Câu 1 Tìm khai triển Taylor của 2 ( , ) x y f x y x y tạiđiểm (2,1)đếncấp 3 *X=x 2, Y=y 1 *f(X,Y)= 2
Trang 1
Câu 1: Tìm khai triển Taylor của f x y( , ) 2x y
x y
tạiđiểm (2,1)đếncấp 3
*X=x-2, Y=y-1
*f(X,Y)= 2𝑋+𝑌+5
𝑋+𝑌+3 = 1+ 𝑋+2
3 1+𝑋3+𝑌3 = 1 +𝑋+2
3 [1-(X/3 +Y/3)+ (X/3 +Y/3)2 -(X/3 +Y/3)3 + o(ρ3
)]
= 5
3 +1
9 X - 2
9Y - 1
27X2 + 2
27Y2 + 1
27XY + 1
81X3 - 2
81Y3 - 1
27XY2 + o(ρ3)
=5
3 +1
9 (x-2) - 2
9(y-1) - 1
27(x-2)2 + 2
27(y-1)2 + 1
27(x-2)(y-1) + 1
81(x-2)3 - 2
81(y-1)3 -
1
27(x-2)(y-1)2 + o(ρ3)
Câu 2:Tính tích phân 𝑥 + 1 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑉 Trongđó V giới hạn bởi:
𝑥 = 0
𝑦 = 𝑥2
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2
𝑧 = 0
Trang 2
𝑑𝑥 𝑑𝑦 2−𝑥−𝑦 𝑥 + 1 𝑑𝑧
0
2−𝑥
𝑥 2
1
−2
=−9 2
Câu 3: Tìm tất cả các giá trị ∝ để chuỗi sau hội tụ:
( 𝑛2 + 1 − 𝑛3 3 + 1 )∝2+∝−1
𝑛→∞
𝑛→0
( 𝑛2 + 1 − 𝑛3 3 + 1 )∝2+∝−1~𝑛 1 + 1
2𝑛2 − 𝑛 1 + 1
3𝑛3 ~ 1
2𝑛
Để chuỗi hội tụ =>∝2 +∝ −1 > 1 <=>∝> 1 ℎ𝑎𝑦 ∝ < −2
Câu 5:Tính tích phân mặt loại hai
S
, với S là biên vật thể giới hạn bởi
4,
x y z z x y , phía trong
Các đk công thức Gauss thỏa
S
I x dydz y dxdz z dxdy = -3 (𝑥2
𝑽 + 𝑦2 + 𝑧2)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
=-3 𝑑𝜑02𝜋 𝑑𝜃𝜋4
0 𝑟02 2𝑟2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝑟 = 1925 ( 22 − 1)
Trang 3Câu 6:Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 1
!( 4)n
n n
n x n
ρ= lim
𝑛→∞
1
4 𝑛 (3𝑛−1)
𝑛
= lim
𝑛→∞
1
4 3𝑛−1𝑛 =1/4
=>-4<x2<4 => -2<x<2
x=±2 : ∞ −1 4𝑛𝑛 −1(3𝑛−1)(±2)2𝑛
𝑛=1 = − ∞ (3𝑛−1) −1 𝑛
𝑛=1 hội tụ theo tc Leibnitz Miền hội tụ: [-2;2]
Câu 7:Tính tích phân 2 3 2
C
, trong đó C là biên của miền phẳng giới hạn bởi
2
2 ,
y x y x, chiều kim đồng hồ
S là biên của miền phẳng giới hạn bởiy 2 x y2, x
Các đk CT Green thỏa, C ngược chiều quy ước
2 3 2
C
I Ñ x y dx x y dy= − 3 − 1 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆 = -2 𝑑𝑥−12 −𝑥2−𝑥2𝑑𝑦 = -9