Tài liệu Chương 6 - Biến đổi Laplace và áp dụng trong phân tích hệ thống docx

Miền hội tụ ROC của biến đổi Laplace là mộtvùng trong mặt phẳng s sao cho với các giá trị của s trong miền này thì biến đổi Laplace hội tụ.. Ví dụ: Miền hội tụ của biến đổi Laplace của t

CHƯƠNG VI BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ ÁP DỤNG TRONG PHÂN TÍCH HỆ THỐNG

Lê Vũ Hà

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Trường Đại học Công nghệ

2009

Biến đổi Laplace của một tín hiệu x(t) được định

nghĩa như sau:

Miền hội tụ (ROC) của biến đổi Laplace là một

vùng trong mặt phẳng s sao cho với các giá trị của s trong miền này thì biến đổi Laplace hội tụ.

Ví dụ:

Miền hội tụ của biến đổi Laplace của tín hiệu u(t) là nửa bên phải trục jω của mặt phẳng s.

Miền hội tụ của biến đổi Laplace của tín hiệu

x(t) = −u(−t) là nửa bên trái trục jω của mặt phẳng s.

Hai tín hiệu khác nhau có thể có biến đổi

Laplace giống nhau, nhưng khi đó miền hội tụcủa chúng phải khác nhau

Miền hội tụ của biến đổi Laplace chỉ phụ thuộc

vào phần thực của biến s.

Miền hội tụ của biến đổi Laplace phải không

chứa các trị cực

Nếu một tín hiệu có độ dài hữu hạn và tồn tại ít

nhất một giá trị của s để biến đổi Laplace của

tín hiệu đó hội tụ thì miền hội tụ của biến đổi

Laplace khi đó là toàn bộ mặt phẳng s.

Nếu một tín hiệu thuận có miền hội tụ của biến

mặt phẳng s.

Nếu một tín hiệu nghịch có miền hội tụ của biến

phẳng s.

Co giãn trục thời gian:

Biến đổi Laplace của tích chập:

L[x1(t) ∗ x2(t)] = X1(s)X(s)

Định lý về giá trị khởi đầu: nếu x(t) là một tín hiệu nhân quả và liên tục tại t = 0, ta có

Phương pháp khai triển phân thức tối giản

Không giảm tổng quát, giả sử X (s) được biểu diễn dưới dạng phân thức N(s)/D(s), ở đó N(s)

và D(s) là các đa thức với bậc của N(s) ≤ bậc của D(s).

nghiệm của phương trình D(s) = 0.

Phương pháp khai triển phân thức tối giản (tiếp)

khai triển được thành tổng của các phân thức ởdạng tối giản:

Phương pháp khai triển phân thức tối giản (tiếp)

s=s pk

Biến đổi Fourier nghịch của các phân thức tối giản

Xem xét một hệ thống tuyến tính bất biến có đáp

ứng xung h(t), nghĩa là:

y(t) = h(t) ∗ x(t)

Lấy biến đổi Laplace của cả hai vế của phươngtrình trên và áp dụng tính chất biến đổi Laplacecủa tích chập:

Y (s) = H(s)X (s) → H(s) = Y (s)

X (s) H(s) được gọi là hàm chuyển của hệ thống.

Một hệ thống tuyến tính bất biến biểu diễn đượcbằng một phương trình vi phân tuyến tính hệ sốhằng với dạng tổng quát như sau:

Hàm chuyển của hệ thống khi đó được xác địnhnhư sau:

nghịch:

y(t) = L−1[H(s)X (s)]

Ghép nối tiếp hai hệ thống:

Ghép song song hai hệ thống:

Hệ thống với phản hồi âm:

Hàm chuyển tổng hợp

H(s) = H1(s)/[1 + H1(s)H2(s)]

Hệ thống với phản hồi dương:

Hàm chuyển tổng hợp

H(s) = H1(s)/[1 − H1(s)H2(s)]

Biến đổi Laplace một phía cho tín hiệu x(t)

được định nghĩa như sau:

Phần lớn các tính chất của biến đổi Laplace mộtphía giống với biến đổi hai phía Khác biệt cơbản là tính chất của đạo hàm: