SỐ PHỨC

SỐ PHỨC

§1 Số phức

1, Khái niệm số phức:

*Định nghĩa 1: Một số phức là một biểu thức dạng a bi , trong đó a, b là các

số thực và số i thoả mãn i   Kí hiệu số phức đó là z và viết z2 1  a bi

i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số

phức z a bi

Tập hợp các số phức được kí hiệu là

*Chú ý: + Mỗi số thực a đều được xem như là 1 số phức với phần ảo b  0

+ Số phức z  a bi có a 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo + Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

*Định nghĩa 2: Hai số phức z a bi ( ,a b  ) và 'z a'b i' ( ', 'a b  ) được gọi là bằng nhau nếu : aa' và bb' Khi đó, ta viết: zz'

ii, z1z2 z2 với mọi z1 z z 1, 2 iii, z     với mọi z 0 0 z z

iv, Với mỗi số phức z a bi ( ,a b  ), nếu kí hiệu số phức a bi  là z thì ta có: z ( z)    Số z z z 0  được gọi là số đối của số phức z

*Định nghĩa 4: Hiệu của hai số phức z1a1b i1 , z2 a2b i2 (a b a b 1, ,1 2, 2 )

*Định nghĩa 5: Tích của hai số phức z1 a1b i1 , z2 a2b i2 (a b a b 1, ,1 2, 2 )

i, z z1 2 z z2 1 với mọi z z 1, 2 ii, 1 1.z  z  với mọi z  z

iii, (z z1 2).z3 z z z1.( 2 3) với mọi z z z  1, 2, 3

iv, z z1.( 2z3) z z1 2z z1 3 với mọi z z z  1, 2, 3

5, Số phức liên hợp và mô đun của số phức:

*Định nghĩa 6: Số phức liên hợp của số phức z a bi ( ,a b  ) là a bi và

được kí hiệu là z Như vậy, ta có: z a bi a bi

*Nhận xét: + Số phức liên hợp của z lại là z , tức là z  Do đó ta còn nói z

z và z là hai số phức liên hợp với nhau

+ Hai số phức là liên hợp với nhau khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng đối xứng nhau qua trục Ox

+ Thương z'

z là số phức w sao cho wz z' Do đó, có thể nói phép chia cho

số phức khác 0 là phép toán ngược của phép nhân

3( 3 )

i

i i

(3 2 ) ( 2 ) 19

3(1 2 )

z

i i

3, Phần thực là số thực dương, phần ảo là số thực âm thoả mãn:

z z





 4,

113

z z





22





 8,

212





 a, Xác định phần thực của w biết rằng z  và 1 z  1

b, Chứng minh rằng: Nếu w là số thuần ảo thì z  1

Bài 22: Một số đề thi Đại Học qua các năm:

1,(B-2009) Tìm số phức z thoả mãn: z(2i)  10 và z z 25

2,(D-2010) Tìm số phức z thoả mãn: z  2 và 2

z là số thuần ảo

3,(A-2010) Tìm phần ảo của số phức z, biết rằng: z( 2i) (12  2 )i

Cho số phức z thoả mãn:

3

(1 3 )1

i z

z i

i z

5

2 3

n

i z

7, Cho số phức z thoả mãn z26z13 0 Tính z 6

z i





9, Cho z là số phức thoả mãn (1z i)( z) là số thuần ảo Tính giá trị lớn nhất,

giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  z i

10, Trong tất cả các số phức z thoả mãn (1 ) 2 3

1

i z i



 , hãy tìm số phức có môđun nhỏ nhất và số phức có môđun lớn nhất

Bài 24: 1, *Cho số phức z thoả mãn 2 z  3iz  Tính 4 z w z2013 20141

z

2, Tìm tất cả các số phức z thoả mãn điều kiện: z3 4z

3, Tính môđun của số phức z, biết z312i và z có phần thực dương z

4, Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết rằng: z2122 (3i z)

i z

4, Tìm số phức z thoả mãn: (1 3 ) 2

1

iz i z

z i

 



5, Tìm môđun của số phức z, biết:

Bài 32: Giải các bài toán sau:

1, Cho hai số phức z , 1 z thoả mãn: 2 z1z2  z1  z2  0

Tính giá trị của biểu thức:

