Tài liệu ôn thi môn toán THPT quốc gia

Xác định m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số song song với đường thẳng d y=-2x... VD10.Cho hàm số .Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị

Tài liệu

ÔN THI THPT QUỐC GIA

MÔN: TOÁNChủ đề 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1.1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Lí thuyết Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trong (a ; b) ;

• Hàm số đồng biến trong ( a ; b )

• Hàm số nghịch biến trong ( a ; b )

• Hoặc Hàm số đồng biến trong ( a ; b )

• Hàm số nghịch biến trong ( a ; b ) (Dấu “=” xảy ra tại một số hữu hạn điểm)x

• Tìm y’ Tìm các giá trị mà tại các điểm đó = 0 hoặc không xác định

• Lập bảng xét dấu của y’

• Căn cứ dấu của y’ để kết luận

Vấn đề 2: Tìm m để hàm số đơn điệu trong tập X Phương pháp

HD Xét hàm đặc trưng Chứng minh hàm số tăng trên R ĐS

1.2 C C TR Ự Ị

1.2.1 Vấn đề 1: Tìm cực trị của hàm số y = f(x)

Qui tắc 1 ( Dùng y’ ) a; Tìm tập xác định D b; Tìm y’

• Cho y’ = 0 tìm nghiệm x0 ( hay điểm mà không tồn tại)

• Lập bảng xét dấu của y’

• Căn cứ bảng xét dấu của y’ nếu khi x đi qua x0 mà :

+ y’ đổi dấu từ ( + ) sang (–) thì hàm số đạt cực đại tại x0 ; yCĐ = y0 = f(x0) + y’ đổi dấu từ (–) sang ( + ) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 ; yCT = y0 = f(x0)

x xo x1

y ’ + – – +

y y0

CĐ CT

Qui tắc 2 ( Dùng y”) a; Tìm tập xác định D b; Tìm y’ Cho y’ = 0 tìm nghiệm x0 ; x1 ; …

c ; Tìm y” Tính y”(x0) Nếu : • y”(x0) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x0 • y”(x1) > 0 thì hàm số đat cực tiểu tại x1 Lưu ý : • Nếu y”(x 0 ) = 0 hay tại x 0 mà y’(x 0 ) không tồn tại thì không dùng được qui tắc 2 • Hàm số y = đạt cực trị tại x0 Có y0 =

• Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đạt cực trị tại x0 khi tính y0 gặp khó khăn ta chia y cho y’ được thương P(x) và số dư px + q Ta có : y = y’.P(x) + px + q nên y0 = y’(x0).P(x0) + px0 + q = px0 + q (vì x0 là nghiệm của y’ = 0) 1.2.2 Vấn đề 2 : Tìm tham số để hàm số đạt cực trị tại Phương pháp Hàm số đạt cực trị tại x0 khi y’(x0) = 0 hoặc không tồn tại từ điều kiện này suy ra giá trị của tham số Kiểm tra lại bằng cách xét dấu y’ hoặc dùng y” Qua việc thử lại cho ta cụ thể hàm số đạt cực đại hay cực tiểu tại x0 • Nếu đồ thị hàm số có điểm cực trị M(x0 ; y0) thì thêm y0 = f(x0) • Trong vài trường hợp cụ thể ta có thể sử dụng 1; Hs đạt cực trị tại x0 2; Hs đạt cực đại tại x0

3; Hàm số đạt cực tiểu tại x0

b Hàm số đạt cực đại ,cực tiểu tại các điểm x1,x2 và

VD3:Cho hàm số y= Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu

VD4:Cho hàm số y= 2x3-3(2m+1)x2+6m(m+1)x+1

Tìm m để các điểm cực đại ,cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y=x+2

VD5: Cho hàm số y= x3-3x2-mx+2 Tìm m để

a Hàm số có cực đại ,cực tiểu trong khoảng (0;2)

b Hàm số có cực đại ,cự tiểu và các điểm cực đại ,cực tiểu cách đều đường thẳng y=x-1

VD6:Cho hàm số Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua

VD1: Cho hàm số y= x3+mx2-x

a CMR hàm số có cực đại cực tiểu với mọi m

b Xác định m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số song song với đường thẳng (d) y=-2x

VD5.Cho hàm số Tìm để điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nằm trên Parabol (P)

