Chương 11 ổn định của thanh chịu nén đúng tâm

Bài giảng Sức bền Vật Liệu Chương 11 Ổn định 1 Tháng 06 2015 Lê đức Thanh Chương 11 ỔN ĐỊNH CỦA THANH THẲNG CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM I KHÁI NIỆM VỀ SỰ ỔN ĐỊNH CỦA TRẠNG THÁI CÂN BẰNG Để đáp ứng yêu cầu chịu[.]

Chương 11

ỔN ĐỊNH CỦA THANH THẲNG CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM

I.KHÁI NIỆM VỀ SỰ ỔN ĐỊNH CỦA TRẠNG THÁI CÂN BẰNG

Để đáp ứng yêu cầu chịu lực bình thường, một thanh phải thỏa mãn điều kiện bền

và cứng, như đã được trình bày trong các chương trước đây.Tuy nhiên, trong nhiều

trường hợp, thanh còn phải thỏa mãn thêm điều kiện ổn định Đó là khả năng duy trì hình thức biến dạng ban đầu nếu bị nhiễu (nhiễu xãy ra trong thời gian ngắn) Trong

thực tế, nhiễu có thể là các yếu tố sai lệch so với sơ đồ tính như: độ cong ban đầu, sự nghiêng hoặc lệch tâm của lực tác dụng Bài toán ổn định mang ý nghĩa thực tế rất lớn

Ta định nghĩa một cách khái quát: độ ổn định của kết cấu là khả năng duy trì, và

bảo toàn được dạng cân bằng ban đầu trước các nhiễu có thể xãy ra

Khái niệm ổn định có thể minh họa bằng cách xét sự cân bằng của quả cầu trên

các mặt lõm, lồi và phẳng trên H.11.1

Nếu cho quả cầu một chuyển dịch nhỏ (gọi là nhiễu) từ vị trí ban đầu sang vị trí lân

cận rồi bỏ nhiễu đi thì:

-Trên mặt lõm, quả cầu quay về vị trí ban đầu: sự cân bằng ở vị trí ban đầu là ổn định

- Trên mặt lồi, quả cầu chuyển động ra xa hơn vị trí ban đầu: sự cân bằng ở vị trí ban

đầu là không ổn định

-Trên mặt phẳng, quả cầu giữ nguyên vị trí mới: sự cân bằng ở vị trí ban đầu là phiếm

định

Hiện tượng tương tự cũng có thể xảy ra đối với sự cân bằng về trạng thái biến dạng của hệ đàn hồi.Chẳng hạn với thanh chịu nén Trong điều kiện lý tưởng (thanh thẳng tuyệt đối, lực P hoàn toàn đúng tâm ) thì thanh sẽ giữ hình dạng thẳng, chỉ co ngắn do

chịu nén đúng tâm Nếu cho điểm đặt của lực P một chuyển vị bé  do một lực ngang

R nào đó gây ra (bị nhiễu), sau đó bỏ lực

này đi thì sẽ xảy ra các trường hợp biến

dạng như sau:

+ Nếu lực P nhỏ hơn một giá trị P th nào

đó, gọi là lực tới hạn, tức là P < P th, thì

thanh sẽ phục hồi lại trạng thái biến dạng

thẳng Ta nói thanh làm việc ở trạng thái

cân bằng ổn định

+ Nếu P > P th thì chuyển vị  sẽ tăng

và thanh bị cong thêm Sự cân bằng của

H.11.1Sự cân bằng về vị trí của quả cầu

P

R

TT ổn định

P< Pth P =Pth

TT tới hạn

R



P > Pth

TTmất ổn định R

trạng thái thẳng ( = 0) là không ổn định Ta nói thanh ở trạng thái mất ổn định Trong

thực tế thanh sẽ có chuyển vị  và chuyển sang hình thức biến dạng mới bị uốn cong,

khác trước về tính chất, bất lợi về điều kiện chịu lực

+ Ứng với P = P th thì thanh vẫn giữ nguyên chuyển vị  và trạng thái biến dạng

cong Sự cân bằng của trạng thái thẳng là phiếm định Ta nói thanh ở trạng thái tới hạn

