PHÂN TÍCH THỜI GIAN CHO TÍN HIỆU VÀ HỆTHỐNG

Tín hiệu sin cũng rất hiệu quả trong việc tìm hiểu khái niệm tần số tín hiệu, đáp ứng tần số của hệ thống, băng thông của tín hiệu và hệ thống.. Tín hiệu hàm mũ được mô tả bởi: tt, 0 tt,

Nội dung chính chương này gồm hai phần:

1 Biểu diễn tín hiệu trong miền thời gian, gồm:

- Định nghĩa và đặc điểm của một số tín hiệu cơ bản

- Các đại lượng đặc trưng của tín hiệu như năng lượng và công suất

- Phương pháp biểu diễn tín hiệu trong một khoảng thời gian cho trước- cách biểu diễn ở đây là dùng chuỗi Fourier tổng quát

2 Phân tích thời gian cho hệ thống, gồm:

- Mô hình toán học biểu diễn quan hệ vào-ra của hệ thống- đó chính là phương trình vi phân hay đại số tùy theo hệ có nhớ hay không nhớ

- Xem xét một mô hình toán học khác của hệ thống- đó là tích phân xếp chồng Trong mô hình này, hệ thống được đặc trưng bởi đáp ứng xung Khi hệ tuyến tính, bất biến và không lưu giữ năng lượng ban đầu thì tích phân xếp chồng có dạng của tích phân chập

Do vậy, ta sẽ xét các tính chất của tích phân chập và cách tính tích phân chập

2.1 CÁC TÍN HIỆU CƠ BẢN

Các tín hiệu giới thiệu ở đây sẽ rất hiệu quả cho việc mô hình hóa tín hiệu liên tục Đó là các tín hiệu sin, hàm mũ phức, hàm mũ thực, xung đơn vị, bước nhảy đơn vị, chữ nhật và dốc đơn vị

2.1.1 Tín hiệu sin và tín hiệu hàm mũ phức

Mô hình tín hiệu đầu tiên ta xét là tín hiệu sin (sinusoidal signal):

t2cosA)t(x

θ và T0 là chu kỳ của tín hiệu sin

Tín hiệu sin rất hiệu quả trong việc phân tích tín hiệu và hệ thống Ví dụ như, dạng sóng của tín hiệu nguồn cấp cho hệ thống là dạng sin Tín hiệu sin cũng rất hiệu quả trong việc tìm hiểu khái niệm tần số tín hiệu, đáp ứng tần số của hệ thống, băng thông của tín hiệu và hệ thống Ta sẽ xét các khái niệm này sau

1 Các thông số của tín hiệu sin

Tín hiệu sin có 3 thông số Thứ nhất là biên độ tín hiệu A- đơn vị tuỳ theo loại tín hiệu (ví dụ đơn vị là volt nếu tín hiệu là điện áp), thứ hai là tần số tín hiệu f0 = 1/T0, đơn vị là Hertz

(Hz)- đó là số chu kỳ tín hiệu trong một giây, cuối cùng là góc pha θ có biên độ là radian (rad) Góc pha là sai khác về pha của một tín hiệu cos bất kỳ so với pha của tín hiệu cos tham

T

t2cosA)

2tf2cosA)t(

θ

−

−π

=Vậy x(t) bị trễ đi so với tín hiệu tham chiếu một khoảng thời gian là:

0 d

f2

2 Biểu diễn phasor cho tín hiệu sin

Ta thấy tập các tín hiệu sin có cùng tần số thì được đặc trưng bởi tần số đó cùng với biên độ

và pha của mỗi tín hiệu Biên độ và pha được đặc trưng bởi một đại lượng phức gọi là phasor

(rad/s) Ta gọi vector này là phasor

quay xp(t) Như vậy để xp(t) quay

hết một vòng phải mất 2π/ω0 =T0

(s), nghĩa là nó tuần hoàn với chu

kỳ T0

Ta gọi số phức X là phasor của tín

hiệu x(t) Cách biểu diễn x(t) bằng

X gọi là biểu diễn phasor của tín

Im

θ+

π tf

2 0

xp(t)

x(t) A

Re

hiệu (phasor representation)

Các phasor quay biểu diễn cho các tín hiệu sin có cùng tần số đều quay với cùng vận tốc góc

Do đó, ta có thể thực hiện các phép toán cộng/trừ đối với các tín hiệu sin cùng tần số dựa vào cách biểu diễn phasor

Ví dụ:

Một nguồn điện cung cấp cho quạt và đèn mắc song song

Dòng qua quạt là:

