Chuyên Đề Phân Tích Đa Thức Thành Nhân Tử Bồi Dưỡng HSG Toán 8 Có Lời Giải Chi Tiết

thuvienhoclieu com thuvienhoclieu com CHUYÊN ĐỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ DẠNG 1 PHÂN TÍCH ĐA THỨC BẬC BA VÀ BẬC 4 Phương pháp Dùng máy tính nhẩm nghiệm hoặc tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức có 1 nghiệm x = 1 Tổng hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ thì đa thức có 1 nghiệm là x = 1 1 số HĐT đáng nhớ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, Bài 1 Phân tích đa thức thành nhân tử HD Bấm máy nhận thấy đa thức có ba nghiệm là 1,3 và 8, nên sẽ có chứa các nhân tử (a 1), (a 3) và (a + 8), Ta có[.]

CHUYÊN ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

DẠNG 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC BẬC BA VÀ BẬC 4 Phương pháp:

Dùng máy tính nhẩm nghiệm

hoặc tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức có 1 nghiệm x = 1

Tổng hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ thì đa thức có 1 nghiệm là x = - 1

1 số HĐT đáng nhớ:

1, a b 2 a2b2 2aba b 24ab

2, a b 2 a2b2  2aba b 2 4ab

3, a2b2 a b 2 2aba b 22ab

4, a3b3 a b a   2  ab b 2 a b 3 3ab a b  

5, a3 b3a b a   2ab b 2 a b 33ab a b  

6, 2 a 2b2 a b 2a b 2

7, a b 2 a b 2 4ab

8, a4b4 a b a b      a b 2 2ab

9, a4b4 a b 2 2ab2 2ab2

10, a3b3c3 3abca b c a    2b2c2 ab bc ca  

11, a4a b2 2 b4 a2ab b 2 a2 ab b 2

12, a4a2 1 a2 a 1 a2 a1

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a34a2 29a24

HD:

Bấm máy nhận thấy đa thức có ba nghiệm là 1,3 và -8, nên sẽ có chứa các nhân tử (a - 1), (a - 3)

và (a + 8),

Ta có: a34a2  29a24a3 a2  5a2 5a  24a24

a a  a a  a  a a  a

=a1 a 3 a8 Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: x46x37x2 6x1

HD:

Nhận thấy đa thức bậc 4 này không dùng được máy tính

Và đa thức không có hai nghiệm là 1 và -1

Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau:

Nên ta làm như sau:

                 

Đặt

2

2

     

Đa thức trở thành :

Thay t trở lại ta được :

2

   

Vậy x46x37x2 6x 1 x23x12

Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: x36x211x6

HD :

Bấm máy ta thấy đa thức có ba nghiệm nguyên là -1, -2, -3, nên ta phân tích :

Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: x1 x3 x5 x715

HD :

Với dạng này, ta chỉ việc lấy số nhỏ nhất nhân với số lớn nhất, để tạo ra những số hạng giống nhau :

x1 x7 x3 x515x28x7 x28x1515

Đặt x28x t t7 t15 15  t2 22 105 15t   t2 22 120t

t 10 t 12 x2 8x 10 x2 8x 12

=x28x10 x6 x2

Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: x42x21

HD :

Nhận thấy ngay đa thức trên là hằng đẳng thức nên ta có :

Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x3 7x217x 5

HD :

Bấm máy tính cho ta có nghiệm là

1 3

x 

, nên có nhân tử là : (3x - 1) nên ta có :3x3 7x217x 5 3 x3 x2 6x22x15x 5

Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2x3 5x28x 3

HD :

Bấm máy tính cho ta có nghiệm là

1 2

x 

, nên có nhân tử là : (2x - 1) Nên ta có : 2x3 5x28x 3 2 x3 x2 4x22x6x 3

Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x314x24x3

HD :

Bấm máy tính cho ta nghiệm là :

1 3

x nên có 1 nhân tử là : (3x + 1)

Ta có : 3x314x24x 3 3x3x215x2 5x9x3

x x  x x  x  x x  x

Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: x35x28x4

HD :

bấm máy tính cho ta nghiệm là : x= -1 và x= -2

Như vậy ta có : x35x28x 4 x1 x22

Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: x41997x21996x1997

HD:

