Giải tích phức

Ngược lại nếu hàm thỏa mãn Côsi-Riman và các hàm Ux, y, Vx, y cùng các đạo hàm riêng liên tục tại một điểm thì tại đó nó có đạo hàm.. b Quy tắc tính đạo hàm hàm biến phức tương tự như hà

CHƯƠNG I GIẢI TÍCH PHỨC

§1 SỐ PHỨC

I Dạng đại số của số phức được xác định z = x + iy

trong đó : x  Rez gọi là phần thực của z

y  Imz gọi là phần ảo của z

Cho hai số phức z1 x1 iy ;z1 2  x2 iy2 ta nói z1z2 x1 x2 và y1 y2

số phức z x iy gọi là số phức liên hợp của z x iy

Mặt phẳng phức được thể hiện bởi một hệ trục tọa độ.Trong đó trục 0y được gọi là trục ảo,còn trục 0x là trục thực

Khi cho z  x  iy thì tương đương với M(x,y) trên m/p được gọi là tọa vị của M

z r cos isin z r cos isin  r cosn isin n

thừa nhận: cos i sin ei(công thức ơle)

z 

c) z z1 2 z1 z2

d) z / z z / z

II CĂN BẬC n CỦA SỐ PHỨC

W được gọi là căn bậc n của số phức z và viết Wn z (nN) nÕu Wn z

n 1

 thì zzo theo nhiều cách khác nhau

với hàm f (z) biểu diễn dưới dạng f (z)U(x, y)iV(x, y) víi zx iy

II Đạo hàm của hàm biến phức

 U (x , y )x o o V (x , y )y o o và V (x , y )x o o  U (x , y )y o o (Đ/k Côsi-Riman)

Nhận xét:

a) nếu hàm số giải tích thì thỏa mãn đ/k Côsi-Riman

Ngược lại nếu hàm thỏa mãn Côsi-Riman và các hàm U(x, y), V(x, y) cùng các đạo hàm riêng liên tục tại một điểm thì tại đó nó có đạo hàm

b) Quy tắc tính đạo hàm hàm biến phức tương tự như hàm biến thực

U  U 0 vµ V V  đó là các hàm điều hòa 0Trong khuôn khổ chương trình ta đi tìm các hàm giải tích mà các hàm thành phần là các hàm điều hòa

III MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN

a) Các tính chất hàm lượng giác phức có tính chất như hàm lượng giác thực b) cos z và sin z nói chung không bị chặn như trong thực,chẳng hạn

5) Hàm Lôgarit là hàm ngược của hàm W= ez và viết W Lnz

khai triển ta được Lnz ln z i(arg zk2 ) với k ,còn ln z ln z i arg z được gọi

là nhánh chính của Lnz Các tính chất của Lnz tương tự như trong thực.Riêng đạo hàm của Lnz ta phải thực hiện trên từng nhánh

6) Hàm lượng giác ngược,đó là các hàm đa trị :

iz

Ví dụ:Tính Re(arctge i) với  nhọn

7) Hàm lũy thừa tổng quát W=za với a     và viết i W=eaLnz

cụ thể ( i ) ln z iArgz ln z Argz i ln z Argz

 trong đó dmax z k với zk zk 1 zk

và giới hạn không phụ thuộc vào phép chia AB và cách chọn  thì giới hạn đó gọi là tích kphân hàm f(z) dọc theo cung AB và viết

 AB

z z

dz(z z )

   với n  

Nếu có hàm F(z) thỏa mãn F (z) f (z)thì 



z B

z A AB

 được gọi là tích phân loại Côsi

Định lý : Cho f(z) liên tục trên L,khi đó

Mọi hàm f(z) giải tích tại z = a luôn biểu diễn dưới dạng  

n 0

zsin z ( 1)

n 0

zcos z ( 1)

n 0

ze

2 i ( a) 

