Phép biến đổi laplace và ứng dụng trong phương trình vi phân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ************* HOÀNG THỊ DƯ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tíc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

*************

HOÀNG THỊ DƯ

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ ỨNG DỤNG

TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN VĂN HÙNG

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận được hoàn thành tại khoa Toán, Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 Nhân dịp này, cho phép em gửi lời cảm ơn sâu sắc tới

TS Nguyễn Văn Hùng - người thầy trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ em

trong quá trình nghiên cứu và hình thành khóa luận này Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy giáo, cô giáo trong khoa, đặc biệt là trong tổ Giải tích và các bạn sinh viên khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện, giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Lần đầu được thực hiện công tác nghiên cứu khoa học nên việc trình bày khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và thiếu xót Em xin chân thành cảm ơn những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, Tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Hoàng Thị Dƣ

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp “Phép biến đổi Laplace và ứng dụng trong

phương trình vi phân” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hùng Em xin cam đoan khóa luận không trùng với bất kỳ

khóa luận nào khác

Trong quá trình làm khóa luận, em đã tham khảo một số tài liệu của một số tác giả đã nêu trong mục tài liệu tham khảo và kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, Tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Hoàng Thị Dư

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu Error! Bookmark not defined 4 Phương pháp nghiên cứu 1

5 Cấu trúc khóa luận 1

NỘI DUNG CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2

1.1 Số Phức 2

1.2 Một số khái niệm cơ bản của phương trình vi phân 3

1.2.1 Định nghĩa 3

1.2.2 Bài toán Cauchy 4

1.2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân 5

CHƯƠNG 2 BIẾN ĐỔI LAPLACE 6

2.1 Một số khái niệm mở đầu 6

2.1.1 Định nghĩa 6

2.1.2 Các ví dụ 6

2.2 Đòi hỏi tính liên tục 8

2.2.1 Định nghĩa 8

2.2.2 Các ví dụ 8

2.2.3 Định nghĩa 9

2.3 Sự hội tụ 9

2.3.1 Định nghĩa 9

2.3.2 Định nghĩa 9

2.3.3 Định nghĩa 10

2.4 Lớp L 10

2.4.1 Định nghĩa 10

2.4.2 Một số ví dụ 10

2.4.3 Định lý 11

2.5 Một số tính chất cơ bản của biến đổi Laplace 12

2.5.1 Tính chất tuyến tính 12

2.5.2 Tính chất đồng dạng 12

2.5.3 Tính chất dời theo s 12

2.5.4 Tính chất dời theo t 13

2.5.5 Các ví dụ 13

2.6 Biến đổi Laplace ngược 15

2.6.1 Một số khái niệm 15

2.6.2 Định lý (Lerch) 16

2.6.3 Một số phương pháp tìm hàm gốc 17

2.7 Đạo hàm và tích phân của biến đổi Laplace 22

2.7.1 Đạo hàm của biến đổi Laplace 22

2.7.2 Tích phân của biến đổi Laplace 23

2.7.3 Một số ví dụ 23

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 25

3.1 Biến đổi Laplace của đạo hàm 25

3.1.1 Định lý 25

3.1.2 Các ví dụ 26

3.1.3 Định lý 27

3.2 Phương trình vi phân với hệ số hằng số 28

3.2.1 Phương trình vi phân với điều kiện đầu 28

3.2.2 Các ví dụ 28

3.2.3 Nghiệm tổng quát 33

3.2.4 Phương trình vi phân với điều kiện biên 38

3.3 Phương trình vi phân với hệ số đa thức 39

KẾT LUẬN 49

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

Do vậy mà em chọn đề tài: “Phép biến đổi Laplace và ứng dụng

trong phương trình vi phân” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp đại học

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học đồng thời muốn đi sâu, tìm tòi, nghiên cứu phép biến đổi Laplace và ứng dụng của

nó trong việc giải phương trình vi phân

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đề tài chủ yếu tập trung nghiên cứu phép biến đổi Laplace và một vài ứng dụng củanó trên cơ sở thao tác đối với hàm một biến để tìm biến đổi Laplace, biến đổi Laplace ngược của một số hàm số Vận dụng phép biến đổi Laplace để giải một số phương trình vi phân thường

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp và đánh giá

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm 3 chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Biến đổi Laplace

