥𝑥 − 𝑒𝑒2) sin𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 6 𝑥𝑥 𝐿𝐿6 = lim𝑥𝑥→+∞�cos √𝑥𝑥 + 1 − cos √𝑥𝑥�

𝐿𝐿1 = lim𝑥𝑥→0𝑥𝑥 cos1𝑥𝑥 Dấu hiệu: cos(∞) ⇒ Kẹp

�cos1𝑥𝑥� ≤ 1 và lim𝑥𝑥→0𝑥𝑥 = 0 ⇒ lim𝑥𝑥→0𝑥𝑥 cos1𝑥𝑥 = 0 (Theo quy tắc kẹp)

𝐿𝐿2 = lim𝑥𝑥→∞2 sin 𝑥𝑥 − 5 cos 2𝑥𝑥4𝑥𝑥 + 3 = lim𝑥𝑥→∞4𝑥𝑥 + 31 (2 sin 𝑥𝑥 − 5 cos 2𝑥𝑥) Dấu hiệu: sin(∞) , cos(∞) ⇒ Kẹp

lim

𝑥𝑥→∞

14𝑥𝑥 + 3 = 0 |2 sin 𝑥𝑥 − 5 cos 2𝑥𝑥| < |2 sin 𝑥𝑥| + |5 cos 2𝑥𝑥| ≤ 7

𝐿𝐿4 = lim𝑥𝑥→+∞2𝑥𝑥 sin 𝑥𝑥 + cos 3𝑥𝑥 − 𝑥𝑥3𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥2 2

= lim𝑥𝑥→+∞�2𝑥𝑥 sin 𝑥𝑥 + cos 3𝑥𝑥3𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥2 −3𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥𝑥𝑥2 2�

𝐿𝐿41 = lim𝑥𝑥→+∞�3𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥𝑥𝑥2 2� = lim𝑥𝑥→+∞3 1

𝑥𝑥 − 4

= −14

𝐿𝐿42 = lim𝑥𝑥→+∞�2𝑥𝑥 sin 𝑥𝑥 + cos 3𝑥𝑥3𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥2 �

= lim𝑥𝑥→+∞�3 − 4𝑥𝑥 sin 𝑥𝑥 +2 3𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥1 2cos 3𝑥𝑥�

𝐿𝐿5 = lim𝑥𝑥→2(𝑒𝑒𝑥𝑥 − 𝑒𝑒2) sin𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 6 = 0 𝑥𝑥 (theo quy tắc kẹp)

𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔(𝑥𝑥), �

𝑥𝑥→∞

𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔(𝑥𝑥) =

(𝒆𝒆𝒙𝒙)′ = 𝒆𝒆𝒙𝒙 (𝑒𝑒𝑢𝑢)′ = 𝑢𝑢′𝑒𝑒𝑢𝑢(𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒙𝒙)′ = 𝟏𝟏

(𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝒂𝒂𝒙𝒙)′ = 𝒙𝒙 𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒂𝒂𝟏𝟏 (log𝑎𝑎𝑢𝑢)′ = 𝑢𝑢′

𝑢𝑢 ln 𝑎𝑎(𝐬𝐬𝐬𝐬𝐥𝐥 𝒙𝒙)′ = 𝐜𝐜𝐥𝐥𝐬𝐬 𝒙𝒙 (sin 𝑢𝑢)′ = 𝑢𝑢′cos 𝑢𝑢

(𝐜𝐜𝐥𝐥𝐬𝐬 𝒙𝒙)′ = − 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐥𝐥 𝒙𝒙 (cos 𝑢𝑢)′ = −𝑢𝑢′sin 𝑢𝑢

(𝐭𝐭𝐭𝐭𝐥𝐥 𝒙𝒙)′ = 𝐜𝐜𝐥𝐥𝐬𝐬𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒙𝒙 = 𝟏𝟏 + 𝐭𝐭𝐭𝐭𝐥𝐥𝟐𝟐𝒙𝒙 (tan 𝑢𝑢)′ = 𝑢𝑢′(1 + tan2𝑢𝑢) (𝐜𝐜𝐥𝐥𝐭𝐭 𝒙𝒙)′ = 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐥𝐥−𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒙𝒙

= −(𝟏𝟏 + 𝐜𝐜𝐥𝐥𝐭𝐭𝟐𝟐 𝒙𝒙) (cot 𝑢𝑢)′ = −𝑢𝑢′(1 + cot2𝑢𝑢) (𝐭𝐭𝐚𝐚𝐜𝐜𝐬𝐬𝐬𝐬𝐥𝐥 𝒙𝒙)′ = 𝟏𝟏

6.3 Ví dụ luyện tập giải chi tiết

Tính các giới hạn sau

𝐿𝐿1 = lim𝑥𝑥→0sin 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥3 𝐿𝐿2 = lim𝑥𝑥→1−ln 𝑥𝑥 ln(1 − 𝑥𝑥)

