Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Chuyên đề TỨ GIÁC, HÌNH THANG I Kiến thức cần nhớ 1 Định nghĩa và tính chất của tứ giác lồi • Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó bấ[.]
Trang 1Chuyên đề
TỨ GIÁC, HÌNH THANG
I Kiến thức cần nhớ
1 Định nghĩa và tính chất của tứ giác lồi
• Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng (h.2)
• Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của
tứ giác (h.2)
Tổng các góc của một tứ giác bằng
• Bổ sung Tổng bốn góc ngoài ở bốn đỉnh của một tứ giác bằng
2 Định nghĩa hình thang
Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song Hai cạnh song song gọi là hai cạnh đáy, hai cạnh còn lại gọi là hai cạnh bên (h.3)
3 Nhận xét
• Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau
• Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau
• Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông
II Một số ví dụ
Ví dụ 1 Cho tứ giác lồi ABCD AB < AD, AC là tia phân giác của Chứng minh rằng BC = DC
Giải (h.4)
Trang 2Trên tia AD lấy I sao cho AI = AB thì I thuộc cạnh AD.
ABC = AIC (c.g.c) => BC = CI;
Mặt khác : Tứ giác ABCD có =>
Suy ra : => DIC cân tại C => CI = CD => CB = CD
Nhận xét
• Bài toán trên không cần giả thiết AB < AD Giả thiết này chỉ nhằm mục đích bài toán chỉ có một trường hợp (I thuộc cạnh AD) khi chứng minh
• Có thể giải bài toán trên bằng cách khác : Gọi H, K là chân đường vuông góc của C xuống đường thẳng
AB, AD từ đó suy ra CHB = CKD, ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 2 Cho hình thang ABCD (AB // CD) có CD = AD + BC Chứng minh rằng đường phân giác của
góc A và góc B cắt nhau tại một điểm thuộc CD
Giải (h.5)
Trên canh DC lấy E sao cho DE = DA
=> CE = BC Ta có ADE cân tại D
Mà AB // CD => (so le trong)
=> => AE là phân giác của
Trang 3Tương tự BE là phân giác của Vậy phân giác của và cắt nhau tại một điểm thuộc CD.
Nhận xét.
• Kĩ thuật chứng minh bài toán là dự đoán và chứng minh phân giác góc A, B cùng đi qua điểm đặc biệt E
• Ngoài ra, có thể trình bày theo cách khác : Gọi phân giác góc A cắt CD tại E, rồi chứng minh BE là
phân giác góc B.
Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD trong đó có Aˆ = 600,Cˆ = 1500, Dˆ = 750 Tính số đo của góc Bˆ?
Hướng dẫn:
Theo định lý, tổng các góc của một tứ giác bằng 3600
Khi đó ta có: Aˆ + Bˆ + Cˆ + Dˆ = 3600
⇔ 600 + Bˆ + 1500 + 750 = 3600
⇔ Bˆ = 3600 - 2850 = 750
Vậy Bˆ = 750
Ví dụ 4: Hình thang vuông ABCD có Aˆ = Dˆ = 900; AB = AD = 3cm;CD = 6cm Tính số đo góc B và C của hình thang ?
Hướng dẫn:
Kẻ BE ⊥ CD thì AD//BE do cùng vuông góc với CD
+ Hình thang ABED có cặp cạnh bên song song là hình bình hành
Áp dụng tính chất của hình bình hành ta có
AD = BE = 3cm
Xét Δ BEC vuông tại E có
⇒ Δ BEC là tam giác vuông cân tại E
Trang 4Khi đó ta có: Cˆ = 450 và ABCˆ = 900 + 450 = 1350.
III Bài tập tự luyện
1 Cho tứ giác ABCD có Các tia phân giác góc A và góc B cắt nhau tại I Biết góc
Tính số đó
2 Cho tứ giác ABCD Các tia phân giác cắt nhau tạo thành một tứ giác Chứng minh tứ giác
đó có tổng hai góc đối bằng
3 Tứ giác ABCD có Chứng minh rằng tia phân giác góc song song với nhau hoặc
trùng nhau
4 Chứng minh rằng một tứ giác lồi có bốn đỉnh thuộc các cạnh của tam giác đều cạnh bằng 2020 thì
không thể có cả bốn cạnh đều lớn hơn 1010
5 Cho năm điểm trên mặt phẳng trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Chứng minh rằng bao giờ
cũng có thể chọn ra được bốn điểm là đỉnh của một tứ giác lồi
6 Cho tứ giác ABCD Biết rằng
a) Chứng minh ABCD là hình thang
b) Gọi giao điểm của AD và BC là E Tính các góc của tam giác CDE
7 Cho tứ giác ABCD có các góc đối bù nhau Biết rằng các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại E, các
đường thẳng AB và DC cắt nhau tại F Tia phân giác của hai góc CED và AFD cắt nhau tại M Chứng
minh FM vuông góc EM
8 Cho ABCD là hình thang (AB // CD) Biết rằng tia phân giác góc C đi qua trung điểm M của AD
Chứng minh rằng :
a) Tam giác BMC vuông
b) BC = AB + CD
9 Cho hình thang ABCD có ; DC = BC = 2.AB
Tính số đo
10 Cho ABCD là hình thang có Tia phân giác góc C đi qua trung điểm M của AD Gọi E
là hình chiếu của M trên BC Tính số đo
Trang 5Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng
I Luyện Thi Online
-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học
-Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II Khoá Học Nâng Cao và HSG
-Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG
-Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III Kênh học tập miễn phí
-HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
H c m i lúc, m i n i, m i thi t bi – Ti t ki m ọ ọ ọ ơ ọ ế ế ệ
90%
HOC247 NET c ng đ ng h c t p mi n phí ộ ồ ọ ậ ễ