Chương 3 Ứng dụng phép biến đổi Laplace trong phương trình vi

phân

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Số Phức

Định nghĩa Số phức là số có dạng z x iy  ; với ,x y và i là đơn vị ảo mà 2

Với mỗi điểm M x y( , ) 2có thể được coi là một số phức nếu đồng

nhất nó với z x iy   qua phép tương ứng 1 – 1:

 2

z  x iy ( , )x y

Mặt phẳng 2cùng với một tương ứng như vậy được gọi là mặt phẳng phức

Người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo

Phép cộng và phép nhân các số phức được thực hiện một cách thông thường như các phép toán trên tập hợp các số thực với 2

1

i   Tức là với 2 số phức bất kỳ z1 x1 iy z1, 2 x2iy2 thì

Cho z  x iy , khi đó z x iy   được gọi là số phức liên hợp

của số phức z và z  x +y2 2  zz được gọi là môđun của số phức z

Khi đó, ta dễ dàng kiểm tra được

Re

được gọi là argument của z Kí hiệu là arg z (argument của số phức z

được xác định một cách duy nhất với sự sai khác một bội của 2π )

Khi đó mọi số phức z0 đều có thể viết dưới dạng

Trong khóa luận này, chúng tôi chỉ xét phương trình vi phân thường

Vậy phương trình vi phân thường cấp n có dạng tổng quát

( ) '

x y y y  nhưng y( )n nhất thiết phải có mặt

Nếu từ (1.1) có thể giải ra được đạo hàm cấp cao nhất, tức là phương trình (1.1) có dạng

ii) Nó nghiệm đúng phương trình (1.1) trên ( , )a b

Đồ thị của hàm ( ) x cho ta một đường cong trong G và được gọi là

đường cong tích phân của phương trình đã cho

1.2.2 Bài toán Cauchy

Trong thực tế người ta thường quan tâm đến nghiệm của phương trình vi phân thỏa mãn những điều kiện nào đấy Chẳng hạn tìm nghiệm ( )

y x của phương trình (1.1) hoặc (1.2) thỏa mãn điều kiện

( )

o o

y  y x , y'o  (y x' o), …, y o( -1)n  y( -1)n (x o), (1.3) trong đó ' ( 1)

1.2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân

Ở đây, chúng tôi chỉ giới thiệu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân Việc chứng minh định lý này, chúng ta có thể tham khảo trong tài liệu trích dẫn [3]

Định lý 1.1 (Định lý tồn tại duy nhất nghiệm)

( ,x y y o o, o, ,y o n ) G, tồn tại duy nhất nghiệm yy x( ) của phương trình (1.2) và thỏa mãn điều kiện đầu (1.3)

CHƯƠNG 2 BIẾN ĐỔI LAPLACE

2.1 Một số khái niệm mở đầu

hội tụ ít nhất đối với một số phức s , thì khi đó ảnh của hàm f qua biến

đổi Laplace là hàm F được định nghĩa bởi tích phân sau

Kí hiệu L f[ ] là biến đổi Laplace của hàm ,f và tích phân trên là tích

phân Riemann thông thường với cận vô tận Hàm F s( ) được gọi là hàm

ảnh của biến đổi Laplace, tham số s là một số thực hoặc số phức, hàm

( )

f t được gọi là hàm gốc Phép biến đổi Laplace được gọi là thực hay

phức nếu biến số s của hàm ảnh ( ) F s là thực hay phức

( - ) ( - )

Giải Xét hàm ( ) t xác định bởi công thức 1

2.3.3 Định nghĩa

Tích phân (2.1) được gọi là hội tụ đều đối với s trong một miền Ω

nào đó của mặt phẳng phức nếu với mỗi  0tồn tại số o sao cho với mọi   ota có

mũ 0 Tuy nhiên hàm f t( )e t2không có bậc mũ

Bây giờ ta sẽ chỉ ra một lớp lớn các hàm có biến đổi Laplace

2.4.3 Định lý

Nếu f liên tục từng khúc trên đoạn [0, ) và có bậc mũ λ, thì biến

đổi Laplace tồn tại và hội tụ tuyệt đối với Res

Hơn nữa, hàm f liên tục từng khúc trên đoạn [0, ] t , nên bị chặn trên o

đoạn đó, tức là tồn tại số dương M sao cho 2

2

( )

f t M ; với mọi t[0, ]t o Bởi vì, hàm etcó một cực tiểu dương trên đoạn [0, ]t , nên ta có thể o

chọn được một hằng số dương M đủ lớn sao cho

( )

