TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG CHƯƠNG 5 THIẾT KẾ BỘ LỌC TƯƠNG TỰ

THIẾT KẾ BỘ LỌC TƯƠNG TỰ Các kỹ thuật phân tích hệ thống đã trình bày trong các chương trước có thể áp dụng cho rất nhiều hệ thống, chẳng hạn như hệ thống điều khiển, hệ thống thông tin,... Một hệ thống tương tự rất quan trọng và thông dụng là bộ lọc (filter). Nói chung, bộ lọc cho một số thành phần tần số trong tín hiệu vào đi qua và ngăn không cho các thành phần tần số khác đi qua. Ta sẽ sử dụng các công cụ phân tích đã học trong các chương trước để phân tích và thiết kế bộ lọc. Trong chương này, ta sẽ trình bày sơ lược các khái niệm liên quan đến bộ lọc, phân tích bộ lọc trong miền thời gian, tần số và dùng phép biến đổi Laplace

Chương 5

THIẾT KẾ BỘ LỌC TƯƠNG TỰ

Các kỹ thuật phân tích hệ thống đã trình bày trong các chương trước có thể áp dụng cho rất nhiều hệ thống, chẳng hạn như hệ thống điều khiển, hệ thống thông tin, Một hệ thống tương tự rất quan trọng và thông dụng là bộ lọc (filter)

Nói chung, bộ lọc cho một số thành phần tần số trong tín hiệu vào đi qua và ngăn không cho các thành phần tần số khác đi qua Ta sẽ sử dụng các công cụ phân tích đã học trong các chương trước để phân tích và thiết kế bộ lọc

Trong chương này, ta sẽ trình bày sơ lược các khái niệm liên quan đến bộ lọc, phân tích bộ lọc trong miền thời gian, tần số và dùng phép biến đổi Laplace

Nội dung chính chương này gồm:

- Bộ lọc lý tưởng

- Xấp xỉ hóa bộ lọc lý tưởng kiểu Butterworth

- Thiết kế bộ lọc Butterworth

5.1 BỘ LỌC LÝ TƯỞNG

5.1.1 Truyền dẫn lý tưởng

Trước khi đi thảo luận về bộ lọc, ta xét một hệ thống thực hiện truyền dẫn tín hiệu mà không làm thay đổi dạng của tín hiệu Hệ thống như vậy được gọi là hệ thống truyền dẫn lý tưởng hay là truyền dẫn không méo (distortionless transmission)

Ta định nghĩa hệ thống truyền dẫn không méo là hệ thống cho tín hiệu đi qua mà không làm thay đổi tín hiệu, ngoại trừ khuếch đại biên độ và trễ thời gian

Hệ số khuếch đại (hay độ lợi) có thể nhỏ hơn một Trong trường hợp này, ta nói hệ thống làm

suy giảm tín hiệu (signal attenuation). Một hệ thống truyền dẫn không méo sẽ giữ lại tất cả thông tin trong tín hiệu, ngoại trừ biên độ và vị trí tín hiệu trên trục thời gian Trong nhiều trường hợp, biên độ và vị trí thời gian không quan trọng đối với nội dung thông tin trong tín hiệu

Tín hiệu ra của một hệ thống truyền dẫn không méo có độ lợi K và độ trễ thời gianτ là:

) t ( Kx ) t (

Tính biến đổi Fourier ta có:

τ π

−

=KX( )e j 2 f

) ( Y Đáp ứng tần số của hệ thống truyền dẫn không méo là:

τ π

−

=

) ( X

) ( Y ) ( H Đáp ứng biên độ và đáp ứng pha của hệ là:

|H(f)| = K và ∠H( )=−2πfτ

Hệ thống truyền dẫn không méo có đáp ứng biên độ là hằng số với mọi tần số và đáp ứng pha

là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ Độ dốc của đáp ứng pha là − 2 , tỷ lệ với thời gian πτ trễ của một tín hiệu khi đi qua hệ thống Hệ thống truyền dẫn không méo có trễ pha và trễ nhóm là một hằng số

