PHÂN TÍCH HỆ THỐNG DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

PHÂN TÍCH HỆ THỐNG DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔILAPLACE

Phép biến đổi Laplace là một công cụ rất tuyệt vời trong việc phân tích hệ thống liên tục vì những lý do sau đây:

- Nó thay thế phương trình vi phân bằng phương trình đại số, giúp cho việc giải phương trình vi phân được đơn giản đi nhiều

- Nó giúp tìm nghiệm tổng quát một cách trực tiếp, nghĩa là tìm được đáp ứng tổng quát chứa cả đáp ứng trạng thái 0 và đáp ứng đầu vào 0

- Có thể dùng phép biến đổi Laplace cho các tín hiệu không có phổ (tức là các tín hiệu không có biến đổi Fourier)

- Biến đổi Laplace của đáp ứng xung của hệ tuyến tính bất biến nhân quả là hàm truyền đạt của hệ Hàm này rất hữu ích trong việc xác định các đặc điểm của hệ thống

Chương này gồm hai nội dung chính:

- Lý thuyết phép biến đổi Laplace, gồm các công thức tính biến đổi Laplace thuận và ngược, các tính chất, cách tính

- Ưng dụng phép biến đổi Laplace vào bài toán phân tích hệ thống Bài toán phân tích

hệ thống ở đây là bài toán tìm tín hiệu ra hệ thống theo một tín hiệu vào cụ thể Bài toán có thể thực hiện dựa vào giải phương trình vi phân hoặc là dựa vào một mô hình toán học khác của hệ thống- đó là hàm truyền đạt

4.1 GIỚI THIỆU PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

Phần này sẽ trình bày về phép biến đổi Laplace tổng quát - đó là phép biến đổi Laplace hai phía và biến đổi Laplace ngược tương ứng Sau đó ta sẽ xem xét phép biến đổi Laplace một phía- đó là một trường hợp đặc biệt của phép biến đổi Laplace hai phía Phần này cũng sẽ bàn về điều kiện tồn tại và các tính chất của phép biến đổi Laplace một phía

4.1.1 Phép biến đổi Laplace hai phía

1 Định nghĩa biến đổi Laplace hai phía

Ta tìm biến đổi Fourier của tín hiệu )e σ tx(t (trong đó σ là một hằng số thực):

Ta thấy rằng có thể có các tín hiệu x(t) không thỏa điều kiện khả tích tuyệt đối nhưng nhờ nhân với e σtmà trở thành e σ tx(t)khả tích tuyệt đối Như vậy, biến đổi Fourier của

Như vậy biến đổi Laplace hai phía của tín hiệu x(t) chính là biến đổi Fourier của tín hiệu

)

t

(

x

e σ t được viết dưới dạng một hàm theo biến phức s≡σ+jω

Như nói trên, ta có thể chọn σ sao cho biến đổi Laplace của x(t) tồn tại Ưng với một giá trị của σ, ta xác định được một đường thẳng song song với trục tung trong mặt phẳng s Tập các đường thẳng này tạo thành một phần mặt phẳng và được gọi là miền hội tụ (region of convergence) của phép biến đổi Laplace hai phía của x(t)

2 Biểu thức tính biến đổi Laplace hai phía ngược

Ta có thể khôi phục tín hiệu x(t) từ biến đổi Laplace hai phía của nó bằng cách dùng biến đổi Laplace ngược

2

4 Re(s) Mặt

phẳng s

{ }

∫∞

+ σ

∞

− σ

−

≡π

=

j

j

1 st

1

1

)s(XLTdse)s(Xj2

1)t(x

Để tính biến đổi Laplace ngược, ta phải lấy tích phân của hàm biến phức X(s)est dọc theo đường thẳng s≡σ1+jω trong mặt phẳng s Ta phải chọn σ1 sao cho đường thẳng

ω

+

σ

≡ j

s 1 nằm trong miền hội tụ của X(s)

Có nhiều trường hợp các tín hiệu khác nhau có cùng hàm biến đổi Laplace hai phía, chỉ khác nhau ở miền hội tụ Vậy biến đổi Laplace hai phía phụ thuộc vào hàm biến đổi X(s) và miền hội tụ

4.1.2 Phép biến đổi Laplace một phía

1 Biểu thức tính biến đổi Laplace một phía

Phép biến đổi Laplace hiệu quả nhất trong việc tính đáp ứng của hệ nhân quả đối với tín hiệu vào bắt đầu ở thời điểm t≥0 Trong trường hợp này, cả tín hiệu và đáp ứng xung đều bằng 0 với t < 0 và biến đổi Laplace hai phía trở thành biến đổi Laplace một phía (single-sided Laplace transform):