VD6.Cho hàm số

a Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu

b Giả sử hàm số có giá trị cực đại, cực tiểu là yCĐ , yCT Chứng minh rằng : VD7.Cho hàm số

a Tìm m để hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía khác nhau của trục tung

b Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu VD8.Cho hàm số

a.Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m hàm số luôn đạt cực đại và cực tiểu tại

và không phụ thuộc vào tham số m

b.Tìm m để

VD9.Cho hàm số Chứng minh rằng với mọi m hàm số đã cho luôn cócực đại cực tiểu Hãy xác định m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị là nhỏ nhất

VD10.Cho hàm số Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu, đồng

thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông tại O ( A – 2007)

VD11.Cho hàm số Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách từ điểm

cực tiểu của đồ thị hàm số đền tiệm cận xiên bằng (A – 2005)

VD12.Cho hàm số Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và

các điểm cực trị cách đều gốc tọa độ O ( B – 2007)

VD13.Cho hàm số (Cm) CMR với mọi m (Cm) luôn có cực đại cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng ( B – 2005)

VD14.Cho hàm số .Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và

các điểm cực trị có hoành độ dương ( CĐ – D – 2009)

VD15 Cho hàm số (1) m là tham số

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A,B,C sao cho OA=BC; trong đó O là gốc tọa độ , A là điểm cực trị thuộc trục tung, B,C là hai điểm cực trị còn lại ( B – 2011)

1.3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1; Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định trong ( a;b ) nếu:

thì = M

thì = m 2; Cách tìm

a; Tìm miền giá trị của hàm số từ đó suy ra max y , min y

là giá trị lớn nhất trong các giá trị trên.

là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị trên

Ví dụ: Tìm GTLN,GTNN ( nếu có ) của các hàm số sau:

• Nếu D không chứa thì không có tiệm cận ngang

• Nếu đồ thị không có tiệm cận ngang

1.Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng qua điểm M(-3,1)

Ví dụ 2 Cho đường cong (Cm): và đường thẳng (dm) Xác định m biết rằng (Cm) có cực đại cực tiểu và tiệm cận xiên của nó tạo với đường thẳng (dm)một

c.Chứng minh rằng trên (C) không tồn tại hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

Ví dụ 2.Cho hàm số có đồ thị (C)

a.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M có tung độ bằng 3

b.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với góc phần tư thứ hai.c.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0, -2)

Ví dụ 3.Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( Khối D – 2010)

Ví dụ 4 Cho hàm số có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm M(-1, -9) ( Khối B – 2008)

Ví dụ 5.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết :

b Tung độ tiếp điểm bằng

c Tiếp tuyến song song với đường thẳng

d Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

e Tiếp tuyến đi qua điểm M(2,0)

1.5 CÁC VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ

TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG ( C ) : y = f(x)

Lí thuyết

• P trình tiếp tuyến của ( C ) tại M(x0 ; y0) : y – y0 = f’(x0)(x – x0)

• ( C ) : y = f(x) và ( D ) : y = g(x) tiếp xúc với nhau có nghiệm

( nghiệm của hệ phương trình là hoành độ tiếp điểm )

Phương pháp : Áp dụng công thức y – y0 = f’(x0)( x – x0 )

• Nếu chưa cho y0 thì tính y0 = f(x0) (giao của (C ) và trục tung là cho )

• Nếu chưa cho x0 thì x0 là nghiệm của phương trình f(x) = y0 (giao của (C ) và trục hoành là cho)

1.5.2 Vấn đề 2 Lập phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

Cách 2 : Gọi (d) : y = kx + b là tiếp tuyến của ( C ) có nghiệm

Giải (1) tìm x thế vào (2) tìm b

Lưu ý Cho (d) : y = a.x + b nếu :

• (d1) song song với (d) thì (d1) có hệ số góc k = a

• (d2) vuông góc với (d) thì (d1) có hệ số góc k = (hay a.k = – 1 )

1.5.3 Vấn đề 3 : Lập phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm A( )

Phương pháp

Cách 1 : Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm.Tính y0 = f(x0) và f’(x0) theo x0 Phương trình tiếp tuyến của (C)

tại M là : y – y 0 = f’(x 0 )( x – x 0 ) (1) Vì tiếp tuyến đi qua A( ) nên y 1 – y 0 = f’(x 0 )( x 1 – x 0 ) giải

phương trình tìm x0 thay vào (1)

Cách 2 : Gọi (d) là đường thẳng đi qua A có hệ số góc k

Ta có :(d) : y – y 1 = k( x – x 1 ) (1) là tiếp tuyến của (C) có nghiệmThế k từ (1) vào (2) giải tìm x thế vào (1) tìm k và thay vào phương trình (1)