Ta có:

x4x21  1996x21996x1996  x2 x 1 x2 x1 1996 x2 x 1

x2 x 1 x2 x 1997

Bài 11: Phân tích thành nhân tử: x42004x22003x2004

HD:

     x4 x2004x2 x 1

 3 1 2004  2 1  1  2 1 2004  2 1

Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 x 2001.2002

HD :

Ta có: x2 x 2001 2001 1   x2 x20012 2001x2 20012 x2001

x 2011 x2011  x2011  x2011 x 2012

Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử: x x 4 x6 x10128

HD :

x x x x   x  x x  x 

Đặt : x210x t , Khi đó đa thức trở thành : t t 24128 t2 24 128t  t 8 t16 Thay t trở lại đa thức ta đươc : x210x8 x2 10x16  x210x8 x2 x8

Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử: x46x37x2 6x1

HD :

Nhận thấy đa thức bậc 4 này không dùng được máy tính

và đa thức không có hai nghiệm là 1 và -1

Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau:

nên ta làm như sau:

                 

Đặt

2

2

     

Đa thức trở thành :x t2 2 2 6t7 x t2 26t9 x t2 32

Thay t trở lại ta được :

2

   

Vậy x46x37x2 6x 1 x23x12

Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 x 1 x2 x 212

HD :

Đặt x2  khi đó đa thức trở thành : x t t1 t2 12  t2 3 10t  t 2 t5

Thay t trở lại đa thức ta được : x2 x 2 x2 x 5 x1 x2 x2 x 5

Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 4 x210 72

HD :

Đặt x2 4 khi đó đa thức trở thành : t

t t   t t  t t  x  x   x x x 

Bài 17: Phân tích đa thức thành nhân tử: x46x311x26x1

HD :

Nhận thấy đa thức bậc 4 này không dùng được máy tính

và đa thức không có hai nghiệm là 1 và -1

Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau:

nên ta làm như sau:

                 

Đặt

2

2

     

Đa thức trở thành :

x t   t x t  t x t t

Thay t trở lại ta được :

       

Vậy x46x37x2 6x 1 x2 x 1 x25x1

Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử: a1 a2 a3 a41

HD :

Ta có : a1 a4 a2 a3 1 a25a4 a25a61

Đặt a25a  , Khi đó đa thức trở thành : 5 t t1 t1 1 t2 a25a52

Bài 19: Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 x3 x4 x5 24

HD :

Ta có : x2 x5 x3 x4 24x27x10 x27x12 24

Đặt : x27x11 , Khi đó đa thức trở thành t

t1 t1 24 t2 25 t 5 t5 x27x6 x27x16x1 x6 x27x16

Bài 20: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4x1 12  x1 3  x2 x1 4

HD :

4x1 3  x2 12  x 1 x1 412x211x2 12  x211x1 4

Đặt 12x211x t , Khi đó đa thức trở thành : t2 t1 4  t2 t 6 t 2 t3

12x2 11x 2 12  x211x3

Bài 21: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4x5 x6 x10 x12 3x2

HD :

Ta có : 4x5 x12 x6 x10 3x2 4x217x60 x216x60 3x2

60

x

, Khi đó đa thức trở thành :

         

x  t t   x t  t x t t

Bài 22: Phân tích đa thức thành nhân tử: x23x1 x23x 3 5

HD :

Đặt : x23x t , Khi đó đa thức trở thành :

t t   t t  t t  x  x x  x

x1 x2 x1 x4

Bài 23: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4x32x2 x 1

HD :

(x x x ) ( x  x 1)x x(  x 1) ( x  x 1) ( x  x 1)(x 1)

Bài 24: Phân tích đa thức thành nhân tử: 6a47a3 37a2 8a12

HD :

Nhẩm thấy đa thức có nghiệm là x=2, hay có 1 nhân tuer là x - 2

Ta có :

6a 7a  37a  8a12 (6 a 12 ) (19aa   38 )a  a  2a  6a12

6a a 2 19a a 2 a a 2  6 a 2  a 2 6a 19a  a 6

= a 2 a3 2  a1 3  a2

Bài 25: Phân tích đa thức thành nhân tử: x46x313x212x4

HD :