Hệ thống truyền dẫn vật lý có đáp ứng biên độ và đáp ứng pha như hình vẽ sau:

Trong hình vẽ này, ta thấy sự truyền dẫn không méo chỉ xuất hiện nếu tín hiệu vào có tần số thấp hơn f1 (Hz) Trong dải tần này, đáp ứng biên độ xấp xỉ là hằng số và đáp ứng pha xấp xỉ

là đường thẳng đi qua gốc Tín hiệu có tần số lớn hơn dải tần này sẽ bị méo biên độ và méo pha

5.1.2 Bộ lọc lý tưởng

Ta xét một tín hiệu thu có chứa một bản tin và nhiễu cộng Để giảm nhiễu cộng, ta phải cho tín hiệu thu đi qua một bộ lọc Bộ lọc này phải được thiết kế sao cho chỉ cho phép các thành phần tần số trong dải phổ của bản tin đi qua và ngăn không cho các thành phần tần số nằm ngoài dải tần của bản tin đi qua mà không gây méo tín hiệu Bộ lọc như vậy được gọi là bộ lọc lý tưởng (ideal filter)

Dải tần số của tín hiệu mà bộ lọc cho đi qua gọi là dải thông (passband) và dải tần số mà bộ lọc không cho đi qua gọi là dải chắn (stopband). Tần số giới hạn giữa dải thông và dải chắn gọi là tần số cắt (cutoff frequency). Tùy vào bản chất của bộ lọc mà ta phân bộ lọc ra làm bốn loại chính Đó là lọc thông thấp (lowpass filter), lọc thông cao (highpass filter), lọc thông dải (bandpass filter) và lọc chắn dải (bandstop filter)

1 Bộ lọc thông thấp lý tưởng

Bộ lọc thông thấp lý tưởng cho tất cả các thành phần tần số nhỏ hơn B (Hz) đi qua không méo và ngăn hoàn toàn các thành phần tần số lớn hơn B (Hz)

f1 -f1

Từ định nghĩa bộ lọc thông thấp lý tưởng và truyền dẫn không méo, ta thấy đáp ứng tần số của bộ lọc thông thấp lý tưởng là:

τ π

−

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

B 2

f K ) ( H

Đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp lý tưởng:

{H( )} 2BKsinc[2B(t )]

FT ) t (

Bộ lọc thông thấp lý tưởng không phải là hệ thống nhân quả vì hL(t) khác 0 khi t < 0 Điều này ngụ ý rằng ta phải biết tín hiệu ra ở tất cả các thời điểm tương lai để tạo ra tín hiệu ra của

bộ lọc ở một thời điểm nào đó bất kỳ Do đó, ta không thể thực hiện được bộ lọc thông thấp

lý tưởng trong thực tế

2 Bộ lọc thông dải lý tưởng

Bộ lọc thông dải lý tưởng cho tất cả các thành phần tần số bên trong dải B (Hz) đi qua không méo và ngăn hoàn toàn các thành phần tần số nằm ngoài dải B (Hz)

Gọi tần số trung tâm của dải B là f0 Các tần số cắt là f0 – B/2 và f0 + B/2

Lập luận tương tự như trên, ta thấy đáp ứng tần số của bộ lọc thông dải lý tưởng là:

τ π

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ + +

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

B

f f B

f f K ) ( H

Đáp ứng xung của bộ lọc thông dải lý tưởng:

{H ( )} 2BKsinc[B(t )] [cos2 f (t )]

FT ) t (

Bộ lọc thông dải lý tưởng không phải là hệ thống nhân quả

3 Bộ lọc thông cao lý tưởng

Bộ lọc thông cao lý tưởng cho tất cả các thành phần tần số lớn hơn B (Hz) đi qua không méo

và ngăn hoàn toàn các thành phần tần số thấp hơn B (Hz)

Lập luận tương tự như trên, ta thấy đáp ứng tần số của bộ lọc thông cao lý tưởng là:

Đáp ứng xung của bộ lọc thông cao lý tưởng:

Bộ lọc thông cao lý tưởng không phải là hệ thống nhân quả

4 Bộ lọc chắn dải lý tưởng

Bộ lọc chắn dải lý tưởng ngăn hoàn toàn các thành phần tần số nằm trong dải B (Hz) và cho các thành phần tần số bên ngoài dải B (Hz) đi qua không méo

Gọi tần số trung tâm của dải B là f0 Các tần số cắt là f0 – B/2 và f0 + B/2

Lập luận tương tự như trên, ta thấy đáp ứng tần số của bộ lọc chắn dải lý tưởng là:

Đáp ứng xung của bộ lọc chắn dải lý tưởng:

Bộ lọc chắn dải lý tưởng không phải là hệ thống nhân quả

5.2 XẤP XỈ HÓA BỘ LỌC LÝ TƯỞNG

Như trên ta thấy, các bộ lọc lý tưởng không phải là hệ thống nhân quả, do đó ta không thể thực hiện được các bộ lọc lý tưởng trong thực tế Trong phần này, ta sẽ xem xét cách xấp xỉ hóa bộ lọc lý tưởng để có thể thực hiện được trong thực tế

Có nhiều phương pháp xấp xỉ hóa bộ lọc lý tưởng Một số phương pháp thực hiện xấp xỉ đáp ứng biên độ càng gần lý tưởng càng tốt mà không quan tâm đến đáp ứng pha, như là xấp xỉ Butterworth, xấp xỉ Chebyshev và xấp xỉ elliptic Một số phương pháp thực hiện xấp xỉ đáp ứng pha càng gần lý tưởng càng tốt mà không quan tâm đến đáp ứng biên độ, ví dụ như xấp

xỉ Bessel Ta không thể vừa xấp xỉ đáp ứng biên độ vừa xấp xỉ đáp ứng pha được, vì đáp ứng biên độ và đáp ứng pha của bộ lọc nhân quả ổn định có quan hệ chặt chẽ với nhau Ta không thể chọn đáp ứng pha độc lập với đáp ứng biên độ được và ngược lại

Trong phần này, ta chỉ xét phương pháp xấp xỉ đáp ứng biên độ

Trước tiên, ta đi tìm hàm truyền đạt tương ứng với một đáp ứng biên độ đã cho

Tiếp theo, ta xét một phương pháp xấp xỉ đáp ứng biên độ với một bộ lọc thông thấp lý tưởng Phương pháp xấp xỉ ta chọn xét ở đây là xấp xỉ lọc thông thấp Butterworth

Cuối cùng, ta sẽ xét các phép biến đổi tần số để tạo ra bộ lọc thông cao, thông dải và chắn dải

từ bộ lọc thông thấp Các phép biến đổi tần số này cho phép ta chuyển đổi từ thiết kế bộ lọc thông thấp thành thiết kế bộ lọc thông cao, thông dải và chắn dải

5.2.1 Hàm truyền đạt tương ứng với một đáp ứng biên độ

Tương ứng với một đáp ứng biên độ có thể có nhiều hàm truyền đạt Tuy nhiên, mỗi hàm truyền đạt khác nhau sẽ tạo ra một đáp ứng pha khác nhau

Để tìm hàm truyền đạt từ một đáp ứng biên độ cho trước, trước tiên ta bình phương đáp ứng biên độ:

) j ( H ) j ( H ) j ( H ) j ( H

| ) j ( H

Ta có thể viết lại:

ω

=

−

=

ω

j s

2 H(s)H( s)

| ) j ( H

|

với H(s) là hàm truyền đạt của bộ lọc Các điểm cực và không của H(-s) là đảo dấu của các điểm cực và không của H(s) Do đó, các điểm cực và không của tích H(s).H(-s) xuất hiện thành từng cặp đối xứng qua gốc

Vì tính đối xứng của các điểm cực và không nên:

[ ] [( p ) s](p s)