3, Cho hai số phức z , 1 z thoả mãn: 2 z1  z2  và 1 z1z2  3 Tính z1z2

4, Cho z , 1 z , 2 z là các số phức thoả mãn 3 z1  z2  z3  và 1 z1z2z3 1Chứng minh rằng: z z z1 2 3  z z1 2z z2 3z z3 1

5, Cho hai số phức: z1(a2 a 1) (2 a23a4)i ( a  ) và z2  3 2i

Tìm giá trị của tham số a để z1 z2

6, Chứng minh rằng: Hai số phức phân biệt z , 1 z thoả mãn điều kiện 2 z1  z2

Bài 33: Giải các bài toán sau:

1, Cho hai số phức z , 1 z thoả mãn: 2 z  , 1 3 z  và 2 4 z1z2  37

Tìm số phức 1

2

z z z



2, Cho hai số phức z , 1 z Chứng minh rằng: 2 wz z1 2z z1 2 là 1 số thực

3, Cho hai số phức z , 1 z thoả mãn: 2 z12z22 z z1 2 Tính 1 2

Dạng 2: Biểu diễn số phức và tập hợp điểm

z i z





 9,

32

z i z

1, z là số thực âm 2, 2 (z i )2 là số thuần ảo

 



 

7, z 1 z  8, 1 4 z2i  z2i  9, 6 z  5 z 5  8

Bài 8: Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức thoả mãn:

1, M biểu diễn các số phức z  , trong đó 1 i z 1 2i  3

2, M biểu diễn các số phức z  , với 22 i  z   1 i 3

Bài 9: Giải các bài toán sau:

1, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w1i 3z , biết 2 z   1 2

2, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w 2z  , biết: 3 i

4, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w iz , biết: 3 z 2zz 1 z2 6 iz

Bài 10: Cho các điểm A, B, C, D, M, N, P nằm trong mặt phẳng phức lần lượt

biểu diễn các số phức 1 3i , 2 2i  , 4 2i  , 1 7i , 3 4i  , 1 3i , 3 2i 

1, Chứng minh rằng các tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm

2, Tìm điểm Q trong mặt phẳng phức sao cho tứ giác MNPQ là hình bình hành Điểm Q biểu diễn số phức nào?

3, Chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp một đường tròn Tìm tâm và tính bán kính đường tròn đó

§2.Căn bậc hai của số phức Phương trình bậc hai

1, Căn bậc hai của số phức:

*Định nghĩa: Căn bậc hai của số phức z là số phức w sao cho w2  z

*Phương pháp xác định căn bậc hai của số phức:

Xét số phức z a bi Gọi w x yi là căn bậc hai của số phức z

+ Nếu a0,b thì 0 z 0 có đúng một căn bậc hai là w  0

+ Nếu a0,b  thì căn bậc hai của z là w0   a

+ Nếu a0,b thì 0 z  a ai2 nên w  ai

+ Nếu b  thì ta có 0 w2 x2 y22xyi nên

2 2 2

2

b z

Dạng 1: Căn bậc hai và phương trình bậc hai

Bài 1: Xác định căn bậc hai của mỗi số phức sau:

Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

2, Hiệu của chúng bằng 6i và tích của chúng bằng 2(7 6 ) i

Bài 9: Giải các bài toán sau:

1, Gọi z z là các nghiệm phức của phương trình: 1, 2 z22z10 Tính giá trị 0của các biểu thức: A z12 z22

2, Gọi z z là các nghiệm phức của phương trình: 1, 2 z22z  Tính giá trị 5 0của các biểu thức: B z12  z22

3, Gọi z z là các nghiệm phức của phương trình: 1, 2 z24z  Tính giá trị 5 0của các biểu thức: Pz112013z212013

4, Gọi z z là các nghiệm phức của phương trình: 1, 2 z22 2z  Tính giá trị 8 0của các biểu thức: Pz12013z22013

5, Gọi z z là 2 nghiệm phức của phương trình: 1, 2 2(1i z) 24(2i z)  5 3i 0Tính giá trị của các biểu thức: A z12 z22

