tài liệu ôn thi môn toán trắc nghiệm lớp 12

Vậy nếu ba điểm cực trị này tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân, điều này tương đương với ABC vuông tại A.

BÀI 04

ÔN LUYỆN TRƯỚC KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA

Môn: TOÁN

Bài 04: Cực trị bậc 4 Bài tập tự luyện

Bài toán 1: Tìm tham số m để đồ thị thàm số 4 2 2

y x  m x  có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị này tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân

Bài giải:

0

*

x

 





Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình  * có 2 nghiệm phân biệt khác 0

Khi đó, đồ thị hàm số luôn có 3 điểm cực trị là: A 0;1 ;B m ;1 m4 ;C m;1 m4

Nhận xét: Do A 0;1 Oy, B m ;1 m4 và Cm;1 m4 luôn đối xứng với nhau qua Oy nên

ABC

 là tam giác cân tại A

Vậy nếu ba điểm cực trị này tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân, điều này tương đương với ABC vuông tại A

Gọi M0;1 m4 là trung điểm của BC Tam giác ABC vuông tại ABC  2AM

4

BC  AM  m  m m   ( Do: m  0) m   1 ( Thỏa mãn )

Kết luận: Vậy m  1 để đồ thị thàm số có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị này tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân

Bài toán 2: Tìm tham số m để đồ thị hàm số 4 2

(3 1) 3

một tam giác cân sao cho độ dài cạnh đáy bằng 2

3 lần độ dài cạnh bên

Bài giải:

2

0

* 2

x

x

 



 



Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình  * có 2 nghiệm phân biệt khác 0

0

m

m



Khi đó, đồ thị hàm số luôn có 3 điểm cực trị là:

Nhận xét: Do A0; 3   Oy,  2

m m

B



m m

C



luôn đối xứng với nhau qua Oy nên ABClà tam giác cân tại A

Mà yêu cầu bài toán: độ dài cạnh đáy bằng 2

3 lần độ dài cạnh bên nên:

2 3

m

2

3

2

 

 

5 3 1 3



 

  



Kết luận: Vậy 5

3

m  

để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân sao cho

độ dài cạnh đáy bằng 2

3 lần độ dài cạnh bên

Bài toán 3: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y x 4  2(m 2)x2 m2  5m 5 có cực đại, cực tiểu tạo thành một tam giác đều

Bài giải:

2

0

x

 

 



Để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình  * có 2 nghiệm phân biệt khác 0

Khi đó, đồ thị hàm số luôn có 3 điểm cực trị là:

Nhận xét: Do A0;m 2  5m 5Oy, B 2 m;1 m và C 2 m;1 m luôn đối xứng với nhau qua Oy nên ABClà tam giác cân tại A

Yêu cầu bài toán: ABC là tam giác đều AB BC( Do: ABCcân tại A)

Ta có: AB m4 8m3 24m2 33m 18 ;BC  2 2 m

AB BC  m  m  m  m  m m4  8m3  24m2  29m 10  0

 

2

m

 





( Thỏa mãn )

Kết luận: Vậy m  2 33 để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu tạo thành một tam giác đều

Bài toán 4: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y x 4  2mx2 m2 m có ba điểm cực trị và ba điểm cực trị đó tạo thành tam giác có 1 góc bằng 120 o

Bài giải:

0

*

x

 

 



Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình  * có 2 nghiệm phân biệt khác 0

Khi đó, đồ thị hàm số luôn có 3 điểm cực trị là: A0;m 2 m B;  m m C;  ;  m m; 

Nhận xét: Do A0;m 2 mOy, B m m;  và C m m;  luôn đối xứng với nhau qua Oy nên

ABC

 là tam giác cân tại A

Yêu cầu bài toán: Tam giác có 1 góc bằng 120  BAC  120 ( Do ABC cân tại A)

1

2

2

AB AC

AB AC

Ta có: AB  m m;  2;AC    m m;  2

3

Kết luận: Vậy: m 33 để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị và ba điểm cực trị đó tạo thành tam giác có 1 góc bằng 120 o

Bài toán 5: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y x 4  2mx2  2m m 4 có cực đại, cực tiểu mà các cực đại, cực tiểu tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1

Bài giải:

0

*

x

 





Để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình  * có 2 nghiệm phân biệt khác 0

0

m

Khi đó, đồ thị hàm số luôn có 3 điểm cực trị là:

Nhận xét: Do A0;m 4  2mOy, B m;m 4 m2  2m và C m;m 4 m2  2m luôn đối xứng với nhau qua Oy nên ABClà tam giác cân tại A

Gọi M0;m 4 m2  2m là trung điểm của cạnh BC

2

ABC

Kết luận: Vậy m  1 để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu mà các cực đại, cực tiểu tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1

Bài toán 6: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y 2x4 m x2 2 m2  1 có ba điểm cực trị A, B, C sao cho bốn điểm O, A, B, C là bốn đỉnh của một hình thoi

Bài giải:

Tập xác định: D ;

 

2

0

* 4

x

x

 





Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình  * có 2 nghiệm phân biệt khác 0

2

4

m

m

Khi đó, đồ thị hàm số luôn có 3 điểm cực trị là:

Nhận xét: Do A0;m 2   1 Oy,

4 2

4 2

nhau qua Oy nên ABClà tam giác cân tại A

Gọi

4 2

8

m

    

, , ,

O A B C là bốn đỉnh của 1 hình thoi M là trung điểm của đoạn thẳng OA

2

M

M

y









Kết luận: Vậy m  2 để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A, B, C sao cho bốn điểm O, A, B, C

là bốn đỉnh của một hình thoi

Bài toán 7: Tìm tham số m để đồ thị hàm số 1 4 2

4

điểm cực tiểu là B và C sao cho tứ giác ABIC là hình thoi với   

5

2

I

Đáp án: m 12

Bài toán 8: Tìm tham số m để đồ thị hàm số 4 2 2 4

y x  m x m  có ba điểm cực trị A, B, C sao cho bốn điểm A, B, C, O cùng nằm trên một đường tròn

Đáp án: m  1

Bài toán 9: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y x 4  2mx2 m có ba điểm cực trị A, B, C, sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính bằng 1

Đáp án: 1; 5 1

2

Bài toán 10: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y x 4  2(m 1)x2 m có ba điểm cực trị A, B, C

sao cho độ dài OABC với A là cực trị thuộc trục tung

Đáp án: m  2 2 2