2.5 Một số tính chất cơ bản của biến đổi Laplace

Giải Theo tính chất tuyến tính của biến đổi Laplace ta có

Ví dụ 2.11 Tìm biến đổi Laplace của hàm sau

Ta có g t( )cost a,  , g t a(  ) cos t( ) - cost Áp dụng tính

chất dời theo t của biến đổi Laplace ta có

* Tính chất của biến đổi Laplace ngược (tính chất tuyến tính)

c f t



 Tính chất này được suy ra từ tính chất tuyến tính của L và đẳng thức được xác định trong miền xác đinh chung của các F k

Bây giờ ta sẽ chỉ ra những điều kiện để tồn tại hàm gốc và chứng minh rằng nếu hàm gốc tồn tại là duy nhất

s  Khi đó ta sẽ có hàm gốc cần tìm là 1  -1 -1

- Theo tính chất chuyển dời theo s của biến đổi Laplace

Muốn tìm hàm gốc của hàm có dạng ( - )F s a ta chỉ việc tìm hàm gốc

- Theo tính chất chuyển dời theo t của biến đổi Laplace

Muốn tìm hàm gốc của hàm có dạng e-as F s ta chỉ việc tìm hàm gốc ( )của ( )F s là ( )f t Khi đó ta sẽ có hàm gốc cần tìm là f t a u t( - ) a( )

b) Sử dụng kết quả của biến đổi thuận và tính duy nhất của biến đổi ngược

Ví dụ 2.14 Hàm bước nhảy đơn vị

c) Khai triển chuỗi lũy thừa đối với hàm ảnh

Giả sử hàm ảnh của biến đổi Laplace có thể khai triển chuỗi lũy thừa theo s

Trước tiên ta sẽ chứng minh bằng quy nạp

-1

0

!

A B C





2.7 Đạo hàm và tích phân của biến đổi Laplace

2.7.1 Đạo hàm của biến đổi Laplace

Cho f là một hàm liên tục từng khúc trên [0, ) có bậc mũ  và

d

ds    với n = 1, 2, 3, … và s  (2.4)

Đạo hàm lặp lại liên tiếp cho ta công thức (2.4)

2.7.2 Tích phân của biến đổi Laplace

Cho f là một hàm liên tục từng khúc trên [0, ) có bậc mũ  và [ ( )] ( )

L f t  F s Khi đó nếu tồn tại

0

( )lim

t

f t t



 thì ( )

Ví dụ 2.20 Tìm biến đổi Laplace của hàm ( ) 1

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG

Điều này nghĩa là (3.1) đúng với n1

Giả sử (3.1) đúng với n N * Khi đó

N N

Lưu ý rằng nếu trong công thức (3.1), (0)f = 0 thì công thức đó còn được viết dưới dạng

1'( ) [ ( )]

-1

'[ ( )] [ ( )] - (0) - st ( ( ) - ( )),

Chứng minh Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được

1

-1 -

Nếu hàm f có hữu hạn điểm gián đoạn nhảy 0  t o t1 t n , thì công thức trên trở thành



3.2 Phương trình vi phân với hệ số hằng số

3.2.1 Phương trình vi phân với điều kiện đầu

Phương pháp biến đổi Laplace đối với việc giải phương trình vi phân

có thể tổng quát hóa theo các bước sau :

Bước 1 Lấy biến đổi Laplace cả hai vế của phương trình Các kết quả nhận được gọi là biến đổi phương trình

Bước 2 Thu được phương trình [ ]L y F s( ) với F s( ) là một biểu thức

đại số đối với biến s

Bước 3 Sử dụng các kết quả của biến đổi Laplace ngược để suy ra nghiệm của phương trình 1

Thay các điều kiện đầu của phương trình vào ta được

Từ tính chất tuyến tính của biến đổi Laplace ngược và các hàm gốc

đã biết ở trên đây, ta nhận được nghiệm của phương trình cần tìm là

2

6 24(4s - 1) [ ] - 8(L y s 1) -

 

Từ tính chất tuyến tính của biến đổi Laplace ngược và các hàm gốc

đã biết ở trên đây, ta nhận được nghiệm của phương trình cần tìm là

Từ tính chất tuyến tính của biến đổi Laplace ngược và bảng đối chiếu gốc - ảnh, ta nhận được nghiệm của phương trình cần tìm là