Cận dưới của tích phân trên là 0 - ý là bao hàm cả gốc thời gian trong tích phân, ở đây là bao

gồm cả các điểm gián đoạn và xung tại gốc thời gian Sau đây, ta viết cận dưới là 0 thay cho

0 - cho đơn giản

Biến đổi Laplace của tín hiệu x(t) cũng chính là biến đổi Laplace một phía của tín hiệu x(t)u(t)

2 Định lý về sự tồn tại của biến đổi Laplace một phía

Nếu x(t) khả tích tuyệt đối trong khoảng T0− ≤t< với T > 0 bất kỳ và nếu có thể chọn các

số thực c và K sao cho e− ctx(t) ≤K với t≥T thì tích phân biến đổi Laplace một phía hội tụ tuyệt đối và duy nhất với mọi s thỏa Re(s) > c

Giá trị c nhỏ nhất gọi là hoành độ của hội tụ tuyệt đối (abscissa of absolute convergence).

Từ định lý này ta thấy: nếu biến đổi Laplace một phía tồn tại thì miền hội tụ là miền bên phải của đường thẳng s=c+jω Miền hội tụ được biểu diễn minh họa bằng vùng có gạch chéo trên hình vẽ sau:

-2

c = 2

4

3 Biểu thức tính biến đổi Laplace một phía ngược

Biến đổi Laplace một phía ngược được tính tương tự như Laplace hai phía ngược, nhưng kết quả chỉ có nghĩa với t≥0

Định lý về sự tồn tại của biến đổi Laplace một phía cho thấy chỉ có một miền hội tụ duy nhất đối với một tín hiệu Tín hiệu đó bằng 0 khi t < 0 Do đó, kết quả tính biến đổi Laplace một phía ngược chỉ có duy nhất một tín hiệu Tính duy nhất này làm cho phép biến đổi Laplace một phía trở thành một công cụ rất hiệu quả trong phân tích hệ thống

Từ đây trở đi, ta tập trung xét phép biến đổi Laplace một phía

Tóm lại, sự chuyển đổi tín hiệu giữa miền thời gian t và miền biến phức s được thực hiện nhờ cặp biến đổi Laplace thuận và ngược và được ký hiệu ngắn gọn như sau:

)s(X)

t(

4.2 TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

Các tính chất của phép biến đổi Laplace giúp cho việc tính biến đổi Laplace thuận và ngược trở nên dễ dàng hơn Sau đây nêu một vài tính chất thông dụng

4.2.1 Tính tuyến tính

Nếu

)s(X)

t(

x ←⎯→L và y(t)←⎯→L Y(s)Thì

)s(bY)s(aX)

t(by)t(

Ví dụ:

Tính biến đổi Laplace của tín hiệu )x(t)=sin(ω0t)u(t

4.2.2 Thay đổi thang thời gian

Nếu

)s(X)

t(

x ←⎯→L

Thì

0mm

sXm

1)

mt(

t(

x ←⎯→L

Thì

0te)s(X)

tt(

x ←⎯→L

Thì

)as(X)

t(x

t(

x ←⎯→L

Thì

n

n n L

n L

ds

)s(Xd)1()

t(xt

ds

)s(dX)

t(tx

4.2.6 Đạo hàm x(t)

Nếu

)s(X)

t(

1 n 0

i i 1 n n

L n

n

dt

)t(xds)s(Xsdt

)t(xd

4.2.7 Tích phân x(t)

Nếu

)s(X)

t(

x ←⎯→L

Thì

s

)0(ys

)s(X)

0(yd)(x)t(

= ∫−

4.2.8 Tính chất chập

Nếu

)s(X)

t(

x ←⎯→L và y(t)←⎯→L Y(s)Thì

)s(Y)

s(X)

t(y)t(

x ∗ ←⎯→L

4.3 TÍNH BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

Ta có thể tính x(t) từ biến đổi Laplace một phía X(s) bằng cách tính tích phân:

{ }

∫∞

+ σ

∞

− σ

−

≡π

j

1 st

1

1

)s(XLTdse)s(Xj2

1)t(

Trước khi đi vào tính biến đổi Laplace ngược, ta xét qua khái niệm về điểm cực và điểm không

4.3.1 Điểm cực và điểm không

Thực tế có nhiều tín hiệu và đáp ứng xung của hệ tuyến tính bất biến có biến đổi Laplace dạng hữu tỷ:

)s(Q

)s(Pqsqs

qsq

psps

psp)s(X

0 1 1

n 1 n

n n

0 1 1

m 1 m

m

++++

++++

Vì các tín hiệu và đáp ứng xung ta xét là thực nên các hệ số trong phân thức trên là thực

Ta có thể phân tích đa thức tử số và mẫu số trên thành tích các thừa số, tử số thành tích m thừa số và mẫu số thành tích n thừa số:

s)(

s(q

)s) (

s)(

s(p)s(X

n 2

1 n

m 2

1 m

α

−α

−α

−

β

−β

−β

Ta gọi các s này là điểm không (zero) của X(s)

Mẫu số của X(s) bằng 0 khi:

i

s=α với i=1,nCác giá trị s này làm cho X(s)=∞ và ta gọi đó là điểm cực (pole) của X(s)

Số lượng điểm cực trùng nhau được gọi là bậc (order) của điểm cực, tương tự, số lượng điểm không trùng nhau được gọi là bậc của điểm không

Các điểm cực và điểm không có thể thực hoặc phức Khi chúng là số phức, chúng phải xuất hiện thành cặp liên hợp phức Cụ thể là:

Nếu có một điểm không là αk =a+jbthì sẽ có một điểm không nữa là * a jb

jbas()s)(

12s

+

=

(b)

18s42s31s8s

20s4s)

+

−

=

4.3.2 Tính biến đổi Laplace ngược

Về nguyên tắc, ta có thể tính biến đổi Laplace ngược không theo con đường tính tích phân Laplace ngược bằng cách:

Ta phân tích hàm hữu tỷ X(s) thành tổng của các hàm hữu tỷ có bậc thấp hơn mà ta đã biết biến đổi Laplace ngược Theo tính chất tuyến tính, biến đổi Laplace ngược của hàm X(s) chính là tổng của các biến đổi Laplace ngược của các hàm có bậc thấp hơn này

Để phân tích hàm hữu tỷ X(s), trước hết ta xem nó có phải là phân thức thật sự (proper)

chưa Phân thức thật sự là phân thức có bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu Nếu X(s) chưa phải

là phân thức thật sự, tức là bậc của tử lớn hơn hay bằng bậc của mẫu, ta chia tử cho mẫu để được một tổng gồm hai số hạng Số hạng thứ nhất là một đa thức theo s và số hạng thứ hai là phần dư của phép chia- đó là một phân thức thật sự

Ta khai triển phân thức thật sự (hàm X(s) hay phần dư) thành tổng các hàm hữu tỷ có bậc thấp hơn bằng phương pháp khai triển riêng phần (partial-fraction expansion)

Giả sử X(s) là một phân thức thật sự có dạng:

2 2

1

s(

)s(P)

s(X

α

−α

−α

−

2 1

i 2 1

1

i 1 2

2

1

A)

s(

A)

s()s(

)s(P

Ta có thể tìm n1 hệ số Ai1 và n2 hệ số A2i (n1+n2 = n) theo cách sau:

Quy đồng mẫu số vế phải, sau đó đồng nhất tử số bên vế phải với tử số bên vế trái, ta được

hệ n phương trình Giải hệ n phương trình đó, ta tìm được n nghiệm- đó chính là n hệ số Ai1

)1s)(

2s(

3s11s8s2)s(X

++

+++

=

2 Ví dụ 2

Tính biến đổi Laplace ngược của:

10s19s13s5s

27s22s3)

s(

++++

++

=

3 Ví dụ 3

Tính biến đổi Laplace ngược của:

)5s2s)(

1s)(

2s(

27s22s3)

s(

+++

+

++

=

4 Ví dụ 4

Tính biến đổi Laplace ngược của:

)2s3s(s

ees)s(

W 22 2s 3s

+++

= − −

4.3.4 Vị trí điểm cực và dạng tín hiệu

Như trên ta biết, có thể biểu diễn X(s) dưới dạng hữu tỷ:

)s) (

s)(

s(q

)s) (

s)(

s(p)s(X

n 2

1 n

m 2

1 m

α

−α

−α

−

β

−β

−β

−

=

ở đây βi là điểm không, αi là điểm cực và pm/qn là một hằng số

1 Nếu X(s) chỉ có các điểm cực đơn

Khai triển riêng phần của X(s) là một trong các dạng sau:

γ+

=s

A)s(

X1hoặc

2 2 2

)s(

B)

js)(

js(

B)

s(X

ω+γ+

ω

=ω

−γ+ω+γ+

ω

=hoặc

2 2 3

)s(

)s(C)js)(

js(

)s(C)

s(X

ω+γ+

γ+

=ω

−γ+ω+γ+

γ+

=Các hệ số A, B, C phụ thuộc vào các hệ số của hàm X(s)

Các tín hiệu tương ứng với các hàm Xi(s) trên lần lượt là:

)t(uAe)t(

Be)t(

)t(u)tcos(

Ce)t(

1 1

γ

−

=

)t(u)tsin(

e)t(f)t(

2

)t(u)tcos(

e)t(f)t(

Các tín hiệu ứng với biến đổi Laplace có điểm cực đơn sẽ bị chặn nếu γ ≥0, tức là các điểm cực nằm trên trục ảo hay bên trái mặt phẳng s Các tín hiệu ứng với biến đổi Laplace có điểm cực bội sẽ bị chặn nếu γ>0, tức là các điểm cực nằm bên trái mặt phẳng s

4.4 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HỆ THỐNG DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

Một ứng dụng quan trọng của phép biến đổi Laplace là giải phương trình vi phân tuyến tính

hệ số hằng với t≥0 Phương trình này đặc trưng cho hệ thống tuyến tính bất biến

4.4.1 Các bước giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng dùng phép biến đổi Laplace

1 Tính biến đổi Laplace cho hai vế của phương trình, sử dụng các tính chất tuyến tính và đạo hàm, ta được một phương trình đại số có nghiệm là Y(s)

2 Giải phương trình đại số để tìm nghiệm Y(s)

3 Tính biến đổi Laplace ngược của Y(s) để tìm ra y(t) với t≥0

Khi tính biến đổi Laplace hai vế của phương trình, các điều kiện ban đầu sẽ tự động có mặt

Do đó, kết quả ta sẽ có được đáp ứng của hệ thống gồm cả đáp ứng trạng thái 0 và đáp ứng đầu vào 0 với t≥0

4.4.2 Ví dụ giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng dùng phép biến đổi Laplace

1 Ví dụ 1

Hệ thống định vị bậc 2 của một thiết bị cơ khí được đặc trưng bởi phương trình vi phân:

)t(x)t(y6dt

)t(dy5dt

)t(yd

2

2

=+

+

ở đây x(t) là vị trí yêu cầu và y(t) là vị trí đáp ứng

Giải tìm y(t) với t≥0 khi x(t) = u(t) và các điều kiện đầu là: 12

dt

)t(dy,2)0(y

0 t

2 Ví dụ 2

Cho mạch điện sau:

Tìm điện áp trên cuộn dây v0(t) với t≥0

4.5 GIẢI MẠCH ĐIỆN DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

Trong ví dụ 2 ở mục 4.4.2, ta giải tìm tín hiệu ra của mạch điện bằng cách viết phương trình

vi tích phân biểu diễn vào-ra, rồi áp dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình đó Ngoài cách trên, ta có thể tìm tín hiệu trong mạch điện mà không cần viết phương trình vi tích phân nếu ta biểu diễn tín hiệu và các thành phần trong mạch bằng tương đương Laplace (Laplace transform equivalent) Tương đương Laplace của một tín hiệu chính là biến đổi Laplace của tín hiệu đó Tương đương Laplace của một thành phần trong mạch điện là biến đổi Laplace của mô hình toán học của nó, nói cách khác là ta thay biểu diễn trong miền thời gian t thành biểu diễn trong miền biến s Ta gọi sơ đồ mạch tạo ra từ các tương đương Laplace là sơ đồ mạch biến đổi (transformed circuit diagram). Ta sử dụng sơ đồ mạch biến đổi, biến đổi Laplace của tín hiệu vào, các điều kiện đầu và kỹ thuật phân tích mạch để có được biến đổi Laplace của tín hiệu ra, rồi tính biến đổi Laplace ngược, ta sẽ có được tín hiệu

ra

4.5.1 Sơ đồ mạch biến đổi

Để tạo ra sơ đồ mạch biến đổi, ta thay từng thành phần trong mạch bằng tương đương Laplace của nó

Trong phần này ta xét các thành phần mạch là nguồn áp, nguồn dòng, điện trở, cuộn dây, tụ điện

4.5.2 Ví dụ

Làm lại ví dụ 2 ở mục 4.4.2

và đáp ứng xung Từ đây ta có định nghĩa:

Hàm truyền đạt của hệ thống (system transfer function) là hàm theo biến s Khi được nhân với biến đổi Laplace của tín hiệu vào, hàm này sẽ tạo ra biến đổi Laplace của đáp ứng trạng thái 0

Trong một hệ thống, ứng với mỗi X(s) chỉ có duy nhất một Y(s) tương ứng Do đó, hàm truyền đạt H(s) là duy nhất và là biến đổi Laplace của đáp ứng xung Vì đáp ứng xung đặc trưng cho hệ trong miền thời gian nên hàm truyền đạt đặc trưng cho hệ trong miền s

Ta có thể viết:

H(s) = Y(s)/X(s) Vậy, hàm truyền đạt cũng là tỷ số giữa biến đổi Laplace của tín hiệu ra và tín hiệu vào

Từ hàm truyền đạt, ta có thể tính được đáp ứng trạng thái 0 rất đơn giản bằng cách:

Tính biến đổi Laplace của tín hiệu vào, nhân với hàm truyền đạt rồi tính biến đổi Laplace ngược

4.6.2 Tính hàm truyền đạt

Ta có thể tính hàm truyền đạt bằng cách tính biến đổi Laplace của đáp ứng xung, nhưng muốn có đáp ứng xung ta phải giải phương trình vi phân khá phức tạp Thực ra thì ta có thể tính được hàm truyền đạt mà không cần phải giải phương trình vi phân

1

k k

dt

)t(xdbdt

)t(yda)t(y

Các hệ số ak và br là các hằng số thực

Giả sử các điều kiện đầu bằng 0, tính biến đổi Laplace cho cả hai vế, ta được:

Giải ra H(s) dạng chuẩn như sau:

Ví dụ:

Trong hệ thống điều khiển quỹ đạo tàu vũ trụ, đáp ứng y(t) của động cơ đẩy phản lực đối với tín hiệu kích hoạt x(t) được thể hiện trong phương trình sau:

)t(x9dt

)t(dx3dt

)t(dy5.1dt

)t(yd5.0)t(

(a) Tìm hàm truyền đạt

(b) Tìm đáp ứng xung

2 Tính hàm truyền đạt từ sơ đồ mạch điện

Ta chuyển sơ đồ mạch thành sơ đồ biến đổi như trình bày trong mục 4.5.1, dùng các kỹ thuật phân tích mạch để viết các phương trình chỉ ra các mối quan hệ, từ đó rút ra hàm truyền đạt

Ví dụ:

Tìm hàm truyền của mạch lọc cầu T cung cấp cho tải là điện trở 2 Ω

3 Tính hàm truyền đạt từ sơ đồ khối

4.6.3 Quan hệ giữa các đặc điểm của hàm truyền đạt và đáp ứng của hệ thống

Hàm truyền đạt của một hệ tuyến tính bất biến bậc n là:

)s(D

)s(Ns

a

sa1

sb

sbb)s(

n 1

m m 1

+++

+++

=Phân tích tử số và mẫu số ra tích các thừa số, ta được:

)s(D

)s(N)ps) (

ps)(

ps(

)zs) (

zs)(

zs(a

b)s(H

n 2

1

m 2

1 n

Ta sẽ phân tích kỹ hơn về điều này

Biến đổi Laplace của đáp ứng trạng thái 0 là:

)s) (

s(

)s) (

s()ps) (

ps(

)zs) (

zs(G)s(X)s(D

)s(N)s(X)

s(H)s(Y

r 1

k 1

n 1

m 1

α

−α

−

β

−β

Ta đã biết dạng của tín hiệu phụ thuộc vào các điểm cực Do đó, trong đáp ứng trạng thái 0,

sẽ có những thành phần có dạng phụ thuộc vào các điểm cực của tín hiệu vào và sẽ có những thành phần có dạng phụ thuộc vào các điểm cực của hàm truyền đạt

Ta tính biến đổi Laplace hai vế của phương trình hệ thống sau:

)t(yda)t(y

với điều kiện đầu khác 0 Kết quả là:

0 r

r r n

1 k

k

ks Y(s) (s) b s X(s)a

)s(Y

ở đây I(s) là một đa thức theo s có các hệ số là hằng số, được tạo ra do biến đổi Laplace của đạo hàm của y(t) với điều kiện đầu khác 0

Ta có thể viết lại Y(s) dưới dạng:

)s(D

)s()s(X)s(D

)s(N)s(

Y(s) chính là biến đổi Laplace của tín hiệu ra Ta thấy Y(s) là tổng của hai số hạng:

- Số hạng thứ nhất là biến đổi Laplace của đáp ứng trạng thái 0

- Số hạng thứ hai là biến đổi Laplace của đầu ra khi điều kiện đầu khác 0 và tín hiệu vào bằng 0, tức đây chính là đáp ứng đầu vào 0 Dạng của các thành phần của đáp ứng đầu vào 0 phụ thuộc vào điểm cực của hàm truyền đạt Tử số của hàm truyền đạt không có ảnh hưởng

gì đến đáp ứng đầu vào không, do đó điểm không của hàm truyền đạt không có ảnh hưởng gì đến đáp ứng đầu vào 0