GIẢI TÍCH PHỨC toán học

a nếu hàm số giải tích thì thỏa mãn đ/k Côsi-Riman.Ngược lại nếu hàm thỏa mãn Côsi-Riman và các hàm Ux, y,Vx, y cùng các đạo hàm riêng liên tục tại một điểm thì tại đó nó có đạo hàm.. kh

CHƯƠNG I GIẢI TÍCH PHỨC

§1 SỐ PHỨC

I Dạng đại số của số phức được xác định z x iy= +

trong đó : x Rez= gọi là phần thực của z

y Imz = gọi là phần ảo của z

Cho hai số phức z1=x1 +iy ;z1 2 =x2 +iy2 ta nói z1=z2 ⇔x1=x2 và y1 =y2

số phức z x iy= − gọi là số phức liên hợp của z x iy= +

Mặt phẳng phức được thể hiện bởi một hệ trục tọa độ.Trong đó trục 0y được gọi là trục ảo,còn trục 0x là trục thực

Khi cho z x iy = + thì tương đương với M(x,y) trên m/p được gọi là tọa vị của M

Độ dài vectơ OMuuuur

được gọi là môdun của số phức z x iy= + và

z r cos= ϕ +isinϕ ⇒z =r cosϕ +isinϕ  =r cosnϕ +isin nϕ

thừa nhận: cosϕ +isinϕ =eiϕ(công thức ơle)

Ví dụ:

a) Arg(z1+z ) Argz +Argz2 = 1 2

b) 1 1 2

2

zArg Argz - Argz

II CĂN BẬC n CỦA SỐ PHỨC

W được gọi là căn bậc n của số phức z và viết W =n z (n N)∈ nếu Wn =z

→ thì z→zo theo nhiều cách khác nhau

với hàm f (z) biểu diễn dưới dạng f (z) U(x, y) iV(x, y) víi z x iy= + = +

II Đạo hàm của hàm biến phức

a) nếu hàm số giải tích thì thỏa mãn đ/k Côsi-Riman.

Ngược lại nếu hàm thỏa mãn Côsi-Riman và các hàm U(x, y),V(x, y) cùng các đạo hàm

riêng liên tục tại một điểm thì tại đó nó có đạo hàm

b) Quy tắc tính đạo hàm hàm biến phức tương tự như hàm biến thực.

Từ đ/k Côsi-Riman ta thấy Ux′′2 +U′′y 2 =0 và Vx′′2 +Vy′′2 =0 đó là các hàm điều hòa

Trong khuôn khổ chương trình ta đi tìm các hàm giải tích mà các hàm thành phần là các hàm điều hòa

III MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN

1) Hàm W z= n đơn trị và W′ =nzn 1−

2) Hàm W=n z ⇔ Wn =z đa trị , việc lấy đạo hàm của nó phải thực hiện theo

từng nhánh

3) Hàm mũ là hàm có phần thực e cos y và phần ảo x e sin yx ⇒ W e= x iy+ =ez

đó là hàm đơn trị và có các tính chất như hàm mũ thực

4) Hàm lượng giác:cos z eiz e iz

sin z

=Lưu ý:

a) Các tính chất hàm lượng giác phức có tính chất như hàm lượng giác thực b) cos z và sin z nói chung không bị chặn như trong số thực,chẳng hạn

5) Hàm Lôgarit là hàm ngược của hàm W e= z và viết W Lnz=

khai triển ta được Lnz ln z= +i(arg z k2 )+ π với k∈Z,còn ln z ln z iarg z= + được gọi

là nhánh chính của Lnz.Các tính chất của Lnz tương tự như trong thực.Riêng đạo hàm

của Lnz ta phải thực hiện trên từng nhánh

6) Hàm lượng giác ngược,đó là các hàm đa trị :

7) Hàm lũy thừa tổng quát W=z với aa = α + βi và viết W=eaLnz

cụ thể W = e(α+ βi ) ln z iArgz +  =eαln z−βArgzei(βln z+αArgz)

§3:TÍCH PHÂN HÀM BIẾN PHỨC

I Định nghĩa:Cho hàm f(z) xác định trên đường L AB=» ,chia »AB bởi các điểm chia

theo thứ tự A z ,z ,z ,z z≡ 0 1 2 3 n ≡Btrên cung từ z đến k zk 1+ lấy bất kỳ điểm ξknếu tồn tại giới hạn

n

dlim→ 0 k 0∑= f ( ) zξ ∆ trong đó d max z= ∆ k với ∆ =zk zk 1+ −zk

và giới hạn không phụ thuộc vào phép chia »AB và cách chọn ξkthì giới hạn đó gọi làtích

phân hàm f(z) dọc theo cung »AB và viết »AB∫ f (z)dz

Với z x iy= + và f (z) U(x, y) iV(x, y)= + trong đó dz dx idy= + thì

z z

dz(z z )

− =ε∫ − với n∈¢Nếu có hàm F(z) thỏa mãn F (z) f (z)′ = thì

»

»

z B

z A AB

1 f (z)

dz f (z )

π Ñ ∫ −

∫ được gọi là tích phân loại Côsi.