H.11.2 giới thiệu thêm vài kết cấu có thể bị mất ổn định như dầm chịu uốn, vành

tròn chịu nén đều…

Khi xảy ra mất ổn định dù chỉ của một thanh

cũng dẫn tới sự sụp đổ của toàn bộ kết

cấu.Tính chất phá hoại do mất ổn định là đột

ngột và nguy hiểm Trong lịch sử ngành xây

dựng đã từng xảy ra những thảm họa sập cầu

chỉ vì sự mất ổn định của một thanh dàn chịu

nén như cầu Mekhelstein ở Thụy

Sĩ(1891),cầu Lavrentia ở Mỹ (1907)

Vì vậy khi thiết kế các thanh chịu nén

cần phải đảm bảo cả điều kiện ổn định, độc lập với điều kiện bền và điều kiện cứng

đã nêu trước đây

Điều kiện ổn định:  

ôđ

k

P P

ôđ 

 hay :  

ôđ

ôđ

k

P P

z  

kôđ : Hệ số an toàn về mặt ổn định, do quy định, và thường lớn hơn hệ số an toàn về

độ bền P (hay Nz): Lực nén (nội lực nén ) thanh

II KHẢO SÁT ỔN ĐỊNH TRONG MIỀN ĐÀN HỒI

1- Tính lực tới hạn (P th ) thanh có kết khớp hai đầu (Bài toán Euler)

Xét thanh thẳng liên kết khớp hai đầu, chịu nén bởi lực tới hạn P th Khi bị nhiễu, thanh

sẽ bị uốn cong và cân bằng ở hình dạng mới như trên H.11.3a

Đặt hệ trục toạ độ (x,y, z) như H.11.3a Xét mặt cắt có hoành độ z Độ võng ở mặt cắt

nầy là y(z).Ta có phương trình vi phân đường đàn hồi:

EI

M

y''  

(11.1) Với : mômen uốn M = Pth y(z) (11.2)

(từ điều kiện cân bằng trên H.11.3b)

Thay (b) vào (a)   y 0

EI

P

y'' th

Đặt:

EI

P th



2

  y'' 2y  0 (11.3)

Nghiệm tổng quát của (c) là:

sin( ) cos( )

y  A z B z (11.4)

Các hằng số A,B xác định từ điều kiện biên: y(0) = 0 và y(L) = 0

q > q th

P > P th

H 11.2 Các dạng mất ổn định

H 11.3

M

Pth

y

Pth

z

L

z y(z) Pth

y(L) = 0  Asin(L)  0

để bài toán có nghĩa y(z)  0  A 0,  sin(L)0

phương trình này có nghiệm Ln , với n = 1, 2, 3,  2 222

L

 

Từ (c) và (e)  2

2 2

L

EI n

 (11.5)

Thực tế, khi lực nén đạt đến giá trị tới hạn nhỏ nhất theo (11.5) ứng với n =1 thì thanh

đã bị cong Vì vậy, các giá trị ứng với n > 1 không có ý nghĩa

Ngoài ra, thanh sẽ cong trong mặt phẳng có độ cứng uốn nhỏ nhất Do đó, công

thức tính lực tới hạn của thanh thẳng hai đầu liên kết khớp là:

2

2

L

EI

P th min

(11.6) Đường đàn hồi tương ứng có dạng một nửa sóng hình sine:

y Asin( z)

L



 (11.7) với: A là một hằng số bé, thể hiện độ võng giữa nhịp

2- Tính P th thanh có các liên kết khác ở đầu thanh

Áp dụng phương pháp trên cho thanh có các liên kết khác nhau ở hai đầu, ta được

công thức tính lực tới hạn có dạng chung: 2

2 2

L

EI m

(11.8)

với: m : là số nửa sóng hình sine của đường đàn hồi khi mất ổn định

Đặt

m

1



 , gọi là hệ số quy đổi,

Ta được: 2

2

) (

min

L

EI

P th





 (11.9)

được gọi chung là công thức Euler

Dạng mất ổn định và hệ số  của thanh

có liên kết hai đầu khác nhau thể hiện trên

hình.11.4

3- Ứng suất tới hạn

Ứng suất trong thanh thẳng chịu nén

đúng tâm bởi lực Pth gọi là ứng suất tới hạn

và được xác định theo công thức:

2 min

2 2

min 2

) (



















i L

E A

L

EI A

P th

th









A

I

min  là bán kính quán tính nhỏ nhất của tiết

diện

Đặt:

min

L i



  : gọi là độ mảnh của thanh ,  2

2





th  E (11.10)

H 11.4 Dạng mất ổn định và hệ số 

m=1/2

= 2

m= 1

= 1

m= 1,43

= 0,7

m= 2

= 1/2

Độ mảnh  không có thứ nguyên, phụ thuộc vào chiều dài thanh, điều kiện liên kết và đăc trưng hình học của tiết diện;

