Tài liệu ôn thi môn toán liên thông đại học

d Viết PT TT của đồ thị C , biết TT vuông Lưu ý: gx thường là nhị thức bậc nhất ax+b nhưng có một số trường hợp gx là tam thức bậc hai ax2+bx+c, khi đó tuỳ theo từng bài ta có thể mạnh

Chuyên đề 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ - MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

(15 TIẾT)

Vấn đề 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ

I - HÀM BẬC BA y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 )

  Các bước cơ bản khảo sát hàm bậc ba:

Bước 2 : Tính y’ Giải PT y’ = 0 tìm

các điểm cực trị

Bước 5: Nhìn BBT kết luận (có 4 ý sau)

 Hàm số đạt CĐ tại x = ? khi đó

y = ?  Hàm số đạt CT tại x = ? khi đó

y = ?  Hàm số đồng biến trên khoảng ?

 Hàm số nghịch biến trên khoảng ?

x

y

O

• I

  Các bước cơ bản khảo sát hàm bậc 4 trùng phương

Bước 2 : Tính y’ Giải PT y’ = 0 tìm

các điểm cực trị

Bước 5 : Nhìn BBT kết luận (có 4 ý sau)

 Hàm số đạt CĐ tại x = ? khi đó y

= ?  Hàm số đạt CT tại x = ? khi đó y

= ?  Hàm số đồng biến trên khoảng ?  Hàm số nghịch biến trên

2

3 3 2

x O

  Các bước cơ bản khảo sát hàm nhất biến

cx d

−

= +  ad−bc > 0 thì

1 1

x x

− + +

i) y = 3 1

1

x x

→ y x

xlim0 − = ±∞

→ y x

VẤN ĐỀ 2 : TIẾP TUYẾN(TT) Loại 1: TT của đồ thị tại điểm M x y( 0 ; 0) ( )∈ C

− Tính đạo hàm f’(x) và giá trị f x'( )0

− Phương trình tiếp tuyến (pttt) có dạng (d): y= f x'( ) (0 x x− 0) +y0

4) Viết pttt với (C) biết:

a ( C ) : y x= + + 3 x 1 tại M o( 2; 9) ( ) − − ∈ C

b ( C ) : y x= 4 − 2x2 + 5 tại M o∈ ( )C có tung độ y o = 8

c ( C ) : y x= − 3 2x+ 2,M olà giao điểm của ( C ) với đt y= 2

d ( C ) : y= 2x3 −x,với M olà giao điểm của ( C ) và Oy

e ( C ) : y= 2x4 − 5x2 + 3 với M o∈ ( )C là giao điểm của ( C ) và Ox.

Loại 2: Biết hệ số góc của TT là k

15

32

x

f x

x x

Ví dụ 2 : Cho (C) là đồ thị hàm số y = – x3 + 3x Viết phương trình tiếp tuyến của

(C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = – 9x

d// ∆ : = +

b ax y

d ⊥ ∆ : = +

a

k = −1

Với x = 2 ⇒ y = – 2 ⇒ tiếp tuyến có dạng: y = – 9x + 16.

Với x = – 2 ⇒ y = 2 ⇒ tiếp tuyến có dạng: y = – 9x – 16

Vây có 2 phương trình tiếp tuyến của (C) thỏa yêu cầu bài toán:

y = – 9x + 16 và y = – 9x – 16

5) Cho (C) y= f(x) =x3 − 3x+ 7 Viết pttt với (C) biết:

a) TT này song song với y= 6x-1

6) Cho ( C ) y= − +x3 3x2 − 5x+ 2. Viết pttt với ( C ) biết TT đó:

a) Song song với đt : 2x y+ − = 3 0

b) Vuông góc với đt : x− 29y+ = 2 0

Loại 3: TT của (C) đi qua điểm A x y( A; A) ( )∉ C .

− Gọi d là ĐT qua A và có hệ số góc là k, khi đó ( )d :y k x x= ( − A)+ y A

− Điều kiện tiếp xúc của ( ) ( )d và C là hệ PT sau phải có nghiệm:

3 2 2

1

( 3) (1)3

Thay x = 0 vào (2) ta được k = 0 Phương trình tiếp tuyến là: y = 0

Thay x = 3 vào (2) ta được k = 3 Phương trình tiếp tuyến là: y = 3x – 9

Vậy ta có hai pttt của (C) đi qua A: y = 0 và y = 3x – 9

7) Cho ( C ) 2.

1

x y x

−

= + Viết pttt với ( C ) biết TT :

a) Qua gốc tọa độ O

Các chuyên đề ôn thi

b) Qua điểm A(2;1)

8) Cho ( C ) :y x= − 3 3x2 + 2 Viết pttt với ( C ) biết TT

a) Tại điểm có hòanh độ x o = − 3

+ Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = g(m) (1)

+ (1) là PT hoành độ giao điểm của  =y y g m= f x( ) :( ) : ( )∆C song song hoac trung Ox

+ Do đó số nghiệm của (1) là số giao điểm của ∆ và (C)

+ Kết luận

BÀI TẬP

10) Cho hàm số y = - x3 + 3x + 1

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b Dựa vào đồ thị, biện luận theo m số nghiệm pt: x3 - 3x + m = 0

11) Cho hàm số 1 4 2 3

3

y= x − x +

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b Dựa vào đồ thị, biện luận theo m số nghiệm pt: x4 – 6x2 + 3 = m

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của PT:

0 2 3

4 Dựa vào dấu y”(xi) kết luận:

 Nếu y”(xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi

 Nếu y”(xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi

Các chuyên đề ôn thi

Chú ý: Nếu hàm số có đạo hàm trên khoảng (a; b) và đạt cực đại hay cực tiểu tại x 0

thì f’(x 0 ) = 0 ( Điều ngược lại chưa chắc đúng)

Dạng 1: Bài toán chứng minh

13) Chứng minh hàm số luôn luôn có CĐ, CT (tức là có 2 cực trị) CM:

− Để hàm số y= f x( )có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành ⇔ y CĐ.y CT < 0

− Để hàm số y= f x( )có hai cực trị nằm về 1 phía đối với trục tung  x CĐ x CT > 0

− Để hàm số y= f x( )có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung ⇔x CĐ.x CT < 0

− Để hàm số y= f x( )có hai cực trị nằm phía trên trục hoành CĐ. CT 0 0

- Hàm số có 3 cực trị <=> (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ⇔a.b < 0

- Hàm số có 1 cực trị: <=> (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép hoặc có một nghiệm

bằng 0

Các chuyên đề ôn thi

2011 )

9 4 ( 2

3

1 )

1 2

( 3

⇔  ≠a a=0 à0 àv ab v b≠≥00



Chú ý:

1. Đối với hàm số bậc ba, lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x) Khi

đó y = r(x) là ĐT đi qua 2 điểm cực trị.

2. Cách tính tung độ cực trị của hàm số y = f(x) tại x0

- Hàm số bất kỳ : thực hiện phép thế y 0 = f(x0)

- Hàm đa thức: chia đạo hàm ( lấy y chia cho y’ được thương là q(x) và dư là

r(x))

Khi đó, y = q(x).y’ + r(x) Vì hàm số đạt cực trị tại x 0 nên y’(x0) = 0.

Do đó, giá trị cực trị y 0 = r(x0) ( tức là thế x0 vào phần dư r(x) để tính tung độ cựctrị)

1 3 + 2 + +

y

a) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu

b) Tìm m để hàm số có 2 cực trị nằm về khác phía so với trục tung

c) Tìm m để hàm số có 2 cực trị nằm hai phía của đường thẳng x = 1

c) Tìm m để hàm số có 2 cực trị nằm bên trái đường thẳng x = 1

- Điều kiện PT bậc 2 có nghiệm phân biệt, nghiệm dương

- Định lý Vi-et, công thức tính tọa độ trung điểm đoạn thẳng

Các chuyên đề ôn thi

Biện luận theo m số giao điểm của (C): y = f(x) và (C’): y=g(x;m)

3 Khoảng cách từ một điểm đến một ĐT: Cho ĐT ∆ :Ax By C+ + = 0 và điểm M(x0;y0)

2 2 ,. Ax By C

19) Khảo sát hàm số y = x3 − 6x2 + 9x − 1 (C) Gọi d là ĐT đi qua điểm A(2; 1) và

có hệ số góc m Tìm m để ĐT d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt

20) Cho hàm số 2 1

1

x y x

−

= +

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b) Với giá trị nào của m thì ĐT (d) qua A(-2; 2) và có hệ số góc m cắt đồ thị tại

hai điểm phân biệt

c) Tìm m để ĐT (d) cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt thuộc 2 nhánh.

d) Viết PT TT của (C), biết hệ số góc của TT k = − 9

e) Viết PT TT với (C), biết TT song song với ĐT ( )d :y= 3x+ 2

c) Viết PT TT tại các điểm cực trị

d) Tìm m để ĐT ( )d2 :y mx= − 1 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân

biệt

23) Cho hàm số 1 4 2

2 4

− + = có 4 nghiệm thực phân biệt

c) Viết PT TT của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1

d) Viết PT TT của đồ thị (C) , biết TT song song với ĐT

b) Dựa vào đồ thị (C) , hãy biện luận theo m số nghiệm của

phương trình − +x4 2x2 − =m 0 c) Viết PT TT của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.d) Viết PT TT của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 3

25) Cho hàm số 3 2

y x= − x + mx+ m+ (C m), m là tham số a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m = 0

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm cực trị

c) Tìm m để hàm số có cực trị

d) Tìm m để (C m)cắt với trục hoành tại ba điểm phân biệt

26) Cho hàm số y=x4 + 2mx2 +m2 +m

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m= − 2

b) Biện luận theo k số nghiệm thực của PT x4 − 4x2 + =k 0

−

= + (C)

c) Tìm m để ĐT ( )d1 :y mx= − 2m− 7 cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt.

d) Viết PT TT của đồ thị (C) , biết TT vuông

Lưu ý: g(x) thường là nhị thức bậc nhất (ax+b) nhưng có một số trường hợp g(x)

là tam thức bậc hai (ax2+bx+c), khi đó tuỳ theo từng bài ta có thể mạnh dạn đặt điều

kiện cho g x( ) ≥ 0 rồi bình phương 2 vế đưa phương trình−bất phương trình về dạng quenthuộc

Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 3

x x

x x

x y

y=x

f(x)=ln(x)/ln(1/3) f(x)=(1/3)^x f(x)=x -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-15 -13 -12 -10 -9 -7 -5 -3 -2 1 3 4

x y

x

3

x y

Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) ⇔(a−1)[f(x)−g(x)]=0

Phương pháp đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t = a x (t > 0), để đưa về một phương trình

đại số

Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2± 3), (7± 4 3),… Nếu trong một phương trình có

chứa {a 2x ;b 2x ;axbx} ta có thể chia hai vế cho b 2x (hoặc a 2x ) rồi đặt t = (a/b) x

(hoặc t =(b/a) x

Phương pháp logarit hóa: af(x) = b g(x) ⇔ f(x).log c a=g(x).log c b,với a,b>0; 0< c ≠1

b P hương trình logarit:

 Phương pháp đưa về cùng cơ số:

a x f

x g x

f

a

0 0

1 0

0

x g x f a

0

x g x f a

0 ,

0

1 0

x g x f a

x g x f a

0 ,

0

1 0

x g x f a

x g x f

x g x f

x g x f

9

t t

2 2

x

x

x x

Vậy nghiệm của phương trình là x = 3

c) Do 3x > 0 với mọi x, nên phương trình đã cho xác định với mọi x

Ta có :

log3(3x + 1)log3(3x+2 + 9) = 6 ⇔ log3(3x + 1)log3[32(3x + 1)] = 6 ⇔ log3(3x + 1)[log332 + log3(3x +1)] = 6 Đặt t = log3(3x +1) > log31 = 0 ta có phương trình

t(2+t) = 6 ⇔t2 + 2t – 6 = 0 ⇔ 1 7

t t

d)Tập xác định của phương trình là (0 ; +∞), khi đó

log2(x2 + 8) = log2x + log26 ⇔x2 + 8 = 6x

⇔x2 – 6x + 8 = 0 ⇔ 2

4

x x

=



 =



Vậy nghiệm của phương trình là x = 2 ; x = 4

Ví dụ 2 : Giải bất phương trình : log3(x+2) > log9(x+2)

log x+ − 1 6 log x+ + = 1 2 0 (ĐH_Khối D 2008) ĐS: x=1, x=3.