)6/t60.2cos(

5.6)t(

im = π −π

Dòng qua đèn là:

)40/t60.2cos(

2)t(

Như vậy, tín hiệu hàm mũ là một mô hình hiệu quả đối với tín hiệu liên tục

Tín hiệu hàm mũ được mô tả bởi:

tt,

0

tt,Ae)t(

Trường hợp hệ thống có nhiều thành phần tích trữ năng lượng thì một số năng lượng có thể dao động giữa các thành phần này trong khi năng lượng được truyền đến thành phần tiêu hao năng lượng Ví dụ quá tình xả của tụ qua mạch nối tiếp RL với R nhỏ Lúc này tín hiệu là tín hiệu sin có đường bao là hàm mũ giảm:

= −α

1

1 0

t

tt,

0

tt),tf2cos(

Ae)t(

x với α >0

Nếu α<0 thì hàm mũ và hàm sin sẽ tăng dần lên theo thời gian Loại tín hiệu này xuất hiện trong những hệ thống không ổn định

2.1.3 Tín hiệu xung đơn vị

1 Khái niệm hàm xung

Ta sử dụng ký hiệu Aδ(t) để biểu thị cho một xung có trọng số là A Trọng số của xung ý muốn nói đến diện tích vùng dưới của xung- tức là vùng tạo bởi xung và trục hoành Tín hiệu )

t

(

δ là xung có trọng số là 1 và được gọi là xung đơn vị (unit impulse)

Ta tạo ra tín hiệu xung trọng số là A bằng cách

xét xung chữ nhật đối xứng qua gốc, có độ rộng

là τ, chiều cao là A/τ để đảm bảo diện tích

vùng dưới xung là A Khi cho τ tiến đến 0 thì

chiều cao của xung tiến đến vô cùng nhưng vẫn

đảm bảo diện tích vùng dưới xung là 1 Ta thấy

tín hiệu chữ nhật này chính là tín hiệu xung có

trọng số là A, tức chính là Aδ(t)

Như vậy, có thể định nghĩa tín hiệu xung có

trọng số là A như sau:

Adt)t(A

&

0t,

0

0t,

Thực tế thì dạng xung không nhất thiết phải là

chữ nhật mà có thể là dạng khác như dạng tam giác, dạng sinx/x…

t

5.0

A

Ta có thể dùng tín hiệu xung này để làm mô hình mô tả một tín hiệu rất hẹp với dạng bất kỳ

và đủ mạnh để có diện tích vùng dưới xung bằng với trọng số Một ví dụ về loại tín hiệu kiểu như vậy là dòng chạy qua tụ khi nó vừa được kết nối với pin nếu điện trở của pin và dây nối cực nhỏ Một ví dụ khác, có một tín hiệu có thể được mô hình hóa dùng dạng xung là xung

dữ liệu trong đường truyền dữ liệu tốc độ cao

Nói một cách chính xác thì tín hiệu xung này không phải là tín hiệu vật lý nên nó thường được dùng theo nghĩa trừu tượng Nghĩa trừu tượng ở đây là đáp ứng của hệ thống đối với một xung đơn vị sẽ cung cấp các thông tin chủ yếu về các đặc tính của hệ thống Ta sẽ xét vấn đề này ở mục 6.4

2 Mô hình toán học của xung đơn vị

Hàm xung đơn vị δ không phải là một hàm toán học theo nghĩa thông thường Hàm này (t)thường được định nghĩa bằng một tích phân:

−τδ

τ) ( t )d x(t )(

3 Các tính chất của xung đơn vị

Tính chất 1:

)t(A)t(

Tính chất 3:

0t,0)t(

Tính chất 4:

)tt()BA()tt(B)tt(

4t2,12t3

2t0,

t(x)t(y),t(z)

t(x)t(y),t(z

2 5

1

4

1 3

4 1

2 3

=+

=

2.1.4 Tín hiệu bước nhảy đơn vị

Tích phân của tín hiệu xung là:

∫

∞

0tAd)(A

t

Giá trị của tích phân tại t = 0 không xác định Ta có thể chọn đó là một giá trị hữu hạn nào đó hoặc là để cho nó không xác định

Hàm trên đây được gọi là hàm bước nhảy và được ký hiệu là Au(t) Hàm bước nhảy đơn vị

(unit step) được định nghĩa như sau:

0t1)t(u

Hàm bước nhảy đơn vị chính là hàm bước nhảy khi A = 1 và đây chính là tích phân của hàm xung đơn vị Do vậy, ta có thể lấy đạo hàm của hàm bước nhảy đơn vị để được hàm xung đơn vị

