TÀI LIỆU ÔN THI MÔN TOÁN

b Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C và trục hồnh.c Biện luận theo m số cực trị của hàm số 1.. Biện luận phương trình 1 3 2 Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng & thể tích vật

Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm

CHỦ ĐỀ I: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN

PHẦN I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

§1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.

A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

I Định nghĩa

Cho hàm số y=f(x) xác định trên (a,b)

1) f tăng trên (a,b) nếu với mọi x1, x2∈(a,b) mà x1<x2 thì f(x1)<f(x2)

2) f giảm trên (a,b) nếu với mọi x1, x2∈(a,b) mà x1<x2 thì f(x1)>f(x2)

3) x0∈(a,b) được gọi là điểm tới hạn của hàm số nếu tại đĩ f’(x) khơng xác định hay bằng 0

• Nếu f’(x)>0 ∀x∈(a,b) thì hàm số y=f(x) đồng biến trên (a,b)

• Nếu f’(x)<0 ∀x∈(a,b) thì hàm số y=f(x) nghịch biến trên (a,b)

(Nếu f’(x) =0 tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a,b) thì định lý vẫn cịn đúng).

Chú ý: Nếu hệ số a của y/ có chứa tham số

thì phải xét khi a = 0

•Tương tự cho hàm số giảm:

b ax y

+

+

= Tập xác định

x m

−

= +a) Khảo sát và vẽ đồ thị khi m=2

b) Xác định m để đồ thi hàm số khơng cắt đường thẳng x=-1

c) Chứng minh rằng với mỗi giá trị m hàm

số luơn đồng biến trên khoảng xác định của nĩ

Bài 4: Chứng minh rằnga) x > sinx ∀x ∈ (-π/2,π/2)

1.Định nghĩa: Cho hàm số y= f(x) xác định trên (a,b) và điểm x0∈(a,b)

• Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số y= f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận của điểm x0 ta

Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) cĩ đạo hàm trên một lân cận của điểm x0 (cĩ thể trừ tại x0)

a) Nếu f’(x0) > 0 trên khoảng (x0 -δ; x0); f’(x) < 0 trên khoảng (x0; x0 + δ) thì x0 là một điểm cực đại củahàm số f(x)

b) Nếu f’(x) <0 trên khoảng (x0 - δ; x0) ; f’(x) > 0 trên khoảng (x0; δ+ x0) thì x0 là một điểm cực tiểu củahàm số f(x)

Nĩi một cách vắn tắt: Nếu khi x đi qua x 0 , đạo hàm đổi dấu thì điểm x 0 là điểm cực trị

Định lí 2 Giả sử hàm số y = f(x) cĩ đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại x0 và f’(x0) = 0, f''(xo) ≠ 0 thì xo là một điểmcực trị của hàm số Hơn nữa

1) Nếu f”(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu

2) Nếu f”(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại

Nĩi cách khác:

1) f’(x0) = 0, f”(x0) > 0 ⇒ x0 là điểm cực tiểu

2) f’(x0) = 0, f”(x0) < 0 ⇒ x0 là điểm cực đại

Chú ý:

1) Nếu hàm số luơn tăng ( giảm)trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị trên (a;b)

2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y/ = 0

3) x0 là cực trị của hàm số  /( 0) 0

/ ( )

Hàm số có cực đại,cực tiểu khi y/ = 0 có hai

nghiệm phân biệt

• Dùng dấu hiệu 2 tìm cực trị

Tập xác định Đạo hàm y/

Giải phương trình y/ = 0 tìm nghiệm x0

Đạo hàm y//.Tính y//(x0)

* Nếu y//(x0) > 0 : hàm số đạt cực tiểu tại x0

* Nếu y//(x0) < 0 : hàm số đạt cực đại tại x0

• Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x 0

Cách 1: Tập xác định

0 ) (

0 //

0 /

x y

x y

Cực đại: { y/ (x0) = 0 và y// (x0) < 0 } Cực tiểu : { y/ (x0) = 0 và y// (x0) > 0}

• Hàm số đạt cực trị bằng y 0 tại x 0

) (

0 ) (

0 //

0 0 0 /

x f

y x f

x f

đổi dấu qua x0

Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm

Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y/ khó xét dấu (như hàm lượng giác,mũ,logarit,luỹ thừa,… )

* Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là:

y = phần dư của phép chia f(x) cho f/(x)