Định lý : Cho f(z) liên tục trên L,khi đó

n 0

zsin z ( 1)

n 0

zcos z ( 1)

n 0

ze

và eix =cos x isin x+ (Công thức Euler)

II. Chuỗi Laurent:

1. Định lý và định nghĩa : Hàm f(z) giải tích trong miền

G= < − <r z a R ; z G∈

n n

f (z) ∞ c z a

=−∞

= ∑ − Khai triển đó gọi là chuỗi Laurent của f(z)tại tâm z a= trong đó

2 i ( a) +

ξ ξ

=

π Ñ ∫ ξ − với n 0, 1, 2, 3, = ± ± ± Đó là điều phải chứng minh

1) Không điểm: z a= được gọi là không điểm của f(z) nếu f (a) 0=

điểm z a= được gọi là không điểm cấp m của f(z) nếu: f (z) (z a)= − mϕ(z) trong

đó (a) 0ϕ ≠ và giải tích tại z a=

2) Định nghĩa: z a= được gọi là điểm bất thường cô lập của hàm f(z) nếu trong lâncận

của z a= chỉ có duy nhất a là điểm bất thường của f(z)

Giả sử z a= là điểm bất thường cô lập của hàm f(z)

• zlim f (z) A→a = thì z a= gọi là điểm bất thường bỏ được.

• Nếu trong phần chính của khai triển Laurent tại z a= chỉ có hữu hạn số hạng

• Nếu trong phần chính của khai triển Laurent tại z a= có vô số số hạng thì

z a= được gọi là điểm bất thường cốt yếu

không phụ thuộc vào đường lấy tích phân.Nên ta gọi

C

1Res f (z), f (z)dz

1 f ( )dc

II. ỨNG DỤNG

1) Tích phân phức trên đường cong kín : Giả sử a (k 1, N)k = là các điểm bất

thường của f (z) nằm trong miền giới hạn bởi L (trơn),thì

N [ k]

k 1 L

−∞∫ trong đó f (x) là phân thức hữu tỷ

•Bổ đề : Gọi C là nửa đường tròn tâm 0,bán kính R có Imz 0R > và thỏa mãn

zlim zf (z) 0

→∞ = với 0 arg z≤ ≤ π thì

R

R C

= với f (z) có i deg f (z) 2 deg f (z)1 + ≤ 2 và f (z)

có a (k 1, N)k = là các cực điểm ở phía trên 0x và b (k 1,M)k = là cực điểm đơn trên 0x

i x

f (x)eα =f (x)cos x if (x)sin xα + α khi đó

f (x)ei xdx f (x)cos xdx i f (x)sin xdx

α

Qua đó f (x)cos xdx Re f (x)ei xdx

Ví dụ :Tìm biến đổi Z của dãy số:

một dãy số x(n) sao cho qua biến đổi Z dãy x(n) cho ảnh là W f (z)=

CHƯƠNG II:CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN

§1:PHÉP BIÊN ĐỔI LAPLACE

I. KHÁI NIỆM:

1) Định nghĩa : Hàm số f (t) được gọi là hàm gốc nếu thỏa mãn các điều kiện sau

0 Hàm f (t) liên tục hay liên tục từng khúc t 0∀ ≥

1 Không tăng nhanh bằng hàm mũ,tức là ∃ >M 0,so ≥0sao cho f (t) Me< s t oKhi đó s được gọi là chỉ số tăng của f (t) o

2 f (t) 0= với t 0∀ < Điều kiện này thường áp dụng trong thực tế đối với cáchàm có biến là biến thời gian

VÍ DỤ:

1.