Tín hiệu bước nhảy có thể dùng làm mô hình cho một số tín hiệu Ta xem ví dụ sau: vào thời điểm t = t0, ta đóng nguồn cho một mạch điện với điện áp nguồn cung cấp là A = const, điện

áp cấp cho mạch không nhảy lên bằng A ngay lập tức mà mất một khoảng thời gian chuyển tiếp để nhảy từ 0 lên A Tuy nhiên khoảng thời gian đó rất nhỏ nên ta có thể mô hình hóa tín hiệu điện áp cấp cho mạch là: A.u(t-t0)

Tuy nhiên, khi ta cần xem xét chi tiết hơn sự biến đổi của tín hiệu điện áp trong khoảng thời gian điện áp chuyển từ 0 lên A thì không được dùng mô hình này

∏ t và được định nghĩa như sau:

∏

2/

|t

|,0

2/

|t

|,1t

Tín hiệu này rất thông dụng vì nó xấp xỉ dạng của tín hiệu xung trong các hệ thống số như máy tính, radar… Tín hiệu chữ nhật có thể dịch chuyển theo thời gian và nhân với một tín hiệu khác để giữ lại khoảng thời gian từ khi bắt đầu đến khi kết thúc của tín hiệu đó

Giữa tín hiêu chữ nhật và tín hiệu bước nhảy có quan hệ với nhau:

2/t(u)2/t(u

0tAtd

)(uAdd)(A

t t

=αττ

0a

&

0bat0

0bat)bat(A)bat(u)bat(A)bat(

Ta có thể cộng các hàm dốc và bước nhảy với nhau để tạo ra những hàm phức tạp biểu diễn một tín hiệu đơn hàm bất kỳ được xấp xỉ hóa bằng một đường gấp khúc

Ví dụ:

Vẽ đồ thị hai tín hiệu sau đây:

)4t(u)3t()2t(u)t(2)2t()3

+

−+

=

−

−+++

3t2t

3

2t11

1t22

2tt

Ta cũng có thể biểu diễn tín hiệu bằng cách kết hợp hàm bước nhảy, dốc và chữ nhật nếu ta dùng phép nhân và cộng

Ví dụ:

Biểu diễn tín hiệu trên theo cách khác

2.2 NĂNG LƯỢNG & CÔNG SUẤT CỦA TÍN HIỆU

Năng lượng tín hiệu (signal energy) và công suất tín hiệu (signal power) là hai đại lượng có

thể tính được nhằm chỉ ra các đặc điểm của tín hiệu Đó không phải là năng lượng và công suất thực sự của tín hiệu, nhưng nó rất hiệu quả trong việc đánh giá, so sánh các tín hiệu Ví

dụ, năng lượng tín hiệu và công suất tín hiệu của các thành phần khác nhau trong một tín hiệu chỉ ra ý nghĩa liên quan của các thành phần đó

Ta xét năng lượng tiêu tán trong một điện trở:

T

T

2 T

R

)t(vlimRdt)t(ilimE

Đơn vị của năng lượng là Joule (J) khi đơn vị của điện trở là ohm (Ω , của dòng điện là )ampere (A) và của điện áp là volt (V) Năng lượng tiêu tán phụ thuộc vào cả tín hiệu và điện trở

Ta định nghĩa năng lượng tín hiệu liên quan đến i(t) và v(t) là:

v

T

T

2 T i

dt)t(vlimE

dt)t(ilimE

Đây không phải là năng lượng và công suất thực sự của tín hiệu vì chúng chỉ phụ thuộc vào tín hiệu mà không phụ thuộc vào điện trở

Ta sẽ thấy rõ điều này hơn qua ví dụ sau: Một xung điện 12(V), rộng 4(s), tâm ở t = 5s được đặt vào hai đầu của còi báo động đeo dây an toàn Ta mô hình hóa chiếc còi đó là một điện trở 20(Ω )

Mô hình của tín hiệu điện áp đặt lên hai đầu còi là:

Mô hình tín hiệu dòng qua còi là:

)t(v)t(i

Ta tính được năng lượng tiêu tán trên còi là:

ER = 28.8 (J) Năng lượng tín hiệu cho điện áp v(t) là:

Ev = 576 Năng lượng tín hiệu cho dòng điện i(t) là:

Ei = 1.44

Ta thấy các năng lượng này không bằng nhau

Bây giờ ta mở rộng định nghĩa năng lượng và công suất cho tín hiệu bất kỳ, gồm cả tín hiệu phức

1 Năng lượng tín hiệu

Định nghĩa năng lượng tín hiệu x(t) là:

x lim |x(t)| dtE

Một lần nữa nhấn mạnh rằng đây không phải là năng lượng thực sự của tín hiệu vì nó không phụ thuộc vào các thành phần của hệ thống liên quan

Nếu tín hiệu có năng lượng hữu hạn 0<Ex <∞ thì nó được gọi là tín hiệu năng lượng

(energy signal)

Nếu tín hiệu tuần hoàn thì năng lượng trong một chu kỳ là hữu hạn, nhưng vì nó có vô số chu

kỳ ( n chu kỳ với )n =∞ nên năng lượng tín hiệu tuần hoàn là vô hạn:

t

2

x n |x(t)| dtE

2 Công suất tín hiệu

Tỷ số của năng lượng tín hiệu trong một khoảng thời gian và chiều dài của khoảng thời gian

đó là công suất trung bình trong khoảng đó Do đó, ta có định nghĩa công suất tín hiệu x(t) như sau:

x |x(t)| dt

T2

1limP

Cũng như năng lượng, đây không phải là công suất thực sự của tín hiệu vì nó không phụ thuộc vào các thành phần của hệ thống liên quan Nó là công suất trung bình trên toàn trục thời gian

Nếu tín hiệu có công suất hữu hạn 0<Px <∞ thì nó được gọi là tín hiệu công suất (power

signal)

Nếu tín hiệu có năng lượng hữu hạn thì công suất sẽ là 0 vì năng lượng hữu hạn chia cho khoảng thời gian vô hạn Nếu tín hiệu có công suất hữu hạn thì năng lượng vô hạn vì công suất hữu hạn nhân với thời gian vô hạn

Một số tín hiệu không phải là tín hiệu năng lượng cũng không phải là tín hiệu công suất, ví

dụ như năng lượng vô hạn và công suất là 0 hay năng lượng vô hạn và công suất vô hạn

Nếu tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ T0, công suất trung bình là:

dt

|)t(x

|T

1dt

|)t(x

|T

1limnT

ElimP

0 1

1

0 1

1

T t

t

2 0

T t

t

2 0

n 0

x n

Ae)t(

Việc phân tích tín hiệu thành tổng các thành phần còn chỉ ra được các đặc điểm quan trọng

và đặc biệt của tín hiệu

Nhìn chung thì ta không thể biết được cách làm thế nào để phân tích một tín hiệu phức tạp thành tổng các thành phần mà các thành phần này mang một đặc điểm đơn giản và xác định nào đó Tuy nhiên, ta có thể xấp xỉ tín hiệu x(t) trong một khoảng thời gian t1 < t < t2 bằng một tổng tuyến tính như sau:

Tín hiệu φn(t)gọi là tín hiệu cơ sở (basic signal) Ta chọn φn(t) tùy ý sao cho có thể làm nổi bật các đặc điểm đặc trưng của tín hiệu hoặc là có thể cung cấp các thành phần đơn giản giúp cho việc phân tích hệ thống được dễ dàng Trong một số trường hợp, nên cho n chạy từ: -N đến N hay đặt N là vô cùng

Sau khi chọn tín hiệu cơ sở, ta chọn hệ số An sao cho x∧(t) gần với x(t) nhất trong khoảng khai triển của x(t)

Để đánh giá sự xấp xỉ tốt hay không, ta dựa vào các tiêu chuẩn xấp xỉ, tính từ sai số xấp xỉ Sau đây là 3 tiêu chuẩn hay dùng:

|maxmin

2

1

t

tTiêu chuẩn 3:

=

1 2

1

t

t

2 N

1 n

n n t

2.3.2 Chuỗi Fourier tổng quát

Việc chọn tín hiệu cơ sở ảnh hưởng đến hệ số An Có những tín hiệu cơ sở mà khi thêm số hạng vào công thức xấp xỉ thì phải tính lại An, nhưng có những tín hiệu cơ sở mà khi thêm số hạng vào thì hệ số An vẫn không thay đổi Ta luôn mong chọn được tín hiệu cơ sở ở loại thứ hai

Tín hiệu cơ sở thuận tiện nhất để tính An là tín hiệu trực giao Các tín hiệu thực φi(t)là trực giao nhau trong khoảng t1 < t < t2 nếu và chỉ nếu:

n

mn0

mndt

)t()t(

Chọn tín hiệu cơ sở là tín hiệu trực giao sao cho tiêu chuẩn xấp xỉ thứ 3 thỏa mãn, ta có công thức xấp xỉ có dạng chuỗi và chuỗi đó được gọi là chuỗi Fourier tổng quát (generalized

Fourier serie) Vậy ta có định nghĩa sau:

Chuỗi Fourier tổng quát là một tổng có trọng số của các tín hiệu cơ sở trực giao, tổng này xấp xỉ hóa một tín hiệu trong khoảng t1 < t < t2 bằng cách tối thiểu hóa sai số ε N

Các hệ số An tính được như sau:

∫ φλ

n 1 x(t) (t)dtA

Có thể mở rộng chuỗi Fourier cho tín hiệu cơ sở là tín hiệu phức và số số hạng trong chuỗi Fourier là vô cùng

2.4 PHÂN TÍCH HỆ THỐNG DỰA VÀO PHƯƠNG TRÌNH HỆ THỐNG

Trong phần này, ta sẽ xem xét một phương pháp trực tiếp để phân tích hệ thống trong miền thời gian Trong cách phân tích này, ta xác định đáp ứng của hệ thống đối với một tín hiệu vào cụ thể với t≥ và các điều kiện đầu xác định tại t = tt0 0

Đối với hệ tuyến tính, đáp ứng là tổng của đáp ứng đối với điều kiện đầu và đáp ứng đối với tín hiệu vào Đáp ứng đối với điều kiện đầu được gọi là đáp ứng đầu vào 0 (zero-input

response) Đáp ứng đối với tín hiệu vào được gọi là đáp ứng trạng thái 0 (zero-state

response), ở đây trạng thái của hệ thống là tập hợp các giá trị của tín hiệu xác định bởi năng

lượng lưu trong hệ thống

Để phân tích hệ thống trong miền thời gian, trước hết ta tìm phương trình hệ thống từ sơ đồ khối hoặc sơ đồ thành phần hệ thống Sau đó giải phương trình để tìm tín hiệu ra phụ thuộc vào tín hiệu vào và các điều kiện đầu cụ thể

Sau đây ta xét một ví dụ phân tích hệ thống trong miền thời gian

Ví dụ:

Cho bộ lọc thông thấp gồm R và C mắc nối tiếp Tìm tín hiệu ra y(t) với t≥ theo tín hiệu t0vào x(t), cho biết năng lượng lưu trong tụ điện tại thời điểm t = t0 là y(t0) = Y0

Trước tiên ta tìm phương trình hệ thống:

Sau đó ta giải phương trình:

Tín hiệu ra là:

0 RC

/ t t 0 t

t

RC /

eRC

1)(x)t(

0

≥+

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡τ

∫

Số hạng thứ nhất là đáp ứng trạng thái 0 và số hạng thứ hai là đáp ứng đầu vào 0

2.5 PHÂN TÍCH HỆ THỐNG DỰA VÀO ĐÁP ỨNG CỦA HỆ THỐNG

2.5.1 Đáp ứng xung

Trong phần này ta xét tích phân xếp chồng như là một mô hình toán học khác của hệ tuyến tính bất biến với điều kiện đầu là 0 Trong mô hình này, hệ thống được đặc trưng bằng đáp

ứng xung (impulse response)

Ta định nghĩa đáp ứng xung như sau:

Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến, ký hiệu h(t), là đáp ứng trạng thái 0 của hệ thống đối với tín hiệu vào là xung đơn vị đưa vào hệ thống tại thời điểm t = 0

Vậy,

)t(h)t(y)t()t(

Muốn xác định đáp ứng xung, ta giải phương trình hệ thống với tín hiệu vào là xung đơn vị

và điều kiện đầu bằng 0

Ví dụ:

Tìm đáp ứng xung của mạch lọc RC trên:

0 RC

/ t t 0 t

t

RC /

eRC

1)(x)t(

0

≥+

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡τ

∫

Để tìm đáp ứng xung, cho Y0 =0 t0 =−∞,x(t)=δ(t):

)t(ueRC

10t0

0te

RC

1d

eRC

1)()t(

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡τδ

= ∫

2.5.2 Đáp ứng trạng thái 0 của hệ tuyến tính bất biến

Ta có thể sử dụng tín hiệu vào x(t), đáp ứng xung h(t) và mô hình tích phân xếp chồng để tìm đáp ứng trạng thái 0 của hệ tuyến tính bất biến

∆

∏τ

∆

=

=x (t) 1 t)

t(

Đáp ứng của hệ thống đối với tín hiệu này là:

)t(h)t(ylim

)t(y)t(y

r 0

r

=

=

→ τ

∆

Ta xấp xỉ hóa tín hiệu vào x(t) với một tín hiệu bậc thang x∧( ,∆τ) như hình vẽ:

),t(xlim)t(

x = ∧ ∆τ

∞

→ τ

∆