Ví dụ 1 Gọi là đồ thị hàm số ( m là tham số ) Gọi M là điểm thuộc

có hoành độ bằng -1.Tìm m để tiếp tuyến của tại M song song với đường thẳng

( Khối D – 2005)

a.Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phan biệt A(0,1), B, C

b.Tìm m để các tiếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau

Ví dụ 3.Cho hàm số (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm

số biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

Ví dụ 4.Cho hàm số (C) Xác định m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau

Ví dụ 5.Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến của

(C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A,B và tam, giác OAB có diện tích bằng ( Khối D – 2007)

Ví dụ 6.Cho hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến

cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại A và B và tam giác OAB cân tại O ( Khối A – 2009)

Ví dụ 7 Cho hàm số có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên của đồ thị hàm số ( Khối B – 2006)

Viết phương trình tiếp tuyến thõa điều kiện cho trước

Ví dụ 8.Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm trên (C) các điểm A để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A vuông góc với đường thẳng đi qua A và tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

( Đại học An Ninh – 2001)

Ví dụ 9.Cho hàm số có đồ thị (C) Xác định m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau

Ví dụ 13.Cho hàm số có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết :

a Tiếp tuyến song song với đường thẳng

b Tiếp tuyến tạo với một góc

c Tiếp tuyến tạo với một góc

Ví dụ 14 Cho hàm số có đồ thị (C) và điểm M bất kỳ thuộc (C) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của đồ thị (C) Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B

a Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn AB

b Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không đổi

c Tìm tọa độ điểm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất

Ví dụ 15 Cho hàm số

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt

A và B Gọi lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến với ( C) tại A và B Tìm m để tổng đạt

giá trị lớn nhất ( Khối A – 2011)

Phương pháp: Giả sử ta cần biện luận số tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) đi qua

1.Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A với hệ số góc k.

2.d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ phương tình sao có nghiệm

(I) 3.Số nghiệm của hệ phương trình này chính là số tiếp tuyến đi qua điểm A

Ví dụ 1.Cho hàm số Tìm trên đường thẳng x = 2 những điểm mà từ đó có thể kẻđúng ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) của hàm số

Biện luận số tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua một điểm

Ví dụ 2 Cho hàm số Tìm trên đường thẳng y= 2 những điểm mà từ đó có thể kẻđúng ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) của hàm số

Ví dụ 3.Cho đường thẳng (d):x = 2 và hàm số có đồ thị (C) Từ một điểm bất kỳ trên (d) có thể được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị (C)

Ví dụ 4.Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm mà từ

đó kẻ được đến đồ thị (C) của hàm số hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

Ví dụ 5.Cho hàm số có đồ thị (C)

f Viết phương trình tiếp của (C) đi qua gốc tọa độ O

g Tìm điểm M thuộc (C) để tiếp tuyến với (C) tại M còn cắt (C) tại hai điểm A và B sao cho A là trung điểm của MB

h Tìm điểm M trên trục tung sao cho qua M có thể kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Ví dụ 6.Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm những điểm trên trục Ox sao cho từ đó

có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Ví dụ 7.Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm trên đường thẳng các điểm kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Ví dụ 8.Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm trên đường thẳng các điểm

kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc đến đồ thị (C)

Ví dụ 9 Cho hàm số có đồ thị (C).Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết khoảng cách từ điểm I(1,1) đến tiếp tuyến này là lớn nhất

Ví dụ 10.Cho hàm số có đồ thị (C).Tìm các điểm thuộc trục hoành mà từ đó có thể

kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C), trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

Ví dụ 11 Cho hàm số Tìm m để từ điểm A(1,2) kẻ được hai tiếp tuyến AB,AC đến

đồ thị hàm số sao cho đều ( Với B, C là hai tiếp điểm )

Ví dụ 12.Cho hàm số có đồ thị (C)

a.Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (C) và trục Oy

b.Tìm m để chắn trên hai trục Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 8

Chủ đề 2 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ

Ví dụ 1.Cho hàm số có đồ thị (C) và đường thẳng (d) :

i Chứng minh rằng với mọi m, (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

j Giả sử (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm A và B Tìm m để độ dài đoạn AB nhỏ nhất

đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt

Ví dụ 3.Cho hàm số Định m để đồ thị cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng

Ví dụ 4.Định m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt

Ví dụ 5.Cho hàm số có đồ thị Tìm m để đường thẳng y = - 1 cắt

đồ thị tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2 ( Khối D – 2009)