 



    với n0, 1, 2, 3,    Đó là điều phải chứng minh

III.PHÂN LOẠI ĐIỂM BẤT THƯỜNG

1) Không điểm: z được gọi là không điểm của f(z) nếu f (a)a  , còn z0  được agọi là không điểm cấp m của f(z) nếu: f (z)(za)m(z) trong đó (a) và giải tích 0

 thì z  gọi là điểm bất thường bỏ được a

 Nếu trong phần chính của khai triển Laurent tại z chỉ có hữu hạn số hạng a

 Nếu trong phần chính của khai triển Laurent tại z có vô số số hạng thì a

z  được gọi là điểm bất thường cốt yếu a

1 f ( )dc

2 i ( z ) 

 



    với n0, 1, 2, 3,    Khi n  1

 trong đó f (z) nhận z2  là không điểm cấp 1 và a f (a)1 0

đồng thời f (z) giải tích tại z2  thì a   1

2

f (a)Resf (z), z a

1) Tích phân phức trên đường cong kín : Giả sử a (k 1, N)k  là các điểm bất

thường của f (z) nằm trong miền giới hạn bởi L (trơn),thì

 

N

k

k 1 L

 trong đó f (x) là phân thức hữu tỷ

 Bổ đề : Gọi C là nửa đường tròn tâm 0,bán kính R có R Im z0 và thỏa mãn

 với f (z) có i deg f (z)1  2deg f (z)2 và f (z)

có a (kk 1, N)là các cực điểm ở phía trên 0x và b (kk 1, M)là cực điểm đơn trên 0x

f (x)e f (x) cos x if (x)sin x khi đó

f (x)ei xdx f (x) cos xdx i f (x)sin xdx



Qua đó f (x)cos xdx Re f (x)ei xdx

F(z) e  f (z) với  0 cố định,còn f (z) giải tích trong nửa mặt phẳng Im z trừ một a

số hữu hạn các điểm bất thường và

11

nx n z zX z Đó là điều phải chứng minh

Ví dụ :Tìm biến đổi Z của dãy số:

II.Phép biến đổi Z ngược : Phần này ta giải quyết bài toán với một hàm Wf (z)hãy tìm

một dãy số x n sao cho qua biến đổi Z dãy ( )( ) x n cho ảnh là Wf (z)

CHƯƠNG II:CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN

§1:PHÉP BIÊN ĐỔI LAPLACE I.KHÁI NIỆM:

1) Định nghĩa : Hàm số f (t) được gọi là hàm gốc nếu thỏa mãn các điều kiện sau

0 Hàm f (t) liên tục hay liên tục từng khúc  t 0

1 Không tăng nhanh bằng hàm mũ,tức là M0,so  sao cho 0 s t o

f (t)MeKhi đó s được gọi là chỉ số tăng của o f (t)

2 f (t)0 với  t 0.Điều kiện này thường áp dụng trong thực tế đối với các hàm có biến là biến thời gian

Quy ước:Khi (t)f (t)là hàm gốc ta chỉ cần ghi f (t) là hàm gốc

2) Định lý: Giả sử s là chỉ số tăng của o f (t) ,với p   thì tích phâns i pt

lim f (t)e dt 0





6) Ảnh của hàm tuần hoàn:Cho f (t) f (t T)thì

T pt 0

pT

e f (u)duF(p)

13) Điều kiện để một hàm là ảnh của một hàm gốc

Định lý : Giả sử hàm F(p) là hàm biến phức thỏa mãn

1 Giải tích trong nửa mặt phẳng Re p s o

F p dp hội tụ tuyệt đối với Repa s o

Khi đó F(p) là ảnh của hàm gốc f (t) và f (t) được xác định ( ) 1 ( )

f t F p e p a

III.Ứng dụng giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số:

Cho phương trình a x o ( )n a x1 (n1) a x2 (n2) a x3 (n3)  a n1xa x = f(t)n

thỏa mãn điều kiện x( )k (0) x k với k 0,n1

Cách giải : Giả sử x X thay ( )k  k  k1  k2 1   2  1

với điều kiện x(0) x(0) y(0) y(0)0

§2:PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

I Nhắc lại một số vấn đề về chuỗi Fourier

Cho hàm f(x) tuần hoàn chu kỳ 2 thì luôn có

II Phép biến đổi Fourier

1) Định lý : Hàm f(x) khả tích trên  và thỏa mãn điều kiện Đirichlet thì

a) Các định nghĩa trên có ý nghĩa thuần túy toán học

b) Nếu hàm x(t) là hàm dạng sóng theo biến thời gian t (với tần số f),đặt   f 2

 Ff (x)f ( )ˆ  là biến đổi Fourier thuận hoặc f(x) ( )f 

 F1ˆf( ) f (x) là biến đổi Fourier ngược

1 víi 0 1

1 cos

cos

0 víi >12

sin

1 víi 0 12



2 2 0

1 2 víi 0 2 1sin

0 víi 2 >12

c) Trễ : Cho Fx(t)X(f )ˆ thì x(t t ) e  i2 t oX(f )ˆ

F

d) Dịch chuyển ảnh : Cho Fx(t)X(f )ˆ thì  i2 f t o 

0

ˆ

e  x(t) X(f f )F

e) Điều chế:Cho Fx(t)X(f )ˆ thì

1x(t) cos(i2 f t) X(f f ) X(f f )

III Biến đổi Fourier hữu hạn

Cho dãy số x n( )n n Biến đổi Fourier hữu hạn của nó được xác định

X f x n e (khi chuỗi vế phải hội tụ)

IV Biến đổi Fourier rời rạc:

Khi các hàm số biểu diễn cho các tín hiệu thì biến đổi Fourier của chúng được gọi là biểu diễn phổ.Việc tính toán biến đổi Fourier dựa vào máy tính phải được rời rạc hóa bằng cách chọn một số hữu hạn các giá trị mẫu theo thời gian và phổ cũng nhận được tại một số hữu hạn các tần có số

1) Định nghĩa: Cho dãy số x(n) xác định với n0, 1, 2, 3, ,N-1  Chuỗi Fourier

rời rạc của dãy x(n) được xác định

2 1

N n

nếu n  Nvà

1 0

kn

n k

Còn khi n = N

thì Wn 1nên

1 01

X k x m với k = 0, N-1

Từ định nghĩa ta thấy

a) X k( mN)X k( ).Chứng tỏ ( )X k là hàm tuần hoàn chu kỳ N

b) Biến đổi Fourier rời rạc của dãy tín hiệu x(n) là kết quả một chu kỳ của chuỗi Fourier rời rạc

3) Định lý: Với mọi dãy tín hiệu x(n) tuần hoàn chu kỳ N,thì 1

x n X k

N gọi là biến đổi Fourier ngược của dãy tín hiệu x(n) tuần hoàn

chu kỳ N

4) Các tính chất:

VD:Cho dãy tín hiệu x(n) tuần hoàn chu kỳ N chẵn thỏa mãn x(n) x(n N/2)

CMR biến đổi Fourier rời rạc ( )X k của dãy x(n) thỏa mãn ( ) 0X k 

m

1 2

km N

m

x m W X k Từ đó ( ) 0X k 

V QUAN HỆ GIỮA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ FOURIER

Định lý : Giả sử hàm F(p) là hàm biến phức thỏa mãn

1 Giải tích trong nửa mặt phẳng Re p s o

F p dp hội tụ tuyệt đối với Repa s o

Khi đó F(p) là ảnh của hàm gốc f (t) và f (t) được xác định ( ) 1 ( )

Như vậy :với F(p)f (t) thì F(p)F( ) với p   i

Ví dụ: Tìm biến đổi Fourier của hàm

2

(t 1) khi t 1x(t)

Chứng minh:

Theo Laplace:x(t)  (t 1)(t1)2

p 3

2ep

vớip  thì i