Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Chuyên đề PHÉP CHIA ĐA THỨC I Kiến thức cần nhớ 1 Chia đơn thức A cho đơn thức B Chia hệ số của A cho hệ số của B ; Chia luỹ thừa của từng biến trong A cho luỹ[.]
Trang 1Chuyên đề
PHÉP CHIA ĐA THỨC
I Kiến thức cần nhớ
1 Chia đơn thức A cho đơn thức B
Chia hệ số của A cho hệ số của B ;
Chia luỹ thừa của từng biến trong A cho luỹ thừa của cùng biến đó trong B ;
Nhân các kết quả với nhau
2 Chia đa thức cho đơn thức
(A + B) : C = A : C + B : C
3 Chia đa thức A cho đa thức B
Cho A và B là hai đa thức tuỳ ý của cùng một biến (B 0), khi đó tồn tại duy nhất một cặp đa thức Q và
R sao cho A = B.Q + R, trong đó R = 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B
Q gọi là đa thức thương và R gọi là dư trong phép chia A cho B
Nếu R = 0 thì phép chia A cho B là phép chia hết
4 Kiến thức bổ sung
a) Có thể dùng hằng đẳng thức để rút gọn phép chia
Ví dụ :
b) Định lí Bê - du*
Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho (x - a) đúng bằng f(a)
Số dư trong phép chia f(x) cho (x - 2) là f(2) = 1.0
Số dư trong phép chia f(x) cho (x - 1) là f(1) = 0, nghĩa là f(x) chia hết cho (x - 1).,
c) Hệ quả của định lí Bê-đu :
Nếu a là nghiệm của đa thức f(x) thì f(x) chia hết cho (x - a).
Người ta cũng chứng minh được rằng :
Nếu đa thức f(x) nhận n số nguyên khác nhau làm nghiệm thì f(x) chia hết cho
d) Áp dụng hệ quả của định lí Bê-du vào việc phân tích đa thức thành nhân tử Nếu đa thức f(x) có
nghiệm x = a thì khi phân tích f(x) thành nhân tử, tích sẽ chứa nhân tử (x - a), nghĩa là f(x) = (x - a).q(x)
Mở rộng : Nếu f(x) nhận n số nguyên khác nhau làm nghiệm thì khi phân tích f(x) thành
Trang 2II Một số ví dụ
Ví dụ 1 Cho Xác định giá trị của n N* để A B
Giải
Ví dụ 2 Xác định giá trị của a để đa thức
chia hết cho đa thức
Giải
Cách 1: Thực hiện phép chia rồi buộc đa thức dư bằng đa thức 0
Cách 2: Phương pháp đồng nhất hệ số :
Vì nên thương là đa thức bậc nhất có dạng 2x + b
với mọi x với mọi x
Suy ra:
Cách 3 : Phương pháp xét giá trị riêng của biến
Vì đẳng thức đúng với mọi x nên ta cho x = -3, được -54 + 162 + a = 0
Vì đẳng thức đúng với mọi x nên ta cho x = -3, được -54 + 162 + a = 0
Trang 3Khi đó
Vậy với a = -108 thì
Nhận xét Trong cách giải thứ ba tại sao ta cho x = -3 mà không cho x lấy các giá trị khác ? Đó là vì khi
x= -3 thì vế phải bằng 0, vế trái tính được dễ dàng, từ đó tìm được a
Vì thế phương pháp này gọi là phương pháp xét giá trị riêng của biến
Ví dụ 3 Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của đa thúc chia hết cho giá trị của đa thức B = 4x - 5
Giải
Vậy đa thức A không chia hết cho đa thức B Muốn cho giá trị của đa thức A chia hết cho giá trị của đa
thức B thì 9 phải chia hết cho giá trị của 4x - 5 Suy ra 4x - 5 Ư(9)
Suy ra 4x - 5 {1 ; -1 ; 3 ; -3 ; 9 ; -9}
Các giá trị 1,5 ; 0,5 ; 3,5 bị loại vì không phải là số nguyên Do đó x {1 ; 2 ; -1}.
Ví dụ 4 Xác định các hệ số a và b để đa thức
chia cho x - 2 dư 3 ; chia cho x + 2 dư -5
Giải
Thay x = 2 vào (1) rồi thay x = -2 vào (2), ta được :
Ví dụ 5 Tìm đa thức dư trong phép chia sau :
Trang 4Giải
Đa thức chia có bậc hai nên đa thức dư có bậc không quá 1 Vậy đa thức dư có bậc nhất dạng ax + b
Ta có
Cho x = 1 rồi x = -1 ta được :
Vậy dư trong phép chia nói trên là 4x + 4
Ví dụ 6 Phân tích đa thức thành nhân tử
Giải Ta có f(2) = 16 - 40 + 40 - 40 + 24 = 0.
f(3) = 81 - 135 + 90 - 60 + 24 = 0
Vậy x = 2, x = 3 là nghiệm của f(x)
Do đó f(x) = (x - 2)(x - 3).q(x), suy ra
Làm tính chia ta được
Do đó
III Bài tập tự luyện
1 Làm tính chia :
2 Tìm n N* để :
dương với mọi giá tri x 0, y 0
3 Không làm tính chia, hãy tìm dư trong phép chia đa thức
cho các đa thức sau :
Trang 54 Làm tính chia bằng cách dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ :
5 Tìm các giá trị của a để :
a) Đa thức chia cho đa thức (x - 2) còn dư 10
nhất của thương là bao nhiêu ?
6 Tìm các giá trị của a và b để đa thức chia hết cho đa thức
7 Xác định các hệ số a, b để :
8 Xác định các hệ số a và b để :
a) Đa thức chia cho đa thức dư 2x - 3
9 Tìm a và b để đa thức chia hết cho đa thức với n e N*
10 Tìm các giá trị nguyên của x để :
a) Giá trị của đa thức chia hết cho giá trị của đa thức
B = 2x - 3
b) Giá trị của đa thức chia hết cho giá trị của đa thức
B = 3x + 2
Trang 6Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng
I Luyện Thi Online
-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học
-Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II Khoá Học Nâng Cao và HSG
-Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG
-Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III Kênh học tập miễn phí
-HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
V ng vàng n n t ng, Khai sáng t ữ ề ả ươ ng lai
H c m i lúc, m i n i, m i thi t bi – Ti t ki m ọ ọ ọ ơ ọ ế ế ệ
90%
HOC247 NET c ng đ ng h c t p mi n phí ộ ồ ọ ậ ễ HOC247 TV kênh Video bài gi ng mi n phí ả ễ