Bài 2: Giải bất phương trình:

= +

+

= +

1 1

x

ĐS: m 18≥

Chuyên đề 3: LƯỢNG GIÁC (5 TIẾT)

A CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

k k

cos cot

sin 1

sin

k k

sin 2 2sin cos

Tổng thành tích: sin sin 2sin cos

a Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trìnhnày ta dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản

 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có

dạng a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c = 0)

 để giải các phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 5cosx – 2sin2x = 0

 5 – 4sinx = 0 ⇔4sinx = 5 ⇔sinx 5 1

4 > nên phương trình vô nghiệm

 Vậy phương trình (*) có tập nghiệm là cosx = 0 ⇔x =

π + π ∈¢

Ví dụ 2: cos 2x+ cosx− = 2 0 ĐS: x kπ= 2 k( ∈ ¢)

b Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:

Dạng: asinx + bcosx = c Điều kiện để phương trình có nghiệm là a2 + ≥b2 c2

Cách giải: Chia hai vế phương trình cho a2 +b2 , ta được:

d Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:

Dạng: a(sinx± cosx)+ bsinxcosx=c.

Cách giải: Đặt t= sinx± cosx Điều kiện | t |≤ 2

e Phương trình lượng giác không mẫu mực

Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích.

Ví dụ 1: Giải phương trình: cos3x – cos4x + cos5x = 0

Giải

cos3x – cos4x + cos5x = 0 ⇔cos3x + cos5x = cos4x

⇔2cos4xcosx = cos4x ⇔cos4x(2cosx – 1) = 0

2 1

Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số:

Ví dụ: Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = 0

x= +π k π x= π +k π k∈Z

5. 1 + cos4x - sin4x = 2cos2x ĐS: x=kπ ;k∈Z.

6. 2 cos( 6x+ sin 6x)− sin cosx x= 0 ĐS: x= +π4 kπ (k∈Z)

7. 2cosx – 1 = sin2x – sinx ĐS: x= +k x= ± +k2 ;k∈Z

3

; 2

∫cos sin

C x xdx= − +

∫sin cos

C x dx

ln

= +

∫ ax b C x

a b ax dx

C e

a dx

e ax+b = ax+b +

a dx b

∫cos 1sin

a dx b

∫sin 1cos

(ax b)dx=a (ax+b)+C+

cos

1 2

(ax b)dx= −a (ax+b)+C+

sin

1 2

C u

ln + ≠

=

∫ u C u u

du

C e du

C u udu= +

∫cos sin

C u udu= − +

∫sin cos

C u du

cos

1 2

C u du

sin

1 2

CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM Các quy tắc đạo hàm

Quy tắc cộng: (u ±v)’ = u’ ± v’

Quy tắc nhân: (k.u)’ = k u’, k là hằng số

(u.v)’ = u’v +uv’;

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN

Để tính tích phân

b

/ a

sin 2 (1 cos )

x dx x

π +

sin 2 (1 cos )

x dx x

π +

2 x

2 u

=

(cosx)’ = - sinx (cosu)’ = - u’.sinu(tanx)’ = cos x12 =1+tan2x (tanu)’ = cos uu'2 =u’(1+tan2u)(cotx)’ = −sin x12 =-(1+cot2x) (cotu)’ = −sin uu2 =-u’(1+cot2u)( ) '

x a

=

=

' (ln ) '

u a

=

=

Đặt t = 1 + cos2x ⇒du = 2cosx( - sinx)dx ⇒du = - sin2xdx

sin 2 (1 cos )

x dx x

π +

1 1

dx I

Bước 1 Đặt u = f(x), dv = g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và