Nhƣ vậy thanh có độ mảnh càng lớn thì càng

dễ mất ổn định

4- Giới hạn áp dụng công thức Euler

Công thức Euler được xây dựng trên cơ sở phương

trình vi phân đường đàn hồi, vì vậy chỉ áp dụng được

khi vật liệu còn làm việc trong giai đoạn đàn hồi, tức

là ứng suất trong thanh nhỏ hơn giới hạn tỷ lệ:

tl











 22 hay:

tl

E







 2 (k)

Nếu đặt:

tl







 2 thì đều kiện áp dụng của công thức Euler là:   o (11.11)

o : đượcgọi là độ mảnh giới hạn và là một hằng số đối với mỗi loại vật liệu

Thí dụ: Thép xây dựng thông thường o = 100, gỗ :o = 75; gang :o = 80

* Nếu   o gọi là thanh độ mảnh lớn

Như vậy, công thức Euler chỉ áp dụng đƣợc cho thanh có độ mảnh lớn

III ỔN ĐỊNH NGOÀI MIỀN ĐÀN HỒI

1- Ý nghĩa: Công thức Euler chỉ áp dụng được khi vật liệu đàn hồi Đồ thị của phương trình(11.10) là một hyperbola như trên H.11.5, chỉ đúng khi th tl

Khi th  tl  vật liệu làm việc ngoài miền đàn hồi, cần thiết phải có công thức khác để tính Pth

2- Công thức thực nghiệm Iasinski

Công thức Iasinski được đề xuất dựa trên nhiều số liệu thực nghiệm, phụ thuộc vào độ mảnh của thanh

- Thanh có độ mảnh vừa : 1 o:

th  ab (11.12) với: a và b là các hằng số phụ thuộc vật liệu, được xác định bằng thực nghiệm:

 Thép xây dựng:a =33,6kN/cm2

; b = 0,147kN/cm2

 Gỗ: a = 2,93kN/cm2

; b = 0,0194kN/cm2

độ mảnh 1 được xác định từ công thức:

b

a tl



1 , (lấy

TL

  ) (11.13)

thực nghiệm cho thấy phạm vi giá trị 1 3040

- Thanh có độ mảnh bé:   1

- Khi này thanh không mất ổn định mà đạt đến trạng thái phá hoại của vật liệu

Vì vậy, ta coi:

Hyperbola Euler

I asinski

ơ th

λ

H 11.5 Ứng suất tới hạn

ơ 0

ơ tl

λ 0

λ1

  0  đối với vật liệu dòn

ch

th  

  0 đối với vật liệu dẻo

và lực tới hạn của thanh : P th = th A

Thí dụ.1 Tính Pth và th của một cột làm bằng thép số 3 có mặt cắt ngang hình chữ  số

22 Cột có liên kết khớp hai đầu Xét hai trường hợp:

a) Chiều cao của cột 3,0m

b) Chiều cao của cột 2,25m

Biết: E = 2,1.104kN/cm2; tl = 21kN/cm2 ; o =100

Các hằng số trong công thức Iasinski : a = 33,6kN/cm2

, b = 0,147kN/cm2

Giải

Tra bảng thép định hình(phụ lục)ta có các số liệu của

thép  No

22: imin i y 2,27cm; A30,6cm2;

theo liên kết của thanh thì ta có 1

+ Trường hợp a)

27 , 2

300 1

min









i



 Thanh có độ mảnh lớn, áp dụng công thức Euler

4 2

2

2

/ 88 , 11 132

10 1 , 2

cm kN

E







 P th  th A  11 , 88 30 , 6  363 , 62kN

+ Trường hợp b)

min

11 , 99 27 , 2

225



i l

147 , 0

21 6 , 33



b

a tl

  1     0

Thanh có độ mảnh vừa, dùng công thức Iasinski:

2 33,6 0,147.99 20,37 /

P th th A  20,37.30,6  623,32kN

Chú ý: - Nếu liên kết của thanh trong hai mặt phẳng quán tính giống nhau trong

các công thức đã có sẽ dụng Imin và imin

- Nếu liên kết của thanh trong hai mặt phẳng quán tính khác nhau thì khi mất

ổn định thanh sẽ cong trong mặt phẳng có độ mảnh lớn và các đại lượng I, i sẽ lấy

trong mặt phẳng này

Thí dụ.2 Kiểm tra ổn định thép I.24 có A =34,8cm2

,

Iy = Imin =198cm4, iy = imin= 2,37cm, 0 = 100,

Ix=3460cm4, ix=9,97cm, E = 2.104kN/cm2 , Kođ =2,

Giải

97 , 9

600





x

x x

i l



I L= 3m P= 230kN

126 , 6

37 , 2

600 5 ,





y

y y

i

l



Dùng Euler: Lấy max để tính

kN A

E A

) 6 , 126 (

10 2 ) 14 , 3 ( )

