Chương 13 tải trọng động

Tải trọng động Trong các chương trước, khi khảo sát một vật thể chịu tác dụng của ngoại lực, ta coi ngoại lực tác dụng là tĩnh, tức là cân bằng có thể bỏ qua được ảnh hưởng của lực quán

Chương 13

TẢI TRỌNG ĐỘNG

I KHÁI NIỆM

1 Tải trọng động

Trong các chương trước, khi khảo sát một vật thể chịu tác

dụng của ngoại lực, ta coi ngoại lực tác dụng là tĩnh, tức là

cân bằng có thể bỏ qua được ảnh hưởng của lực quán tính.Tuy nhiên, cũng có những trường hợp mà tải trọng tácdụng không thể coi là tĩnh vì gây ra gia tốc lớn, ví dụ như sự

va chạm giữa các vật, vật quay quanh trục, dao động ta phải

xem tác dụng của tải trọng là động, và phải xét đến lực

quán tính khi giải quyết bài toán

2 Phân loại:

Theo gia tốc chuyểân động ta có:

+ Bài toán chuyển động với gia tốc là hằng số (thang

máy, nâng hạ vật nặng, vô

lăng quay đều…)

+ Bài toán chuyển động với gia tôùc thay đổi theo thời gian.

Ở đây ta xét trường hợp

riêng: gia tốc thay đổi tuần hoàn theo thời gian (t) gọi là

dao động

(bàn rung, đầm bàn, đầm dùi…)

+ Bài toán chuyển động với gia tốc thay đổi độät ngột gọi

là va chạm (đóng cọc, xe

dừng đột ngột, sóng đập vào đê chắn ,trụ cầu…)

3- Phương pháp nghiên cứu

+ Khi giải bài toán tải trọng động, người ta thừa nhận các

giả thiết đã học:

giả thiết về vật liệu, biến dạng, sơ đồ tính, độc lập tácdụng…

+ Aùp dụng nguyên lý d’Alembert:

Khảo sát cân bằng bài toán tĩnh có xét đến lực quántính

+ Nguyên lý bảo toàn năng lượng:

Tổng biến thiên của động năng và thế năng từ trạngthái 1 qua trạng thái 2 bằng

công của ngoại lực

K + U = T

+ Nguyên lý bảo toàn xung lượng:

Động lượng trước và sau va chạm có trị số không đổi

Để thuận tiện cho việc tính hệ chịu tải trọng động, cáccông thức thiết lập thường đưa về dạng tương tự như bài toántĩnh nhân với một hệ số điều chỉnh có kể đến ảnh hưởng

của tác dụng động, gọi là hệ số động.

Bài toán động = Bài toán tĩnh x Hệ

số động (K đ )

Trong chương này chỉ xét các bài toán tương đối đơngiản,thường gặp, có tính chất cơ bản nhằm mở đầu cho việcnghiên cứu tính toán động lực học chuyên sâu sau này

II BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG VỚI GIA TỐC LÀ HẰNG SỐ

Một dây cáp tiết diện A có chiều dài L và trọng lượng

riêng , mang một vật nặng P, được kéo lên với gia tốc a

Tưởng tượng cắt dây một đoạn x Xét phần dưới như trênhình vẽ, lực tác dụng gồm có:

 Trọng lượng vật nặng P

 Trọng lượng đoạn dây x :  Ax

 Lực quán tính tác dụng trên vật

P là:

 Lực quán tính của đoạn x là :

xét

Theo nguyên lý d’Alembert, tổng

hình chiếu của tất cả các lực tác

dụng lên dây theo phương đứng kể

cả lực quán tính phải cân bằng, ta

được:

L x

Ax Ax

Hình 13.1



Đại lượng (Ax + P) chính là nội lực trong dây ở trạng thái

Ứng suất lớn nhất tại mặt cắt trên cùng của thanh:

đmax = t,max.Kđ với:t = ( AL + P)/A

Điều kiện bền trong trường hợp này là:

Ta thấy có hai trường hợp:

chiều chuyển động) và chuyển động xuống chậm dần đều(gia tốc a ngược chiều chuyển động) hệ số động

nhỏ hơn nội lực tĩnh

Dù vậy, khi một vật thể chuyển động như bài toán trên

Thí dụ 1: Một dầm dài 10m có tiết diện vuông 30 cm x 30 cm

và trọng lượng riêng

được 10m (H.13.2)

Vẽ biểu đồ mômen của dầm, tính ứng

dây

Giải

Dầm được kéo lên với gia tốc a có sơ đồ

tính như hình vẽ khi đó tải trọng tác dụng

lên hệ là tải trọng phân bố đều q,

Sơ đồ tính của thanh và biểu đồ mômen cho ở hình bên.

Để mômen tại gối bằng mômen giữa nhịp, ta có:

-Tính ứng suất trong cọc khi kéo lên

với gia tốc

Thí dụ 2: Một trục đứng có mặt cắt

ngang hình vành khăn đường kính D = 3

-88,64 N

190,61 NN

20N

5318,4Nc m

5718,3Nc m

L-b=

0,2071L

P

40c m

40c m

B

P=2k N

6c m 8cm

Lực quán tính ly tâm Fqt do trọng lượng P gây nên là:

Ứng suất lớn nhất của trục(đoạn trên):

III DAO ĐỘNG.

A- Các khái niệm

Hệ thực hiện một dao động khi chuyển từ vị trí cân bằng nầy qua vị trí cân bằng tiếp theo, khi đã qua mọi vị trí xác định bởi qui luật dao động và cùng khuynh hướng

1 Bậc tự do của hệ đàn hồi: là thông độc lập cần

thiết để xác định vị trí của hệ( bất kỳ thời điểm)

Chọn hệ trục như hình vẽ M có hai bậc tự do là x và y.(hay

,) Nếu M trong không gian có ba bậc tự do Như vậy việc xác định bậc tự do tùy thuộc chủ quan khi xét, phụ thuộc công cụ tính toán …(hệ nhiều bậc tự do tính toán càng phức tạp)

Thí dụ xét dầm bỏ qua trọng lượng bản thân (xem hệ là liên kết đàn hồi không có khối lượng, bài toán phẳng),vì trọng lượng dầm nhỏ so với khối lượng vật nặng Hệ có một bậc tự do.( chỉ cần biết y là xác định vị trí khối M)

Khi tính một hệ dao động,ta cần đưa về sơ đồ tính.Xác định sơ đồ tính của một hệ dựa trên điều kiện phải phù hợp với

hệ thực trong mức độ gần đúng cho phép.

2 Phân loại dao động: Dao động của hệ đàn hồi được

chia ra:

- Dao động tự do không cản.(dao động riêng)

M(x,y) y

x

0 

*

y

- Dao động tự do có cản.

- Dao động cưỡng bức với lực kích thích là hàm tuần

hoàn theo thời gian

3 Các khái niệm khác.

+ Chu kỳ: là thời gian hệ thực hiện một dao động, ký hiệu

là T tính bằng giây (s)

+ Tần số :là số dao động trong một giây, ký hiệu là f,

chính là nghịch đảo của chu kỳ,

Xét hệ một bậc tự do chịu tác

dụng một lực kích thích thay đổi theo

thời gian P(t) đặt tại khối lượng m

Ta gọi trạng thái cân bằng ban đầu dầm chỉ chịu khối lượng

Khi có lực kích thích P(t) tác dụng, khối lượng m có chuyển vịthêm y(t).Giả thiết lực cản môi trường tỷ lệ bậc nhất với

vận tốc chuyển động, có hệ số tỷ lệ  Đặt lực quán

đơn vị đặt tại đó gây ra Chuyển vị y(t) là kết quả của

các tác động:

 Lực kích thích P(t) gây ra chuyển vị : P(t).

Dùng nguyên lý cộng tác dụng ta được

Chia hai vế cho m và đặt:

(c)phương trình (b) trở thành:

+ 2  + 2 y(t) = P(t)   2 (13.8)(13.8) là phương trình vi phân dao động cưỡng bức hệ một bậctự do.

: hệ số tỉ lệ

: hệ số cản ( đàn hồi, môi trường, liên kết…)

 : tần số dao động riêng.

2 Dao đôïng tự do không cản (dao động riêng)

động tự do, phương trình (13.8) trở thành phương trình vi phâncủa dao động tự do:

Tích phân phương trình (13.9), ta được nghiệm tổng quát códạng:

Sử dụng giản đồ cộng các vectơ quay (H.13.8), có thểbiểu diễn hàm (d) dưới dạng:

Hàm (e) là hàm sin, chứng tỏ dao động tự do là một dao

tần số góc  , độ lệch pha 

 : gọi là tần số riêng được tính theo

do trọng lượng P của khối lượng m tác dụng tĩnh gây ra,

Công thức tính tần số của dao động tự do trở thành: (13.11)

Chu kỳ của dao động tự do:

(13.12)

H ình 13.8 G iản đồ các vectơ quay

t

A y

A A

Thí dụ Tính tần số dao động riêng của hệ

3 Dao động tự do có cản

Trong (13.8), cho P(t) = 0, ta được phương trình vi phân của dao động tự do có cản, hệ một bậc tự do:

Nghiệm của (13.13) tùy thuộc vào nghiệm của phương trình đặc trưng:

K2 + 2K + 2 = 0

K1,2 =

Nghiệm tổng quát của (13.13) có dạng:

Ta thấy hàm y(t) không có tính tuần hoàn, do đó hệ không có dao động, (Vì  >  )

Khi:  = 2 – 2 < 0, đặt: 12 = 2 – 2, phương trình đặc trưng có nghiệm ảo:

K1,2 =

Nghiệm tổng quát của (13.13) có dạng:

Hàm y(t) là một hàm sin có tính tuần hoàn, thể hiện



Sau mỗi chu kỳ biên độ giảm:

y

0

y

P

2

l

2

l

A

L

B

P

y 0

P

L

C

L,EA

y 0= y d +

y

P

2

l

2

l

D

F

L/2

P

F

h

b dF

4- Dao động tự do có kể đến trọng lượng các liên kết

đàn hồi Khi kể đến khối lượng của dầm, bài toán khá

phức tạp.Dùng phương pháp gần đúng để xác định  (tần

số dao động riêng) Dựa vào sự tương đương động năng, ta

qui đổâi khối lượng phân bố thành khối lượng tập trung bằng

hệ số thu gọn khối lượng  

m :Khối luợng phân bố trên đơn vị chiều dài L

Q: Khối lượng tập trung đặt ngay tại m

Nếu gọi :q =mg là trọng lượng / chiều dài thì trọng lượng: Q =

qL

Thí dụ Cho dầm chữ I.20 có chiều dài 2m, giữa dầm đặt

môtơ trọng lượng P =12kN Tính tần số dao động riêng cho hai trường hợp

a) Không xét trọng lượng bản thân

Q=mL

L y

Q =

L Q=

b) Có xét trọng lượng bản thân.

Nhận xét: Khi xét đến trọng lượng bản thân tần số dao

động riêng giảm

C Dao động có cản với lực kích thích (P t ) của hệ một bậc tự do

Hiện tượng côïng hưởng.

Với các bài toán kỹ thuật thông thường, lực kích thích P(t) là

phương trình vi phân có dạng:

Nghiệm tổng quát của (13.14) có dạng:

y(t) = y1(t) + y2(t)

vế phải, chính lànghiệm của dao động tự do có cản tắt dần theo (t)(e)

y1(t) = A1e–t sin(1 t + 1) (g)

y2(t) = C1 cos t + C2 sin t (h)

hai vế Nếu sử dụng giản đồ vectơ quay biểu diễn (h) dướidạng:

y2 (t) = A sin( t + ) (i)Như vậy, phương trình dao động của hệ là:

y (t) = A1e–t sin(1 t + 1) + A sin( t + ) (j)Phương trình (j) chính là độ võng y(t) của dầm

Số hạng thứ nhất của vế phải trong (j) là một hàm cóbiên độ tắt rất nhanh theo quy luật hàm mũ âm, sau mộtthời gian ngắn, hệ dao động theo quy luật

y (t) = A sin( t + ) (13.15)Đó là một hàm sin biểu diễn một dao động tuần hoàn,điều hòa, tần số góc của dao động bằng tần số lực kích

thích độ lệch pha , biên độ dao động A (H.13.10).của lực kích

thích

ta có:

cực đại của dầm:

( h)

Tích số P o = y t chính là giá trị của chuyển vị tại điểm

tác dụng tĩnh tại đó gây ra

Ta có thể viết : ymax = Kđ yt.

dụng động so với tác dụng tĩnh ứng với trị số của biên độlực kích thích

H ình 13.11 Đ ồ thị hàm số K đ = f(r/ w ; 2a / w )

với 2 a/ w là các hằng số cho trước

m : khối lượng đặt lệch tâm

r : độ lêïch tâm

 : tần số lực kích thích

P0 : biên độ của lực kích thích

Hiện tượng cộng hưởng

Khảo sát sự biến thiên của hệ

( /,2/) Ứng với một giá tị xác

nghĩa là độ võng dầm lớn vô cùng

Hiện tượng biên độ dao động tăng đột ngột khi tần số lực kích thích bằng tần số riêng của hệ đàn hồi gọi là hiện tượng cộng hưởng.Trên đồ thị còn cho thấy khi hai tần số

này xấp xỉ nhau ( /  [0,75  1,25]), biên độ tăng rõ rệt,

người ta gọi là miền cộng hưởng Hiện tượng cộng hưởng rất

nguy hiểm cho chi tiết máy hay công trình, do đó trong thiếtkế, ta phải tính toán sao cho hệ dao động nằm ngoài miềncộng hưởng

nhỏ hơn 1, bài toán động ít nguy hiểm hơn bài toán tĩnh Để

lớn Muốn vậy,phải giảm độ cứng của thanh đàn hồi, điềunày nhiều lúc mâu thuẫn với yêu cầu độ bền của côngtrình Để tránh làm giảm độ cứng công trình có thể đặt lò

xo hay loại vật liệu có khả năng phát tán năng lượng đệmgiữa khối lượng dao đôïng và thanh đàn hồi

Có trường hợp khi khởi động mô tơ, tốc độ mô tơ tăngdần đến tốc độ ổn định, một thời gian ngắn ban đầu côngtrình có thể ở trong miền cộng hưởng, cần phải dùng loại

động cơ tăng tốc nhanh để hiện tượng cộng hưởng nếu cóxảy ra cũng chỉ trong thời gian rất ngắn.

toán kỹ Sử dụng các bộ giảm chấn làm tiêu hao nănglượng dao động hay tăng hệ số cản

Trên H.13.11, ta thấy, khi tỷ số /  [0,5  2], các đường

Vì các đại lượng như chuyển vị, nội lực hay ứng suất tỷ lệbậc nhất với ngoại lực, ta có thể viết:

(13.19)

có giá trị bằng biên độ lực kích thích (Po)tác dụng tĩnh gây ra

tĩnh đặt sẵn trên hệ, mà khi không có dao động nó vẫn tồn tại (như

trọng lượng bản thân môtơ)

Điều kiện bền:

đmax  [ ] , hay đmax  [ ] (13.20)

Thí dụ : Một dầm công xon tiết diện I.20 dài L= 2m mang một

mô tơ trọng lượng

P =10 kN, vận tốc n = 600 vòng/phút, khi hoạt động mô tơ sinh

P=10k

L = 2m

Ứùng suất lớn nhất tại ngàm

Chuyển vị lớn nhất là:

b) Kể đến trọng lượng dầm

Để đưa hệ về một bậc tự do, ta dùng phương pháp thu gọnkhối lượng Coi dầm không trọng lượng và ở đầu tự do cóđặt một trọng lượng:

Từ biểu đồ mômen ta thấy tại ngàm ứng suất lớn nhất

Thí dụ: Cho dầm BC tiết diện chữ nhật, chiều dài L=2m mang

một mô tơ trọng lượng P = 6 kN, vận tốc n = 400 vòng/phút, khihoạt động mô tơ sinh ra lực ly tâm 0,2 kN

a) Bỏ qua trọng lượng dầm, tính ứng suất và độ võng lớn nhất taị giữa dầâm

b) Nếu thay gối tựa C bằng cột chống thép tròn d = 2cm, cao

H = 50 cm tính lại lực dọc lớn nhất trong cột

nặng P như trên H.13.21 Giả thiết khi vật Q va chạm P cả hai

P

b

h

vật cùng chuyển động thêm xuống dưới và đạt chuyển vị

Ta xem trạng thái cân bằng ban đầu dầm chỉ chịu vật nặng P

là vận tốc của cả hai vật (P+ Q) cùng đi xuôùng sau khi va

chạm

Ta gọi: Trạng thái 1: Khi Q chạm vào P cùng đi xuống với vận

Áp dụng định luật bảo toàn xung lượng: động lượng trước vàngay sau khi va chạm không đổi, ta được:

Trong bài toán này, ta dựa vào nguyên lý bảo toàn năng

lượng để tìm chuyển vị trong dầm K + U = T

Động năng của vật P và Q ở trạng thái 1 ngay sau khi vachạm:

Độä thay đổi cơ năng của vật P và Q sẽ chuyển thành

thế năng biến dạng đàn hồi U tích lũy trong dầm

y đ

y

P

Tính U dựa vào quan hệ giữa lực và chuyển vị trong dầmnhư trên H.13.22 Ở trạng thái 1, trong dầm tích lũy một thế

chạm do lực đơn vị gây ra Thế vào biểu

thức trên ta có:

Ở trạng thái 2, thế năng biến dạng đàn

(d)Thay các biểu thức (b), (c), (d) vào (13.25) ta có:

hay:

trọng lượng Q tác dụng tĩnh tại đó gây ra như trên

Kđ = 2

bằng cách đặt tại điểm chịu va chạm những vật thể mềmnhư lò xo hay tấm đệm cao su

tương tự như chuyển vị, nghĩa là:

(13.31)

lên hệ tại mặt cắt va chạm gây ra

trọng có sẵn trên hệ gây ra

Điều kiện bền: đ,max  [ ]

Chú ý:

Nếu chọn mốc thế năng bằng không ở vị trí dầm khôngbiến dạng, thì cơ năng ban đầu của hệ chính là thế năng:

Ngay sau khi va chạm, P và Q cùng chuyển động xuống dưới

Như vậy đã có sự mất mát năng lượng tương ứng với giảthiết va chạm mềm tuyệt đối của 2 vật thể; năng lượng nàylàm cho 2 vật thể biến dạng hoàn toàn dẻo, áp sát vàonhau và chuyển động cùng vận tốc về phía dưới

2- Va chạm ngang

Xét một dầm mang vật nặng P Vật nặng Q chuyển

trên H.13.22 Không xét trọng lượng bản thân của

dầm Giả thiết khi vật Q va chạm P cả hai vật cùng

Lập luận như trường hợp va chạm đứng, ta cũng có:

Vận tốc của hai vật P, Q cùng chuyển động ngay sau khi vachạm là:

Độ giảm động năng trong hệ:

Vì hai vật chuyển động theo phương

ngang, nên không có sự thay đổi thế

năng, tức là:

T = 0

Thế năng biến dạng đàn hồi tích lũy

trong hệ là:

Nguyên lý bảo toàn năng lượng, K +

U = T ta được phương trình sau:

hay

điểm va chạm do trọng lượng Q tác dụng tĩnh nằm ngang gây ra Thay vào phương trình (13.32) như sau:

Điều kiện bền :

Thí dụ1: Xác định ứng suất pháp lớn

nhất của cột chịu va chạm đứng

trọng lượng bản thân cột)

Nếu tại mặt cắt va chạm đặt P=0,4kN.Tínhlại ứng suất pháp lớn nhất của cột

Bài tương tự: Bỏ qua trọng lượng bản thân

thanh và dĩa C

Tính ứng suất lớn nhất trong thanh do va chạm

a)Trường hợp : P =0

b)Trườmg hợp : P= 0,4kN(đặt tại C)đđđ

Thí dụ 2: Một dầm công xon AB tiết diện chữ nhật (128) cm

chịu va chạm đứng bởi một trọng lượng Q=2 kN rơi tự do từ độcao H =10cm xuôùng B (H.13.1) không xét trọng lượng bản thândầm

1) Tính ứng suất lớn nhất của dầm

2)Tính lại ứng suất lớn nhất của

dầm Nếu đặt lò xo có độ cứng

C=2kN/cm phía trên dầm ngay tại B

3) Nếu đặt lò xo đó ở phía dưới

dầm.Tính lại ứng suất của dầm

Q=2k N

L 1 = 80cm

C

B

Q= 1kN H=4c m