TOÁN DÀNH CHO KINH TẾ VÀ QUẢN TRỊ CHƯƠNG III GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC PHÉP VI PH

Giảng viên : Thầy Nguyễn Thanh VânTOÁN DÀNH CHO KINH TẾ VÀ QUẢN TRỊ CHƯƠNG III: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC - PHÉP VI PH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP.HỒ CHÍ MINH 1.. Nguyễn Thị Minh Thy 3.. Nguyễn

Giảng viên : Thầy Nguyễn Thanh Vân

TOÁN DÀNH CHO KINH TẾ VÀ QUẢN TRỊ

CHƯƠNG III: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC - PHÉP VI PH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP.HỒ CHÍ MINH

1 Lê Cao Thịnh

2 Nguyễn Thị Minh Thy

3 Nguyễn Trọng Tín

4 Đặng Nữ Huyền Trang

5 Nguyễn Khánh Trâm

6 Đặng Lê Huyền Trân

7 Nguyễn Gia Bảo Trân

8 Mã Quảng Trấn

9 Nguyễn Trần Thanh Trúc

10 Nguyễn Phạm Nhã Tuệ

11 Hồ Minh Cát Tường

12 Nguyễn Lê Thanh Uyên

13 Trương Mỹ Uyên

14 Võ Thị Tường Vân

15 Trương Khả Vy

16 Văn Thị Tường Vy

17 Đào Thị Hồng Nhung

Tác giả: TỔ 3

I TRẮC NGHIỆM:

Câu 1:

a) Nếu f liên tục tại f(x0) thì f đạo hàm tại x0 Thì đây chỉ mới là điều kiện cần nhưng chưa là điều kiện đủ, ví dụ:

f ( x )={x2kℎi x ≥ 0.

x kℎi x <0

lim

x→ 0+¿ (f(x) ) ¿

¿ =0

lim

x→ 0 −(f ( x )) =0

f(0) = 0

=> Hàm số có sự liên tục

f ’(0 -) =lim

x→ 0 −(x x)=1 =0

f ’(0+) = x→ 0+lim¿(x2

x)¿

¿

= x→ 0+lim¿(x)=x¿¿ = 0

=> Không có đạo hàm b)Sai

c) Đúng f khả vi tại x0 thì f xác định tại x0

d) Sai

Câu 2: Hàm f (x) = x |x −1|

Giải

Ta có:

lim

x→ 1+ ¿f(x) = lim

x →1+x ( x−1 )=0¿

¿¿

¿

lim

x→ 1 − f (x )= lim

x→ 1 − x(1 − x )=0 → x →1+ ¿ lim

f(x) = lim

x→ 1 − f (x)=f( 1 ) =0 ¿

¿

f (1)=1|1−1|=0

→ Hàm số liên tục tại x0=1 →Câu A đúng

Lại có:

x→ 1+ ¿

¿

¿ f ( x )− f(x0)

x → 1+ ¿x(x− 1)−0

x −1 =x →1lim+x=1¿

¿¿

¿

lim

x→ 1 −

¿ f ( x )− f(x0)

lim

x →1 −

x (1 − x ) −0

x − 1 =x →1+lim¿

− x=−1¿

¿

Vì x→ 1+ ¿lim

f(x)≠ lim

x→1 −¿ ¿

¿

( 1 ≠ −1¿

→ Không tồn tại đạo hàm tại x0=1 → Hàm f ( x ) kℎông kℎả vi t iạ x0= 1

→ Câu B, C sai

=> Chọn A.

x →0

ln(a+ x) −lna

A I= 1/a B I=1 C I= 2 D Cả a,b,c đều sai

Giải

Áp dụng quy tắc L’Hospital:

I= lim

x →0

ln( x +a) −lna

x

I= lim

x →0

1

a+x − 0

1

I= 1a

=> Chọn A

x →1

e x −e xlnx

A I= e B I=1 C I=2 D Cả a,b,c

đều sai

Giải

Áp dụng quy tắc L’Hospital:

I= lim

x →1

e x −e

xlnx

I= lim

x →1

e x −0

lnx+1

I= e

=> Chọn A

Câu 5: Nếu f(x) là hàm số liên tục trên (a,b) thì:

(a,b)

Giải

Ví dụ:

f(x) = 1x liên tục trên (0;1)

→ f ’(x) = −1

x2

1

→ f(x) không có đạo hàm trên (0;1), f(x) không bị chặn tại (0,1), f(x) chỉ đạt GTNN

=1, không tồn tại GTLN

=> Chọn D

Câu 6: Hàm f ( x)={e sinx 2 x− 1 kℎi x ≠ 0

0 kℎi x =0

Giải

lim

x−>0+ ¿

f (x)¿

¿ = x−>0+ ¿ lim

f (x)=lim

x− >0

sinx

e 2x −1¿

¿

= lim

x−>0

x

2 x = 12 ≠ f(0)

=> f(x) không liên tục tại x = 0 => f(x) không có đạo hàm tại x = 0

=> Chọn C

Câu 7:

A. f có gi i ớ ℎ n ạ t i ạ x0 =0 n uế f có f '¿)

B. f liên t c ụ t i ạ x0=0 tℎì f có đ oạ ℎàmt i ạ x0=0

C. f có đ o ạ ℎàm t i ạ x0=0 n u ế f có f '¿

D Cả ba câu trên đều sai

Giải:

a) f có gi i ớ ℎ n ạ t i ạ x0 =0 n uế f có f '¿): Sai

f có gi i ớ ℎ n ạ t i ạ x0≤ ¿ lim

x → x0f ( x )=L

b) f liên t c ụ t i ạ x0=0 tℎì f có đ oạ ℎàmt i ạ x0=0 : Sai

VD : f ( x )=|x|liênt c ụ t i ạ x0 =0 nℎ ngư f '¿

¿ >ℎàmsố liên t c ụ t i ạ 0 nℎ ng ư kℎông có đ o ạ ℎàmt i ạ 0

c) f có đ o ạ ℎàm t i ạ x0=0 n u ế f có f '¿

f có đ o ạ ℎàm t i ạ x0≤ ¿f '

¿

=> Cả ba câu trên đều sai => Chọn D

Câu 8: Cho hàm số f(x) = {e mx – cos x x kℎi x ≠ 0

m2kℎi x=0

Giải:

Ta có : limx →0 f (x ) = lim

x →0

e mx – cos x

x →0

Hàm số liên tục khi f(0) =limx →0 f (x ) <=> m = m2

<=> [m=0 m=1

=> Chọn D

A. |f (x )| gián đoạn tại x 0

B. |f (x )| không xác định được tại x 0

C. |f (x )| khả vi tại x 0

D. |f (x )| liên tục tại x 0

Giải:

g(x0+) = g(2+) = x→ 2lim+ ¿

¿

¿g(x) = x→ 2lim+ ¿

(x− 2)¿

¿ =0 g(x0-) = g(2-) = lim ¿x → 2 −¿g(x) = lim ⁡(2 − x ) x →2 − = 0

g(x0) = g(2) = 0

Vì g(x0+) = g(x0-) = g(x0) = 0 nên hàm số liên tục tại x0 =2

=> Chọn D

Giải:

f '

¿2 coscos2 x 1

¿ cos 2 x

Với x = 0; √sin 2 x + 4=2

f '(0)= ¿ 12 ℎ '(2) = 12 (− 10)=− 5

Câu 11: Cho hàm số f ( x )={e x − 1

x kℎi x ≠ 0 mkℎi x=0 Tìm m để f (x) khả vi tại x0=0 Tính f '( 0).

A m = 1, f '( 0)= 0

B m = 1, f '( 0)= 1

C m = 1, f '( 0)= 12

D A,B,C đều sai

Giải:

f (x) khả vi tại x0=0 <=> f(x) có đạo hàm tại x0=0 tồn tại hữu hạn

Ta có: L=

e x − 1

e x − 1

x2 − m

e x −1

1

x − m x

¿ 1

x −

m

x=

1− m

x

Để L tồn tại thì 1− m x tồn tại <=> 1 - m = 0

<=> m = 1

Câu 12: Đặt L = x→ 0+lim¿ ¿¿¿¿ và K = lim

x→+∞(1+ 1

x

A L = 0, K = √e B L = 1, K = √e C L = 2, K = 0 D L = + ∞ , K = √e

Giải:

* L = x→ 0+lim¿ ¿¿¿¿ = x→ 0+lim¿e x.ln(2 x)

¿

¿ = x→ 0+lim¿e0

¿

¿ = 1

* K = lim

x→+∞(1+ 1

x

= lim

x→+∞[(1+ 1

2 x

]12 = e12 =√e (vì lim

x→+∞(1+ 1

2 x

= e ) Vậy L = 1, K = √e

=> Chọn B

Câu 13: Cho f ( x )=α ( x ).|x − 1| với α ( x ) xác định trong lân cận của 1 Khi đó:

A. f ( x ) có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại 1 nếu α ( x ) có giới hạn khi x → 1.

B. f ( x ) có đạo hàm tại 1 nếu α ( x ) là vô cùng bé khi x → 1.

C. f ( x ) liên tục tai 1 nếu a ( x ) bị chặn trong lân cận tại 1.

Giải:

Ta có f ( x )={α ( x ) (x − 1)kℎi x ≥1

α ( x ).(1− x )kℎi x <1

lim

x→ 1+ ¿

f(x) = ¿¿

¿ lim

x→ 1+ ¿α(x).(x −1 )= lim

x→ 1+α (x )¿

¿¿

¿ x→ 1+lim¿

(x − 1) = ¿¿

¿ 0

lim

x→ 1 − f ( x )=¿ lim

x→ 1 − α ( x ).(1 − x )= lim

x→ 1 − α ( x ) lim

→ f ( x ) liên tục tại x0¿1 khi và chỉ khiα ( x ) liên tục tại x0¿1

→ Loại C và D

f '¿ x→ 1+ ¿α(x).(x −1 )− 0lim

x− 1 =x→ 1lim+α ( x)¿

¿¿

¿

f '(1−)= ¿ lim

x→ 1 −

α (x ) (1 − x)−0

x −1 =x →1lim−[− α ( x )]=− lim

x→ 1 − α ( x )

→ f ( x ) không có đạo hàm tại x0¿1

→ f ( x ) có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại 1 nếu f ( x ) có giới hạn khi x→ 1

Câu 14: Cho hàm số y = f (x) = f ( x )={√2 x +1− cosx

D) Cả A, B, C đều sai.

Giải

Ta có: limx →0 f (x ) = lim

x →0

x →0( 1

Với f(0) = 1 => f(0) = limx →0 f (x )

=> hàm số đã cho liên tục tại x0 = 0

=> loại câu A

Ta có limx →0 f (x ) = f ’(x0-) = f ’(x0+) thì hàm số có đạo hàm tại x0 = 0

lim

x →0

x

= lim

x →0

x →0

1

2 x

=

lim

x →0

− 1

(2 x+1)

3

2

2

=0

=> f ’(0)=0 => chọn B

A E D = −12 B E D = 32 C.E D = 2 D.E D = −32

Giải

Ta có : E D = % ∆ Q D

∆ P Q P = 12. ∆Q D

∆ P = 12 Q ' D(P)

⟺ E D = 12 (-3) = −32

⇒ Chọn D.

+P− 200 , với P là giá bán sản phẩm đó Hệ số co

A E S = 50029 B E S = 5011 C E S = 5022 D.E S = 4111

Giải

Ta có: E S = % ∆ Q S

= 22020 .(2.20 + 1) = 4111

⇒ Chọn D

II TỰ LUẬN:

Giải

Ta có: fx’ = (sin x +3 y

2

2.√sinx +3 y2 +1 = 2. cos x

√sinx+3 y2

fy’ = (sin x +3 y

2

2.√sinx+3 y2+1 = 6 y

2.√sinx+3 y2+ 1

=> df = cos x dx

2.√sinx+3 y2

2.√sinx+3 y2

2.√sinx+3 y2 +1

Bài 2 : Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ trên hai thị

trường tách biệt Biết hàm cầu trên từng thị trường là:

Q D1=400− 2 P1 ; Q D2=220 − P2

lượng hang phân phối cho thị trường thứ i

Giải

Ta có : {Q D1 =400 −2 P1

TR (Q1; Q2 ) = P1Q D1+ P2Q D2

= (200 −1

= 200Q D1− 1

2

=> [TR (Q1; Q2 )]’ = - Q D1+ 420 - 2Q D2

Doanh thu biên tế tại Q1= 2 là: -2 +420 – 2Q D2=418− 2QD2

2/ Tìm mức sản lượng và lượng hàng phân phối cho từng thị trường để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa.

Gọi Q1 là mức sản lượng cần tìm ở thị trường 1 để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa

Q2 là mức sản lượng cần tìm ở thị trường 1 để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa

Để doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì

Doanh thu của doanh nghiệp :

TR = P1Q1+ P2Q2 = 200Q D1− 1

2

Lợi nhuận tối đa :

TR – C = = 200Q D1− 1

2

– [(Q1+ Q2)2 + 20(Q1+ Q2) + 10]

= -1,5 Q12 – 2Q22 + 180Q1 + 200Q2 – 2Q1Q2 +10

Để lợi nhuận tối đa <=> LN max

Điểm dừng của hệ nghiệm là :

{∂ Q ∂ ln1=0

∂ ln

∂ Q2=0

=> {−3 Q1 +180 −2 Q2=0

Q2=30

Điểm dừng tại M = ( 40, 30)

Xét đạo hàm riêng cấp 2

{∂ L N ∂ Q122=−3

∂ L N2

∂Q22 =−4

; ∂ L N

2

∂Q12Q22 = -2

Ta có H1 = -3 < 0 ∀ Q1>0 ;Q2> 0

H2 = |− 3 −2 − 2 − 4| = 8 >0

Vậy lợi nhuận max tại mức sản lượng Q1= 40 ,Q2= 30

III SÁCH BÀI TẬP:

d) y= sin2x

Giải

Ta có: y’ = 2cos2x = 2sin(2x + Π2)

y’’ = -22sin2x = 22 sin(2x + 2 Π2)

y’’’ = -23 cos2x = 23sin(2x + 3Π2)

Bằng cách quy nạp, ta có:

y(n) = 2n sin(2x + n.Π2)

Bài 14 : Cho f(x) = x.sinx Tính f(20) (0)

Giải

f(1)(x) = sinx + x.cosx

f(2)(x) = 2.cosx – x.sinx

f(3)(x) = -3.sinx – x.cosx

f(4 )(x) = -4.cosx + x.sinx

f(5)(x) = 5.sinx + x.cosx

=> { f(4 k+1 )=(4 k +1) sinx+ x cosx

f(4 k +2)=(4 k +2) cosx − x sinx

f(4 k+ 3)

=− (4 k +3) sinx − x cosx

f(4 k )

=−(4 k ) cosx+x sinx

=> f(20)(x) = -20.cosx + x.sinx

=> f(20)(0) = -20

Bài 16 : Sử dụng công thức vi phân, tính gần đúng:

Giải

a) Xét hàm số f (x) ¿arctan x

=> f ’(x) ¿ 1

Gọi x0=1 ; Δ x=0 , 05

=> f (1,05) ≈ f ’(1).0,05 + f(1)

=> arctan(1,05) ≈ 1

=> arctan(1,05) ≈ 0,025 + π4

=> arctan(1,05) ≈ 0,025 + 0,785

=> arctan(1,05) ≈ 0,81

b) Xét hàm số f(x)¿lnx

=> f ’(x)¿ 1

x

Gọi x0=1 ; Δ x=0.03

=> f(1,03) ≈ f’(1).0,03 + f(1)

=> ln(1,03) ≈ 11.0,03 + ln1

=> ln(1,03) ≈ 0,03

Giải

Với Q = 9 thì : 9 = 30 - 4P - P2

=> [P=−7 P=3

Ta có: Q = 30 - 4P - P2

=> ln(Q) = ln ( 30 - 4P - P2 )

=> d (lnQ) = − 2 P − 4

=> ε=P −2 P− 4

Với P = 3 thì ε=¿ −10

3

Với P = -7 thì ε=¿ −70

9