GIẢI TÍCH PHỨC (1)

nếu tồn tại giới hạn trong đó với và giới hạn không phụ thuộc vào phép chia và cách chọn thì giới hạn đó gọi làtích phân hàm dọc theo cung và viết II.. Định lý và định nghĩa : Hàm giải t

CHƯƠNG I GIẢI TÍCH PHỨC

§1 SỐ PHỨC

I Dạng đại số của số phức được xác định

trong đó : gọi là phần thực của z

gọi là phần ảo của z

số phức gọi là số phức liên hợp của

Mặt phẳng phức được thể hiện bởi một hệ trục tọa độ.Trong đó trục 0y được gọi là trục ảo,còn trục 0x là trục thực

Khi cho thì tương đương với M(x,y) trên m/p được gọi là tọa vị của M

Độ dài vectơ được gọi là môdun của số phức và

d)

II CĂN BẬC n CỦA SỐ PHỨC

W được gọi là căn bậc n của số phức z và viết nếu

Lưu ý: thì theo nhiều cách khác nhau

với hàm biểu diễn dưới dạng

II Đạo hàm của hàm biến phức

và theo nhiều cách khác nhau

cho và

Nhận xét:

a) nếu hàm số giải tích thì thỏa mãn đ/k Côsi-Riman.

Ngược lại nếu hàm thỏa mãn Côsi-Riman và các hàm cùng các đạo hàm

riêng liên tục tại một điểm thì tại đó nó có đạo hàm

b) Quy tắc tính đạo hàm hàm biến phức tương tự như hàm biến thực.

Từ đ/k Côsi-Riman ta thấy và đó là các hàm điều hòa

Trong khuôn khổ chương trình ta đi tìm các hàm giải tích mà các hàm thành phần là các hàm điều hòa

III MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN

1) Hàm đơn trị và

2) Hàm đa trị , việc lấy đạo hàm của nó phải thực hiện theo

từng nhánh

3) Hàm mũ là hàm có phần thực và phần ảo

đó là hàm đơn trị và có các tính chất như hàm mũ thực

Lưu ý:

a) Các tính chất hàm lượng giác phức có tính chất như hàm lượng giác thực b) và nói chung không bị chặn như trong số thực,chẳng hạn với

5) Hàm Lôgarit là hàm ngược của hàm và viết

gọi

là nhánh chính của Các tính chất của tương tự như trong thực.Riêng đạo hàm

của ta phải thực hiện trên từng nhánh

6) Hàm lượng giác ngược,đó là các hàm đa trị :

nếu tồn tại giới hạn trong đó với

và giới hạn không phụ thuộc vào phép chia và cách chọn thì giới hạn đó gọi làtích

phân hàm dọc theo cung và viết

II Định lý Côsi:Nếu hàm giải tích trong miền G có biên L(trơn) thì

III Công thức tích phân Côsi : Nếu hàm giải tích trong miền G có biên L(trơn)

thì được gọi là tích phân loại Côsi.

Định lý : Cho liên tục trên L,khi đó giải tích miền D không chứa L

§4: CHUỖI TAYLOR-LAURENT

I. Chuỗi Taylor:

Mọi hàm giải tích tại z = a luôn biểu diễn dưới dạng

Khai triển Taylor của một số hàm sơ cấp cơ bản tại

II. Chuỗi Laurent:

1. Định lý và định nghĩa : Hàm giải tích trong miền

;thì luôn có Khai triển đó gọi là chuỗi Laurent của

tại tâm trong đó

 gọi là phần chính

Chứng minh : Theo tích phân Côsi

trong đó và là hai đường tròn tâm ở trong G,sao cho miền giới hạn bởi

trong 2 tích phân trên và không phụ thuộc vào đường lấy tích phân

1) Không điểm: được gọi là không điểm của nếu

điểm được gọi là không điểm cấp m của nếu: trong

đó và giải tích tại

2) Định nghĩa: được gọi là điểm bất thường cô lập của hàm nếu trong lâncận

của chỉ có duy nhất a là điểm bất thường của

Giả sử là điểm bất thường cô lập của hàm

 thì gọi là điểm bất thường bỏ được

 Nếu trong phần chính của khai triển Laurent tại chỉ có hữu hạn số hạng

không phụ thuộc vào đường lấy tích phân.Nên ta gọi là thặng dư của

tại Ký hiệu

2) Định nghĩa 2:ta gọi thặng dư của hàm tại (nếu nó không là giới hạn

củađiểm bất thường cô lập )

tích phân lấy theo lấy theo chiều thuận chiều kim đồng hồ

Trong đó miền giới hạn bởi C chứa mọi điểm bất thường của hàm số

Giả sử có là các điểm bất thường cô lập (kể cả nếu nó không là giớihạn của điểm bất thường cô lập nào cả).Khi đó

trong đó là hệ số trong khai triển Laurent tại

4) Cách tính thặng dư:

a) Thặng dư cực điểm cấp m :

