Đại số và giải tích ôn thi đại học

Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA,SB,SC vuông góc với nhau từng đôi một với SA = 1cm, SB = SC = 2cm .Xác định tâm và tính bán kính của mặt cấu ngoại tiếp tứ diện , tính diện tích của mặt cầ

TRƯỜNG THPT PHẠM VĂN ĐỒNG

TÀI LIỆU CỦNG CỐ VÀ ÔN LUYỆN THI TỐT NGHIỆP VÀ ĐẠI HỌC

(Dùng để dạy và học tăng tiết)

Môn: Đại số và giải tích

Giáo viên giảng dạy: Trần Chơn

Mộ Đức, tháng 9/2012

Môn: Đại số và giải tích

CÁC BÀI TOÁN THI TỐT NGHIỆP THPTCỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Câu 1)Tìm cực trị các hàm số sau:

2 2

) 2 3 ) 3 4 ) 2

1) 2 1 )

Câu 3)Xác định m để: ymx33x2 5x2 đạt cực đại tại x=2

Câu 4)Xác định a,b để:

)0()

ab bx ax

y

b ax x

c.Có đồ thị (Cm) nhận A(0; 4) làm một điểm cực trị (đạt cực trị = 4 khi x = 0)

d.Có cực đại và cực tiểu và đường thẳng d qua cực đại và cực tiểu đi qua O.

Câu 7) Định m để hàm số y = f(x) = 1 x

m x

1 m x ) 1 m ( m

Câu 11)Biện luận theo m số cực trị của hàm số y = f(x) = -x4+2mx2-2m+1

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Câu 1.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =2x33x212x2 trên [1;2]

Câu 2.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2sin x cos x 4sinx 1 3  2  

Câu 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nếu có của hàm số  

 2

x 1y

Câu 9 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f x ( )  2 x3 6 x2  1 trên [1; 1]

Câu 10 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( ) x42x21 trên [0; 2]







a Tìm các điểm trên đồ thị có tọa độ nguyên

b Tìm các điểm trên đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm đó đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ điểm

đó đến tiệm cận ngang

c Gọi M là điểm thuộc đồ thị CMR tich khoảng cách từ điểm đó đến tiệm cận đứng và khoảng cách từ

điểm đó đến tiệm cận ngang là một hằng số

d Tìm N thuộc đồ thị sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó đến tiệm cận đứng và khoảng cách từ điểm đó

đến tiệm cận ngang đạt giá trị nhỏ nhất

PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

Câu 1 Cho hàm số y= x3- 3x2 (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C)

a/ Tại các giao điểm với trục hoành b/ Tại điểm có hoành độ bằng 4.

c/ Biết tiếp tuyến có hệ số góc k= -3 d/ Biết tiếp tuyến song song đường thẳng y= 9x

+ 2005

e/ Biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y= 1

3x + 2. f/Biết tiếp tuyến qua A(1;-2).

Câu 2Cho hàm số y=

21

x

 

 (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C)

a/ Tại các giao điểm với trục hoành b/ Tại điểm có hoành độ bằng 2.

c/ Tại điểm có tung độ bằng -3

2. d//Biết tiếp tuyến qua A(2;0).

 có đồ thị (C)Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi tại điểm M(2;5)

Câu 4 Cho hàm số y = x  4 2x2 có đồ thị (C)Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm M

( 2;0)

Câu 5 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị

2

x 3x 1(C) : y

Câu 3: Cho y= x4– 4 x2 + 5.(C) Dựa vào đồ thị (C) Biện luận số nghiệm của phương trình: x4– 4 x2 + 5=m

Câu 4: Cho y= x3- 3x – 2 (C) Dùng đồ thị (C), tìm m để phương trình : x3- 3x =m có 3 nghiệm phân biệt

Câu 5: Cho đường cong (C): y= x3-3x +1 và đường thẳng (d) qua A(0;1) có hệ số góc k Biện luận số giao

x Biện luận theo k số giao điểm của (C) và đường thẳng y=k.

KHẢO SÁT VẼ ĐỒ THỊ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Câu 1:1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số : 2 1

1



 xy x

x có đồ thị (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).

2.Tìm trên đồ thị (C) những điểm có toạ độ là các số nguyên

Câu 3 Cho hàm số y = x3– 3x2 + 2 có đồ thị (C)

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2/ Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3– 3x2– m = 0

Câu 4 Cho hàm số y = - x4 + 2x2 +3 có đồ thị (C)

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2/ Dựa vào đồ thị (C), tìm các giá trị của m để phương trình x4– 2x2 + m = 0 có bốn nghiệm thực phânbiệt

Câu 5 Cho hàm số y = - x3 + 3x -1 có đồ thị (C)

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm cực tiểu của (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết nó song song với đường thẳng y x 4

Câu 7 Cho hàm số y = 2x3-3x2-1 có đồ thị (C)

1/Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2/Gọi dk là đường thẳng đi qua M(0;-1) và có hệ số góc k Tìm k để đường thẳng dkcắt(C) tại 3 điểmphân biệt

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

Câu 9 Cho hàm số 3 2

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

2.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại tâm đối xứng

Câu 10 Cho hàm số yx3  3x 4 có đồ thị (C)

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

2.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tai diểm có hoành độ xo là nghiệm của phương trình y// (x o)  6

Câu 11 Cho hàm số y = x3 +(m -1) x2–(m +2)x -1 (1)

a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1

b) Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng y =

2 CMR với mọi giá trị của m, đường thẳng (d) y = 2x + m luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

3 Gọi A là giao điểm của (C) với trục Ox Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của(C) tại điểm có hòanh độ x = -2

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2/ Tìm m để đường thẳng d: y = -x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt

Câu 15 Cho hàm số y = x(x – 3)2 có đồ thị (C)

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2/ Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Câu 16 Cho hàm số y = 1 4 2 5

3

2x  x  2 có đồ thị là (C)

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(1; 0)

Câu 17 Cho hàm số y = (x – 1)2(x +1)2 có đồ thị (C)

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2/ Tìm m để đường thẳng d: y = m cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt

Câu 18 Cho hàm số 1  

1 1







x y

1) Khảo sát hàm số (1)

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm P(3;1)

Câu 19 Cho hàm số y = -x3 + 3x2– 2 có đồ thị (C)

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -9

2.Tìm trên đồ thị điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M

1

a a

Câu 4Tính giá trị của biểu thức sau: A = ( 31log94) : ( 42log23)

Câu 5Cho a > 0 ;b > 0 ; c > 0 và a ,b ,c lập thành cấp số nhân.Chứng minh lna ; lnb ; lnc lập thành cấp số cộng

Câu 6Chứng minh rằng:

x

x b

bx

a

a a

ax

log 1

log log

) ( log

log ( x   1) log (2 x   1) log 16 0  b.log9 x  log 43  x  5

l o g x  l o g x  

e.log (5 1).log (55 x 25 x1  5) 1

f.log22x  6log4x  4

g.log (22 x   1) 3 log (2 x  1)2  log 322  0 h.lo g3 x  lo g 3 9 x2  9

i.log (2 x   3) log (2 x   1) 3 k. log7 x  log3 x  2 

31log1log2log 4 3  2  2 x 

75,23.22

3

y x

y x

y x

5 2

2

5 7

5 5

log 3 1 5 log log

3

2 log 1 log 7 log log

b.

1 1

x y

y x

y x

1 y log x log

2 2 y

4 4

Câu 3: Giải bất phương trình:

0(  sin )

4 0



0 2 1

1 

2 0( 1 ) s i n





3 2 0

sincos

a.  

4 1

1 1

Câu 5 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = ex ,y = 2 và đường thẳng x = 1

Câu 6 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = x2 và hai tiếp tuyến xuất phát từ A (0, -2)

Câu 7 Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường (C): 



1y2x 1 ,hai đường thẳng x = 0 , x = 1 và trục hoành

Xác định giá trị của a để diện tích hình phẳng (H) bằng lna

II-THỂ TÍCH:

Câu 1 Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y =  x 2  2x và trục hoành Tính thể tích của khối tròn

xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành

Câu 2 Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường (C) : y = x 2 và (G) : y = x Tính thể tích của khối tròn

xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục

Câu 3 Tìm thể tích của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y= 2x2và y = x3xung quanh trục Ox

Câu 4 Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường (C) : y = x2 và (G) : y = x Tính thể tích của khối trònxoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành

Câu 5 Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y =   x2 2 x và trục hoành Tính thể tích của khối trònxoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành

Câu 6 Cho hàm số y= 3 2

1

3 x  x có đồ thị là ( C ) Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi

( C ) và các đường thẳng y=0,x=0,x=3 quay quanh 0x

Câu 7 Tính thể tích vật tròn xoay do hình giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh truc Ox : y = - x2 + 2x và

y = 0

Câu 8 Tính thể tích vật tròn xoay do hình giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh truc Ox : y = cosx , y = 0,

Câu 6 Tìm môđun của số phức : z = 4 – 3i + (1 – i)3

Câu 7 Xác định tập hợp các điểm biểu diển số phức Z trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn điều kiện

Câu 13 Giải phương trình x3   8 0 trên tập số phức

Câu 14 Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng 2 và tích của chúng bằng 3

Câu 15 Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: z22z170

Câu 16 Giải phương trình: 2 1 3

Môn: Hình học

KHỐI ĐA DIỆN

Câu 1 Cho hình chóp S,ABC Gọi M là một điểm thuộc cạnh SA sao cho MS = 2 MA Tính tỉ số thể tích của

hai khối chóp M.SBC và M.ABC

Câu 2 Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA,SB,SC vuông góc với nhau từng đôi một với SA = 1cm, SB = SC =

2cm Xác định tâm và tính bán kính của mặt cấu ngoại tiếp tứ diện , tính diện tích của mặt cầu và thể tích của

khối cầu đó

Câu 3 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cà các cạnh đều bằng a Tính thể tích của hình lăng

trụ và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a

Câu 4 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a Hình chiếu vuông góc của A’

xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy một góc bằng 45 Tính thểtích của khối lăng trụ này

Câu 5.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, biết cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy

và SA=a 2

a/ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

b/ Gọi I là trung điểm của BC Chứng minh mp(SAI) vuông góc với mp(SBC) Tính thể tích của khối chópSAIC theo a

c/ Gọi M là trung điểm của SB Tính AM theo a

Câu 6.Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, biết SA vuông góc với mặt đáy và SA=AC ,

AB=a và góc  0

45

ABC Tính thể tích khối chóp S.ABC

Câu 7.Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bằng 6 và đường cao h = 1 Hãy tính diện tích của mặt cầu ngoại

tiếp hình chóp

Câu 8.Tính tỉ số thể tích của hình lập phương và thể tích của hình trụ ngoại tiếp hình lập phương đó.