Thấy tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ, nên đa thức có 1 nghiệm bằng -1

Ta có : x46x313x212x 4 x4x3  5x35x2  8x28x4x4

= x x3 15x x2 18x x 14x1  x1 x35x28x4

= x1 2 x22

Bài 26: Phân tích đa thức thành nhân tử: x24x823x314x224x

HD :

x24x823x x 24x82x2

, Đặt: x24x8  y y23xy2x2

=> y x y   2x Bài 27: Phân tích đa thức thành nhân tử:x42010x22009x2010

HD :

4 2 1 2009 2 2009 2009 2 1 2 1 2009 2 1

x x   x  x  x  x x  x  x  x

Bài 28: Phân tích đa thức thành nhân tử:x23x 4 x2 x 6 24

HD :

Ta có : x23x 4 x2 x 6 24x1 x4 x 2 x3 24

x 2 x4 x1 x3 24x22x 8 x22x 3 24

Đặt : x22x t , khi đó đa thức trở thành : t 8 t 3 24 t2 11t t t   11

Thay t trở lại ta được : x22x x  22x11x x 2 x22x11

Bài 29: Phân tích đa thức thành nhân tử:x22x7  x22x4 x22x3

HD :

Đặt : x22x t , khi đó đa thức trở thành :

t7  t4 t3   t 7 t2 7 12t t2 6t 5 t1 t5

, Thay t trở lại ta được :

Bài 30: Phân tích đa thức thành nhân tử:x410x326x210x1

HD :

Đặt

2

2

     

Đa thức trở thành :

x t   t x t  t x t t

Thay t trở lại ta được :

       

Vậy x410x326x210x 1 x24x1 x26x1

Bài 31: Phân tích đa thức thành nhân tử:x 4 x 5 x 6 x 71680

HD :

x 4 x 7 x 5 x 6 1689x211x28 x2 11x301680

Đặt x211x29 , Khi đó đa thức trở thành : t t1 t1 1680  t2 1681 t 41 t41 Thay t trở lại đa thức ta được :  2   2       2 

x  x x  x  x x x  x Bài 32: Phân tích đa thức thành nhân tử:x4x3 4x2 x 1

HD :

                

Đặt

2

2

     

Đa thức trở thành :

x t   t x t  t x t t

Thay t trở lại ta được :

2

       

Vậy x4x3 4x2  x 1 x12x23x1

Bài 33: Phân tích đa thức thành nhân tử:x4 7x314x2 7x1

HD :

                 

Đặt

2

2

     

Đa thức trở thành :

x t   t x t  t x t t

Thay t trở lại ta được :

       

Vậy x4 7x314x2 7x 1 x2 3x1 x2 4x1

Bài 34: Cho biểu thức: Ab2c2 a22 4b c2 2

a, Phân tích A thành nhân tử

b, Chứng minh rằng: Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của 1 tam giác thì A< 0

HD:

a) Ta có: Ab2c2  a22 4b c2 2 b2c2 a22 2bc2

b) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác nên:

DẠNG 2: THÊM BỚT HẠNG TỬ Phương pháp :

Các đa thức không thể sử dụng các phương pháp như đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử và sủ dụng hằng đẳng thức cũng như đoán nghiệm,

Trong các thành phần của đa thức có chứa các hạng tử bậc 4, ta sẽ thêm bớt để đưa về hằng đẳng thức số 3 : a2  b2 a b a b    

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a, 4x 4 81 b, 64x4y4

HD :

a, Ta có :4x4812x22922.2 9 2.2 9x2  x2 2x292 36x2

2x2 92 6x2 2x2 6x 9 2  x2 6x 9

b, Ta có : 64x4y4 8x2  2 y2 22.8 x y2 2 2.8 x y2 2 8x2y2216x y2 2

8x2 y22 4xy2 8x2 4xy y2 8x2 4xy y2

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a, 4x4y4 b, 4x 8 1 c,x y 4 4 4