𝐿𝐿3 = lim𝑥𝑥→0�cot22𝑥𝑥 −4𝑥𝑥12� 𝐿𝐿4 = lim𝑥𝑥→0(𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒− 1) tan(sin 𝑥𝑥) 𝑥𝑥 + 𝑒𝑒−𝑥𝑥 − 2

𝐿𝐿5 = lim𝑥𝑥→0+ln(sin 3𝑥𝑥)ln(sin 2𝑥𝑥) 𝐿𝐿6 = lim𝑥𝑥→1tan(1 − 𝑥𝑥) tan𝜋𝜋2 𝑥𝑥

Giải

𝐿𝐿1 = lim𝑥𝑥→0sin 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥3 �00�

𝐿𝐿1 = lim𝑥𝑥→0(sin 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥)′(𝑥𝑥3)′ = lim𝑥𝑥→0cos 𝑥𝑥 − 13𝑥𝑥2 �00� 𝐿𝐿′𝐻𝐻𝑜𝑜𝑎𝑎𝐻𝐻𝑎𝑎𝑡𝑡𝑎𝑎𝐻𝐻= lim𝑥𝑥→0− sin 𝑥𝑥6𝑥𝑥 = −16

𝐿𝐿2 = lim𝑥𝑥→1−ln 𝑥𝑥 ln(1 − 𝑥𝑥) (0∞) Hướng 1 → 00

(𝑢𝑢2)′ = 2𝑢𝑢′𝑢𝑢 = 2(ln 𝑥𝑥)′ln 𝑥𝑥 = 21𝑥𝑥 ln 𝑥𝑥 Hướng 3 Kết hợp với VCB tương đương để thu gọn biểu thức

𝐿𝐿3 = lim𝑥𝑥→0�tan122𝑥𝑥 −4𝑥𝑥12� = lim𝑥𝑥→04𝑥𝑥4𝑥𝑥22− tantan222𝑥𝑥 �2𝑥𝑥 00�

Lưu ý: 𝑥𝑥 → 0 và có biểu thức cot(𝑘𝑘𝑥𝑥) thì chúng ta nên đưa về tan(𝑘𝑘𝑥𝑥)

cot 𝑎𝑎 = tan 𝑎𝑎 1Thu gọn biểu thức bằng VCB tương đương

tan 2𝑥𝑥 ~2𝑥𝑥 ⇒ (tan 2𝑥𝑥)2~(2𝑥𝑥)2 = 4𝑥𝑥2

𝐿𝐿5 = lim

𝑥𝑥→0+

ln(sin 3𝑥𝑥)ln(sin 2𝑥𝑥) �

∞

∞� (𝐿𝐿)= 𝑥𝑥→0lim

3tan 3𝑥𝑥

2tan 2𝑥𝑥

= lim𝑥𝑥→02 tan 3𝑥𝑥3 tan 2𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→0

7 DẠNG 7 GIỚI HẠN DẠNG THỨC LŨY THỪA MŨ

lim𝑥𝑥→𝑥𝑥0[𝑓𝑓(𝑥𝑥)]𝑔𝑔(𝑥𝑥)

𝑥𝑥→𝑥𝑥0[𝑓𝑓(𝑥𝑥)]𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝐾𝐾

𝑎𝑎𝑏𝑏 = 𝑒𝑒ln 𝑎𝑎𝑏𝑏 = 𝑒𝑒𝑏𝑏 ln 𝑎𝑎

𝑥𝑥 → 𝑥𝑥0: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) → 1 ⇒ ln[𝑓𝑓(𝑥𝑥)] → 0: ln[1 + 𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 1] ~𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 1

Ví dụ 2

𝐿𝐿2 = lim𝑥𝑥→0−(cos 2𝑥𝑥 + sin 2𝑥𝑥)tan12 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→0−𝑒𝑒tan12 𝑥𝑥 ln(cos 2𝑥𝑥+sin 2𝑥𝑥)

𝐿𝐿′2 = lim𝑥𝑥→0−tan12𝑥𝑥ln(cos 2𝑥𝑥 + sin 2𝑥𝑥)