) s z ( s ) z ( C ) s ( H )

s ( H

k n

1

i m

1 i

i

−

−

−

−

−

−

=

−

∏

∏

=

=

ở đây zi và pk được chọn để cho Re(zi)≥0 và Re(pk)≥0

Nhân các thừa số trên lại với nhau, ta được:

∏

=

=

−

−

=

1 k

2 2 k

m 1 i

2 2 i

) s p (

) s z ( C ) s ( H )

s ( H

Như vậy, s chỉ xuất hiện với số mũ chẵn trong tích H(s).H(-s) Do đó ta có thể viết lại:

2 2

s

2

| ) j ( H

| ) s ( H ) s ( H

ω

−

ω

=

−

Bây giờ ta phân chia tích H(s).H(-s) ra để xác định H(s) Có nhiều cách phân chia Ta có thể chia cho H(s) giữ hằng số C và một nửa số điểm cực và không, và H(-s) giữ hằng số

C và một nửa số điểm cực và không đối xứng

Đáp ứng tần số chỉ tồn tại đối với hệ ổn định, do đó H(s).H(-s) không chứa các điểm cực nằm trên trục ảo và phải chọn các cực của H(s) nằm bên trái mặt phẳng s Các điểm cực còn lại là đảo dấu của các điểm cực đã chọn thì phân cho H(-s)

Về các điểm không thì không có một ràng buộc nào để lựa chọn Tuy nhiên, ta thường chọn các điểm không của H(s) không nằm bên phải mặt phẳng s Sự lựa chọn này tạo ra một hệ thống có trễ pha nhỏ nhất

Tóm lại, ta nên phân chia tích H(s).H(-s) ra như sau:

[ ] [ ] ⎥⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

=

−

∏

∏

∏

∏

=

=

=

=

n 1 k k

m 1 i i n

1 k

k

m 1 i

i

) s p (

) s z ( C s ) p (

s ) z ( C )

s ( H )

s ( H

Như vậy, hàm truyền đạt của hệ thống ổn định có trễ pha nhỏ nhất là:

[ ] [ ] ∏

∏

∏

∏

=

=

=

=

+

+

=

−

−

−

−

1 k k

m 1 i i n

1 k

k

m 1 i i

) s p (

) s z ( C s ) p (

s ) z ( C ) s ( H

Ví dụ:

Cho một bộ lọc có đáp ứng biên độ:

4 2

2

25 0 25 7 25

5 7 5 7

| ) j ( H

|

ω + ω +

ω +

= ω Tìm hàm truyền đạt của bộ lọc ổn định pha tối thiểu tương ứng với đáp ứng biên độ trên

5.2.2 Xấp xỉ Butterworth thông thấp

Đây là phương pháp xấp xỉ đáp ứng biên độ của một bộ lọc thông thấp lý tưởng Bộ lọc kết quả được gọi là bộ lọc thông thấp Butterworth

1 Định nghĩa bộ lọc thông thấp Butterworth

Bộ lọc thông thấp Butterworth là bộ lọc có đáp ứng biên độ là

c

M B

/ 1

G

| ) j ( H

|

ω ω +

= ω

ở đây n≥ là bậc của bộ lọc, 1 ω là tần số cắt của bộ lọc c

Có hai tiêu chuẩn được dùng trong xấp xỉ Butterworth Tiêu chuẩn thứ nhất là độ lợi của bộ lọc ở tần số cắt là GM/ 2 với GM là độ lợi tối đa của bộ lọc Tiêu chuẩn thứ hai là đáp ứng biên độ có độ bằng phẳng cực đại ở ω=0 Nghĩa là đáp ứng biên độ có càng nhiều đạo hàm bằng 0 tại ω=0 càng tốt Đáp ứng biên độ có 2n – 1 đạo hàm bằng 0 tại ω=0 và vì vậy, nó trở nên bằng phẳng hơn khi bậc tăng lên

2 Hàm truyền đạt của bộ lọc thông thấp Butterworth

5.2.3 Xấp xỉ hóa bộ lọc thông cao, thông dải và chắn dải

Việc xấp xỉ hóa bộ lọc thông cao, thông dải và chắn dải đạt được từ lọc thông thấp bằng các phép biến đổi tần số phi tuyến Ta thực hiện thay thế biến tần số ωL trong đáp ứng tần số của

bộ lọc thông thấp HL(jωL) Ta dùng biến ωL thay cho ωlà để tránh nhầm lẫn khi thay biến tần số

Phương trình thay đổi biến đối với lọc thông cao là:

ω ω ω

= ω

ω

=

ω

/ L

L H

ch c L

) j ( H ) j ( H

ở đây ω là tần số cắt của bộ lọc thông thấp, c ω là tần số cắt của bộ lọc thông cao ch

Phương trình thay đổi biến đối với lọc thông dải là:

) ( / (

L L B

l u l u 2 c L

) j ( H ) j ( H

ω

− ω ω ω ω

− ω ω

= ω

ω

= ω

Phương trình thay đổi biến đối với lọc chắn dải là:

) /(

) ( L

L S

l u 2 l u c L

) j ( H ) j ( H

ω ω

− ω ω

− ω ω ω

= ω

ω

= ω

ở đây ω là tần số cắt trên và u ωl là tần số cắt dưới của bộ lọc thông dải và chắn dải

5.3 THIẾT KẾ BỘ LỌC THÔNG THẤP BUTTERWORTH

Trong nhiều ứng dụng, ta cần một bộ lọc thông thấp, thông cao, thông dải hay chắn dải thỏa các yêu cầu về dải thông, dải chắn cụ thể Như đã nói trên, ta có thể thiết kế bộ lọc dựa vào một phương pháp xấp xỉ hóa bộ lọc lý tưởng nào đó Trong phần này, ta xét phương pháp xấp xỉ Butterworth và việc thiết kế bộ lọc ở đây bắt đầu từ thiết kế bộ lọc thông thấp Butterworth, sau đó bằng các phép biến đổi tần số ta có thể chuyển đổi thành thiết kế bộ lọc thông cao, thông dải và chắn dải

Ta sẽ xét các bước thiết kế đối với bộ lọc thông thấp Butterworth chuẩn hóa, tức là bộ lọc có tần số cắt là ωc =1 rad/s Việc thiết kế các bộ lọc có tần số cắt khác ωc =1 rad/s sẽ được thực hiện bằng cách co giãn tần số

Bước đầu tiên trong thiết kế là lựa chọn tần số cắt ω Tần số này được xác định bởi băng c thông yêu cầu

Bước thứ hai là lựa chọn bậc của bộ lọc Ta thường chọn bậc của bộ lọc từ độ lợi tại một tần

số cụ thể ω1 nào đó trong dải chắn Các đường cong biểu diễn độ lợi thay đổi theo tần số với các bậc bộ lọc khác nhau thường được dùng để xác định bậc của bộ lọc

Bước thứ ba là tính chọn các hệ số của mẫu số của hàm truyền đạt:

n N 1 n N 1 n N

1 0

0 N

N

s s b

s b b

a )

s ( H

+ +

+ +

−

ở đây ta dùng chữ N là để ký hiệu cho bộ lọc chuẩn hóa

Bước thứ tư là chọn hệ số a0, chọn sao cho bộ lọc có độ lợi lớn nhất

Bước cuối cùng, ta thay đổi thang tần số để có được bộ lọc có tần số cắt thỏa yêu cầu:

n c 1

n c 1 n c

1 0

0 L

) / s ( ) / s ( b

) / s ( b b

a )

s ( H

ω + ω +

+ ω +

−

Ví dụ:

Thiết kế một bộ lọc thông thấp thỏa các yêu cầu sau:

- Độ lợi tối đa là 2

- Thay đổi độ lợi nhỏ hơn hay bằng 3 dB trong khoảng từ 0 đến 50 Hz

- Độ lợi nhỏ hay bằng -50 dB so với độ lợi tối đa với f ≥250Hz