HD :

a, Ta có : 4x4y4 2x2  2 y2 2 2x2  2 y2 22.2 x y2 2 4x y2 2

2x2 y22 2xy2

   2x2y22xy 2x2y2 2xy

b, Ta có : 4x8 1 2x42 1 2.2 1 4x4  x4

2x4 1 2 2x22 2x4 2x2 1 2  x4 2x2 1

c, Ta có : x y4 4 4 x y2 2222 x y2 22222 .2 4x y2 2  x y2 2

Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a, x8x41 b, x7 x51

HD :

a, Ta có: x8x4 1 x8x4x4 1 x4 x82x4 1 x4

x41  2 x2 2 x4x21 x4 x21

b, Ta có: x7x5 1 x7x5(x2x) 1  x2 xx7  x  x5 x2  x2 x 1

= x x 31 x1 x2 x 1x x2 31  x2 x 1

x2 x 1 x5 x4 x2 x x3 x2 x2 x 1 x2 x 1

= x2 x 1 x5 x4x2 x x 3 x21 x2 x 1 x5 x4x3 2x2 x1

Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a, x7 x21 b, x5 x 1 c,x8 x 1

HD:

a, Ta có: x7x2 1 x7 x  x2 x 1x x 61  x2 x 1

x2 x 1 x5 x4x2 x1

b, Ta có: x5 x 1x5x2  x2 x 1 x x2 31  x2 x1

= x x2 1 x2 x1  x2 x1  x2 x1 x3x21

c, Ta có: x8  x 1 x8 x2  x2 x 1 x x2 6 1  x2 x 1

Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a, 64x4y4 b, 4x4y4 c, x 4 324

HD:

a, Ta có: 64x4y4 8x2  2 y2 22.8x y2 216 x y2 2 8x2y22 4xy2

8x2 y2 4xy 8x2 y2 4xy

b, Ta có: 4x4y4 2x2  2 y2 2 2x2  2 y2 22.2 x y2 2 4x y2 2

2x2y22 2xy2 2x2y2 2xy 2x2y22xy

c, Ta có:x4324 x2 2 18 2  x2 2 18 22 .18 36x2  x2

x2 182 6x2 x2 18 6x x  2 18 6x

Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a,x 4 64 b, 81x44y4 c, x44y4

HD:

a, Ta có: x464 x2 282  x2 2822 .8 16x2  x2

b, Ta có: 81x44y4 9x2 2 2y22 9x2 2 2y222.9 2x2 y2 36x y2 2

9x22y2 6xy2 9x22y2 6xy 9x22y26xy

c, Ta có: x44y4   x2 2 2y22   x2 2 2y222 .2x2 y2 4x y2 2

x2 2y22 2xy2 x2 2y2 2xy x  2 2y2 2xy

Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a, x y 4 4 4 b, 4x y 4 4 1 c, 4x 4 81

HD:

a, Ta có:x y4 4 4 x y2 2222 x y2 22222.x y2 2.2 4  x y2 2

x y2 222 2xy2 x y2 2 2xy2 x y2 22xy2

b, Ta có:4x y4 4 1 2x y2 22 1 2x y2 22 1 2.2x y2 2 4x y2 2

2x y2 212 2xy2 2x y2 2 1 2xy 2x y2 2 1 2xy

c, Ta có: 4x4812x2292 2x22922.2 9 36x2  x2

2x 9  6x  2x  9 6x 2x  9 6x

Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a, 64x4y4 b, a 4 64 c, a44b2

HD:

a, Ta có:64x4y4 8x2  2 y2 2 8x2  2 y2 22.8 x y2 216x y2 2

= 8x2y22 4xy2 8x2 y24xy 8x2y2 4xy

b, Ta có: a464 a2 282  a2 2822 .8 16a2  a2

= a282 4a2 a2 8 4a a  2 8 4a

c, Ta có: a44b4   a2 2 2b222 .2a2 b2 4 a b2 2

= a2 2b22 2ab2 a2 2b22ab a  2 2b2 2ab

Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a, x 4 4 b, 4x 8 1 d, x 4 4

HD:

a, Ta có: x4 4  x2 2222 .2 4x2  x2 x222 2x2

= x2 2 2x x  2  2 2x

b, Ta có: 4x8 1 2x42122.2 1 4x4  x4 2x41 2 2x22

= 2x4 1 2x2 2x4 1 2x2

c, Ta có: x4 4  x2 2222 .2 4x2  x2 x222 2x2

x2 2 2x x  2 2 2x

Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a, x64x321 b, a10a51 d, x5 x4 1