Ví dụ 6.Cho hàm số (C) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1,2) với hệ số góc k (k>-3) đều cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của AB

Dạng 1: hàm số có 3 cực trị pt y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt

Ví dụ 7 Cho hàm số (C) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3,20) và có hệ sốgóc m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt ( Khối D – 2006)

Ví dụ 8 Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng ( O là gốc tọa độ )

Ví dụ 11.Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d: y

= m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA vuông góc với OB (Với O là gốc tọa độ )

Ví dụ 12.Chứng minh rằng nếu đồ thị hàm số (C) cắt trục hoành tại ba điểm cách đều nhau thì điểm uốn nằm trên trục hoành

Ví dụ 13 Cho hàm số

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số đã cho

b Tìm k để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho

khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau ( Khối D – 2011)

Chủ đề 3 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bốn dạng đồ thị hàm số bậc 3

Bốn dạng đồ thị hàm số trùng phương

Ví dụ 1.Cho hàm số có đồ thị (C)

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b Dùng đồ thị (C) biện luận theo k số nghiệm của phương trình:

Ví dụ 2 Cho hàm số có đồ thị (Cm)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi

b Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên

2 Cách đều hai tiệm cận của đồ thị hàm số

3 Cách đều hai điểm A(0;0) và B(2;2)

4 Tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất

Ví dụ 5.Cho hàm số

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b Khi a thay đổi biện luận số nghiệm phương trình:

Ví dụ 6.Cho hàm số

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 (C1)

b Tìm k để phương trình có ba nghiệm phân biệt

c Viết phương trình đường thẳng đi qua hai cực trị của đồ thị hàm số (C1)

Chủ đề 4 : PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Ⓐ HỆ THỐNG LÝ THUYẾT:

◙ Hàm số lũy thừa:

● Tính chất của lũy thừa:

▪ Về cơ số; khi xét lũy thừa :

+ xác định  a 

▪ Tính chất: Với a, b > 0; m,n  :

▪ Khi a > 1 hàm số y = a x đồng biến trên

▪ Khi 0 < a < 1 hàm số y = a x nghịch biến trên

 Chú ý: Khi xét phải chú ý điều kiện

Trong phần này, ta giả thiết mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa (có thể yêu cầu học sinh nêu

các điều kiện để các biểu thức có nghĩa như: Mẫu khác 0, cơ số a, b thỏa 0 < a,b ≠ 1, đối số của logarit

phải dương)

▪ Cho 0 < a ≠ 1 , x > 0: log a x = y ⇔ a y = x.

▪ Với 0 < a ≠ 1 ta có: ( n > 0 ); (∀m ∈ ); log a1 = 0;

▪ loga (x1.x2) = loga x1 + loga x2; = loga x1 loga x2 ( x1; x2 > 0 ).

▪ Khi a > 1 hàm số y = log a x đồng biến trên ( 0 ; + ∞ ).

▪ Khi 0 < a < 1 hàm số y = log a x nghịch biến trên ( 0; + ∞ ).

◙ Phương trình, bất phương trình logarit:

▪ Trước hết ta cần đặt điều kiện để phương trình có nghĩa

loga b có nghĩa ⇔ 0 < a ≠ 1 và b > 0

▪ ( b > 0 ; 0 < a ≠ 1 )

▪ loga b 2k = 2k.log a |b| với k ∈ 

▪ loga f(x) = log a g(x) ⇔ f(x) = g(x)

▪ loga f(x) ≥ log a g(x) ⇔

▪

4.1 Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số

Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình đã cho về dạng : (1)

• Nếu cơ số a là một số dương khác 1 thì (1)

• Nếu cơ số a thay đổi (có chứa biến hoặc chứa tham số) thì (ít gặp)

Bài 1 : Giải các phương trình sau

7 (ĐH Quốc Gia HN-1998) ĐS : 0

4.3 Dạng 3 : Phương pháp lôgarit hóa

Biến đổi phương trình đã cho về một trong các dạng sau :

Đưa phương trình đã cho về dạng (*)

• Bước 1 : Chỉ ra là một nghiệm của phương trình (*)

• Bước 2 : Chứng minh là hàm đồng biến, là hàm nghịch biến hoặc là hàm đồng biến,

là hàm hằng hoặc là hàm nghịch biến, là hàm hằng Từ đó suy ra tính duy nhất nghiệm

5.1 Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số

Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình đã cho về dạng

Biến đổi phương trình về dạng chỉ chứa một loại hàm số lôgarit, đặt ẩn phụ t để đưa phương trình biến

số x đã cho về phương trình mới với biến t, giải phương trình này tìm t rồi từ đó tìm x

Bài 1 : Giải các phương trình sau

10 ĐS :

13 log4(log2x) + log2(log4x) = 2 (đặt t= )

Bài 2 : Giải các phương trình sau

Đưa phương trình đã cho về dạng (*)

• Bước 1 : Chỉ ra là một nghiệm của phương trình (*)

• Bước 2 : Chứng minh là hàm đồng biến, là hàm nghịch biến hoặc là hàm đồng biến,

là hàm hằng hoặc là hàm nghịch biến, là hàm hằng Từ đó suy ra tính duy nhất nghiệm

II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

7.1 Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số

Bài 1 : Giải các bất phương trình sau :

II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Giải các bất phương trình sau :

Nguyên hàm của những hàm số thường gặp :

Chú ý : Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số bằng định nghĩa, ta phải biến đổi hàm số này

thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đơn giản đã biết hoặc có thể tìm được nguyên hàm.

Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số :

Chú ý : Nếu hàm số dưới dấu nguyên hàm có chứa dấu căn thì thường ta đặt :

Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần.

Công thức :

Các dạng nguyên hàm tính bằng phương pháp từng phần thường gặp :

Dạng 1 :

(trong đó là hs đa thức; là hàm số hoặc hoặc )

Trong trường hợp này ta đặt :

Dạng 2 :

(trong đó là hs đa thức; là hàm số logarit)

Trong trường hợp này ta đặt :

9.2 TÍCH PHÂN

Tích phân :

Định nghĩa :

Chú ý : Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng

hoặc hiệu của những hàm số đã biết hoặc có thể tìm được nguyên hàm.

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.

Công thức tổng quát :

Các dạng tích phân tính bằng phương pháp đổi biến số thường gặp :

Tương tự như trong phần nguyên hàm

Tính tích phân bằng phương pháp từng phần.

Công thức tổng quát :

Các dạng tích phân tính bằng phương pháp từng phần thường gặp :

Tương tự như trong phần nguyên hàm

9.3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi :

(trong đó hai đường thẳng có thể thiếu một hoặc cả hai)

Công thức :

Cho hình phẳng giới hạn bởi : (trong đó hai đường

có thể thiếu một hoặc cả hai) Quay hình phẳng này xung quanh trục Ox Khi đó thể tích

của khối tròn xoay được sinh ra là :

Các bước thực hiện :

Bước 1 : Nếu hai đường đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải phương trình

(phương trình hoành độ giao điểm của và trục Ox) để tìm

Bước 2 : Áp dụng công thức

Chú ý :

Nếu đề bài đã cho đầy đủ cả a và b thì không cần giải phương trình

Nếu để bài không cho a và b thì giải phương trình để tìm Phương trình này có thể có nhiều

hơn hai nghiệm Trong trường hợp này nghiệm nhỏ nhất là a, nghiệm lớn nhất là b, các nghiệm còn lại không cần chèn vào trong quá trình tính tích phân.

TÍCH PHÂN CHỨA HÀM HỮU TỈ:

Dạng: Với P(x), Q(x) là các hàm đa thức, khi đó ta có các trường hợp sau:

+ Nếu bậc P(x) bậc Q(x) thì ta lấy P(x) chia cho Q(x)

+ Nếu bậc P(x) <bậc Q(x) thì ta phân tích thành các phân thức đơn giản hơn,theo 1 trong 3 quy tắc sau:

QT1:

2 Khi gặp tích phân dạng: cách giải đặt : thì ta có được tích phân

=J Hai tích phân I và J là hai tích phân liên hợp với nhau và bằng nhau, ta muốn tính I ta làm như sau :I+J=2I=

Tính J thì ta làm tương tự

VD: Tính các tích phân sau:

Chú ý: Nếu tìm nguyên hàm thuộc dạng này thì ta cũng làm như thế

TÍCH PHÂN CỦA CÁC HÀM ĐẶT BIỆT :

Các bài tập mẫu :

Giải: Đặt Khi x= thì t = - , khi thì

Do đó

Nhận xét : Bằng cách làm tương tự hãy chứng minh các công thức

1) Nếu f(x) là hàm tuần hoàn với chu kì T, liên tục trên [0;T]; [a;a+T] thì

2) Với a>0, f(x) là hàm chẵn, liên tục trên R, Với mọi số thực ta có :

3) Nếu f(x) liên tục trên [0; thì i/