0

1 khi t 0(t)

Quy ước:Khi (t)f (t)η là hàm gốc ta chỉ cần ghi f (t) là hàm gốc

2) Định lý: Giả sử s là chỉ số tăng của f (t) ,với p s io = + σ thì tích phân

pt o

4) Tính trễ :Cho hàm f (t) thì hàm (t a)f (t a)η − − gọi là hàm trễ của f (t) với

6) Ảnh của hàm tuần hoàn:Cho f (t) f (t T)= + thì

T pt 0

pT

e f (u)duF(p)

gọi là tích chập của hai hàm f (t) và g(t) Ký hiệu : f g f (u)g(t u)du

13) Điều kiện để một hàm là ảnh của một hàm gốc

Định lý : Giả sử hàm F(p) là hàm biến phức thỏa mãn

1 Giải tích trong nửa mặt phẳng Re p s> o

Cách giải : Giả sử x¤ X thay x(k) Bp X pk − k 1− xo −pk 2− x1− − pxk 2− −xk 1−

và f(t)¤ F(p).Qua đó ta tính được X A(p)

B(p)

= Từ đây ta tìm được x(t)Chú ý: Đối với hệ phương trình ta cũng làm tương tự

§2:PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

I Nhắc lại một số vấn đề về chuỗi Fourier

Cho hàm f(x) tuần hoàn chu kỳ 2π thì luôn có o n n

II Phép biến đổi Fourier

1) Định lý : Hàm f(x) khả tích trên R và thỏa mãn điều kiện Đirichlet thì

Khi đó (1) và (2) được gọi là công thức tích phân Fourier thực và phức tương ứng,và tacó

b) Nếu hàm x(t) là hàm dạng sóng theo biến thời gian t (với tần số f),đặt

• F{f (x)} = λf ( )ˆ là biến đổi Fourier thuận hoặc f(x) ¤ f ( )$λ

• F− 1{ }ˆf( ) f (x)λ = là biến đổi Fourier ngược

Qua đó tính tích phân

2 2 0

1 khi 0 1

1 cos x

cos xdx

0 khi 12

xsin

1 khi 0 1x

0 khi 2 12

Chứng minh:Thác triển hàm f(x) = e−xthành hàm lẻ,khi đó biến đổi Fourier là

c) Trễ : Cho F{x(t)} =X(f )ˆ thì { } i2 t o

x(t t )− =e− π X(f )F

d) Dịch chuyển ảnh : Cho F{x(t)} =X(f )ˆ thì { i2 f t o }

0

ˆ

e π x(t) =X(f −f )F

e) Điều chế:Cho F{x(t)} =X(f )ˆ thì

1x(t)cos(i2 f t) X(f f ) X(f f )

+∞

π

−∞

′′ ∫ π tức là F{x (t)′′ } =(i2 f ) X(f )π 2 ˆ Qua đó ta được diều phải chứng minh

x(u) y(t u)e i2 ftdt du

µ

n

i2 nf n

Tính chất: Cho F{x(n)} = µX(f ) và F{y(n)} = µY(f )

1) Tuyến tính: F{αx(n)+ βy(n)} = µX(f )α + µY(f )β

2) Trễ : F{x(n n )− o } = e− πi2 n f o X(f )µ

3) Dịch chuyển ảnh: F{ei2 n fπ o x(n)} = µX(f −f )o

IV Biến đổi Fourier rời rạc:

Khi các hàm số biểu diễn cho các tín hiệu thì biến đổi Fourier của chúng được gọi là biểu diễn phổ.Việc tính toán biến đổi Fourier dựa vào máy tính phải được rời rạc hóa bằng cách chọn một số hữu hạn các giá trị mẫu theo thời gian và phổ cũng nhận được tại một số hữu hạn các tần có số

1) Định nghĩa: Cho dãy số x(n) xác định với n∈{0, 1, 2, 3, ,N-1 }

Chuỗi Fourier rời rạc của dãy x(n) được xác định

a) °X(k mN) X(k)+ =° Chứng tỏ °X(k) là hàm tuần hoàn chu kỳ N

b) Biến đổi Fourier rời rạc của dãy tín hiệu x(n) là kết quả một chu kỳ của

chuỗi Fourier rời rạc

3) Định lý:Với mọi dãy tín hiệu x(n) tuần hoàn chu kỳ N,thì

VD:Cho dãy tín hiệu x(n) tuần hoàn chu kỳ N chẵn thỏa mãn x(n)= −x(n N/2)+

CMR biến đổi Fourier rời rạc °X(k) của dãy x(n) thỏa mãn °X(k) 0=

km N

m 2

V QUAN HỆ GIỮA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ FOURIER

Định lý : Giả sử hàm F(p) là hàm biến phức thỏa mãn

1 Giải tích trong nửa mặt phẳng Re p s> o

Laplace,

để f (t) có ảnh Fourier thì f (t) khả tích trên ¡ Tức f (t) <Me (αt α <0)

Ta đã có

a i pt

Như vậy :với F(p) ¤ f (t) thì F(p) F( )= λ$ với p i= λ

Ví dụ: Tìm biến đổi Fourier của hàm

2

(t 1) khi t 1x(t)