HD:

a, Ta có: x64x32 1 x642.x32 1 x32 x3212 x32

b, Ta có: a10 a5 1 a10 a  a5 a2  a2 a 1 a a 91a a2 31  a2 a 1

= a a( )3 31a a2 31  a2 a 1 a a 31 a62a31a a2 31  a2 a 1

=  7 4     2  2   2   2 

a  a a a a  a a a a  a  a  a

= a2 a 1  a7 2a4 a a  1a3 a21

c, Ta có: x5 x4 1x5 x4x3  x31x x3 2 x1 x1 x2 x1

x2 x1 x3 x1

DẠNG 3: ĐA THỨC BẬC CAO Phương pháp:

Đối với đa thức bậc cao có dạng x3m1x3m2 luôn luôn có nhân tử chung là bình phương thiếu1 của tổng hoặc hiệu, nên ta thêm bớt để làm cuất hiện bình phương thiếu của tổng hoặc hiệu:

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: x7x5x4x3x21

HD:

Ta có: x7x5x3  x4 x21 x x3 4x21  x4x21

= x4x21 x31  x2 x 1 x2 x1 x1 x2 x1

= x2 x12x1 x2 x 1

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: x11x10x9 x2 x 1

HD:

Ta có: x11x10x9 x2  x 1 x11x10x9  x8x7x6 x2 x 1

x2 x 1 x9x6x31 x1 x21 x4 x21 x2 x1 x2 x 1

Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: x814x41

HD:

Ta có: x82x4 1 12x4 x41212x4 x4122.x41 2 x24x4 4x x2 418x4

=x4 1 2x2 2 2x3 2x2

Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: x898x41

HD:

Ta có: x4122x4 1 82 x264x416x x2 4132x4

=x48x21216x x2 4 1 2x2  x48x21 2 4x3 4x2

Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2x5 3x46x3 8x23

HD:

Ta có: 2x5 3x46x3 8x2 3 2x5 2x4 x4x35x3 5x2 3x23

2x x 1 x x 1 5x x 1 3 x 1

=x12x23 2  x1

Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: x5 5x44x34x2 5x1

DẠNG 4: ĐA THỨC ĐA ẨN

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: x2y2 z22xy 2z1

HD:

Ta có: x2y2 z22xy 2z 1 x22xy y 2  z22z1 x y 2 z12

      

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 y2z2 2xz2y1

HD:

Ta có: x2 y2z2 2xz2y 1 x2 2xz z 2  y2 2y1 x z 2 y12

x z y  1 x z y  1

Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: x6 2x4 x y3 32xy3

HD:

Ta có: x6 2x4 x y3 32xy3  x x 5 2x3 x y2 32y3

= x x x 3 2 2 y x3 2  2 x x 3 y3 x2 2

  = x x y x    2 2 x2xy y 2

Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: x6 x4 9x39x2

HD:

Ta có: x6 x4 9x39x2 = x x2 4 x2 9x9

= x x x2 2 21 9x1 x x x2 2 1 x1 9x1

  = x x2 1 x3x2  9

Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: a b c  2a b c  2 4b2

HD:

Ta có: a2b2c22ab2bc2ca  a2b2c2 2ab 2bc2ac 4b2

2a2 2c2 2b2 4ac 2a2 2ac c2 b2 2a c2 b2

2 a c b a c b

Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: a b 2 c2 b c 2 a2c a 2 b2

HD:

Ta có: ab2 ac2 bc2a b a c b c a b c2  2  2  2  b a c2   c a b2  

= a b c2  b2a b   b c  c a b2  

= a b c2  b a b2   b b c2   c a b2  

= b c a   2 b2a b b   2 c2b c a b a b         a b b c b c       

= a b b c a b b c           a b b c a c       

Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: xy x y  yz y z  zx x z  3xyz

HD:

Ta có: = xy x y  xyzyz y z  xyz zx z x  xyz

= xy x y z   yz x y z   zx x y z     x y z xy yz zx      

Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: xy x y   yz y z   zx z x  

HD: