1 giới hạn dãy số

Định nghĩachặn trên và chặn dưới có nghĩa là nếu như tồn tại số ∃M, m ∈ R sao cho với mọi ∀n ∈ N luôn có Định nghĩa... Định nghĩaĐịnh nghĩa mọi số ∀a ∈ R không là giới hạn của dãy số này

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Bài giảng điện tử

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TP HCM — 2013

Tính diện tích của hình tròn có bán kính R

A = lim

n→∞An = πR2

Nội dung bài học

Định nghĩa dãy số

Định nghĩa

Ánh xạ f : N −→ R từ tập hợp số tự nhiên lên

Phương pháp thứ nhất.

Phương pháp thứ hai.

trục Ox

1 Tính tăng và tính giảm.

Định nghĩa

nếu như với mọi n ∈ N luôn có bất đẳng thức

xn < xn+1(xn > xn+1)

n+2 n+1 )n+1(n+1n )n =

n+1 n+1 n

n )n+1(n+2n+1)n+2 =

n n+2 n+1

2 Tính bị chặn.

Định nghĩa

nếu như tồn tại số ∃M ∈ R (m ∈ R), sao cho với

(xn)

Định nghĩa

chặn trên và chặn dưới có nghĩa là nếu như tồn tại

số ∃M, m ∈ R sao cho với mọi ∀n ∈ N luôn có

Định nghĩa

Định nghĩa

N = N(ε) sao cho với mọi ∀n > N luôn có bất

n→∞xn = a

Định nghĩa

Định nghĩa

mọi số ∀a ∈ R không là giới hạn của dãy số này,

Định lý

Định lý

giới hạn đó là duy nhất

Định nghĩa

N = N(M) > 0 sao cho với mọi ∀n > N luôn có

Chứng minh Vì 0 < 1q < 1 nên theo giới hạn cơbản, ta có

lim

n→∞

 1q

Lấy 1 số M > 0 bất kỳ và đặt ε = M1 > 0, khi đótheo định nghĩa giới hạn thì đối với số ε > 0 nàytồn tại số N = N(ε) > 0 sao cho với mọi ∀n > N

vậy lim

n→∞qn = ∞

Định nghĩa

một dãy số tự nhiên tăng bất kỳ, khi đó dãy số

Định nghĩa

hội tụ đến số c

Ví dụ

{1, 1, , 1, } được gọi là 1 dãy con của dãy

Với n = 2k + 1 thì dãy {−1, −1, , −1, }

Nếu như dãy (xn) hội tụ đến số a, thì với mọi dãy

lim

k→∞xnk = a

Định lý

Chú ý Để chứng minh dãy (xn) phân kỳ ta làmnhư sau:

riêng khác nhau

Ví dụ

Không phải với dãy số nào cũng có giới hạn riêng.Dãy số 1, 2, , n, không có giới hạn riêng

Giới hạn của dãy đơn điệu Định lý Weierstrass

(dưới) thì giới hạn của nó là +∞(−∞)

Ví dụ

có giới hạn hữu hạn Giới hạn này được kí hiệu làe

tăng và bị chặn trên Vì vậy theo định lý

Weierstrass tồn tại giới hạn hữu hạn

Chú ý Số e là số siêu việt (không phải là số đạisố) Nó không là nghiệm của đa thức với hệ số

Số e ≈ 2, 718281828459045, số này còn được gọi

là số Neper hay số Ơle

Dùng biến đổi đại số để tìm giới hạn của dãy số

2n(n2 + 1)

n 2 = ∞.

n2 + 1

= 0

n2 + 1

= ∞

Dùng định lý kẹp giữa tìm giới hạn của dãy số

khác lim

n→∞

r2

5n(−6)n − 6

Dùng định lý Weierstrass về sự tồn tại giới hạn của dãy đơn điệu

Dãy an bị chặn trên Thật vậy

trên nên nó hội tụ

Dãy an bị chặn trên Thật vậy

trên nên nó hội tụ

2nn!

Dãy an bị chặn dưới bởi 0 vì an > 0 Như vậy, dãy

Thật vậy, an+1 = √

trên nên nó hội tụ

a + 1.

Thật vậy, x1 = √

a <p

trên nên nó hội tụ

Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thức này khi n → ∞

Sử dụng giới hạn của số e tính giới hạn dạng 1∞

Ví dụ

Tìm giới hạn lim

n→∞

n

Chứng minh dãy số phân kỳ

Định lý

Các lệnh cơ bản

Ví dụ: N = 1000; for i = 1 : N X(i) = 1/i;

plot(X(i),’.’); end;

THANK YOU FOR ATTENTION