= lim𝑥𝑥→0−ln(cos 2𝑥𝑥 + sin 2𝑥𝑥)tan2𝑥𝑥 �00�

= lim𝑥𝑥→0−ln(1 + cos 2𝑥𝑥 + sin 2𝑥𝑥 − 1)tan2𝑥𝑥

= lim𝑥𝑥→0−cos 2𝑥𝑥 + sin 2𝑥𝑥 − 1𝑥𝑥2 (𝐿𝐿)= 𝑥𝑥→0lim−−2 sin 2𝑥𝑥 + 2 cos 2𝑥𝑥2𝑥𝑥

= −∞ �02−�

𝐿𝐿2 = 0 �𝑒𝑒−∞ = 𝑒𝑒+∞1 �

𝑢𝑢 → 0: ln(1 + 𝑢𝑢) ~𝑢𝑢, tan 𝑢𝑢 ~𝑢𝑢

7.1.3 Quy tắc dùng cho dạng 𝟏𝟏∞

lim

𝑥𝑥→𝑥𝑥0[𝑓𝑓(𝑥𝑥)]𝑔𝑔(𝑥𝑥) (1∞) Nếu lim𝑥𝑥→𝑥𝑥

lim

𝑥𝑥→0(𝑥𝑥 cot 𝑥𝑥 − 1)𝑥𝑥12 = lim𝑥𝑥→0𝑥𝑥 cot 𝑥𝑥 − 1𝑥𝑥2 = lim𝑥𝑥→0

𝑥𝑥tan 𝑥𝑥 − 1

𝑥𝑥2

= lim𝑥𝑥→0

𝑥𝑥 − tan 𝑥𝑥tan 𝑥𝑥

𝑥𝑥2 = lim𝑥𝑥→0𝑥𝑥 − tan 𝑥𝑥𝑥𝑥2tan 𝑥𝑥

= lim𝑥𝑥→0𝑥𝑥 − tan 𝑥𝑥𝑥𝑥3 (𝐿𝐿)= 𝑥𝑥→0lim1 − (1 + tan3𝑥𝑥2 2𝑥𝑥) = lim𝑥𝑥→0− tan3𝑥𝑥22𝑥𝑥

= lim𝑥𝑥→0−𝑥𝑥3𝑥𝑥22 = −13Vậy

0[𝑓𝑓(𝑥𝑥)]𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝐾𝐾

Ví dụ 4

𝐿𝐿4 = lim𝑥𝑥→0+(sin 𝑥𝑥)ln(cos 3𝑥𝑥) = lim𝑥𝑥→0+𝑒𝑒ln(cos 3𝑥𝑥) ln(sin 𝑥𝑥)

Xét giới hạn

𝑥𝑥→0+ln(cos 3𝑥𝑥) ln[sin 𝑥𝑥] (0∞) = lim

𝑥𝑥→0+ln(1 + cos 3𝑥𝑥 − 1) ln[sin 𝑥𝑥]

= lim𝑥𝑥→0+(cos 3𝑥𝑥 − 1) ln[sin 𝑥𝑥]

= − lim𝑥𝑥→0+(1 − cos 3𝑥𝑥) ln[sin 𝑥𝑥] = − lim𝑥𝑥→0+(3𝑥𝑥)2 2ln[sin 𝑥𝑥]

− 2𝑥𝑥3

= 94𝑥𝑥→0lim

1tan 𝑥𝑥 (𝑥𝑥3tan 𝑥𝑥)1

𝑢𝑢 =

(sin 𝑥𝑥)′

sin 𝑥𝑥 =

cos 𝑥𝑥sin 𝑥𝑥 = cot 𝑥𝑥 =

1tan 𝑥𝑥(𝑥𝑥−2)′ = −2𝑥𝑥−3 = −𝑥𝑥23

𝐿𝐿7 = lim𝑥𝑥→+∞(𝑒𝑒3𝑥𝑥 − cos 2𝑥𝑥)1𝑥𝑥 (∞0) = lim𝑥𝑥→+∞𝑒𝑒1𝑥𝑥 ln�𝑒𝑒3𝑥𝑥−cos 2𝑥𝑥� = 𝑒𝑒3

lim

𝑥𝑥→+∞

1

𝑒𝑒3𝑥𝑥 = 0, |cos 2𝑥𝑥| ≤ 1, |sin 2𝑥𝑥| ≤ 1 lim

𝑥𝑥→+∞

1

𝑒𝑒3𝑥𝑥 sin 2𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→+∞𝑒𝑒13𝑥𝑥 cos 2𝑥𝑥 = 0

𝑒𝑒+∞ = +∞, cos(+∞) không tồn tại

Ví dụ 5

𝐿𝐿8 = lim𝑥𝑥→+∞𝑥𝑥 ��1 +4𝑥𝑥1 �𝑥𝑥 − √𝑒𝑒4 � (0∞) = lim𝑥𝑥→+∞ �1 + 14𝑥𝑥�

𝑥𝑥

− √𝑒𝑒41

𝑥𝑥Lưu ý: 𝑥𝑥 → +∞, có thể đặt ẩn 𝑡𝑡 = 1/𝑥𝑥 để biểu gọn đẹp 𝑡𝑡 → 0+

𝐿𝐿8 = lim

𝑡𝑡→0+

�1 + 14𝑡𝑡�

1 𝑡𝑡

= √𝑒𝑒4 𝑡𝑡→0lim+4 ln �1 + 14𝑡𝑡� − 𝑡𝑡

4𝑡𝑡2 �00� =(𝐿𝐿) 4√𝑒𝑒𝑡𝑡→0lim+

4

14

1 + 14𝑡𝑡 − 18𝑡𝑡

8 DẠNG 8 XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

gián đoạn

8.1.1 Liên tục tại điểm 𝒙𝒙𝟎𝟎

𝑓𝑓(𝑥𝑥) xác định trên 𝐷𝐷, liên tục tại điểm 𝑥𝑥0 ∈ 𝐷𝐷 ⇔

𝑥𝑥→𝑥𝑥0−𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) lim

Minh họa 2 𝑓𝑓(𝑥𝑥) liên tục tại 𝑥𝑥0

Minh họa 3 𝑓𝑓(𝑥𝑥) liên tục tại 𝑥𝑥0

Minh họa 4 𝑓𝑓(𝑥𝑥) liên tục tại 𝑥𝑥0

lim

𝑥𝑥→𝑥𝑥0𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) Ngược lại, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) gián đoạn tại 𝑥𝑥0

∃� 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) lim

𝑥𝑥→𝑥𝑥0𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≠ 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) lim

ℎ(𝑥𝑥), 𝑥𝑥 ≥ 𝑥𝑥 0

Minh họa 6 𝑓𝑓(𝑥𝑥) gián đoạn loại 1 tại 𝑥𝑥0

Loại 2

Còn lại

8.1.3 Liên tục trên miền

𝑓𝑓(𝑥𝑥) liên tục trên 𝐷𝐷 nếu liên tục tại mọi 𝑥𝑥0 ∈ 𝐷𝐷

8.1.4 Tính liên tục của các hàm sơ cấp

Các hàm sơ cấp liên tục lại mọi điểm thuộc MXĐ tự nhiên của nó

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = sin 𝑥𝑥𝑥𝑥 liên tục tại mọi 𝑥𝑥 ≠ 0

TC2: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) liên tục trên [a,b] và 𝑓𝑓(𝑎𝑎) 𝑓𝑓(𝑏𝑏) < 0 thì ∃ 𝑥𝑥∗ ∈ [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] sao cho 𝑓𝑓(𝑥𝑥∗) = 0

Định lý giá trị trung gian: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) liên tục trên [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], max𝑥𝑥∈[𝑎𝑎,𝑏𝑏]𝑓𝑓(𝑥𝑥) =

Lưu ý 2: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) liên tục trên một tập 𝐷𝐷 đóng và bị chặn thì liên tục đều trên đó

8.2.2 Minh họa Hàm số liên tục đều

𝑦𝑦 = sin 𝑥𝑥 và 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 liên tục đều trên toàn bộ ℝ

Có thể vẽ đồ thị 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 và 𝑦𝑦 = sin 𝑥𝑥 bằng 1 nét vẽ đều tay

8.2.3 Minh họa Hàm số không liên tục đều

𝑦𝑦 = sin 𝑥𝑥2 và 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 sin 𝑥𝑥 không liên tục đều trên toàn bộ (0, +∞)

𝑥𝑥→0𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim𝑥𝑥→0𝑥𝑥 − tan 𝑥𝑥𝑥𝑥3 �00� =(𝐿𝐿) 𝑥𝑥→0lim1 − (1 + tan3𝑥𝑥2 2𝑥𝑥)

𝑥𝑥→1𝑔𝑔(𝑥𝑥) = lim𝑥𝑥→1(2𝑥𝑥 − 2) sin𝑥𝑥 − 11 = 0 (theo quy tắc kẹp)

�sin𝑥𝑥 − 11 � ≤ 1, 𝑥𝑥→1lim(2𝑥𝑥 − 2) = 0 Với 𝑎𝑎 = 0, ta có:

⇒ 𝑔𝑔(𝑥𝑥) không liên tục (gián đoạn) tại 𝑥𝑥 = 1

Vậy, 𝑔𝑔(𝑥𝑥) gián đoạn tại 𝑥𝑥 = 1 khi 𝑎𝑎 ≠ 0 và liên tục tại 𝑥𝑥 = 1 khi 𝑎𝑎 =

lim

𝑥𝑥→−2 −ℎ(𝑥𝑥) = lim

𝑥𝑥→−2 +ℎ(𝑥𝑥) = ℎ(−2) lim

⇒ Giới hạn tại 𝑥𝑥 = −2 không tồn tại ⇒ giới hạn 1 phía

Chú ý: Do không nói rõ là xét liên tục tại 𝑥𝑥0 =? Cho nên phải xét trên toàn bộ ℝ

Với 𝑥𝑥 ≠ −2, lúc này