Câu 9.Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a Hình chiếu vuông góc của A’

xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy một góc bằng 45 Tính thể tíchcủa khối lăng trụ này

Câu 10 Cho hình chóp S,ABC Gọi M là một điểm thuộc cạnh SA sao cho MS = 2 MA Tính tỉ số thể tích

của hai khối chóp M.SBC và M.ABC

Câu 11.Cho hình chóp tam giác đều SABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có canh bằng 2 6.Điểm M,N làtrung điểm của cạnh AC, AB tương ứng.Tính thể tích khối chóp SAMN

Câu 12.Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy a/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

b/ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

c/ Mặt phẳng (SAC) chia khối chóp S.ABCD thành 2 khối chóp Hãy kể tên 2 kchóp đó

Câu 13.Cho hình chóp tứ giác đều SABCD đỉnh S, độ dài cạnh đáy AB=a và góc SAB=60o Tính thể tích hìnhchóp SABCD theo a

Câu 14.Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy ABCD là hìnhvuông cạnh a, SA = SB = SC =SD = a Tính

đường cao và thể tích khối chóp theo a

KHỐI TRÒN XOAY

1/ KHỐI NÓN

Câu 1 Một hình trụ có bán kính đáy R = 2 ,chiều cao h = 2 Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai

đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục của hình trụ Tính

cạnh của hình vuông đó

Câu 2 Một hình nón có đỉnh S , khoảng cách từ tâm O của đáy đến dây cung AB của đáy bằng a , SAO 30  ,



SAB 60  Tính độ dài đường sinh theo a

Câu 3 Tính tỉ số thể tích của hình trụ ngoại tiếp hình lập phương

Câu 4.: Thiết diện qua trục của một khối nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a.

a tính thể tích khối nón và diện tích xung quanh của hình nón

b tính thể tích của khối nón

Câu 5.: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a.

a/Tính diện tích xung quanh và của hình nón

b/Tính thể tích của khối nón

Câu 6.: Một hình nón có đường sinh là l=1 và góc giữa đường sinh và đáy là 450

a Tình diện tích xung quanh của hình nón

b tính thể tích của khối nón

Câu 7.: Trong không gian cho tam giác OIM vuông tại I, góc IOM bằng 300 và cạnh IM = a khi quay tam giácOIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình nón tròn xoay

a/ Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay

b/ Tính thể tích của khối nón tròn xoay

Câu 8.Cho hình nón đỉnh S đường cao SO, A và B là hai điểm Thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ

điểm O đến AB bằng a và SAO = 300 , SAB = 600

a.Tính độ dài đường sinh và diện tích xung quanh theo a

b Tính thể tích của khối nón

Câu 9.Một khối tứ diện đều cạnh a nội tiếp một khối nón Tính thể tích của khối nón đó.

Câu 10.Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SO = h và góc SAB = ( > 450) Tính diện tíchxung quanh của hình nón đỉnh S và có đtròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD

Câu 2: Thiết diện chứa trục của khối trụ là hình vuông cạnh a

a Tính diện tích xung quanh của hình trụ

b Tính thể tích khối trụ

Câu 3.Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh a Gọi I và H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và

CD Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH ta được một htrụ trònxoay

a/Tính d tích xung quanh của hình trụ

b Tính diện tích xung quanh của hình trụ

Câu 6.Một khối trụ có chiều cao bằng 20cm và có bán kính đáy

bằng 10cm Người ta kẻ hai bán kính OA và O’B’ lần lượt trên hai đáy sao cho chúng hợp với nhau một góc

300 Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và song song với trục OO’ của khối trụ đó Hãytính diện tích của thiết diện

Câu 7.: Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao bằng R 3; A và B là hai điểm trên hai đường tròn đáy

sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 300

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của h trụ

b) Tính thể tích của khối trụ tương ứng

Câu 8.: Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông.

a/Tính diện tích xung quanh của h trụ

b/Tính thể tích của khối trụ tương đương

3/ KHỐI CẦU

Câu 1.: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA( ABC)

a) Gọi O là trung điểm của SC Chứng minh: OA = OB = OC = SO Suy ra bốn điểm A, B, C, S cùng nằmtrên mặt cầu tâm O bán kính

2

SC

b) Cho SA = BC = a và AB  a 2 Tính bán kính mặt cầu

Câu 2.: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh

a, SA( ABCD) và SAa 3 Gọi O là tâm hình vuông ABCD và Klà hình chiếu của Btrên SC

a) Chúng minh ba điểm O, A, K cùng nhìn đoạn SB dưới một góc vuông Suy ra năm điểm S, D, A, K B cùng

nằm trên mặt cầu đường kính SB

b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu nói trên

Câu 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và cạnh

bên đều bằng a Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua năm điểm S, A, B, C, D

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

HỆ TỌA ĐỘ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

Câu 1 Cho điểm M(-1,2,3).Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của M lên:

a.Trục ox

b.Mặt phẵng oyz

Câu 2 Cho A(1,2,1), B(-2,1,2)

b Tìm B’ đối xứng B qua oxy

b Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành

c. Tìm a,b để M(a+2,2b-1, 1) thuộc AC

Câu 5 Cho tam giác ABC: A(1,0,3), B(2,2,4), C(0,3,-2)

a.CMR: tam giác ABC vuông tại A Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

b.Tính góc C của tam giác

Câu 6 Cho 3 điểm: A(2,0,1), B(0,0,1), C(1,1,2) Tính diện tích tam giác từ đó suy ra độ dài đường cao AH Câu 7 Cho hình lập phương ABCD,A’B’C’D’ có cạnh bằng a Gọi M, N lần lượt là trung điểm A’D’, B’B.

a CM : MN AC'

b CM : AC'( 'A BD)

Tính góc giữa MN và CC’

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Câu 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Biết A’(0;0;0) ,

B’(a;0;0),D’(0;a;0) , A(0;0;a) với a>0 Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và B’C’

a Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và song song với hai đường thẳng AN và BD’

b Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và BD’

Câu 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có các đỉnh A,B,C lần lượt nằm trên các trục

Ox,Oy,Oz và có trọng tâm G(1;2; 1) Hãy tính diện tích tam giác ABC

Câu 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(1;0;5) và hai mặt phẳng (P) :2 x  y  3 z 1  0

a Tìm điểm N là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P)

b Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)

Câu 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0) , mặt phẳng

(P ) : x y     2 z 1 0 và mặt cầu (S) : x2  y2   z2 2 x  4 y  6 z   8 0 Viết phương trình mặt

phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)

Câu 6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng (P) qua O , vuông góc với mặt

phẳng (Q) : x y z    0 và cách điểm M(1;2;1) một khoảng bằng 2

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lậpphươngABCD.A’B’C’D’.BiếtA’(0;0;0),B’(a;0;0),D’(0;a;0), A(0;0;a) với a>0 Gọi M,N lần lượt là trung điểmcác cạnh AB và B’C’ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và song song với hai đường thẳng AN và BD’

Câu 8 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;4).Viết phương trình mặt phẳng 

qua ba điểm A, B, C

Câu 9 Trong không gian Oxyz cho ba điểm A( 2; -1 ;1), B( 0;2 ;- 3) C( -1 ; 2 ;0).Chứng minh A,B,C không

thẳng hàng Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

Câu 10 Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A(5;-6;1) và B(1;0;-5).Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và

chứa ()

Câu 11 Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(3;-2;-2), B(3;-2;0), C(0;2;1), D(-1;1;2) Viết phương trình mặt

phẳng (BCD) Từ đó suy ra ABCD là một tứ diện

a Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P)

b Tính góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P)

c Viết phương trình đường thẳng () là hình chiếu của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P)

Câu 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 4 điểm A(2;1;1) ,B(0;2;1) ,C(0;3;0), D(1;0;1)

a Viết phương trình đường thẳng BC

b Chứng minh rằng 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng

c Tính thể tích tứ diện ABCD

Câu 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1;1;1) , hai đường thẳng

x 1 y z ( ) : 1

a Tìm điểm N là hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng ( 2)

b Viết phương trình đường thẳng cắt cả hai đường thẳng ( ) ,( )  1  2 và nằm trong mặt phẳng (P)

Câu 4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với các đỉnh là A(0; 2;1) ,

B( 3;1;2) , C(1; 1;4)

a Viết phương trình chính tắc của đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác

b Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm C và vuông góc với mặt phẳng (OAB) với

a Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên (d) , bán kính bằng 3 và tiếp xúc với (P)

b Viết phương trình đường thẳng () qua M(0;1;0) , nằm trong (P) và vuông góc với đường thẳng (d)

Câu 6.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d) : x 2 y z 3

 và mặt phẳng (P) :

2x y z 5 0    

a Chứng minh rằng (d) cắt (P) tại A Tìm tọa độ điểm A

b Viết phương trình đường thẳng

() đi qua A , nằm trong (P) và vuông góc với (d)

Câu 7.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d ) :

a Viết phương trình chính tắc của đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác

b Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm C và vuông góc với mặt phẳng (OAB) với

O là gốc tọa độ

Câu 9 Cho D(-3;1;2) và mặt phẳng ( ) qua ba điểm A(1;0;11), B(0;1;10), C(1;1;8)

1.Viết phương trình tham số của đường thẳng AC

2.Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ( )

Câu 10 Trong không gian Oxyz cho ba điểm A( 2; -1 ;1), B( 0;2 ;- 3) C( -1 ; 2 ;0) Viết phương trình tham số

của đường thẳng BC

Câu 11 Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A(5;-6;1) và B(1;0;-5) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng

() qua B có véctơ chỉ phương 

u(3;1;2)

Câu 12 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho các điểm A(1,0,0); B(0,2,0); C(0,0,3)

1 Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng qua ba điểm:A, B, C

2 Lập phương trình đường thẳng (d) qua C và vuông góc mặt phẳng (ABC)

Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1; 3) và mặt phẳng (P) : x2y2z10 = 0

1 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P).

2 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P).

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Câu 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng

z 4

a Chứng minh rằng đường thẳng ( )1 và đường thẳng ( )2 chéo nhau

b Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ( )1 và song song với đường thẳng ( )2

Câu 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng

x 2 2t(d ) : y1 3

a Chứng minh rằng hai đường thẳng (d ), (d )1 2 vuông góc nhau nhưng không cắt nhau

b Viết phương trình đường vuông góc chung của (d ), (d )1 2

Câu 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng () : 2x y 2z 3 0     và hai

a Chứng tỏ đường thẳng (d1) song song mặt phẳng () và (d2) cắt mặt phẳng ()

b Tính khoảng cách giữa đường thẳng (d1) và (d2 )

c Viết phương trình đường thẳng () song song với mặt phẳng () , cắt đường thẳng (d1) và (d2

) lần lượt tại M và N sao cho MN = 3

Câu 4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,chohai đường thẳng 1

Chứng minh rằng hai đường thẳng ( ), (d1 d2)vuông góc nhau nhưng không cắt nhau

Câu 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : 2 x y z     2 3 0 và hai đường thẳng

Chứng tỏ đường thẳng (d1) song song mặt phẳng ( ) và (d2) cắt mặt phẳng ( )

Câu 6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ( 1) : 1 2

Chứng minh rằng đường thẳng ( 1) và đường thẳng ( 2) chéo nhau

Câu 7 Trong không gian (Oxyz) cho đường thẳng (d):

132

Câu 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( S) : x2 + y2 + z2– 2x + 2y + 4z – 3 = 0 và hai đường

1.Chứng minh  1 và  2 chéo nhau

2.Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu ( S) biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng  1 và

 2

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Câu 1 Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB = a, BC = a 3, SA vuông gócvới mặt phẳng (ABC), SA = 2a Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên cáccạnh SB và SC Tính thể tích của khối chóp A.BCNM



Câu 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; SA (ABCD); AB = SA = 1; AD 2.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC Tính thể tích khối tứdiện ANIB

Câu 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông tâm O Các mặt bên (SAB) và (SAD)

vuông góc với đáy (ABCD) Cho AB = a, SA = a 2 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên

Câu 4 Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 2 5a và  BAC 120 o Gọi M là

trung điểm của cạnh CC1 Chứng minh MB  MA1 và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặtphẳng (A1BM)

Câu 5 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a, mặt bên hợp với đáy góc  Tìm  để

thể tích của khối chóp đạt giá trị lớn nhất





2 2



3

4 327

 a khi đó tan2 =1 = 45o

Câu 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB =2a, BC= a, các cạnh bên của hình chóp

bằng nhau và bằng a 2 Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD; K là điểmtrên cạnh AD sao cho

Câu 7 Cho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ACB) bằng 600, ABC và SBC là

các tam giác đều cạnh a Tính khoảng cách từ B đến mp(SAC)

Câu 11 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác vuông tại B và AB = a, BC = b,

AA’ = c ( c2a2b2) Tính diện tích thiết diện của hình lăng trụ bị cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua

A và vuông góc với CA

Hướng dẫn tóm tắt:

Câu 13 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a và điểm M trên cạnh AB sao cho AM = x,

(0 < x < a) Mặt phẳng (MA'C') cắt BC tại N Tính x theo a để thể tích khối đa diện MBNC'A'B'bằng 1

3thể tích khối lập phương ABCD.A'B'C'D'

a ta có:

3 1

Câu 14 Trên cạnh AD của hình vuông ABCD có độ dài là a, lấy điểm M sao cho AM = x (0 m a) Trên nửa

đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại điểm A, lấy điểm S sao cho SA = y (y > 0) Tính

thể tích khối chóp S.ABCM theo a, y và x Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCM, biết rằng

Câu 15 Cho hình nón đỉnh S, đường tròn đáy có tâm O và đường kính là AB = 2R Gọi M là điểm

thuộc đường tròn đáy và  ASB2 ,  ASM 2 Tính thể tích khối tứ diện SAOM theo R, và

Hướng dẫn tóm tắt:

Gọi OH là đường cao của  OAM, ta có:

sin.sin

sinsin sin

Câu 16 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh bên bằng 1 Các mặt bên hợp với mặt

phẳng đáy một góc α Tính thể tích hình cầu nội tiếp hình chóp S.ABC

Câu 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA(ABCD) và SA = a Gọi M,

N lần lượt là trung điểm AD, SC Tính thể tích tứ diện BDMN và khoảng cách từ D đếnmp(BMN)

.SA3

1S

.MA3

1V

3a4

aaAMBN

ABAMAN

2 2

2 2 2

2 2 2

a.4

3a.3a6

1BC.MN2

1.SA3

1V

3 ABC

.

Câu 19 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên

mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA’, cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng

2 38

a

Tính thể tích khối lăng trụ

ABC.A’B’C’.

Hướng dẫn tóm tắt:

Gọi M là trung điểm của BC, gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên AA’ Khi đó (P)  (BCH) Do góc

 A AM nhọn nên H nằm giữa AA’ Thiết diện của lăng trụ cắt bởi (P) là tam giác BCH.'

Do đó tứ diện ABCD có ba mặt là ba tam giác vuông tại cùng đỉnh A.

Lấy các điểm E, F, G, H sao cho đa diện ABEC.DGHF là hình hộp chữ nhật Hiển nhiên, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp Tâm mặt cầu này là trung điểm I của đoạn AH, còn bán

kính là 1 1 22 32 12 14

Câu 21 Tính thể tích của hình chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều cạnh a, mặt bên (SAB)

vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc α

Câu 22 Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC vuông cân tại A, AB = AC = a Mặt bên qua cạnh

huyền BC vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều hợp với mặt đáy các góc 600 Tính thể

tích của khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn tóm tắt:

Kẻ SHBC Suy ra SH (ABC) Kẻ SIAB; SJAC.

   SIHSJH 600 SIH =SJHHI = HJAIHJ là hình vuông

Câu 23 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tai A và D Biết AD = AB

= a, CD = 2a, cạnh bên SD vuông góc với mặt phẳng đáy và SD = a Tính thể tứ diện ASBC theoa

Hướng dẫn tóm tắt:

Ta có SABC = SABCD– SADC = 1 2

Câu 24 Cho hình chóp lục giác đều S.ABCDEF với SA = a, AB = b Tính thể tích của hình chóp đó và

khoảng cách giữa các đường thẳng SA, BE

Hướng dẫn tóm tắt:

Nhận xét: Tâm O của lục giác đều ABCDEF là trung điểm của các đường chéo AD, BE, CF SO

Diện tích đáy: Sđáy = 6S OAB=

2

2 3 3 36

* Xác định được d(SA, BE) = d(O, (SAF)) = OJ Chứng minh OJ(SAF)

TrongSOJ vuông tại O ta có OJ =

Trên SB, SC lấy các điểm B, C sao cho SB = SC = a Ta có AB = a, BC = a 2 , AC = a 3 

ABC vuông tại B Gọi H là trung điểm của AC, thì SHB vuông tại H Vậy SH là đường cao củahình chop S.ABC

Vậy: VS.AB’C’ =

3

212

 Chứng minh BC (SAB) BC AH AH (SBC).

Kẻ AK (SC) AK (SCD) (AKH) (SCD)

Kéo dài AB và CD cắt nhau tại E Kéo dài AH cắt SE tại M

Có (AMK) (SCD) hay (AMK) (SED)

AH (SBC) AH HK tam giác AHK vuông tại H

Kẻ HI MK có HI = d(H, (SCD))

 Tính AH, AM HM; Tính AK HK Từ đó tính được HI

Câu 28 Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 2a 5 và  BAC120o Gọi M là

trung điểm của cạnh CC1 Tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM)

Hướng dẫn tóm tắt:

Chọn hệ trục Oxyz sao cho: A O, C2 , 0, 0a , A1(0, 0, 2a 5)

3(0;0;0), ; ;0

Câu 29 Cho hình hộp ABCD.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, AB = AA = 2a Hình chiếuvuông góc của A lên mặt phẳng đáy trùng với tâm của đáy M là trung điểm của BC Tính thểtích hình hộp và cosin của góc giữa hai đường thẳng AM và AC

CA CN a a

Vậy cosin của góc giữa AM và AC bằng 3

2 5 .

Câu 30 Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với

mặt phẳng đáy Biết góc BAC = 1200, tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a

Hướng dẫn tóm tắt:

Hình chiếu của SB và SC trên (ABC) là AB và AC, mà SB = SC nên AB = AC

Ta có : BC2 = 2AB2– 2AB2cos1200  a2 = 3AB2 

Câu 31 Tính thể tích của hình chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều cạnh a, mặt bên (SAB)

vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc a

Hướng dẫn tóm tắt:

Dựng SH AB Ta có: (SAB)(ABC), (SAB)(ABC)AB SH, (SAB)

Câu 32 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc  BAD =

600 Gọi M là trung điểm AA và N là trung điểm của CC Chứng minh rằng bốn điểm B, M, N,

D đồng phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA theo a để tứ giác BMDN là hình vuông

Câu 33 Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có A.ABC là hình chóp tam giác đều cạnh đáy AB = a, cạnh bên

AA = b Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABC) Tính tan và thể tích của khối

Câu 34 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a, các mặt bên tạo với mặt đáy

góc 60o Mặt phẳng (P) chứa AB và đi qua trọng tâm của tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại

M, N Tính thể tích khối chóp S.ABMN theo a

Hướng dẫn tóm tắt:

Gọi I, J lần lượt là trung điểm cúa AB và CD; G là trọng tâm ∆SAC

∆SIJ đều cạnh a nên G cũng là trọng tâm ∆SIJ

IG cắt SJ tại K là trung điểm cúa SJ; M, N là trung điểm cúa SC, SD

32

Câu 35 Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh CD,

AD Điểm P thuộc cạnh DD’ sao cho PD = 2PD Chứng tỏ (MNP) vuông góc với (AAM) vàtính thể tích của khối tứ diện AAMP

Hướng dẫn tóm tắt:

Gọi Q là giao điểm của NP và AD Do PD = 2PD nên DN = 2DQ

2 2

Câu 36 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, với AB = 2AD = 2a, sạnh SA vuông góc với

mặt phẳng (ABCD), cạnh SC tạo với mặt đáy (ABCD) một góc 45 Gọi G là trọng tâm của tam giác0

SAB, mặt phẳng (GCD) cắt SA, SB lần lượt tại P và Q Tính thể tích khối chóp S.PQCD theo a

75

Câu 38 Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a Gọi K là trung điểm của cạnh BC và I là tâm của mặt bên

CCDD Tính thể tích của các hình đa diện do mặt phẳng (AKI) chia hình lập phương

Hướng dẫn tóm tắt:

Gọi E = AK DC, M = IE CC, N = IE DD Mặt phẳng (AKI) chia hình lập phương thành hai đa

diện: KMCAND và KBBCMAADN Đặt V1 = VKMCAND, V2 = VKBB  C  MAA  D  N

 Vhlp = a3, VEAND = 1.ED S ADN 2a3

Câu 39 Cho đường tròn (C) đường kính AB = 2R Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng chứa (C)

lấy điểm S sao cho SA = h Gọi M là điểm chính giữa cung AB Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với

SB, cắt SB, SM lần lượt tại H và K Tính thể tích của khối chóp S.AHK theo R và h

Câu 40 Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh bằng a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.Tính thể tích khối chóp B.AMCN và cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMCN) và (ABCD)

6cos

6





Câu 41 Tính thể tích của khối chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều cạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc

với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc

0

1 .sin302

Gọi N = BM AC N là trọng tâm củaABD.

Kẻ NK // SA (K SC) Kẻ KI // SO (I AC) KI (ABCD) Vậy V K BCDM. 1KI S BCDM

Câu 45 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc

giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 Gọi I là trung điểm của AD Hai mặt phẳng (SBI) và0

(SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Hướng dẫn tóm tắt:

Gọi E là trung điểm của AB BC = a 5 Ta có: S BIC S ABCD S ABI S CDI 3a2

Câu 46 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Tính theo a thể tích khối chóp

S.ABCD và tính bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp đó

Gọi M là trung điểm BC, hạ AH vuông góc với AM.

a AA

Kết luận:

3 ' ' '

Góc giữa mặt bên (SCD) và đáy (ABCD) làSJI 600 SIJ đều cạnh a G cũng là trọng tâmSIJ

IG cắt SJ tại K là trung điểm của SJ; M, N là trung điểm của SC, SD

Gọi P,Q là trung điểm của BD, MN Chứng minh được: AC’ PQ Suy ra AC  (BDMN)

Gọi H là giao của PQ và AC’ Suy ra AH là đường cao của hình chóp A.BDMN

Câu 52 Cho hình chóp S.ABCD có SA = x và tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng a Chứng minh

rằng đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC) Tìm x theo a để thể tích của khối chóp

S.ABCD bằng

6

23

a

Hướng dẫn tóm tắt:

SBD là các tam giác cân bằng nhau và có đáy BD chung nên OA = OC = OS Do đóASC vuông tại S

Câu 53 Cho lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vuông với AB = BC = a, cạnh bên

AA = a 2 M là điểm trên AA sao cho AM 1AA'

Từ giả thiết suy raABC vuông cân tại B Gọi H là trung điểm của AC thì BH AC và BH (ACCA)

Do đó BH là đường cao của hình chóp B.MAC  BH = 2a

Câu 54 Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a Trên đường thẳng d đi qua A và vuông

góc mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho mp(SBC) tạo với mp(ABC) một góc bằng 600 Tínhdiện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC

Hướng dẫn tóm tắt:

Ta có SA (ABC)  SA AB; SA  AC

Tam giác ABC vuông cân cạnh huyền AB  BC  AC  BC SC Hai điểm A,C cùng nhìn đoạn SBdưới góc vuông nên mặt cầu đường kính SB đi qua A,C Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC cũng chính

là mặt cầu đường kính SB Ta có CA = CB = AB sin 450 = a 2 ; SCA600 là góc giữa mp(SBC) vàmp(ABC)

SA = AC.tan600 = a 6 Từ đó SB2SA2AB210a2

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC là: S =  d2=  SB2 = 10a2

Câu 55 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a Cạnh SA vuông góc với

mặt phẳng đáy, cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy một góc 600 Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM

=a 3

3 , mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N Tính thể tích khối chóp S.BCNM.

Hướng dẫn tóm tắt:

Ta có: (BCM) // AD nên mặt phẳng này cắt mp(SAD) theo giao tuyến MN // AD

a a

Trong tam giác SBA ta có SB = 2a , AB AM

SB  MS =

1

2 Vậy BM là phân giác của góc SBA SBH 300  SH = SB.sin300 = a

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

Câu 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi A, B là các giao điểm của đường thẳng (d): 2x – y – 5 = 0 và

đường tròn (C’): x2y220x500 Hãy viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A, B, C(1; 1)

Câu 3 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): x2 y2 1

25 16  A, B là các điểm trên (E) sao cho:

Câu 6 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(2, 0) và phương trình các cạnh

AB, AC theo thứ tự là: 4x + y + 14 = 0; x y20 Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C

Câu 8 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD biết M(2;1); N(4; –2); P(2;0); Q(1;2) lần

lượt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD Hãy lập phương trình các cạnh của hình vuông

 b = –2a: AB: x – 2y = 0 ; CD: x – 2y –2 =0; BC: 2x +y – 6= 0; AD: 2x + y – 4 =0

 b = –a: AB: –x + y+ 1 =0; BC: –x –y + 2= 0; AD: –x –y +3 =0; CD: –x + y+ 2 =0

Câu 9 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và đường thẳng d: x – 2y + 2 = 0 Tìm trên d hai

điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B và AB = 2BC

Câu 10 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2– 6x + 5 = 0 Tìm điểm M thuộc trục

tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 600

Hướng dẫn tóm tắt:

(C) có tâm I(3;0) và bán kính R = 2 Gọi M(0; m) Oy

Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB 



0 0

Vì MI là phân giác của AMB nên:

 

m Vô nghiệm Vậy có hai điểm

M1(0; 7) và M2(0; 7)

Câu 11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình (x1)2 (y 2)29 và

đường thẳng d: x + y + m = 0 Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai

tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông

x y Phương trình đường cao vẽ từ B là d2: x2y 2 0 Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ

C Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC

AC BN PT đường thẳng AC: 6x3y 1 0

Câu 14 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho Elip (E): x25y25, Parabol ( ) :P x10y Hãy viết2

phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng ( ) : x3y 6 0, đồng thời tiếp xúc với trục hoành

Ox và cát tuyến chung của Elip (E) với Parabol (P)

Câu 15 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng

d: x – 4y –2 = 0, cạnh BC song song với d, phương trình đường cao BH: x + y + 3 = 0 và trung điểm củacạnh AC là M(1; 1) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C

Câu 16 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ABC có cạnh AC đi qua điểm M(0;– 1) Biết AB =

2AM, phương trình đường phân giác trong AD: x – y = 0, phương trình đường cao CH: 2x + y + 3 = 0

Tìm tọa độ các đỉnh của ABC

Câu 17 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng (d1): x7y170, (d2): x  y 5 0 Viết

phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với (d1), (d2) một tam giác cân tại giao điểm của (d1),(d2)

Câu 18 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 0) Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và

cắt hai đường thẳng (d1): x + y + 1 = 0, (d2): x – 2y + 2 = 0 lần lượt tại A, B sao cho MB = 3MA

Hướng dẫn tóm tắt:

1 2

( ) ( ; 1 ) ( 1; 1 )( ) (2 2; ) (2 3; )

hoặc 0; 1

( ) : 1 0(4;3)

Câu 19 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 4 điểm A(1;0), B(–2;4), C(–1;4), D(3;5) Tìm toạ độ điểm M

thuộc đường thẳng ( ) : 3 x  y 5 0 sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau

Hướng dẫn tóm tắt:

Phương trình tham số của:

Câu 20 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3;1) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M cắt

các tia Ox, Oy tại A và B sao cho (OA+3OB) nhỏ nhất

2) Gọi P là chu vi của tam giác MAB thì P = AB + AM + BM

Vì AB không đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất

2 2

1;0; 2

M và minAM BM2 29 Vậy khi M(1;0;2) thì minP = 2 11 29

Câu 22 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4 Biết A(1;0), B(0;2)

và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng y = x Tìm tọa độ các đỉnh C và D

I d y x I t t I là trung điểm của AC và BD nên: C(2t1; 2 ),t D t(2 ; 2t2)

Mặt khác: S ABCDAB CH 4 (CH: chiều cao) 4

Câu 23 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác có phương trình hai cạnh là 5x – 2y + 6 = 0 và 4x +

7y – 21 = 0 Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác đó, biết rằng trực tâm của nó trùng với gốc tọa độO

Hướng dẫn tóm tắt:

Giả sử AB: 5x – 2y + 6 = 0; AC: 4x + 7y – 21 = 0  A(0;3)

Phương trình đường cao BO: 7x – 4y = 0 B(–4; –7)

A nằm trên Oy, vậy đường cao AO nằm trên trục Oy BC: y + 7 = 0

Câu 24 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (D): x – 3y – 4 = 0 và đường tròn (C): x2 + y2

– 4y = 0 Tìm M thuộc (D) và N thuộc (C) sao cho chúng đối xứng qua điểm A(3;1)

Câu 25 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2) và cắt đường

tròn (C) có phương trình (x2)2(y1)225 theo một dây cung có độ dài bằng 8

Câu 26 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, choABC biết: B(2; –1), đường cao qua A có phương trình d1: 3x

– 4y + 27 = 0, phân giác trong góc C có phương trình d2: x + 2y – 5 = 0 Tìm toạ độ điểm A

+ Đường AC qua C và B’ nên có phương trình: y –3 =0

+ Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: 3 0 5 ( 5;3)

Câu 27 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng d1: 2x  y 5 0 d2: 3x + 6y – 7

= 0 Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2; –1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1

và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2

* Nếu B = –3A ta có đường thẳng d x: 3y 5 0

Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán d: 3x  y 5 0; d x: 3y 5 0

Câu 28 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho Hypebol (H) có phương trình:

(H) có các tiêu điểm F15;0 ;  F2 5;0 Hình chữ nhật cơ sở của (H) có một đỉnh là M( 4; 3),

Giả sử phương trình chính tắc của (E) có dạng:

Câu 29 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, choABC có đỉnh A(1;2), phương trình đường trung tuyến BM:

2x  y 1 0 và phân giác trong CD: x  y 1 0 Viết phương trình đường thẳng BC

Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của AK  tọa độ của K1;0

Do G là trọng tâmABC nên 2 7 2 3.2

Giả sử tâm I của đường tròn nội tiếp có tung độ là b Khi đó hoành độ là 1b và bán kính cũng bằng b

Vì khoảng cách từ I tới AC cũng phải bằng b nên ta có:

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Câu 1 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 6) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A,

cắt các trục tọa độ lần lượt tại I, J, K mà A là trực tâm của tam giác IJK

774775776

Câu 2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(4;5;6); B(0;0;1); C(0;2;0); D(3;0;0) Chứng

minh các đường thẳng AB và CD chéo nhau Viết phương trình đường thẳng (D) vuông góc với mặt

phẳng Oxy và cắt các đường thẳng AB, CD

Hướng dẫn tóm tắt:

Gọi (P) là mặt phẳng qua AB và (P) (Oxy)  (P): 5x – 4y = 0

(Q) là mặt phẳng qua CD và (Q) (Oxy)  (Q): 2x + 3y – 6 = 0

Ta có (D) = (P)(Q) Phương trình của (D)

Câu 3 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : x 1 y 1 z 2

    

và mặt phẳng P :

x y z 1 0    Viết phương trình đường thẳng  đi qua A(1;1; 2) , song song với mặt phẳng ( ) vàP

vuông góc với đường thẳng d

Câu 4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;4;1),B(–1;1;3) và mặt phẳng (P): x – 3y + 2z – 5

= 0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P)

Câu 6 Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (–1; 3; –2), B (–3; 7; –18) và mặt phẳng (P): 2x – y + z + 1 = 0

1 Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp (P)

2 Tìm tọa độ điểm M (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất

Hướng dẫn tóm tắt:

2x + 5y + z 11 = 0

2) A, B nằm cùng phía đối với (P) Gọi A là điểm đối xứng với A qua (P) A '(3;1;0)

Để M (P) có MA + MB nhỏ nhất thì M là giao điểm của (P) với AB M(2;2; 3)

Câu 7 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng ( ) và d d1 ( ) có phương trình:2

Hướng dẫn tóm tắt:

Chứng tỏ (d1) // (d2) (P): x + y – 5z +10 = 0

Câu 8 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: x2 + y2 + z2– 2x + 4y + 2z – 3 = 0

và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 14 = 0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S)theo một đường tròn có bán kính bằng 3

Hướng dẫn tóm tắt:

(S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3 (Q) chứa Ox (Q): ay + bz = 0

Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (Q) đi qua tâm I

Suy ra: –2a – b = 0 b = –2a (a0) (Q): y – 2z = 0

Câu 9 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng:

(d1) : x2 ;t y t z ; 4; (d2) :  x   3 t y ;  t z ;  0

Chứng minh (d1) và (d2) chéo nhau Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông gócchung của (d1) và (d2).

Gọi H là hình chiếu của A trên d d(d, (P)) = d(H, (P)) Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có

AH HI => HI lớn nhất khi A I Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận  AH

Phương trình mp(P) đi qua M và vuông góc với d2: 2x5y  z 2 0

Toạ độ giao điểm A của d1 và mp(P) là:A 5; 1;3  d: 1 1 1

Câu 14 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AO, B(3;0;0),

D(0;2;0), A’(0;0;1) Viết phương trình mặt cầu tâm C tiếp xúc với AB’