6, Gọi z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình: 1 z22z  Tìm 5 0

tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn: 2 21 1 1

7, Trong mặt phẳng toạ độ, giả sử điểm A biểu diễn nghiệm z của phương 1

trình: z22z  và điểm B biểu diễn số phức 5 0 2 1

12

i

z  z

 Tính diện tích của tam giác OAB, với O là gốc toạ độ

9, Gọi z z là các nghiệm phức của phương trình: 1, 2 2

10, Giả sử a, b, c là 3 số phức thay đổi thoả mãn a  b  c  và z là nghiệm 0

của phương trình: az2bz c  Chứng minh rằng: 0 1 5 1 5





Dạng 2: Phương trình quy về bậc hai

Bài 1: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

Chứng minh rằng (1) có 1 nghiệm thuần ảo, từ đó giải phương trình (1)

Bài 10: Cho phương trình: z32(1i z) 23iz   (1) 1 i 0

1, Chứng minh rằng z  là 1 nghiệm của phương trình (1) 1

2, Tìm các số thực a, b để có phân tích:

z  i z  iz  i z z az b

3, Giải phương trình đã cho

Bài 11: Tìm m để phương trình sau có nghiệm z : i

z  i z   i z mi Với giá trị m tìm được, giải phương trình đã cho

Bài 14: Gọi z z z là các nghiệm phức của phương trình: 1, 2, 3 27z   3 8 0

Tính giá trị của biểu thức:

Bài 16: Cho phương trình: 3z45z33z24z  (1) 2 0

1, Chứng tỏ rằng z  là 1 nghiệm của phương trình (1) 1 i

2, Tìm các còn lại của phương trình (1)

§3 Dạng lượng giác của số phức

1, Số phức dưới dạng lượng giác:

Dạng zr(cosisin ) với r 0, được gọi là dạng lượng giác của số phức 0

z 

+  được gọi là argument của số phức z, được xác định bởi số đo của mỗi góc lượng giác với tia đầu là tia Ox, tia cuối là tia OM (M là điểm biểu diễn của số phức z trong mặt phẳng phức) Argument của số phức z được đo bằng rađian, mọi argument của z có dạng k2 ( k  )

+ r là môđun của số phức z, tức là r  z

2, Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác:

Xét hai số phức z1r1(cos1isin1); z2 r2(cos2isin2) Khi đó ta có: + z z1 2 r r1 2cos(12)isin(12), với r10,r2  0

Xét số phức zr(cosisin ) , với mọi số nguyên dương n ta có:

 (cos sin )n cos sin 

z  r i  r n i n 

*Chú ý: i, Với r  ta có 1 (cosisin ) n cosn isinn 

ii, Căn bậc hai của số phức zr(cosisin ) (r  ) là hai số phức 0

 ; với k nhận các giá trị nguyên từ 0 đến n  1

Dạng 1: Biểu diễn số phức dưới dạng lượng giác

● Chuyển số phức từ dạng đại số z  a bi (a b,  ;a2b2  ) sang dạng 0

lượng giác như sau:

Khi đó dạng lượng giác cần tìm của z là zr(cosisin )

● Mỗi số phức z đều có nhiều argument, nếu  là 1 argument thì mọi argument

2, Viết dưới dạng lượng giác của số phức: z 1  2 1 i

Bài 5: Tuỳ theo góc , viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:

1, z 1 cosisin 2, z 1 cosisin 3, z 1 cosisin

4, z 1 cosisin 5, z 1 sinicos 6, z 1 sinicos

7, zcosi(1 sin )  8, zcosi(1 sin )  9, 1 cos sin

1 cos sin

i z

Bài 6: Viết dưới dạng lượng giác và tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau:

 là

34





Bài 12: Tìm số phức z ở dạng lượng giác biết rằng:

1, z  và một argument của (12 i z) là 5

12



 là

23





Bài 13: Cho hai số phức z1 2i 2 và z2  1 i 3

1, Tính môđun và argument của hai số phức nói trên

2, Tính môđun và argument của các số phức z , 13 z và 22

3 1 2 2



1, Viết z z z dưới dạng lượng giác 1, 2, 3

2, Từ đó suy ra giá trị chính xác của cos7

i z

Dạng 2: Vận dụng dạng lượng giác giải toán

Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:

i z

i z

(1 )3

i D

n n

i z

5

2 3

n

i z

Bài 6: Giải các bài toán sau:

1, Tính giá trị của biểu thức:  6 5 5 6