PHÂN TÍCH TẦN SỐ CHO TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG

PHÂN TÍCH TẦN SỐ CHO TÍN HIỆU VÀ HỆTHỐNG

đó

Tuy nhiên, các đặc điểm của tín hiệu và hệ thống không chỉ thay đổi theo thời gian mà còn thay đổi theo cả tần số, nói cách khác các đặc điểm này cũng là hàm theo tần số Ta gọi các hàm theo tần số này là biểu diễn tần số (frequency-domain representation) Cả biểu diễn thời gian và biểu diễn tần số đều cần thiết cho bài toán phân tích tín hiệu và hệ thống Có những trường hợp, biểu diễn thời gian không chỉ ra được các thông tin cần thiết, nhưng cũng có lúc,

có những thông tin cần thiết không thể rút ra được từ biểu diễn tần số

Chương này trình bày về biểu diễn tần số của tín hiệu và hệ thống Từ biểu diễn tần số này, ta

có thể phân tích tần số cho tín hiệu và hệ thống Nội dung chính gồm ba phần:

1 Lý thuyết chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier Đây là cơ sở lý thuyết của việc biểu diễn tần số cho tín hiệu và hệ thống

2 Phân tích tần số cho tín hiệu. Việc phân tích ở đây dựa vào mô hình toán học biểu diễn tín hiệu trong miền tần số- đó là phổ tần số Phần này gồm:

- Định nghĩa phổ tín hiệu

- Các đặc điểm của phổ

- Các đặc trưng của tín hiệu trong miền tần số

3 Phân tích tần số cho hệ thống. Việc phân tích ở đây dựa vào mô hình toán học biểu diễn

hệ thống trong miền tần số- đó là đáp ứng tần số Phần này gồm:

- Định nghĩa đáp ứng tần số

- Các đặc trưng của hệ thống trong miền tần số

- Cách xác định đáp ứng tần số

3.1 BIỂU DIỄN CHUỖI FOURIER CỦA TÍN HIỆU

Trong mục 2.3.2, ta đã xét cách biểu diễn tín hiệu x(t) trong một khoảng thời gian t1 < t < t2

dưới dạng chuỗi Fourier tổng quát Ta thấy, việc biểu diễn này yêu cầu ta trước hết phải chọn các tín hiệu cơ sở là các hàm trực giao (thực hoặc phức), sau đó tính hệ số An sao cho tích phân bình phương sai số xấp xỉ là nhỏ nhất

3.1.1 Chọn tín hiệu cơ sở

Ta xét tập tín hiệu sau:

K,2,1,0n,e

)t( j 2 ( nf t

Các tín hiệu này là tín hiệu phức và trực giao nhau trong khoảng thời gian T1

Chứng minh:

φ

1 1 1

T t

t

n

* m

mndt

)t()t(

1

T t

t

t nf 2 j T

t

t

t nf 2 j

1 1 1 1

1 1 1

=

+ π

Như vậy, tập tín hiệu φn(t) vừa xét trên đủ điều kiện để làm tín hiệu cơ sở để khai triển Fourier cho tín hiệu x(t) trong khoảng thời gian T1:

t1 < t < t1 + T1 (gọi là khoảng khai triển)

Theo mục 2.3.2, ta có tín hiệu xấp xỉ của tín hiệu x(t) trong khoảng t1 < t < t1 + T1 là:

ne 1A)

t(x

1

T t

t

t nf 2 j 1

t

t

* n n

T

1dt)t()t(x

1A

Theo Fourier, nếu tín hiệu x(t) có năng lượng hữu hạn trong khoảng t1 < t < t1 + T1 thì khai triển chuỗi Fourier của x(t) trong khoảng đó tồn tại

Cũng theo Fourier, nếu x(t) thỏa điều kiện Dirichlet thì x∧(t) sẽ tiến gần đến x(t) trong khoảng t1 < t < t1 + T1 :

1 1 1

n

t nf 2 j

ne t t t TA

)t(x)t(

2 Tín hiệu x(t) có số điểm cực đại và cực tiểu trong khoảng khai triển là hữu hạn

3 Tín hiệu x(t) có số điểm gián đoạn trong khoảng khai triển là hữu hạn

3.1.3 Các đặc điểm của chuỗi Fourier hàm mũ phức

1 Tính tuần hoàn của chuỗi Fourier

Trong chuỗi Fourier hàm mũ phức, ta thấy:

- Tín hiệu cơ sở φn(t)tuần hoàn với chu kỳ là 1/|n|f1 = T1/|n|, tần số là |n|f1 và tạo ra 1/|n| chu kỳ trong khoảng khai triển Khi |n| = 1 thì tần số là f1 và chỉ có 1 chu kỳ trong khoảng khai triển Ta gọi f1 là tần số cơ bản (fundamental frequency) của )x∧(t Tần số |n|f1 được gọi là tần số hài của )x∧(t

- Vì trong khoảng khai triển cóφ0(t)= 1 là hằng số và ta có số chu kỳ của φn(t)là số nguyên với mọi |n| > 0 nên tất cả các φn(t)lặp lại ở bên ngoài khoảng khai triển Vậy, )x∧(t được lặp lại ở bên ngoài khoảng khai triển và tuần hoàn với chu kỳ T1

Tóm lại, )x∧(t = x(t) ở trong khoảng khai triển và tuần hoàn với chu kỳ T1 ở bên ngoài khoảng khai triển Như vậy chuỗi Fourier hội tụ về một tín hiệu tuần hoàn là mở rộng tuần hoàn của một đoạn tín hiệu trong khoảng khai triển Hình vẽ sau minh họa cho điều này:

Vậy, nếu ta có tín hiệu x(t) tuần hoàn và thỏa điều kiện Dirichlet thì khai triển chuỗi Fourier của x(t) là:

dte

)t(xT

1A

te

A)

t(x

0 1 1

0

0

T t

t

t nf 2 j 0

n n

t nf 2 j n

-A 2A

2 Tính chất của hệ số Fourier X n

- Khi n = 0, hệ số Fourier là:

Đây chính là giá trị trung bình của x(t) trong khoảng khai triển

- Nếu tín hiệu x(t) là tín hiệu thực thì biên độ của các hệ số Fourier là hàm chẵn theo n

và pha là hàm lẻ theo n:

n n

n n

AA

AA

t 1

0 x(t)dtT

1A

3.1.4 Chuỗi Fourier dạng cosin

Trường hợp tín hiệu khai triển là tín hiệu thực, ta có thể chuyển chuỗi Fourier hàm mũ phức

về chuỗi Fourier dạng cosin:

)Atnf2(osc

|A

|2A)t(

1 n n

=

∧

Tín hiệu tuần hoàn có thể xem là tổng của vô số hàm cosin, biên độ là 2|An|, pha là ∠An, tần

số là hài của tần số cơ bản nf1 Ngoài cách biểu diễn tín hiệu tuần hoàn là hàm theo thời gian,

ta còn có thể biểu diễn tín hiệu tuần hoàn thông qua cặp thông số |An| và ∠An Ta gọi cách biểu diễn này là biểu diễn tần số hay là biểu diễn theo phương pháp phổ (spectrum)

3.2 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

Như trên ta thấy chuỗi Fourier là mở rộng tuần hoàn của một đoạn tín hiệu trong khoảng khai triển và không giống tín hiệu không tuần hoàn Như vậy, ta chỉ có thể dùng chuỗi Fourier để biểu diễn tần số cho tín hiệu tuần hoàn chứ không dùng được cho tín hiệu không tuần hoàn Với tín hiệu không tuần hoàn, ta dùng một phương pháp khác- đó là chuỗi Fourier

3.2.1 Xây dựng công thức tính biến đổi Fourier của tín hiệu năng lượng không tuần hoàn

Ta xét tín hiệu không tuần hoàn x(t) thỏa điều kiện Dirichlet Như vậy, có thể khai triển Fourier cho x(t) trong một khoảng –T/2 < t < T/2 bất kỳ, nghĩa là:

dte

)t(xT

1A

2/Tt2/T),t(xe

A)

t(x

t nf 2 j 2 / T

2 / T n

n

t nf 2 j n

Bên ngoài khoảng –T/2 < t < T/2, x∧(t) lặp lại tuần hoàn với chu kỳ T Như vậy, ta có thể suy

ra biểu diễn tần số của tín hiệu không tuần hoàn từ biểu diễn tần số của tín hiệu tuần hoàn bằng cách cho T→∞

Khi T→∞, các vạch phổ sẽ tiến đến rất gần nhau, khoảng cách giữa hai vạch phổ sẽ vô cùng bé, phổ rời rạc trở thành phổ liên tục Lúc đó ta có các giới hạn sau:

1

f0 = → , fnf0 → , An →A( )

Áp dụng các giới hạn này vào công thức khai triển Fourier của tín hiệu tuần hoàn, ta được:

dfdte)t(xdte

)t(xT

1limA

lim)(

2 / T

2 / T T n T

(

Hàm X(f) này chính là biểu diễn tần số của x(t) hay là phổ của x(t) X(f) còn được gọi là

phép biến đổi Fourier (Fourier transform) của x(t)

Phổ X(f) hoàn toàn đặc trưng cho tín hiệu x(t) nên ta có thể tìm được x(t) từ X(f) qua một phép biến đổi gọi là biến đổi Fourier ngược (inverse Fourier transform)

Để tìm biểu thức tính biến đổi Fourier ngược, ta cũng thực hiện tương tự như tìm biểu thức tính biến đổi Fourier Ta tìm biến đổi Fourier ngược của X(f) từ biểu thức khai triển chuỗi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn x∧(t) với giới hạn T→∞ như sau:

t(

n

t nf 2 j n T

T

0

Tóm lại, cặp công thức tính biến đổi Fourier và Fourier ngược là:

{ } {X( )}

FTdfe)(X)t(x

)t(xFTdte)t(x)(X

1 ft

2 j

ft 2 j

t(

x ←⎯→F

Ta cũng có thể biểu diễn phép biến đổi Fourier là hàm theo ω=2πf

3.2.2 Tính chất của biến đổi Fourier

Các tính chất của biến đổi Fourier rất hiệu quả trong việc tính biến đổi Fourier của các tín hiệu phức tạp Sau đây ta xét một số tính chất thông dụng

1 Tính tuyến tính

Nếu

)(X)

t(

x ←⎯→F và y(t)←⎯→F Y( )Thì

)(bY)(aX)

t(by)t(

Ta hay dùng tính chất này để tính biến đổi Fourier của các tín hiệu mà có thể phân tích được thành tổng của các tín hiệu đơn giản

2 Thay đổi thang thời gian

Nếu

)(X)

t(

x ←⎯→F Thì

|a

|

1)

at(

3 Đảo thời gian

Nếu

)(X)

t(

x ←⎯→F Thì

)(X)

t(

x − ←⎯→F −

4 Dịch thời gian

Nếu

)(X)

t(

x ←⎯→F Thì

0

ft 2 j F

0) X( )et

t(

5 Tính tương hỗ

Nếu

)(X)

t(

x ←⎯→F Thì

)(x)

t(

X ←⎯→F −

5 Điều chế

Nếu

)(X)

t(

x ←⎯→F Thì

)ffX2

1)ffX2

1)

tf2cos(

)t(

t(

x ←⎯→F và y(t)←⎯→F Y( )Thì

)(Y)

fX)

t(y)t(

3.2.3 Biến đổi Fourier của tín hiệu không phải là tín hiệu năng lượng

Ta đã xét biến đổi Fourier đối với các tín hiệu năng lượng Đối với tín hiệu không phải là tín hiệu năng lượng, ta có thể sử dụng biến đổi Fourier trong một giới hạn nào đó

1 Phép biến đổi Fourier của tín hiệu xung delta

fA)

t(

Aδ ←⎯→F ∀

Do tính tương hỗ giữa miền thời gian và tần số nên ta có thể suy ra:

)(A

t

A ∀ ←⎯→F δ

2 Phép biến đổi Fourier của tín hiệu bước nhảy đơn vị

Ta tìm biến đổi Fourier của tín hiệu bước nhảy đơn vị từ biến đổi Fourier của hàm dấu Ta định nghĩa hàm dấu như sau:

0t1)tsgn(

Biến đổi Fourier của hàm dấu là:

fj1)

tsgn( ←⎯→F π

Quan hệ giữa hàm dấu và bước nhảy đơn vị là:

2

)tsgn(

2

1)t(

Do đó:

f2j

1)(2

1)

t(

π+δ

⎯→

←

4 Phép biến đổi Fourier của tín hiệu cos

)ff2

1)ff2

1)

tf2

a ←⎯→ δ − + δ +π

5 Phép biến đổi Fourier của tín hiệu tuần hoàn

Ta đã biết rằng ta có thể biểu diễn tín hiệu thực tuần hoàn dưới dạng chuỗi Fourier

Ta xét tín hiệu )x∧(t thỏa điều kiện Dirichlet và tuần hoàn với chu kỳ T0 Khai triển Fourier cho tín hiệu )x∧(t :

ne 0A)

t(x

n

t nf 2 j

ne A f nf )A

FT)

t(xFT)(

ở đây An được tính theo công thức tính hệ số Fourier dã xét

Ngoài ra, ta còn cách khác để tính An như sau:

)nf(XT

3.3 PHÂN TÍCH TẦN SỐ CHO TÍN HIỆU LIÊN TỤC

Việc phân tích ở đây dựa vào mô hình toán học biểu diễn tín hiệu trong miền tần số- đó là phổ tần số

3.3.1 Giới thiệu về phổ tần số

Như đã trình bày ở phần trên, phổ tần số (hay nói ngắn gọn là phổ) chính là một hàm biểu diễn các đặc trưng của tín hiệu theo biến tần số Ta tìm phổ của tín hiệu bằng cách tính biến đổi Fourier của tín hiệu đó:

{ }x(t) x(t)e dtFT

)(

Để hiểu hơn về phổ tín hiệu, ta xét ví dụ đơn giản về phổ của tín hiệu cosine sau:

)tf2cos(

A)t(

Tín hiệu x(t) là tín hiệu tuần hoàn nên phổ có dạng phổ vạch, ở đây phổ biên độ có duy nhất một vạch giá trị là Ax và phổ pha cũng có duy nhất một vạch giá trị là θx Cả phổ biên độ và phổ pha đều nằm ở vị trí fx trên trục tần số Phổ trong trường hợp này được gọi là phổ một

phía (single-sided spectrum) vì chúng chỉ có giá trị tại các tần số dương

Dùng công thức Euler, có thể viết tín hiệu cosine trên ở dạng tổng của hai phasor ở hai tần số đối xứng fx và –fx sau:

t ) f ( 2 j j x t f 2 j j

x x x e x e x

2

Ae

e2

A)t(

x =⎢⎣⎡ θ ⎥⎦⎤ π +⎢⎣⎡ −θ ⎥⎦⎤ π−Phần trong dấu ngoặc vuông trên là phasor Ta thấy có thể xác định tín hiệu x(t) dựa vào biên

độ và pha của hai phasor trên tại hai tần số fx và –fx Ta cũng gọi biên độ và pha của các phasor là phổ biên độ và phổ pha Do chúng có mặt ở cả hai phía tần số dương và âm nên được gọi là phổ hai phía (double-sided spectrum)

Ta minh họa phổ biên độ và phổ pha một phía và hai phía qua hình vẽ sau:

Ta thấy phổ biên độ hai phía là hàm chẵn và phổ pha hai phía là hàm lẻ theo tần số Phổ hai phía thuận tiện và dễ dàng hơn cho tính toán nên phần nhiều ta sẽ dùng phổ hai phía

Biên độ của tín hiệu cosine gấp đôi giá trị của phổ biên độ hai phía bên phía tần số dương Pha của tín hiệu cosine bằng giá trị của phổ pha hai phía bên phía tần số dương Vậy có thể

dễ dàng xác định được biên độ và pha của tín hiệu cosine từ phổ hai phía

Cần lưu ý là phổ hai phía không có nghĩa là trong thực tế có tồn tại tần số âm Tần số âm xuất hiện ở đây chỉ là do cách kết quả toán học từ việc biểu diễn tín hiệu cosine dưới dạng phasor mà thôi

3.3.3 Các đặc trưng của tín hiệu theo tần số

Phổ là hàm biểu diễn tín hiệu theo tần số, do đó phổ hoàn toàn đặc trưng cho tín hiệu trong miền tần số Từ phổ tín hiệu, ta có thể xác định được các đặc trưng cho tín hiệu như băng thông, năng lượng và công suất của tín hiệu

1 Băng thông của tín hiệu

Băng thông của tín hiệu (signal bandwidth) là bề rộng của dải tần số mà phổ chiếm trên trục

tần số Ta có thể xác định băng thông tín hiệu dựa vào phổ biên độ Ví dụ phổ biên độ của một tín hiệu nằm trong dải tần số từ 10 Hz đến 20 Hz, ta nói băng thông của tín hiệu đó là:

B = 20 – 10 = 10 (Hz) Khi thiết kế hệ thống ta phải quan tâm đến băng thông của các tín hiệu truyền qua hệ thống hay là có mặt trong hệ thống để đảm bảo không có thông tin nào trong tín hiệu bị mất mát

Về lý thuyết, băng thông của tín hiệu rất lớn, có thể lớn đến vô cùng Tuy nhiên, trong thực

tế, ta thấy hầu hết năng lượng tín hiệu đều tập trung trong một dải tần nào đó gọi là băng

thông có nghĩa (significant-signal bandwidth), ký hiệu là B và được xác định như sau:

Băng thông B của tín hiệu liên tục là sai khác giữa hai tần số dương sao cho trong khoảng đó phổ biên độ lớn hơn hay bằng α lần phổ biên độ cực đại Hệ số α được chọn tùy ý dựa vào ứng dụng Thường chọn 0.707

2

1 ≈

=

α băng thông tương ứng được gọi là băng thông -3dB

2 Mật độ phổ năng lượng của tín hiệu

Mật độ phổ năng lượng ESD (Energy Spectral Density) của tín hiệu là năng lượng của tín

hiệu trong một đơn vị tần số Khi ta lấy tích phân của mật độ phổ năng lượng trên suốt trục tần số, ta sẽ nhận được năng lượng tín hiệu

Ta xét hàm:

2

)(X)(

Ta thấy:

x 2

2

Edt)t(xdf)(Xdf

)(

Vậy G(f) chính là mật độ phổ năng lượng của tín hiệu

Từ G(f) ta có thể xác định được năng lượng của tín hiệu trong một dải tần số từ f1 đến f2 nào đó:

df)(Gdf)(GE

2 1 1

3 Mật độ phổ công suất của tín hiệu

Mật độ phổ năng lượng là chỉ dành cho tín hiệu năng lượng Đối với tín hiệu công suất, ta

dùng mật độ phổ công suất PSD (Power Spectral Density) Đó là hàm công suất của tín hiệu

trong một đơn vị tần số Khi ta lấy tích phân của mật độ phổ công suất trên suốt trục tần số,

ta sẽ nhận được công suất tín hiệu

=τ

T

T x (t)x(t )dtT

2

1limFT)(RFT)(S

Ta có:

x

Pdf)(

Vậy hàm S(f) là mật độ phổ công suất của tín hiệu

Từ S(f) ta có thể xác định được công suất của tín hiệu trong một dải tần số từ f1 đến f2 nào đó:

df)(Sdf)(SP

2 1 1

3.4 PHÂN TÍCH TẦN SỐ CHO HỆ THỐNG LIÊN TỤC

Trong phần này, ta chỉ xét hệ tuyến tính bất biến có các điều kiện đầu bằng 0 Việc phân tích

hệ thống sẽ cho phép ta xác định được phổ của đáp ứng trạng thái 0 của hệ thống từ các đặc điểm của hệ thống và phổ của tín hiệu vào Nó giúp cho ta quan sát được ảnh hưởng của hệ thống lên tín hiệu thông qua xem xét các đặc trưng của hệ thống là hàm theo tần số

3.4.1 Định nghĩa đáp ứng tần số

Đáp ứng tần số (frequency response) là khái niệm cơ bản trong phân tích tần số cho hệ

thống, vì nó xác định các đặc điểm của hệ thống là hàm theo tần số Ta ký hiệu đáp ứng tần

số là H(f) và định nghĩa như sau:

Đáp ứng tần số của hệ thống tuyến tính bất biến là hàm theo tần số Nó tạo ra phổ của đáp ứng trạng thái 0 khi được nhân với phổ của tín hiệu vào

Theo định nghĩa ta có:

Y(f) = X(f).H(f) Đáp ứng tần số tồn tại khi điều kiện sau thỏa mãn:

Phổ Y(f) tồn tại khi phổ X(f) tồn tại Điều này chỉ xảy ra khi hệ ổn định BIBO Như vậy, đáp ứng tần số của hệ ổn định BIBO là luôn luôn tồn tại

Ta có thể viết lại quan hệ trên như sau:

H(f) = Y(f)/X(f) Vậy, đáp ứng tần số chính là tỷ số của phổ tín hiệu ra và phổ tín hiệu vào

Chuyển sang miền thời gian, dùng tính chất chập ta được:

y(t) = x(t)*h(t) Vậy,

H(f) = FT {h(t)}

Đáp ứng tần số chính là biến đổi Fourier của đáp ứng xung

3.4.2 Các đặc trưng của hệ thống theo tần số

Nếu ta biết đáp ứng tần số của hệ thống, ta hoàn toàn có thể xác định được ảnh hưởng của hệ thống lên tín hiệu khi tín hiệu truyền qua hệ thống Việc xét ảnh hưởng này được thực hiện dựa vào các đặc trưng của hệ thống theo tần số, như là đáp ứng biên độ, đáp ứng pha, băng thông của hệ thống, trễ pha, trễ nhóm

( X j )

( Y

j |X( )|e |H( )|ee

|)(Y

Từ đây ta suy ra: