truong so phuc

- Nhóm nhân giao hoán có đơn vị.. Phép nhân phân phối với phép cộng:... Biểu diễn hình học của số phứcTrong mp lấy hệ toạ độ Đề các xOy, mỗi véc tơ cho ta một cặp a,b gọi là toạ độ của.

Xây dựng tr ờng số phức C

 Xét R2 = { (a,b) | a, b  R} với 2 phép toán + và

x đ ợc định nghĩa nh sau:

(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) (a,b) (c,d) = (ac-bd, ad +bc) Chứng minh (R2 , +, )-Tr ờng.

1. (R2 , +) - Nhóm Aben.

2. (R2 \{(0,0)} , ) - Nhóm nhân giao hoán có đơn vị.

3. Phép nhân phân phối với phép cộng:

(R 2 , +) - Nhóm Aben.

Thật vậy:  (a,b) ; (c,d) ; (e,f) )  R2 ta có:

(a,b) + ((c,d)+(e,f) )) = (a+c)+(c+e, d+f) )

= (a+(c+e), b+(d+f) ))= ((a+c)+e, (b+d)+f) )

=((a, b)+(c, d)) +(e+f) )

(a,b) + (c,d) =(a+c, b+d)=(c+a, d+b)= (c, d) + (a, b) (0, 0)  R2 ta có (0, 0) + (a, b) = (0+a, 0+b)= (a, b) => (0, 0) phần tử trung lập.

Với mỗi (a, b)  R2 ta có (-a, -b)  R2

(a, b) +(-a, - b) = (a - a, b - b) = (0, 0)

=> (-a, -b) phần tử đối của (a, b).

(R2 \{(0,0)} , ) - Nhóm nhân có đơn vị.

Thật vậy:  (a,b) ; (c,d) ; (e,f) )  R2 ta có:

(a,b) ((c,d) (e,f) )) = (a+b)(ce - df) , cf) + de)

= (a(ce - df) ) - b(cf) + de), a(cf) + de) + b(ce - df) ))

= (ace - adf) - bcf) + bde, acf) + ade + bce - bdf) )

= ((ac - bd)e -(ad + bc)f) , (ac - bd)f) + (ad + bc)e)

= (ac - bd, ad + bc) (e, f) ) = ((a, b) (c, d)) (e, f) ).

(a, b) (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

= (ca - db, da + cb) = (c, d)(a, b).

=> aa' - bb' =1 (1) và ab' + a'b =0 (2)

a # 0 từ (2) => b' = - a'b/b thay vào (1)

ta đ ợc a' = a/(a2+b2) và b' = -b/ (a2+b2)

=> (a/(a2+b2), -b/(a2+b2) là phần tử đối của (a, b).

PhÐp nh©n ph©n phèi víi phÐp céng

(a,b) ((c,d) + (e,f) )) = (a,b) ((c + e), (d + f) ))

= (a(c+e)-b(d+f) ), a(d+f) )+b(c+e) =(ac+ae-bd-bf) , ad+af) +bc+be)

= (ac -bd +ae -bf) ), ad+be+ af) +bc) =(ac -bd, ad +bc) + (ae-bf) , af) +be) =(a,b)(c,d)+(a,b)(e,f) )

(R 2 , +, ) lµ 1 tr êng

  Ta thÊy: (a,b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1)

ký hiÖu (a, 0) = a ; (b, 0)=b ; (0,1)=i

=>(a,b) = a + bi vµ ta cã

(a,b)+(c,d)=(a+bi)+(c+di)=(a+c) + (b+d)i (0,1)(0,1) =(0-1, 0-0) = (-1,0) =i2

(a,b)(c,d)=(a+bi)(c+di)=(ac-bd) + (ad+bc)i

Ta ký hiÖu tr êng R2 = C vµ gäi tr êng sè phøc.

C tr êng sè phøc

  z = a + bi  C lµ 1sè phøc ; a phÇn thùc, b phÇn ¶o cña sè phøc Mét sè phøc phÇn thùc b»ng 0, phÇn ¶o # 0 gäi lµ sè phøc thuÇn

Biểu diễn hình học của số phức

Trong mp lấy hệ toạ độ Đề các xOy, mỗi véc tơ cho

ta một cặp (a,b) gọi là toạ độ của

BiÓu diÔn h×nh häc cña sè phøc

VËy tæng, hiÖu 2 vÐc t¬ z, w lµ tæng, hiÖu 2 sè phøc

M«-®un vµ acgumen cña sè phøc

ViÕt c¸c sè phøc sau d íi d¹ng l îng gi¸c:

1, -1, i, -i, 1+i, 1-i

TÝch 2 sè phøc d¹ng l îng gi¸c   Cho 2 sè phøc viÕt d¹ng l îng gi¸c:

1 2r ( 1 2 sin 1 sin 2) +i(sin 1 2 sin 2 cos )1

1 2r [ ( 1 2 ) +i sin( 1 2)]

r cos    

Nh©n 2 sè phøc, ta nh©n c¸c m« ®un cña chóng víi nhau, vµ

céng c¸c acgumen cña chóng víi nhau

| z z | | ||r | ; arg(  r z z )  arg z  arg z

Vµi tÝnh chÊt cña m« ®un

2 2

z z

Công thức Moa-vrơ

  Ta có

Ví dụ 1

(cos   i sin )  n  cos n   i sin n 

  Từ đó ta có thể tính đ ợc sin, cos các góc bội

2 2 2 2

2

2 2

a a b x

Khai c ¨n bËc n

 T×m c¨n bËc n cña sè phøc z = r(cos+isin)  0

tøc lµ t×m sè phøc u  (cos isin )  sao cho un z

(cos sin ) = r(cos sin )

n r k n

Khai c ¨n bËc n

x2i

Khai c ¨n bËc n

x2i

Bµi tËp