(

4 2

2 max

2



















K

P

P

oñ

th

2



Thanh thỏa điều kiện ổn định

Ghi chú -Nếu tiết diện hình chữ nhật bxh:

12 12

3

h bh

bh A

I

12 12

3

b bh

hb A

I

-Nếu tiết diện tròn đường kính d, hình vành khăn D,d :

4 4

64

2

3

d d

d A

I

i

y





,

2 2

2

4 4

1 4 1

4

1 64











































































D

d D

D

d D

D

d D

A

I i

y x





Thí dụ.3 Kiểm tra điều kiện ổn định

0 =100, Kođ = 4, E =2.104kN/cm2

Giải

cm

b

12

10

89 2

400

,

.

min







i

l



 > 0 dùng Euler

kN A

E A

) 4 , 138 (

20000 ) 14 , 3 (

2 2

2















  kN kN

K

P P

oñ

th

Thanh thỏa điều kiện ổn đinh

Thí dụ.4 Xác địmh  P để thanh ổn định

Cho biết : Kođ = 2, E = 2.104kN/cm2,thép có đường kính d=8cm, 0 =100,

x

y

b

h

d

D

d

10cm

P=200kN

P=150kN

I.24a L= 6

m

P

y

x

y

x

y

Giải

min

105 2

300 7 ,



i

l

2 2 2

2

/ 9 , 17 )

105 (

20000 ) 14 , 3 (

cm kN

E







K

A P

oñ

th

4

8 2

9 ,



IV PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN ĐỊNH

THANH CHỊU NÉN

1.Phương pháp tính: Thanh chịu nén cần phải thỏa :

Điều kiện bền:    [  ]n

gyeáu

A

P

; với: n n o





 ]

trong đó: n - hệ số an toàn về độ

bền

A gyếu :diện tích tiết diện giảm

yếu(bị khoét lỗ); nếu không

khoét lỗ thì Agyếu = A là tiết

diện nguyên

 Điều kiện ổn định:    [] oâñ

A

P

với:

oâñ

oâñ

k

th



] 

[

trong đó: kôđ ( hay k)- hệ số an toàn về ổn định

Vì sự giảm yếu cục bộ tại một số tiết diện có ảnh hưởng không đáng kể đến sự ổn định chung của thanh

Do tính chất nguy hiểm của hiện tượng mất ổn định và xét đến những yếu tố

không tránh được như độ cong ban đầu, độ lệch tâm của lực nén … nên chọn k ôđ > n,

và k thay đổi phụ thuộc vào độ mảnh Thép xây dựng có k ôđ =1,8  3,5 như minh họa

trên H.11.7; gang k ôđ = 5  5,5; gỗ kôđ = 2,8  3,2

Để thuận tiện cho tính toán thực hành, người ta đưa vào khái niệm hệ số uốn dọc hoặc

hệ số giảm ứng suất cho phép  được định nghĩa như sau:

k

n

o

th n

















] [

]

 < 1, vì cả hai tỉ số:  1

o

th





và  1

k n

từ đó: []ôđ [] và điều kiện ổn định trở thành:

,kG/c

m2

2400

2000

140 0 100 0

k =1,7

0 5

0

100 15 0

20 0

25 0



k

k

k = 3,5

Euler Hyperbola 2400

Đường giới hạn ứng suất

Hình.11.7 Hệ số an toàn k ôđ cho thép

d=8cm

P

L= 3m

A n

A

  ; Hay có thể viết: P  P ôđ []n A

Điều kiện ổn định thoả, điều kiện bền không cần kiểm tra

Hệ số  =  [E,  ,k] được cho ở bảng sau

Bảng hệ số  thường gặp

Độ mảnh



Trị số  đối với Thép

số 2,3,4

Thép

số 5

Thép

Vì  < 1 nên thường chỉ cần kiểm tra điều kiện ổn định là đủ

Tuy nhiên, nếu thanh có giảm yếu cục bộ do liên kết bu lông, đinh tán… thì cần kiểm

tra cả hai điều kiện bền và ổn định

- Điều kiện bền: n

A

P []