Ví dụ 3.7 Giải phương trình vi phân

Ví dụ 3.8 Giải phương trình vi phân

-2

1'

hay

21

Tổng quát phương pháp biến đổi Laplace được chứng minh ở trên có

thể áp dụng với phương trình vi phân tuyến tính cấp n với hệ số hằng số,

nghĩa là có thể giải được đối với phương trình

-1 -1 -1 o ( )

Với mỗi giá trị của y(0), (0)y' ta tìm được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

Với mỗi giá trị của y(0), y'(0) ta tìm được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

Với mỗi giá trị của y(0), y(0) ta tìm được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

Với mỗi giá trị của '

Từ tính chất tuyến tính của biến đổi Laplace ngược và bảng đối chiếu gốc - ảnh, ta nhận được nghiệm của phương trình cần tìm là

3.2.4 Phương trình vi phân với điều kiện biên

Bài toán giải phương trình vi phân với giá trị biên cũng tuân theo phương pháp giải của biến đổi Laplace

Ví dụ 3.14 Giải phương trình vi phân

(s 1) [ ]L y (0)sy y(0)

s

Thay điều kiện đầu vào và từ đó ta suy ra

Từ tính chất tuyến tính của biến đổi Laplace ngược và các hàm gốc

đã biết ở trên đây, ta nhận được

3.3 Phương trình vi phân với hệ số đa thức

Theo định lý 2.7.1, nếu hàm ( )y t liên tục từng khúc trên [0, ) , có bậc mũ  thì

n

n n n

d

ds     với ( )F s L f t[ ( )], sKhi n1 ta được [ ( )]L ty t -F s( ) Hơn nữa nếu y t cũng thỏa ' 

mãn các giả thiết của định lý thì khi đó ta có

L ty t L ty t L ty t thường được sử dụng trong

nhiều trường hợp để giải phương trình vi phân tuyến tính với hệ số đa thức

Ví dụ 3.15 Giải phương trình vi phân

Từ đó suy ra

2 -

Ngoài ra chúng ta cũng chú ý thêm rằng, trong trường hợp phương trình vi phân có một điểm kì dị chính quy thì biến đổi Laplace của đạo hàm không tồn tại và khi đó, phương pháp biến đổi Laplace có thể cho ta nghiệm bị chặn tại gốc

Ví dụ 3.16 Giải phương trình vi phân

Phụ lục Bảng đối chiếu gốc - ảnh

n

n n

2 2

s

2 2( - ) -

a

2 2( - )

a

- ( - ) -

as

2 2

2 2 2( - )

-as

e

a

BÀI TẬP THAM KHẢO

Bài 1 Giải các phương trình vi phân sau

ye

e)y(4)2y' 2cost với y(0) 2; y'(0)  1; (0) y''  (0) y'''  0 ĐS: y t tsint2cost

f)y''2y' 2yte-t với y(0) y'(0)0 ĐS:  t(  )

Bài 2 Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình vi phân sau

KẾT LUẬN

Trên đây là toàn bộ nội dung của khóa luận tốt nghiệp “Phép biến

đổi Laplace và ứng dụng trong phương trình vi phân ” Khóa luận đã

giải quyết được những vấn đề sau: Trình bày một số kiến thức căn bản

về số phức, mặt phẳng phức, một số kiến thức căn bản nhất về phương trình vi phân thường nhằm phục vụ cho việc sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân, hệ thống lý thuyết về biến đổi Laplace, biến đổi Laplace đối với đạo hàm cho trước để giải một số phương trình vi phân thường

Vì kiến thức và thời gian còn hạn chế nên không thể tránh khỏi những sai sót nội dung và hình thức Em rất mong nhận được sự góp ý, chỉ bảo của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của

em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, Tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Hoàng Thị Dư

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Kim Đính (1998), Phép Biến Đổi Laplace , NXB Khoa Học

Và Kỹ Thuật

[2] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2003), Cơ sở phương trình vi phân và

lý thuyết ổn định , NXB Giáo Dục

[3] Nguyễn Thế Hoàn, Trần Văn Nhung (1979) , Bài Tập Phương Trình

Vi Phân , NXB Đại Học Và Trung Học Chuyên Nghiệp

[4] Nguyễn Văn Hùng, Lê Văn Trực (2007), Phương Pháp Toán Cho

Vật Lý - Tập 1 , NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội

[5] Lê Văn Trực, Nguyễn Văn Thỏa (2008), Phương Pháp Toán Cho

Vật Lý - Tập 2 , NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội

[6] J L Schiff (1998), The Laplace Transfrom, Springer – Verlag