b) Cho trong đó nhận là không điểm cấp 1 và

đồng thời giải tích tại thì

c) Đối với điểm bất thường cốt yếu để tìm thặng dư ta phải khai triển

Laurentqua đó xác định

1) Tích phân phức trên đường cong kín : Giả sử là các điểm bất

thường của nằm trong miền giới hạn bởi L (trơn),thì

2) Tích phân thực trong đó là phân thức hữu tỷ

 Bổ đề : Gọi là nửa đường tròn tâm 0,bán kính R có và thỏa mãn

a) Bổ đề : Gọi là cung tròn có với cố định.Nếu

với cố định,còn giải tích trong nửa mặt phẳng trừ một

số hữu hạn các điểm bất thường và thì

là các cực điểm ở phía trên 0x và là cực điểm trên 0x

Khi đó

4) Tích phân dạng

1) Định nghĩa:Cho dãy số biến đổi Z của dãy số trên được xác định

VÍ DỤ:Tìm biến đổi Z của dãy số:

a) Tuyến tính : b) Tính trễ :

một dãy số sao cho qua biến đổi Z dãy cho ảnh là

CHƯƠNG II:CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN

§1:PHÉP BIÊN ĐỔI LAPLACE

I. KHÁI NIỆM:

1) Định nghĩa : Hàm số được gọi là hàm gốc nếu thỏa mãn các điều kiện sau

0 Hàm liên tục hay liên tục từng khúc

1 Không tăng nhanh bằng hàm mũ,tức là sao cho

Khi đó được gọi là chỉ số tăng của

2. với Điều kiện này thường áp dụng trong thực tế đối với cáchàm có biến là biến thời gian

VÍ DỤ:

1.

2.

Quy ước:Khi là hàm gốc ta chỉ cần ghi là hàm gốc

2) Định lý: Giả sử là chỉ số tăng của ,với thì tích phân

hội tụ ,hơn nữa

4) Tính trễ :Cho hàm thì hàm gọi là hàm trễ của với

Chứng minh : Giả sử và .Khi đó

nhưng

9) Đạo hàm hàm ảnh: cho Tìm gốc của

13) Điều kiện để một hàm là ảnh của một hàm gốc

Định lý : Giả sử hàm là hàm biến phức thỏa mãn

1 Giải tích trong nửa mặt phẳng 2.

3. hội tụ tuyệt đối với

Khi đó là ảnh của hàm gốc và được xác định

14) Công thức tìm hàm gốc của một phân thức thực sự

Cho (tối giản).Giả sử là các cực điểm của thì là ảnh

của hàm gốc và

III. Ứng dụng giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số:

Cho phương trình

Cách giải : Giả sử thay

và Qua đó ta tính được Từ đây ta tìm được

Chú ý: Đối với hệ phương trình ta cũng làm tương tự

VÍ DỤ:

b) Giải hệ phương trình

với điều kiện

§2:PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

I Nhắc lại một số vấn đề về chuỗi Fourier

Cho hàm tuần hoàn chu kỳ thì luôn có

trong đó:

II Phép biến đổi Fourier

1) Định lý : Hàm khả tích trên và thỏa mãn điều kiện Đirichlet thì

Khi đó và được gọi là công thức tích phân Fourier thực và phức tương ứng,và tacó

2) Định nghĩa : Ta gọi

Nếu là hàm chẵn thì

Còn khi là hàm lẻ tương tự ta có

LƯU Ý :

b) Nếu hàm là hàm dạng sóng theo biến thời gian t (với tần số f),đặt

thì ta có

c) Trong kỹ thuật thì người ta định nghĩa :

Ký hiệu :

 là biến đổi Fourier thuận hoặc

Chứng minh:Thác triển hàm thành hàm lẻ,khi đó biến đổi Fourier là

III Biến đổi Fourier hữu hạn

Cho dãy số Biến đổi Fourier hữu hạn của nó được xác định

(khi chuỗi vế phải hội tụ)

IV Biến đổi Fourier rời rạc:

Khi các hàm số biểu diễn cho các tín hiệu thì biến đổi Fourier của chúng được gọi là biểu diễn phổ.Việc tính toán biến đổi Fourier dựa vào máy tính phải được rời rạc hóa bằng cách chọn một số hữu hạn các giá trị mẫu theo thời gian và phổ cũng nhận được tại một số hữu hạn các tần có số

Chuỗi Fourier rời rạc của dãy được xác định ở đó

b) Biến đổi Fourier rời rạc của dãy tín hiệu là kết quả một chu kỳ củachuỗi Fourier rời rạc

3) Định lý:Với mọi dãy tín hiệu x(n) tuần hoàn chu kỳ N,thì

được gọi là biến đổi Fourier ngược của dãy tín hiệu x(n) tuần hoàn chu kỳ N

Chứng minh:

Thật vậy:

VD:Cho dãy tín hiệu x(n) tuần hoàn chu kỳ N chẵn thỏa mãn

CMR biến đổi Fourier rời rạc của dãy x(n) thỏa mãn

Chứng minh:Ta có

V QUAN HỆ GIỮA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ FOURIER

1 Giải tích trong nửa mặt phẳng 2.

3. hội tụ tuyệt đối với

Khi đó là ảnh của hàm gốc và được xác định

Cho một hàm thỏa mãn các điều kiện của một hàm gốc trong phép biến đổi

Ví dụ: Tìm biến đổi Fourier của hàm

Chứng minh:

Theo Laplace: với thì

Mặt khác