- Điều kiện ổn định: A n

P []

trong thực tế, nếu thỏa (a) thì thường cũng thỏa (b)

Đối với bài toán ổn định cũng có ba bài toán:

  

2.Xác định tải trọng cho phép: [P]A[]n

Trong hai bài toán trên, vì tiết diện thanh đã biết nên có thể suy ra hệ số  theo trình tự: có : A, I      

A I

l

/ (tra bảng)

3.Chọn tiết diện:

n

P A

] [





Việc tìm A phải làm đúng dần, vì trong công thức trên chứa hai biến: A và  (A)

Trình tự tìm A như sau:

- Giả thiết: o = 0,5 ; tính được: o

n o o

P





] [

- Từ o tra bảng ta được '

o

 .Nếu o'  o

thì Ao được chọn Nếu o' o

thì lấy: 2

'

1  o  o

]

1







n

P A

thường lặp lại quá trình tính khoảng 2 -3 lần thì sai số tương đối giữa hai lần tính đủ nhỏ ( 5%) lúc đó dừng lại và kiểm tra lại điều kiện ổn định với tiết diện vừa tìm

Thí dụ 5 : Cho thanh ABC tuyệt đối cứng và

chịu lực như hình vẽ Thanh chống BK có tiết

diện tròn làm bằng vật liệu gỗ Hãy chọn  d từ

điều kiện ổn định Cho biết L=1m, q=5kN/m,

/ k 1 ]

Giải

kN

N

L P L P L qL L N

A

M

KB

KB

48

6 2 3 3

6 5 0

/

























a) Chọn lần thứ nhất:

Giả sử lấy  0,38,

32 , 126 38 , 0 1

48 ]

P A

n













Ta tính được d = 12,69cm , và i min= 3,17cm , và tính được 94 , 64

17 , 3

300 1

min







i l





Từ bảng quan hệ giữa  và  ta nội suy được 0,348

10

07 , 0 64 , 4 38 ,



Hệ số này khác nhiều với giả sử ban đầu nên ta phải chọn lại

b) Chọn lần thứ hai:

2

348 , 0 38

,



87 , 131 1 364 , 0

48

m

A  suy ra d=12,96cm, i min= 3, 24cm

Độ mảnh: 92,59

24 , 3

300



 nội suy từ bảng tra ta tìm được

10

07 , 0 59 2 38

,



Kiểm tra lại điều kiện ổn định:

q

L 3L

B

NBK

2P

P

2L

d

K

A

  là:

2

/ k 006 , 1 87 , 131 362 , 0

48

cm N

/

1kN cm



 Vậy ta chọn đường kính d=13cm

Thí dụ 6 Cho thanh ABC có tiết diện hình chữ I.18 có Wx=143cm3, Ix= 1290cm4 và thanh chống BK tiết diện hình vành khăn có D=6cm, d=5cm chịu lực như hình vẽ Kiểm tra điều kiện ổn định của cột chống BK và điều kiện bền dầm ABC

Cho: L=1m, cột chống bằng vật liệu thép số 3 có 2

/ k 16 ] [   N cm , q = 6kN/m, Giải

kN qL

N

L qL L qL L N

A

M

KB

KB

36 6

6 2 3 6 5 0

/























Kiểm tra điều kiện ổn định

) 6

5 ( 1 4 6

300 1

2









31 , 0 10

03 , 0 64 3

32

,





 N od A   (6 5 ) 16 42,83kN

4 31 ,







N BK  N od BK

Kiểm tra điều kiện bền

 

x

Max

x

W

M

max , theo bài toán cho ta có M x Max qL qL 15kNm

2 2

2



 

148

1500

cm kN

Thí dụ7 Cho dầm BCD tuyệt đối cứng, thanh chống CK vật liệu gỗ tiết diện chữ nhật

chịu lực như hình vẽ Chọn [q]từ điều kiện ổn định, 2

/ k 1 ] [  n  N cm

Giải

qL N

L qL L qL L qL L

N D

162 , 3

3 3

0



12 10

2 , 316 1

min













i

L BC

 N od A  0,2531012130,34kN

Điều kiện ổn định  

m kN q

kN qL

N

N CK od CK

/ 17 , 6

34 , 30 92

, 4









 Chọn  q  6kN/m

q

L 5L

B

NBK

2qL

3L

K

D

d