Dạng 2: Cực trị của hàm hữu tỉ (xem thêm để thi ĐH nhé)

Cho h/s y = u

v u(x) ; v(x) là các đa thức có MXĐ: D

Và y/ = u v v u′ −2 ′ =g(x)2 dấu của y/ là dấu của g(x)

Nếu h/s đạt cực trị tại x0 thì y/(x0)= 0 => g(x0) = 0 <=> u/v−v/u = 0 => u u

- Để hàm số y = f x ( ) cĩ hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hồnh ⇔ yCD yCT < 0

- Để hàm số y = f x ( ) cĩ hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung ⇔ xCD xCT < 0

- Để hàm số y = f x ( ) cĩ hai cực trị nằm trên trục hồnh 0

- Để hàm số y = f x ( ) cĩ cực trị tiếp xúc với trục hồnh ⇔ yCD yCT = 0

 Yêu cầu đối với học sinh :

 Biết số lượng cực trị của mỗi dạng hàm số được học trong chương trình:

Bài 2: Hàm số y = x3 – 3x2 + 3mx + 1 – m cĩ cực đại và cực tiểu Giả sử M1(x1;y1), M2(x2;y2) là 2 điểm cực trị của

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hồnh.

c) Biện luận theo m số cực trị của hàm số (1)

Bài 4: Cho hàm số y = 2 x3 − 3 ( m + 1 ) x2 + 6 mx − 2 m

a)Khảo sát hàm số khi m = 1 gọi đồ thị là (C) Chứng tỏ rằng trục hồnh là tiếp tuyến của (C)

b) Xác định m để hàm số cĩ cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trịđĩ

− +

= + Xác định m sao cho hàm số.

a) Cĩ cực trị

b) Cĩ hai cực trị và hai giá trị cực trị trái dấu nhau

Bài 7: Cho hàm số y = f x ( ) = − + x3 3x2 − 3 x+3m- 4 m

a) Tìm m để hàm số cĩ hai điểm cực trị lớn hơn m

b) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm uốn cĩ hệ số gĩc lớn nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số

§3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.

1) Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định trên D

Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu:

: ( ) : ( )

∃ ∈ = (ký hiệu m=minf(x) ) 2) Cách tìm GTLN-GTNN trên (a,b)

+ Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a,b)

+ Nếu trên bảng biến thiên cĩ một cực trị duy nhất là cực đại (cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực tiểu) làGTLN (GTNN) của hàm số trên (a, b)

→∞ = thì đường thẳng (d) cĩ phương trình y= x0 là tiệm cân ngang của đồ thị (C).

Cách xác định tiệm cận :

Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm

• Tiệm cận đứng : lim f (x)

x x0

= ±∞

±

→ => x = x0 là tiệm cận đứng

Chú ý : tìm x0 là những điểm hàm số không xác định

• Tiệm cận ngang : lim f (x) y0

→±∞ => y = y0 là tiệm cận ngang

Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử ≤ bậc mẫu thì có tiệm cận ngang

B CÁC BÀI TẬP: Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số

a) 2

1

y = x − b)

3 2

1 1

y x

3 Chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến

4 Chỉ rõ điểm CỰC ĐẠI,CỰC TIỂU

±

→

→±∞= = với xo là nghiệm mẫu

5.Tìm phương trình tiệm cận:

TCĐ: x = …; TCN: y=…

6.Lập bảng biến thiên7.Nhận xét về đồ thị:

• Chỉ rõ tâm đối xứng(trục đối xứng của đồ thị)

• Chỉ rõ giao điểm của (C) với trục

y/ cùng dấu với hệ số a

•KL: hàm số tăng trên? (luôn

giảm trên?)

y/ = 0 có hai nghiệm x1; x2

•KL: hàm số tăng? Giảm?

•Hàm số không có cực trị • Cực tri ̣ cực đại? Cực tiểu?

>

−∞

) 0 ( ) 0 (

a a

+ Bảng biến thiên:

x −∞ +∞ x −∞ x1 x2 +∞

y/ − y/ − 0 + 0 −

y +∞

−∞ y +∞ CĐ

CT −∞

Chú ý : dù y/ = 0 có nghiệm kép việc xét dấu vẫn đúng + Vẽ đồ thị : • Xác đinh Cực trị ? • ; điểm đặc biệt a>0 ; có 2 CT a<0; có 2 CT a>0,không CT a<0,không CT 2 Hàm trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0 ) + TXĐ : D = R + Đạo hàm: y/ = 4ax3 + 2b.x =2x.(2a x2+ b)

a,b cùng dấu a, b trái dấu y/ = 0 ⇔ x = 0 •KL: tăng? Giảm y / = 0 ⇔ 2x (2ax2 + b) = 0 ⇔ x= 0; x1,2=± b a 2 − •KL: tăng? Giảm? •Giá trị cực trị : y(0) = c có một cực trị • Giá trị cực trị: y(0)= c ; y(± a b 2 − ) =− ∆a Có 3 cực trị + Giới hạn : lim (ax4 bx2 c) x + + ±∞ → =    < ∞ − > +∞ ) 0 ( ) 0 ( a a + Bảng biến thiên : x −∞ 0 +∞ x −∞ x1 0 x2 +∞

y/ − 0 + y/ − 0 + 0 − 0 +

y +∞ +∞

y +∞ CĐ +∞

CT CT x −∞ 0 +∞ x −∞ x1 0 x2 +∞

y/ + 0 − y/ + 0 − 0 + 0 −

y −∞ −∞

y CĐ CĐ -∞ CT -∞

+ Vẽ đồ thị : • cực đại , cực tiểu ; • y = 0 −> x= ? giải pt trùng phương

a < 0

Điểm uốn I(−3b a ;f(−3b a))

CĐ

a < 0

a > 0

CT

x

y

O

• I

x

y

O

•

I

a < 0

a > 0

Dạng 2:hàm số khơng cĩ cực trị

⇔ ?

x

y

O

• I

x

y

O

• I

a < 0

a > 0

Dạng 1: hàm số cĩ 2 cực trị ⇔ ?

x

y

y

O

a < 0 b<0

a > 0 b>0

Dạng 2: hàm số cĩ 1 cực trị ⇔ ?

x

y

y

O

a < 0 b>0

a > 0

b<0

Dạng 1: hàm số cĩ 3 cực trị ⇔ ?

Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm

+ Đạo hàm : y/ = (cx d) 2

bc ad

• y = c a là tiệm cận ngang vì lim

+Bảng biến thiên :

+ Vẽ đồ thị : − Vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt

− Cho 2 điểm về 1 phía của tiệm cận đứng vẽ một nhánh , lấy đối xứng nhánh đó qua giao điểm haitiệm cận

Phần III: ƠN TẬP CÁC BÀI TỐN CĨ LIÊN QUAN

Dạng 1: Dùng đồ thị biện luận phương trình:

f(x) = m hoặc f(x) = g(m) hoặc f(x) = f(m) (1)

+ Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát

+ Đường thẳng (d): y = m hoặc y = g(m) hoặc y = f(m) là một đường thẳng thay đổi luơn cùng phương với trục Ox Các bước giải

Bước : Biến đổi phương trình đã cho về dạng pt (1)

Bước : Dựa vào đồ thị ta cĩ bảng biện luận:

Ví dụ 1: 1 Biện luận phương trình 1 3 2

Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng & thể tích vật thể trịn xoay.(xem chi tiết ở phần sau)

Học sinh cần nhớ và vận dụng thành thạo các cơng thức:

• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

x O

I

• Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H) giới hạn bởi

(C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b), khi (H) quay quanh Ox

→ Ta dùng công thức b[ ]2

a

V =π∫ f x( ) dx (III)

thẳng y = a, y = b ( a < b), khi (H’) quay quanh Oy.(xem thêm)

 Nắm các dấu hiệu để biết sử dụng công thức (I) hay (II) (có hay không có Ox).

 Xác định được cận dưới a và cận trên b (nếu chưa có thì biết đi tìm)

 Dựa vào đồ thị (hoặc xét dấu riêng), để biết dấu của biểu thức f(x)/[a;b] (hay dấu của f(x) – g(x) /[a;b])

 Biết các bước trình bày bài giải và tính đúng kết quả

 Khi cần tính thể tích vật thể tròn xoay:

 Nắm các dấu hiệu để biết sử dụng công thức (III) hay (IV) (hình sinh quay quanh Ox hay quay quanh Oy)

 Xác định các cận trên, cận dưới và tính đúng kết quả

Ví dụ : (trích đáp án kì thi THPT không phân ban 2006 )

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các hàm số y = ex, y = 2 và đường thẳng x = 1

Ví dụ : ( trích đáp án kì thi THPT phân ban 2006)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) : y = – x 3 – 3x2 và trục Ox

Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm

b) Dùng đồ thị (C3), biện luận theo k số nghiệm của phương trình: x3 – 3x – k +1 = 0

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng (D): y = 3

Bài 2: Cho hàm số y = x3 – 2x2 – (m - 1)x + m = 0

a) Xác định m để hàm số cĩ cực trị

b) Khảo sát hàm số trên Gọi đồ thị là (C)

c) Tiếp tuyến của (C) tại O cắt lại (C) tại một điểm A Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đoạn OA

Bài 3: Cho hàm số y = (x +1)2(x –1)2

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo n số nghiệm của phương trình : (x2 – 1)2 – 2n + 1 = 0

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hồnh

Bài 4: Cho hàm số

m x

m x m y

−

+

−

= ( 1 ) (m khác 0) và cĩ đồ thị là (Cm)a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C2)

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C2), tiệm cận ngang của nĩ và các đường thẳng x = 3, x = 4

Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong : y = 4 2

Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi 2 đường: x2 + y – 5 = 0; x + y – 3 = 0

Tính thể tích vật thể tạo ra do D quay quanh Ox

Bài 7: Tính thể tích vật thể trịn xoay khi phần mặt phẳng bị giới hạn bởi các đường: y = x2 và y = x quay quanhOx

Dạng 3: Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)(Đường thẳng và đường cong)

hồnh độ giao điểm f(x) = g(x) (1)

PP cụ thể:

1 Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x) ; (C2) : y = g(x)

Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) nếu có là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1)

• pt(1) vô nghiệm <=> (C1) và (C2) không có điểm chung

• pt(1) có n nghiệm <=> (C1) và (C2) có n điểm chung

* Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong

2 Điều kiện tiếp xúc : Đồ thị (C1) tiếp xúc (C2) <=> hệ pt f (x) g(x)

Phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*)

Nếu (*) là phương trình bậc 2 :

1) Xét a= 0:kết luận số giao điểm của (C) và(d)

2) Xét a ≠ 0 : + Lập ∆ = b2 – 4ac

+ Xét dấu ∆ và kết luận

(Chú ý: (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt

Nếu (*) là phương trình bậc 3 :

1) Đưa về dạng (x – x0)(Ax2 + Bx + C) = 0

=

(2) ) ( 0

2

0

x g C

Bx

Ax

x x

2) Xét trường hợp (2) có nghiệm x = x0

3) Tính ∆ của (2), xét dấu ∆ và kết luận

(Chú ý: (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi phương trình (2) có 2 n o pb x 1 , x 2 khác x 0 )

) 2 (

x g

y và đường thẳng y= mx - 1 biện luận số giao điểm của hai đường cong

Giải : Số giao điểm của hai đường cong là số nghiệm của phương trình 1

x

(điều kiện x khác 1)

0 ) 2 (

Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt (chú ý cả hai nghiệm đều khác 1)

Kết luận: + m = 0 hay m = - 2 cĩ một giao điểm.

+ m ≠ 0 và m ≠ - 2 cĩ hai giao điểm.

+

=

− KQ: -28 < a ≤ 0

Dạng 4: Viết PTTT của đồ thị hàm số

Yêu cầu học sinh nắm được các bước trình bày bài giải các dạng bài tốn sau:

Tiếp tuyến tại M(x 0 ; f(x 0 ))

o TT có phương trình là : y - f(x0)= f/(x0)(x− x0)

o Từ x0 tính f(x0) ; Đạo hàm : y/ = f/(x) => f/(x0) = ?

o P.trình tiếp tuyến tại M là: y = f/(x0)(x− x0) + f(x0)

2 Tiếp tuyến đi qua(kẻ từ) một điểm A(x 1 ; y 1 ) của đồ thị h/s y =f(x) ( các em xem thêm )

1 Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) đi qua A

Pt đường thẳng (d) là : y = k(x − x1) + y1

2 Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với Đồ thị (C) là hệ phương trình : = − + (1)

f (x) k (2)

có nghiệm

3 Thay (2) vào (1) giải tìm x => k = ? Kết luận

3 Tiếp tuyến có hệ số góc k :

Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a

tiếp tuyến ⊥ đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = − 1a

4 Giả sử M(x0; f(x0)) là tiếp điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f/(x0)

5 Giải phương trình f/(x0) = k => x0 = ? −> f(x0) = ?

6 Phương trình tiếp tuyến y = k (x − x0) + f(x0)

Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k1.k2 = −1

+ Hai đường thẳng song song nhau : k1 = k2

Bài tập về PTTT của đồ thị (C ):