vi phân du = u (x)dx / không quá phức tạp Hơn nữa, tích phân

Do đó: I =

1

2 0

1 2

1 1

sin 1 cos

cos 3 1 sin

π

dx x

x

3

4 ln

π

= ∫

+8/ I 2cos x sin 2xdx2

π

= ∫+10/ I 2sin x 1 cos x dx.3

2 5

2 6

2 7

+

= e

2 auur= (a a1 ; 2 ) ⇔aur=a i a j1r+ 2uur; M(x;y) ⇔ OMuuuuur=xiur+y juur

3 Tọa độ của vectơ: cho ur= ( ; ),x y vur= ( '; ')x y

II Phương trình đường thẳng

1 Một đường thẳng ∆ được xác định khi biết một điểm M(x0;y0) và một vectơ pháptuyến nr =(A B; ) hoặc một vectơ chỉ phương ar =( )a b;

Phương trình đường thẳng qua M có hệ số góc k: y k x x= ( − 0)+y0.

2 Khoảng cách từ một điểm M(x M ;y M) đến một đường thẳng ∆:Ax By C+ + = 0 là:

III Phương trình đường tròn

1 Một đường tròn được xác định khi biết tâm I(a;b) và bán kính r.

Phương trình:

Dạng 1: ( ) (2 )2 2

x a− + y b− =r Dạng 2: x2 + y2 − 2ax− 2by d+ = 0, điều kiện a2 +b2 − >d 0 và r= a2 +b2 −d

2 Điều kiện để đường thẳng ∆: Ax By C+ + = 0 tiếp xúc với đường tròn (C) là:

Ví dụ : Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(-1;2), B(2;1) và C(2;5)

a) Viết phương trình tham số của các đường thẳng AB và AC Tính độ dài cácđoạn thẳng AB và AC

b) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

 Độ dài đoạn thẳng AB: AB = 10

a n

 Độ dài đoạn thẳng AC: AC = 3 2

b) Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Gọi (C) là phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

1 Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(2;3) và B(−2;1)

a Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB

b Viết phương trình đường tròn đường kính AB

c Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có tâm nằm trên trục

hoành

d Viết phương trình đường tròn qua ba điểm O, A, B

2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(0;1), B(1;0) và đường thẳng d:x+y+2 = 0

a Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB

b Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có tâm nằm trên đườngthẳng d

3 Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(0;1), B 1; 1 , C 2;0 ( − ) ( )

a Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ I.

b Viết phương trình đường tròn có tâm B và tiếp xúc với AC

c Viết phương trình đường tròn qua ba điểm A, B, C

4 Trên mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(−1;2), B(2;1) và C(2;5).

a Viết phương trình tham số của các đường thẳng AB và AC.

b Viết phương trình đường cao dạng tổng quát hạ từ đỉnh A của tam giác ABC

c Tính khoảng cách từ điểm B đến đường cao AH của tam giác ABC

5 Trên mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(1; 4) và đường thẳng d: 4x + y – 17 = 0

a Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua A và song song với đườngthẳng d

b Tìm tọa độ điểm B thuộc d sao cho tam giác OAB cân tại O

6 (ĐH_CĐ Khối D_2009) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có

M(2;0) là trung điểm của cạnh AB Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần

lượt có phương trình là 7x−2y−3=0 và 6x−y−4=0 Viết phương trình đường thẳng BC

và đường thẳng AC.

ĐS: BC: x + 6y+9 = 0; AC: 3x−4y+5=0

7 (Khối A_2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0;2),

B(−2;−2) và C(4;−2) Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung

điểm của các cạnh AB và BC Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M,

N ĐS: x2 + y2 − x + y − 2 = 0

8 (Khối A_2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho các đường thẳng d1: x + y +

3 = 0,

d2: x−y−4=0, d3: x−2y=0 Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho

khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2

10.(CĐ Khối B_2009) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C(−1;

−2), đường trung tuyến kẻ từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình là 5x+y−9=0 và x+3y−5=0 Tìm tọa độ các đỉnh A và B. ĐS:

A(1;4), B(5;0).

Tìm điểm C thuộc đường thẳng x−2y−1=0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.

43 ,

Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách

từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5 ĐS: (C1): (x−2)2+(y−1)2 =1 hoặc (x−2)2+