BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC 3 CẤP TỐC

BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC 3 DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI CẤP TỐC ĐẠI HỌC

BÀI TẬP HÀM SỐ

1 Cho hàm số y x3ax2  4

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi a=3

Tìm a để phương trình x - ax +m+4=03 2 luôn có 3 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m thỏa mãn điều kiện 4m0

Hướng dẫn a3

2 Cho hàm số y=x -(4m+1)x +(7m+1)x-3m-13 2

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m=-1

b Tìm m để hàm số có cực trị đồng thời các giá trị cực đại và cực tiểu trái dấu nhau

m>1; m¹2

1

m<-4











c Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc trục hoành m=-1;2;4

Bài giải

a

b Để hàm số có cực trị đồng thời các giá trị cực đại và cực tiểu trái dấu nhau thì ta cần thỏa mãn điều kiện sau:

y’=0 có 2 nghiệm phân biệt và y y <0CD CT

Tính giá trị y’ ta có như sau:

2

y'=3x -2(4m+1)x+(7m+1)

Để thỏa mãn điều kiện của bài toán thì cần phải

CD CT

' 0

y y <0

 





2

CD CT

' (4m+1) -3(7m+1)>0

y y <0

 





2

CD CT

' 16m +8m+1-21m-3>0

y y <0

 





2

CD CT

' 16m -13m-2>0

y y <0

 





Nhận thấy ’ luôn dương với mọi m nên ta chỉ cần tìm điều kiện thứ hai

Tìm phương trình qua điểm cực đại cực tiểu bằng cách lấy y chia cho y’

x -(4m+1)x +(7m+1)x-3m-1 3x -2(4m+1)x+(7m+1)2

- (4m+1)x + (7m+1)x2 2 1

1

3x

1

- (4m+1) 9

- (4m+1)x + (7m+1)x1 2 2

2(4m+1) x- (7m+1)(4m+1)2 1

Phương trình qua hai điểm cực trị có dạng

2

y= (7m+1)x-3m-1- (4m+1) x+ (7m+1)(4m+1)

2

y= (21m+3)x- (16m +8m+1)x+ (7m+1)(4m+1)-3m-1

3 Cho hàm số y=x -(m+3)x +(2+3m)x-2m 3 2

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với 3

2

m 

b Tìm trên mặt phẳng các điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m

c Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm có hoành đột tạo thành cấp số cộng

Hướng dẫn giải:

b (1;0),(2;0)

3

c m= ;3;0

2

4 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y x 3  3x2

Giả sử A, B, C là ba điểm thẳng hàng phân biệt thuộc C, tiếp tuyến với C tại

A, B, C tương ứng cắt A’, B’, C’, chứng minh 3 điểm A’, B’, C’ thẳng hàng

5 Cho hàm số y 2x3  3x2  1

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b Gọi dk là đường thẳng đi qua M(0;-1) và có hệ số góc k, tìm k để đường thẳng dk cắt C tại 3 điểm phân biệt

Hướng dẫn giải k>- ; 09

8  6.Cho hàm số y x 3  (m1)x2 (m 1)x1

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1;

b Chứng tỏ với mọi giá trị m khác 0, đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt ABC trong đó BC là hoành độ phụ thuộc tham số m, tìm giá trị của

m để các tiếp tuyến tại B, C song song với nhau

Hướng dẫn giải m=2

7 Cho hàm số y x 3  (2m3)x2(2m2  m9)x 2m2 3m 7

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=0

b Tìm m để C cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 1 Hướng dẫn giải 2<m<3

8 Cho hàm số y=x -3x +m x+m3 2 2

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=0

b Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng 1 5

y  x

9 Cho hàm số y=x -3x -9x+m3 2

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=0

b Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng

Hướng dẫn giải m=11

10 Cho họ đường cong bậc ba (Cm) và họ đường thẳng (Dk) lần lượt có phương trình là

y = x3 + mx2  m và y = kx + k + 1

(I) PHẦN I Trong phần này cho m = 3 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của

hàm số

1) Gọi A và B là 2 điểm cực đại và cực tiểu của (C) và M là điểm bất kỳ trên cung AB với M khác A , B Chứng minh rằng trên (C) ta tìm được hai điểm tại đó có tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến tại M với (C)

2) Gọi  là đường thẳng có phương trình y = 1 Biện luận số tiếp tuyến với (C)

vẽ từ E   với (C)

3) Tìm E   để qua E có ba tiếp tuyến với (C) và có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

4) Định p để trên (C) có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng p, trong trường hợp này chứng tỏ trung điểm của hai tiếp điểm là điểm cố định

5) Tìm M  (C) để qua M chỉ có một tiếp tuyến với (C)

(II) PHẦN I I.Trong phần này cho tham số m thay đổi.

6) Tìm điểm cố định của (Cm) Định m để hai tiếp tuyến tại hai điểm cố định này vuông góc nhau

7) Định m để (Cm) có 2 điểm cực trị Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị

8) Định m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt

9) Định m để : a) hàm số đồng biến trong (1, 2) b) hàm số nghịch biến trong (0, +)

10) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ tạo thành cấp số cộng

11) Tìm điều kiện giữa k và m để (Dk) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt Tìm k để (Dk) cắt (Cm) thành hai đoạn bằng nhau

12) Viết phương trình tiếp tuyến với (Cm) và đi qua điểm (-1, 1)

13) Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến với (Cm) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có

hệ số góc lớn nhất

BÀI GIẢI

PHẦN I : m = 3

Khảo sát và vẽ đồ thị (độc giả tự làm)

1) Gọi n là hoành độ của M Vì hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và đạt cực đại tại x =

2 nên 0 < n < 2; y' = – 3x2 + 6x  hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k1 = – 3n2 + 6n  (0, 3] (vì n  (0, 2)) Đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến tại M có hệ

số gĩc là k2 =

1

k

1

 (với 0 < k1  3) Hồnh độ của tiếp tuyến vuơng gĩc với

tiếp tuyến M là nghiệm của – 3x2 + 6x =

1

k

1

 (= k2)  3x2 – 6x

1

k

1

 = 0 Phương trình này cĩ a.c < 0,  k1  (0, 3] nên cĩ 2 nghiệm phân biệt,  k1  (0, 3] Vậy trên (C) luơn cĩ 2 điểm phân biệt mà tiếp tuyến đĩ vuơng gĩc với tiếp tuyến tại M

2) E (e, 1)   Phương trình tiếp tuyến qua E cĩ dạng y = h(x – e) + 1 (D) (D)

tiếp xúc (C)  hệ

























h x 6 x 3

1 ) e x ( h 3 n 3

x

2

2 3

cĩ nghiệm

 Phương trình hồnh độ tiếp điểm của (D) và (C) là :

– x3 + 3x2 – 3 = (– 3x2 + 6x)(x – e)+ 1 (1)

 – x3 + 3x2 – 4 = x(– 3x + 6)(x – e)

 (x – 2)(x2 – x – 2) = 3x(x – 2)(x – e)

 x = 2 hay x2 – x – 2 = 3x2 – 3ex

 x = 2 hay 2x2 – (3e – 1)x + 2 = 0 (2) (2) cĩ  = (3e – 1)2 – 16 = (3e – 5)(3e + 3)

(2) cĩ nghiệm x = 2  8 – 2(3e – 1) + 2 = 0  e = 2

Ta cĩ  > 0  e < – 1 hay e > 35

Biện luận :

i) Nếu e < – 1 hay 35 < e < 2 hay e > 2

(1) cĩ 3 nghiệm phân biệt  cĩ 3 tiếp tuyến

ii) Nếu e = – 1 hay e = 35 hay e = 2

 (1) cĩ 2 nghiệm  cĩ 2 tiếp tuyến

iii) Nếu – 1 < e < 35  (1) cĩ 1 nghiệm  cĩ 1 tiếp tuyến

Nhận xét : Từ đồ thị, ta cĩ y = 1 là tiếp tuyến tại (2, 1) nên phương trình (1) chắc chắn cĩ nghiệm x = 2,  e

3) Vì y = 1 là tiếp tuyến qua E (e, 1),  e và đường x =  khơng là tiếp tuyến nên

yêu cầu bài tốn

 (2) cĩ 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa : y'(x1).y'(x2) = – 1





































1 ) x 6 x 3 )(

x 6 x 3 (

) 2 ( của nghiệm là

x ,

5 e 1 e

2

2 2 1

2 1 2 1









































1 ) 2 x )(

2 x ( x x 9

1 x

1 e 3 x x

3

5 e hay 1 e

2 1

2 1

2 1

2 1



























1 ] 4 ) 1 e 3 ( 1 [

5 e hay 1 e

 e = 2755 Vậy E 









 ,1 27

55

4) Tiếp điểm của tiếp tuyến (với (C)) có hệ số góc bằng p là nghiệm của :

y' = p  3x2 – 6x + p = 0 (3)

Ta có ' = 9 – 3p > 0  p < 3

Vậy khi p < 3 thì có 2 tiếp tuyến song song và có hệ số góc bằng p

Gọi x3, x4 là nghiệm của (3)

Gọi M3 (x3, y3); M4 (x4, y4) là 2 tiếp điểm Ta có :

1 a 2

b 2

x

x3 4









1 2

6 ) x x ( 3 ) x x

( 2

y

4

2 3

3 4

3 3 4

Vậy điểm cố định (1, –1) (điểm uốn) là trung điểm của M3M4

5) Cách 1 : Đối với hàm bậc 3 (a  0) ta dễ dàng chứng minh được rằng :

 M  (C), ta có :

i) Nếu M khác điểm uốn, ta có đúng 2 tiếp tuyến qua M

ii) Nếu M là điểm uốn, ta có đúng 1 tiếp tuyến qua M

Cách 2 : Gọi M(x0, y0)  (C) Phương trình tiếp tuyến qua M có dạng :

y = k(x – x0) x 3x2 3

0

3

Phương trình hoành độ tiếp điểm của (D) và (C) là :

x x x x x x x x

 x x 3(x x ) (x x )( 3x2 6x) 0

0

2 0 2 3

0

0

2 0 0

2



 x x hay 2x (3 x )x x2 3x0 0

0 0

2



 xx0 hay (x x0)(2xx0 3)0



2

x 3 x hay x





Do đó, có đúng 1 tiếp tuyến qua M (x0, y0)  (C)

2

x 3

Suy ra, y0 = 1 Vậy M(1, –1) (điểm uốn)

Nhận xét : vì x0 là 1 hồnh độ tiếp điểm nên pt (5) chắc chắn cĩ nghiệm kép là

x0

Phần II : Tham số m thay đổi y' = – 3x2 + 2mx

6) (Cm) qua (x, y), m

 y + x3 = m (x2 – 1) , m











































1 y

1 x hay 1 y

1 x 0

x y

0 1

x

3 2

Vậy (Cm) qua 2 điểm cố định là H(1, –1) và K(–1, 1)

Vì y' = – 3x2 + 2mx nên tiếp tuyến với (Cm) tại H và K cĩ hệ số gĩc lần lượt

là :

a1 = y'(1) = – 3 + 2m và a2 = y'(–1) = –3 – 2m

2 tiếp tuyến tại H và K vuơng gĩc nhau

 a1.a2 = – 1  9 – 4m2 = – 1  m =

2

10

7) Hàm cĩ cực trị  y' = 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt.

 3x2 = 2mx cĩ 2 nghiệm phân biệt

 x = 0 và x = 32m là 2 nghiệm phân biệt

 m  0 Khi đĩ, ta cĩ :

' y m 9

1 x 3

1 m

x m 9

2

































và phương trình đường thẳng qua 2 cực trị là :

m x m 9

2

y 2  (với m  0)

8) Khi m  0, gọi x1, x2 là nghiệm của y' = 0, ta cĩ :

x1.x2 = 0 và x1 + x2 = 32m

























9

2 m x m 9

2

2

2 1

2

= m2(x1 x2) m2

9

2





27

4



 Với m  0, ta cĩ y(x1).y(x2) < 0

 4 2

1 0

27m



2

3 3 m 4

27

Vậy (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt













0 ) x ( y )

x ( y

x , x biệt phân nghiệm 2

có 0 ' y

2 1

2 1



2

3 3

m 

Nhận xét :

i) Khi

2

3 3

m  thì phương trình y = 0 có 2 nghiệm âm và 1 nghiệm dương

ii) Khi

2

3 3

m  thì phương trình y = 0 có 2 nghiệm dương và 1 nghiệm âm

9) a) Hàm đồng biến trên (1,2)  – 3x2 + 2mx  0, x  (1,2) Nếu m  0 ta có hoành độ 2 điểm cực trị là 0 và 32m

i) Nếu m < 0 thì hàm chỉ đồng biến trên 









 ,0 3

m 2

Vậy loại trường hợp m < 0 ii) Nếu m = 0  hàm luôn nghịch biến (loại)

iii) Nếu m > 0 thì hàm chỉ đồng biến trên 









 3

m 2 , 0

Do đó, ycbt  m > 0 và  

3

m 2 , 0 ] 2 , 1 [

3

m

2





 b) Từ câu a, ta loại trường hợp m > 0

Khi m  0 ta có hàm số nghịch biến trên 













 3

m 2 , và hàm số cũng nghịch biến trên [0, +)

Vậy để hàm nghịch biến trên [0, +) thì m  0

Ghi chú : nên lập bảng biến thiên để thấy rõ ràng hơn

10) y" = – 6x + 2m , y" = 0  x = m

3 (Cm) cắt Ox tại 3 điểm cách đều nhau

 y = 0 có 3 nghiệm phân biệt và điểm uốn nằm trên trục hoành























































0 m 9

m m 27

3 3 m 0

3

m y

2

3 3 m

2 3



























2

6 3 m 0 1 27

m

3 3 m

2

11) Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và (Dk) là

– x3 + mx2 – m = kx + k + 1

 m(x2 – 1) = k(x + 1) + 1 + x3

 x + 1 = 0  m(x – 1) = k + 1 – x + x2

 x = – 1 hay x2 – (m + 1)x + k + m + 1 = 0 (11)

a) Do đó, (Dk) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt

 (11) có 2 nghiệm phân biệt khác – 1































0 ) 1 m k ( 4 ) 1 m (

0 1 m k 1 m

1

2

 (*)





















4

3 m 2 m k

3 m 2

k

2

b) Vì (Dk) qua điểm K(–1,1)  (Cm) nên ta có :

(Dk) cắt (Cm) thành 2 đoạn bằng nhau

 (Dk) qua điểm uốn 











 m 27

m 2

; 3

của (Cm)

3

m k m 27

m

2 3























) 3 m ( 9

27 m 27 m 2







Vậy ycbt  k thỏa (*) và (**)

12) Phương trình tiếp tuyến với (Cm) đi qua (–1,1) có dạng :

y = k(x + 1) + 1 (Dk)

Vậy, phương trình hoành độ tiếp điểm của (Dk) và (Cm) là :

– x3 + mx2 – m = (– 3x2 + 2mx)(x + 1) + 1 (12)

 m(x2 – 1) = (– 3x2 + 2mx)(x + 1) + 1 + x3

 x + 1 = 0  m(x – 1) = – 3x2 + 2mx + 1 – x + x2

 x = – 1 hay 2x2 + (1 – m)x – m – 1 = 0 (13)

 x = – 1 

2

1 m

x  y' (–1) = – 2m – 3





































2

1 m m 2 2

1 m 3 2

1 m '

4

1 (m2 – 2m – 3) Vậy phương trình của 2 tiếp tuyến qua (–1, 1) là :

y = – (2m + 3)(x + 1) + 1

y = 4

1 (m2 – 2m – 3)(x + 1) + 1

Nhận xét : Có 1 tiếp tuyến tại tiếp điểm (–1, 1) nên phương trình (12) chắc chắn

có nghiệm kép là x = – 1 và phương trình (13) chắc chắn có nghiệm là x = – 1

13) Các tiếp tuyến với (Cm) tại tiếp điểm của hoành độ x có hệ số góc là :

h = – 3x2 + 2mx

Ta có h đạt cực đại và là max khi

3

m a 2

b

x  (hoành độ điểm uốn) Vậy tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất

Nhận xét :

3

m 3

m 3

m x 3 mx 2 x



















 Ghi chú : Đối với hàm bậc 3

y = ax3 + bx2 + cx + d, ta có :

i) Nếu a > 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất

ii) Nếu a < 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất

11 Cho hàm số y=x +mx -m , khi nào đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.3 2 Xác định m sao cho x 1  y 1 m 3 3

2

 ; m 1

12 Cho hàm số y=2x +3x -12x-1 có đồ thị (C) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao3 2

cho tiếp tuyến của (C) tại M đi qua gốc toạ độ M(-1 ;12)

13 Cho hàm số y= x -x+1 3 2

3 3có đồ thị (C) Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị (C) vuông góc với đường thẳng y= - x+1 2

4

A 2; ; B(-2;0) 3

14 Cho hàm số y=x -3x , tìm trên đường thẳng y=2 những điểm từ đó có thể kẻ3

được 3 tiếp tuyến với C a<-2; a>2; a 1

15 Cho hàm số y=x -3x3 2 2 đồ thị (C)

a.Qua A(1,0) có thể kẻ được mấy tiếp tuyến với (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyến ấy y=-3x+3

b.CMR không có tiếp tuyến nào khác của (C) song song với tiếp tuyến qua A của (C) nói trên

16 Cho hàm số y=x +3x Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó vẽ được3 2

đúng 3 tiếp tuyến của đồ thị (C) , trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau 1

M( ;0)

27

17 Cho hàm số có đồ thị (C) y x 3  3x2 2

1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) để tiếp tuyến đó qua A(23;-2)

9

y=-2 y=9x-25

y=- x+













 2.Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thị (C) 2 tiếp tuyến vuông góc A(55;-2)

27

18 Cho hàm số y x 3 12x12 có đồ thị C, tìm trên đường thẳng y=-4 những điểm A mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến với C A(a;-4)| a<-4;a> ;a 24

19 Cho đường cong 3

y=3x-4x

a Viết phương trình tiếp tuyến của C để tiếp tuyến đó đí qua M(1 ;3)

y=3x; y=-24x+27

b Tìm trên đường cong y=-9x+8 những điểm mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến đến C

và tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

20 Cho đường cong y  x33x2, tìm các điểm trên trục hoành sao cho từ đó

kẻ được 3 tiếp tuyến với đường cong -2<x<1;-1<x<-2;x>2

21 Cho hàm số y=x +mx +1 có đồ thị là Cm, tìm m để đường thẳng d : y= - x+13 2 cắt Cm tại 3 điểm phân biệt là A(0 ;1), B, C sao cho tiếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau m=± 5

22 Cho đường cong 3 2

y= - x +mx - m và đường thẳng y=k(x+1)+1, tìm điều kiện giữa k và m để đường thẳng cắt C tại 3 điểm phân biệt, tìm k để đường thẳng cắt d thành 2 đoạn bằng nhau

3

-27(m+1) m+2

23 Cho hàm số y = x3 +3x2 +mx +1 ; có đồ thị là (Cm)

a Chứng minh rằng với mọi m thì (Cm) luôn cắt đồ thị (C) : y = x3 + 2x2 + 7 tại hai điểm phân biệt A và B Tìm quỹ tích trung điểm I của AB

b Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0,1); D và E Tìm m để các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau

c Tìm a để mọi x : f(x) = (x -2)2 + 2|x-a|3

Hướng dẫn: Xét phương trình hoành độ giao điểm rồi tính tọa độ trung điểm có mối quan hệ với m sau đó tìm quỹ tích trung điểm I : y=4x +4x +18x+193 2

9± 65

m=

8

Xét hàm số f(x) = (x -2)2 + 2|x-a|3 ta gọi hàm số g(x)=(x -2)2 + 2|x-a|-3 ta cần khảo sát hàm số để tìm a sao cho min g(x)0 với mọi x, lập bảng biến thiên ra ta nhận thấy a 0;a 4  thỏa mãn yêu cầu đề bài

24 Cho hàm số y=-x +3mx +3(1-m )x+m -m (A-02)3 2 2 3 2

a Xác định k để phương trình -x +3x +k -3k =03 2 3 2 có 3 nghiệm phân biệt -1<k<3; k 0; 2

b Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số

2

y=2x - m + m

25 Cho hàm số y=-x +3x +3(m -1)x-3m -1, tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu3 2 2 2

và điểm cực đại cực tiểu cách đều gốc tọa độ O m=±1

2