Bài 1: Cho hàm số y = x2 – 2x + 3 cĩ đồ thị là (C)và (d): 8x – 4y + 1 = 0

a) CMR (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm A và B

b) CMR các tiếp tuyến của (C) tại A,B vuơng gĩc nhau

Bài 2: Cho hàm số y = x3 + mx2 – m – 1, cĩ đồ thị (C)

Tài liệu ôn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm

+

− Viết PTTT Của (C) đi qua A(-6;5)

Bài 7: Cho hàm số y = x3 – 3x Lập các PTTT kẻ từ điểm A(-1;2) tới đồ thị hàm số

Bài 8: Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 – 12x – 1 Tìm M ∈ đồ thị (C) của hàm số đã cho sao cho tiếp tuyến tại M đi quagốc tọa độ O

MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP TỔNG HỢP

Bài 1 : Cho hàm số

1

3+

b) Tìm các điểm trên (C ) có tọa độ là những số nguyên

c) Chứng minh rằng đường thẳng D:y=2x+m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt MN ;xác định m

để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất

d*)Tìm những điểm trên trục hoành từ đó vẽ đúng hai tiếp tuyến với (C) trường hợp vẽ được hai tiếp tuyến

có tiếp điểm là P;Q viết phương trình đường thẳng PQ

e*) Tìm tọa độ hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (C) sao cho khoảng cách giửa chúng bé nhất

f*)Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm I; J chứng minh rằng S làtrung điểm của IJ

g) Với giá trị m nào thì đường thẳng y=-x+m là tiếp tuyến của đường cong (C)

Bài 2:Cho hàm sốy = ( x − 1 )2( 4 − x )

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Chứng tỏ rằng đồ thị có tâm đối xứng (làm thêm)

c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) tại điểm A(3; y0)

d) Tìm m để đường thẳng y=3/4.x +m cắt (C) theo hai đoạn bằng nhau

e) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: 3 2

x − x + x − − = m

Bài 3: Cho hàm số y = 2 x3 − 3 ( m + 1 ) x2 + 6 mx − 2 m

a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m=1 chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C)

b) Xác định m để hàm số có cực trị tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểmcực trị đó

c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1; +∞)

b) Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3x3-6x2-5x+m=0

c) Tiếp tuyến với (C) tại gốc tọa độ O cắt đồ thị (C) ở điểm M tìm tọa độ M

d) Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thẳng d có phương trình y=kx

e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành

CHUYÊN ĐỀ 2: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

− Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số ta phải biến đổi hàm số này thành một

tổng hoặc hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm.

Áp Dụng: Bài 1 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau bằng cách biến đổi và sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản

∫ 17 ∫ sin 5xdx 18 ∫ cos(4 2 ) − x dx 19 ∫ sin 3xdx2

20 ∫ cos (1 7 )2 − x dx 21 ∫ sinx sin 5xdx 22 ∫ sinxcos3xdx 23 ∫ cos2xcos3xdx

Tài liệu ôn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm

• Nếu f là hàm lẻ đối với cosx : đặt t = sinx

• Nếu f là hàm lẻ đối với sinx : đặt t = cosx

• Nếu f là hàm chẵn đối với sinx, cosx dùng công thức hạ bậc:

2

2 cos 1 sin , 2

2 cos

∫ (đặt t=lnx)

Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:

Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I∫u(x).v'(x)dx u(x).v(x) = −∫v(x).u '(x)dx

Hay∫udv uv = −∫vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)

phân tích các hàm số dễ phát hiện u và dv

@ Dạng 1

sin ( )

@ Dạng 4: ∫ sin 

ax ax

Bài 3 Tìm các nguyên hàm sau bằng phương pháp nguyên hàm từng phần:

i)∫ (3 x + 1)sin xdx 2i)∫ (2 x + 3) cos xdx 3i) (3 5 ) cos

5i)∫ (2 x − 3) e dxx 6i)∫ ( x2 − 4 x + 1) e dxx 7i)∫ (2 x + 1) e dx−x 8i)∫ exsin xdx ∫ (2 x − 3) e dxx

9i)∫ ( x2 − 4 x + 1) e dxx 10i)∫ (2 x + 1) e dx−x 11i)∫ exsin xdx 12i) 3

ln x

dx x

∫

13i)∫ x ln(1 − x dx ) 14i)∫ x ln2xdx 15i) 2

1 sin

x dx x

+

∫

Bài toán 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản).

Dạng 1: ∫sin(ax+b).sin(cx+d)dx;∫sin(ax+b).cos(cx+d)dx ∫cos(ax+b).cos(cx+d)dx

* Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân

Dạng 2: ∫sin ax.cos axdxn m (n,m là các số nguyên dương)

*) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosax

*) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax

*) Nếu n, m đều chẵn thì : Dùng công thức nhân đôi sau đó dung tiếp công thức hạ bậc để tính (nếu một trong

2 số n hoặc n = 0 số còn lại là số chẵn thì ta chỉ dung công thức hạ bậc)

*) n, m ∈ Z nếu n+m là số nguyên chẵn thì có thể đặt t = tanax hoặc t = cotax

Dạng 3: ∫R(sinx,cosx)dx R là hàm số hữu tỷ (mở rộng thi đại học)

*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(−sinx, cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = cosx

*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, −cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = sinx

*) Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là R(−sinx,− cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx

Bài toán 5: Tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỷ

Yêu cầu tính f (x)dx

g(x)

∫ trong đó f(x), g(x) là các đa thức theo x

Trường hợp 1: Bậc của f(x)≥ Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta dẫn đến:

*) Ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho các giá trị của x vào biểu thức (**) để tìm các hệ

số A, B, C ( thông thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để tìm các hệ số được dễ dàng)

*) Sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính

Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích về thành tích của các nhị thức Bài toán 6: Tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỷ: dùng phương pháp đổi biến số.

Tài liệu ôn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm

o ∫ f ( x2 − a2) dx Đặt

t

a x

Tìm nguyên hàm F x ( ) của hàm số f x ( ) biết rằng F ( ) π = π

Bài 6: Cho hàm số f x ( ) = 8 sin cos cos cos x x 2 x 4 x

f x − f x ′ =

Bài 8: Cho hàm số y xe = x

a Tính y ′và y ′ ( ) 2

b Tìm nguyên hàm của hàm số f x ( ) ( = x + 2007 ) ex

Bài 9: Cho hàm số f x( )=e xsinx Chứng minh rằng hàm số f x′( ) − f x′′( ) là nguyên hàm của hàm số 2f x( ).

Bài 10: Tìm nguyên hàm F x ( ) của hàm số ( ) 3 2 2

∫

 Ghi nhớ:

− Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hoặc

hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm.

− Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu ta phải thực hiện phép chia tử cho mẫu.

− Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét dấu biểu thứcnằm trong dấu GTTĐ Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành những đoạn con sao cho trên mỗi đoạn conbiểu thức nằm trong dấu GTTĐ không đổi dấu Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ

Bài 1: Tính các tích phân sau đây:

+

2 1 1

2

dx x

a Chứng minh rằng F x ( ) là nguyên hàm của f x ( ) b Áp dụng câu a tính

1 2

dx x

x 3 cos ).

sin 2 ( 4 ∫2

4

2 sin 1π π

x 7 π∫

0

3 cos 2 sin x x dx 8.

tan xdx

π

2 0

1

3 x + 7 dx

∫ 13

2 1

1

x dx x

− +

2 2 0

3

dx x

x dx

π

∫ 19

3 0

x dx

π π

Tài liệu ôn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm

→ hoặc t = n p x q ln + nếu như biểu thức p x q ln + nằm trong dấu n

2 cos

xdx x

∫

0 1

2

2 2

dx x

2 tan

Trong đó p x ( ) là hàm số đa thức, còn q x ( ) là hàm sin ( ) α x hoặc cos ( ) α x

→ Trong trường hợp này ta đặt: ( )

∫ Trong đó p x ( ) là hàm số đa thức, còn q x ( ) là hàm logarit.

→ Trong trường hợp này ta đặt: ( )

Tài liệu ôn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm

3 2(x− ) x dx

) 3 1 ln( x dx 13.∫e x dx

1

2

) (ln 14 ∫ex − x dx

1

) ln 2 ( 15 ∫2 +

0 2

cos 1

π

dx x

∫ 19 ∫e +

e

dx x

Nếu f(x) = 0 vô nghiệm trên (a;b) hoặc có nghiệm nhưng không có nghiệm nào thuộc [a;b] hoặc có một nghiệmx= a hoặc x = b các nghiệm còn lại không thuộc [a;b] thì bf (x) dx

*Chú ý: 1) Nếu có nhiều hơn 1 nghiệm trên (a;b) thì vẫn dùng công thức trên tùy theo trường hợp nghiệm như thế

nào (cách làm này có lợi vì ta khôngcần xét dấu f(x))

2) Ở mức độ thi TNTHPT không cần nắm bất đẳng thức tích phân.

§5 CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN:

Tính các tích phân sau đây:

1) Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:( ) C1 : y f x = ( ) ( ) ; C2 : y g x x a x b = ( ) ; = ; =

(trong đó hai đường thẳng x a x b = ; = có thể thiếu một hoặc cả hai).

a) Công thức: b ( ) ( )

a

S=∫ f x −g x dx (2)

b) Các bước thực hiện:

• Bước1: Nếu hai đường x a x b = , = đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải phương trình

( ) ( )

f x =g x (PTHĐGĐ của ( )C và 1 ( ) C2 để tìm.)

• Bước 2: Áp dụng công thức (2)

• Bước 3: Rút gọn biểu thức f x( ) ( )−g x , sau đó xét dấu của hiệu này

• Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ

c). Chú ý: Nếu bài toán này được cho chung trong bài khảo sát hàm số thì ta dùng hình vẽ để khử dấu GTTĐ

sẽ dễ dàng hơn Có nghĩa là, nếu trên một đoạn tích phân nào đó mà trên hình vẽ, ( )C nằm trên 1 ( )C2 thì hiệu

( ) ( ) 0

f x −g x ≥ , và ( )C nằm dưới 1 ( )C thì hiệu 2 f x( ) ( )−g x ≤0

2) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường kông rơi vào trường hợp 1:

• Bước 1: Vẽ hình (không cần phải khảo sát)

• Bước 2: Chia hình cần tính thành các hình nhỏ sao cho mỗi hình nhỏtính được diện tích bằng công thức (2)

• Bước 3: Dùng công thức (2) tính diện tích các hình nhỏ sau đó tính tổng diện tíchtất cả các hình nhỏ

3) Thể tích của hình tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh trục Ox:

C y x x = − và trục Ox

Tài liệu ơn thi TN THPT năm 2010-2011 Trường THPT Khánh Lâm

Bài 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong ( ) C y x : = 4− x2 và trục Ox

Bài 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong ( ) C y x : = 3− 3 x + 1 và đường thẳng d y : = 3

Bài 5: Cho đường cong ( ) C y x : = 3− 3 x2+ 4 x Viết phương trình tiếp tuyến d của ( ) C tại gốc tọa độ O Từ

đĩ tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi ( ) C và d

Bài 7: Cho parabol ( ) P y x : = 2 − 6 x + 5

a Viết phương trình các tiếp tuyến của ( ) P tại các giao điểm của ( ) P với trục Ox

b Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi ( ) P và các tiếp tuyến nĩi ở câu a

Bài 8: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: ( ) C y : = x; d y : = − 2 x và trục Ox

Bài 9: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol ( ) P y : 2 = 4 x và đường thẳng d y : = 2 x − 4

Bài 10: Cho parabol ( ) P y : 2 = 4 x

a Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) P tại điểm tung độ bằng 4

b Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: ( ) P , trục Ox và tiếp tuyến nĩi ở câu a

Bài 11: Cho đường cong ( )C y: 2x 11

x

+

=+ Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường: ( )C Ox Oy; ; Tính thểtích của hình trịn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox

Bài 12: Cho đường cong ( ) C y x : = 4 − x2 Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi( ) C và trục Ox Tính thể tíchcủa hình trịn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox

Bài 13 Tính thể tich của vật thể trịn xoay sinh ra bởi hình phẳng D được tạo bởi các đường sau khi quay xung quanh

) ( )

) ( ) (

1 0

x g x f

x g x f

D D

a x

g x f

a a

1 (

0

) ( ) (

x g x f a

a a

af x g x

) ( ) (

thì 1 a 0

) ( ) (

ì th 1 a

) ( ) (

) ( ) (

x g x f a

a

x g x f a

a

x g x f

x g x f

• Đặc biệt : aloga x = x ; loga x a = x ; loga1 = 0

• Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > 0 ; a ≠ 1