Giải tích phức - Nguyễn Trường Thanh pot

Ta thấy 2.5 Khái niệm hàm giải tích • Định nghĩa 1: Hàm fz giải tích trong một miền D nếu đơn trị và có đạo hàm liên tục trên D.. • Định nghĩa 2: Hàm fz giải tích trong miền D đóng kể cả

Gi¶i tÝch phøc

NguyÔn Tr−êng Thanh

Bé m«n To¸n, Tr−êng §¹i Häc Má vµ §Þa ChÊt

§«ng Ng¹c, Tõ Liªm, Hµ Néi

04/03/2009

1 Số Phức và Hàm Số Phức 4

1.1 Số phức và các phép toán đối với số phức 4

1.1.1 Định nghĩa 4

1.1.2 Biểu diễn hình học của số phức-Mặt phẳng phức 4

1.1.3 Dạng lượng giác của số phức 5

1.1.4 Các phép toán đối với số phức 5

1.2 Hàm số phức 7

1.2.1 Khái niệm về hàm phức 7

1.2.2 Các hàm sơ cấp cơ bản 8

1.2.3 Bài tập chương 1 10

2 Đạo hàm và Vi Phân 12 2.1 Định nghĩa đạo hàm 12

2.2 Điều kiện tồn tại đạo hàm 13

2.3 Vài ví dụ về đạo hàm 13

2.4 Tính chất hình học của Môdun và Argmen của đạo hàm 14

2.5 Khái niệm hàm giải tích 14

2.6 Vi phân hàm biến phức 14

3 Tích phân đường 16 3.1 Tích phân đường hàm biến phức 16

3.1.1 Định nghĩa 16

3.1.2 Cách tách phần thực và phần ảo 17

1

3.1.3 Các tính chất tích phân 17

3.2 Điều kiện để tích phân không phụ thuộc vào đường lấy tích phân và định lí CôSi 18 3.3 Công thức tính tích phân đối với hàm giải tích 19

3.3.1 Nguyên hàm 19

3.3.2 Nguyên hàm đối với hàm giải tích 19

3.3.3 Công thức tính tích phân với hàm giải tích 20

3.3.4 Công thức tính tích phân CôSi 20

4 Chuỗi số và chuỗi hàm 23 4.1 Khái niệm cơ bản về chuỗi số phức 23

4.1.1 Định nghĩa 23

4.1.2 Sự tách phần thực phần ảo 23

4.1.3 Sự hội tụ tuyệt đối 24

4.2 Khái niệm tổng quát về chuỗi hàm 24

4.3 Chuỗi luỹ thừa 24

4.4 Chuỗi Taylo 25

4.5 Chuỗi Lô răng (Laurent) 26

4.6 Điểm bất thường cô lập 28

5 Lý thuyết thặng dư 30 5.1 Khái niệm thặng dư và Các định lí cơ bản của thặng dư 30

5.1.1 Định nghĩa thặng dư 30

5.1.2 Định lí cơ bản của thặng dư 30

5.2 Cách tính thặng dư ứng với các cực điểm 31

5.2.1 Thặng dư của cực điểm đơn 31

5.2.2 Thặng dư với cực điểm cấp m 32

5.3 Thặng dư loga 32

5.3.1 Không điểm của hàm giải tích 32

5.3.2 Thặng dư loga 32

5.4 Applications 33

5.4.1 Tích phân hàm phức theo đường cong kín 33

5.4.2 Tính tích phân xác định hàm số thực

b

R

a

f(x)dx : 33

5.4.3 Tính tích phân suy rộng +∞R ư∞ f(x)dx 34

5.4.4 Tính các tích phân suy rộng +∞R ư∞ f(x) cos(mx)dx và +∞ R ư∞ f(x) sin(mx)dx 36 6 Lý thuyết toán tử 38 6.1 Khái niệm về phép tính toán tử 38

6.2 Toán tử Laplace 38

6.3 Một số ví dụ 41

6.4 Định lí đồng dạng của toán tử Laplace 42

6.5 Tính chất tuyến tính của toán tử Laplace 42

6.6 Tính chất rời chỗ của toán tử Laplace 42

6.7 Hàm tuần hoàn 43

6.8 Tính chất chậm trễ của toán tử Laplace 43

6.9 Định lí vi phân và tích phân hàm gốc 43

6.10 Định lí vi phân và tích phân hàm ảnh 44

6.11 Các công thức nhân 44

6.11.1 Nhân xếp hai hàm số (Tích chập) 44

6.11.2 Định lí về ảnh của tích xếp: (Công thức nhân ảnh) 45

6.11.3 Công thức Duhamel 45

6.12 Toán tử Laplace ngược 45

6.12.1 Định nghĩa và Các định lí tìm hàm gốc 45

6.12.2 Trường hợp riêng 46

6.13 Toán tử Fourier 47

6.13.1 Định nghĩa 47

6.13.2 Tính chất của toán tử Fourier 48

Chương 1

Số Phức và Hàm Số Phức

1.1 Số phức và các phép toán đối với số phức

1.1.1 Định nghĩa

• Đơn vị ảo là một số mà bình phương bằng ư1 kí hiệu bởi i Nói cách khác i2 = ư1

• Một biểu thức z = x + iy, x, y ∈ R, được gọi là một số phức Ngoài ra, x gọi là phần thựccủa z, kí hiệu bởi Re(z), y gọi là phần ảo của z, kí hiệu bởi Imz Nếu x = 0 thì z = iy gọi

là thuần tuý ảo Tương tự, nếu y = 0 thì z = x được gọi là thuần tuý thực Tâp hợp các sốphức được kí hiệu bởi C := {z = x + iy : x, y ∈ R}

1.1.2 Biểu diễn hình học của số phức-Mặt phẳng phức

• Một số phức z = x + iy tương ứng 1 ư 1 với điểm M(x, y) trong hệ toạ độ Đề Các, do đó toàn bộ mặt phẳng goi là Mặt phẳng phức.

• Những điểm nằm trên trục hoành có toạ độ (x, 0) ứng với số phứ z = x + i0 = x là số thựcthuần tuý, do đó trục hoành được gọi là trục thực Tương tự, trục tung gọi là trục ảo

4

• Chúng ta qiu ước |z| := r = px2+ y2, Arg(z) := ϕ, z := x ư iy tương ứng được gọi là

Mô đun, Argumen và số phức liên hợp của số phức z.

1.1.4 Các phép toán đối với số phức

1 Bằng nhau: Hai số phức z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 được gọi là bằng nhau nếu x1 =

Hình 1.2: Dạng lương giác của số phức(a) z + z = 2Re(z), z ư z = 2Imz

(a) |z1||z2| = |z2||z1|, (Giao hoán)

(b) z1(z2+ z3) = z1z2+ z1z3, (Phân phối đối với phép cộng)

• ω = f(z), z : là đối số, ω : hàm số, f : quy luật.

• Miền xác định của hàm f:={ω: sao cho theo quy luật f có thể xác định giá trị tương

ứng của ω}:=Df

• Miền xác định của f:={ Mọi giá trị của ω khi đối số z chạy khắp miền xác định }:=Rf

2 Sự tách phần thực và phần ảo trong quan hệ hàm: Cho hàm số ω = f(z), z = x + iy Khi

đó ta có thể biểu diễn, ω := u(x, y) + iv(x, y), trong đó u, v là các hàm số thực hai biến

3 Tính chất hình học của quan hệ hàm: ω = f(z) là một phép biến hình trên mặt phẳng phức

Hình 1.3: Phép biến hình

Ví dụ 1.1. Cho ω = z2 Tìm ảnh của miền tròn đơn vị

Miền D := {z = x + iy : x2+ y2 ≤ 1} Phương trình biên miền D là {(x, y) : x2+ y2 = 1}.Xét quan hệ ω = z2 = (x2ư y2) + i2xy Ta thấy (x2ư y2)2+ (2xy)2 = 1, 2xy có miền giátrị là đoạn thẳng [ư1, 1] khi (x, y) chạy trên biên miền D, do đó quan hệ ω = z2 biến hìnhtròn đơn vị thành chính nó

Ví dụ 1.2. Tìm nghịch ảnh của đường tròn (u ư1

2 Hàm mũ: Có dạng ω = ez với định nghĩa nh− sau: nếu z = x + iy thì

ω = ex.eiy= ex(cos y + i sin y)

e2zi− 1

e2zi+ 1; cotgz :=

cos zsin z = i

e2zi+ 1

e2zi− 1.

4 Hàm Logarit:

• Định nghĩa: Logarit của số phức z là số ω sao cho eω = z và đựoc kí hiệu ln z := ω

• Nếu z = r(cos ϕ + i sin ϕ) = eiϕ

• Hàm ω = arctgz : Gọi arctgz là số phức ω sao cho tgω = z Khi đó,

ω= arctgz = 1

2iln(

1 + iz

1 ư iz).

• Hàm ω = arccotgz : Gọi arccotgz là số phức ω sao cho cotgω = z Khi đó,

ω = arccotgz = 1

2iln(

z+ i

zư i).

1.2.3 Bài tập chương 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16 .

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

Chương 2

Đạo hàm và Vi Phân

2.1 Định nghĩa đạo hàm

Xét hàm số f(z) xác định trong miền D và một điểm z0 = x0+ iy0 ∈ D Cho z0 = x0 + iy0

một số gia ∆z = ∆x + ∆y, tương ứng có số gia của hàm số f :

1 Giá trị lim

∆z→0

∆f

∆z luôn là duy nhất theo mọi cách tiến đến 0 của ∆z

2 Giả sử f(z) = u(x, y) + iv(x, y) và ∆z = ∆x + ∆y Khi đó

2.2 Điều kiện tồn tại đạo hàm

1 Điều kiện cần: Nếu hàm f(z) = u(x, y) + iv(x, y) tồn tại đạo hàm tại điểm z = x + iy thìtại điểm đó phải tồn tại các đạo hàm riêng của u, v và

2 Điều kiện đủ: Cho hàm f(z) = u(x, y) + iv(x, y) Nếu hai hàm thực hai biến u, v khả vi (?)

và chúng thỏa mãn điều kiện C − R thì hàm f(z) tồn tại đạo hàm tại z

Chứng minh (?).

2.3 Vài ví dụ về đạo hàm

Ví dụ 2.1. Cho f(z) = z2 Giả sử z = x + iy, ta có f(z) = (x2 − y2) + 2xyi Do đó u =

x2− y2, v= 2xy Hai hàm u, v đều khả vi liên tục và thoả mãn điều kiện C − R tại mọi cặp điểm(x, y) Vậy f(z) = z2 tồn tại đạo hàm tại mọi điểm z Ngoài ra,

f′(z) = ∂u

∂x + i∂v

∂x = 2x + i2y = 2z

Ví dụ 2.2. Cho f(z) = ez Giả sử z = x + iy, khi đó

f(z) = ex+iy = ex(cos x + sin y), u = excos y, v = exsin y

Ta thấy u, v thoả mãn điều kiện C − R, do đó hàm f(z) tồn tại đạo hàm tại mọi điểm và

2.4 Tính chất hình học của Môdun và Argmen của đạo hàm

• Cho hàm f(z), giả sử tại z nào đó tồn tại f′(z) 6= 0 Đoạn MN nối từ điểm z tới điểm

z+ ∆z, đoạn M1N1 nối từ điểm f(z)tới điểm f(z) + ∆f Các vec tơ ưư→M N , ưưư→M

1N1 tương ứngvới số phức ∆z, ∆f Ta thấy

2.5 Khái niệm hàm giải tích

• Định nghĩa 1: Hàm f(z) giải tích trong một miền D nếu đơn trị và có đạo hàm liên tục trên

D

Đôi khi ta nói hàm f(z) giải tích tại điểm z0, điều nay f có nghĩa là f(z) giải tích trong mộtlân cận mở nào đó chứa điểm z0

• Định nghĩa 2: Hàm f(z) giải tích trong miền D đóng (kể cả biên) nếu nó giải tích bên trong

một miền mở nào đó chứa D.

• Điều kiện cần và đủ để hàm f(z) = u(x, y + iv(x, y) giải tích trong D là các hàm u, v tồn

tại các đạo hàm riêng cấp một liên tục và thoả mãn điều kiện C ư R trên D.

2.6 Vi phân hàm biến phức

• Định nghĩa: Cho hàm f(z) xác định trong miền D và điểm z0 ∈ D Nếu số gia của hàm số

∆f = A∆z + α(∆z), trong đó A là hằng số, α(∆z) là vô cùng bé cấp cao hơn ∆z, thì ta

nói hàm f(z) khả vi tại điểm z0 và biểu thức A∆z gọi là vi phân của hàm số tại z0,kí hiệu

df = A∆z

• Hoàn toàn tương tự như đối với hàm biến số thực ta cũng chứng minh được df = f′(z0)dz.Ngoài ra sự tồn tại đạo hàm và tính khả vi của hàm số tại một điểm là tương đưong

Chương 3

Tích phân đường

3.1 Tích phân đường hàm biến phức

3.1.1 Định nghĩa

Trong mặt phẳng phức cho đưòng song trơn AB trơn (hoặc trơn từng khúc) và hàm f(z) xác

định trên đường cong đó Chia đưòng cong AB thành n phần một cách tuỳ ý bởi những điểm chia

A ≡ z0,z1, , zk, , zn ≡ B Trên cung thứ tự thứ k là zkư1, zk ta chọn tùy ý một điểm ξk Gọi

f(z)dz không phụ thuộc vào đường lấy tích phân trong

một miền D nào đó là: Trong miền đó các hàm u, v tồn tại các đạo hàm riêng thỏa mãn điều kiện

Chứng minh Ta có thể giả thiết miền D gồm hai biên C1, C2 Ta nối C1, C2 bởi cung AB tuỳ ý

và coi miền D là đơn liên Theo đinh lí 3.2 ta có,

3.3 Công thức tính tích phân đối với hàm giải tích

3.3.2 Nguyên hàm đối với hàm giải tích

• Giả sử f(z) giải tích trong miền D Khi đó tích phân đường trong D chỉ phụ thuộc vào điểm

đầu và điểm cuối, do đó ta có thể kí hiệu :

1 Nếu C không bao quanh z0 thì I = 0.

2 Nếu C bao quanh z0 thì I = R

z−z 0 Do f(z) giải tích trên D nên ϕ(z) cũng giải tích trên D CR,trong

đó CR là đ−òng tròn tâm z0 bán kính R tuỳ ý sao cho CR ⊂ D Theo định lí 3.3 trên miền đa liên

C

f(z)

z− z0

dz

Mặt khác,

H

CR

f(z) z−z 0dz = H

CR

f (z)−f (z 0 )+f (z 0 ) z−z 0 dz

= H

C R

f (z 0 ) z−z 0dz+ H

C R

f(z)−f (z 0 ) z−z 0 dz

= f(z0)2πi + H

C R

f(z)−f (z 0 ) z−z 0 dz

tron đó r, m đủ bé để Cr, Cmbao quanh thứ tự z = 0, z = 2 Mặt khác theo công thức Cô si

cho miền đơn liên ta có

f(z)(z − z0)n+1dz

Chøng minh Tr−íc tiªn ta chøng minh víi n = 1 LÊy ®iÓm z0 ∈ D bÊt k× Theo c«ng thøc tÝch

ph©n C«Si ta cã

f(z0+ ∆z) − f(z0) = 2πi1 H

C

f(z) z−z 0 −∆zdz− 2πi1

H

C

f(z) z−z 0dz

= 2πi1 H

C

f (z)∆z (z−z 0 −∆z)(z−z 0 )dzVËy

C

f(z)(z − z0)2dz

T−¬ng tù víi c¸c tr−êng hîp kh¸c

zk gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi.

• Nếu tồn tại limn→∞Sn = S thì S được gọi là tổng của chuỗi Khi đó ta nói rằng chuỗi số hội

tụ Ngược lại, ta nói rằng chuỗi số phân kì Trong trường hợp hội tụ, Rn = S ư Sn gọi làphần dư thứ n

Định lý 4.1. Nếu chuỗi (2) hội tụ thì chuỗi (1) cũng hội tụ.

4.2 Khái niệm tổng quát về chuỗi hàm

• Cho một dãy vô hạn các hàm phức u1(z), u2(z), Biểu thức u1(z)+u2(z)+ã ã ã = P∞

un(z0) Nếu chuỗi này hội tụ thì z0 được gọi

là điểm hội tụ của chuỗi hàm (ngược lại gọi là điểm phân kì)

• Tập các điểm hội tụ được gọi là miền hội tụ của chuỗi hàm

4.3 Chuỗi luỹ thừa

đó ta chỉ cần xét tổng quát với trường hơp z0 = 0

• Từ định lí Abel và hệ quả của nó ta nhận thấy: Tồn tại một đường tròn tâm 0 bán kính R

• Quy tắc tìm bán kính hội tụ:

an(z ư z0)n hội tụ trong miền tròn CR(z0) Giả sử trong miền tròn này

tổng của chuỗi là hàm f(z) (Người ta chứng minh được rằng hàm f(z) là hàm giải tích

trong miền tròn CR(z0))

• Đặt vấn đề ngược lại: Cho trước hàm f(z) giải tích trong miền tròn CR(z0) nào đó, liệu ta cóthể phân tích hàm f(z) thành chuỗi luỹ thừa trong miền tròn đó hay không? Hay nói cáchkhác : Liệu có tồn tại một chuỗi luỹ thừa dạng P∞

n=0

an(z ư z0)n nhận CR(z0) làm miền hội tụ

và đồng thời trong miền hội tụ đó, tổng của chuỗi chính là hàm f(z)

1 Cho f(z) giải tích trong CR(z0) Lấy z ∈ CR(z0) Vẽ đường tròn C tâm ở z0,chứa điểm

z và C ⊂ CR(z0) Ta có f(z) giải tích trong miền G có chu tuyến C Theo công thức

tích phân Cô Si ta có

f(z) = 1

2πiI

1(t ư z0)[1 ư zưz0

f(z) = a0+ a1(z ư z0) + ã ã ã + an(z ư z0)n+ ã ã ã ,

26trong đó

an= 12πiI

C

f(t)(t ư z0)n+1dt, (n = 0, 1, 2, )

Theo công thức CôSi và hệ quả của nó ta có an= f(n)(z0 )

n! Vậy với mọi z ∈ CR ta cóf(z) =

∞

X

n=0

f(n)(z0)n! (z ư z0)n.Các hệ số {an} gọi là các hệ số Taylo của hàm f(z) tại lân cận điểm z0

3! + z 5

5! + ã ã ãcos z = 1 ưz2!2 + z4!4 + ã ã ã

Ví dụ 4.2. Chuỗi T ayLo, f(z) = ln z, tại z0 = 1

• Cho f(z) giải tích trong vành khăn CR(z0) ư Cr(z0) Trong vành khăn đó lấy tuỳ ý điểm z

Vẽ hai vòng tròn C1, C2, có tâm z0 tạo nên vành khăn (C1, C2, z0) sao cho vành khăn nàychứa điểm z và nằm trọn trong vành khăn ban đầu đã cho Bao điểm z bằng đường tròn γtâm z, bán kính ε đủ bé để đường tròn γ nằm trong vành khăn (C1, C2, z0) Trong miền đa

liên G biên gồm C1+ C2+ γ rõ ràng hàm f(t)tưz giải tích Do đó, theo định lí CôSi cho miền

γ

f(t)

tư zdt=

12πiI

C2

f(t)

tư zdtư

12πiI

1 1ưzưz0tưz0dt

= 2πi1 H

C2

f (t) tưz 0

2πi

H

C2

f (t) (tưz 0 ) n+1dt, n∈ N

Tương tự,

12πiI

Γ

f(t)(t ư z0)n+1dt, n∈ Z,

hay còn gọi là chuỗi Lô-răng của hàm f(z) trong vành khăn đã cho Phần chuỗi luỹ thừa nguyên dương gọi là phần chính của chuỗi Lô-răng Phần chuỗi luỹ thừa nguyên âm gọi là phần chính của chuỗi Lô-răng.

Ví dụ 4.3. Khai triển Lô răng trong những vành khăn khác nhau của hàm sốf(z) = 1

(zư1)(zư2)

1 Trên vành khăn 0 < |z ư 1| < 1

Ta thấy,

f(z) = 1

zư2 ư 1 zư1 = 1 zư2 ư (z ư 1)ư1

Ví dụ 4.4. Khai triển hàm sin z

2

1 1ư z

2 + 1 z

1 1ư1z

4.6 Điểm bất thường cô lập

• Định nghĩa điểm bất thường: Những điểm mà tại đó hàm f(z) không giải tích được gọi lànhững điểm bất thường của f(z)

• Nếu z0 là điểm bất thường, đồng thời tồn tại một lân cận của z0,trong đó chỉ có một mình

z0 là điểm bất thưòng thì z0 được gọi là điểm bất thường cô lập

1 Phân loại điểm bất thường cô lập:

• Giả sử z0 là điểm bất thường cô lập của f(z), khi đó ta có thể khai triển Lô răng hàm

2 Cách nhận biết các loại bất thường qua giới hạn:

• Nếu z0 là bất thưòng khử được của f(z) thì lim

z→z 0f(z) = constant

• Nếu z0 là cực điểm của f(z) thì lim

Res[f(z); z0] = 1

2πiI

Chứng minh Chứng minh trên là một hệ quả của định lí CôSi cho miền đa liên, định lí 3.3.

5.2.2 Thặng d− với cực điểm cấp m

Giả sử z0 là cực điểm cấp m của f(z) Khi đó khai triển Lô răng của hàm f(z) tại lân cận z0

z→i

d2

d2z[ 1(z2+ 1)3(z − i)3].1

2! = −163i

5.3 Thặng d− loga

5.3.1 Không điểm của hàm giải tích

• Định nghĩa: Giả sử f(z) giải tích trong một miền D nào đó Điểm z0 ∈ D gọi là không

điểm của f(z) nếu f(z0) = 0

• Giả sử z = z0 là không điểm của f(z) Nếu khai triển T aylo của hàm f(z) ở lân cận z0códạng f(z) = P∞

Định lý 5.2. Giả sử f(z) giải tích trong miền D (biên C) trừ một số hữu hạn các cực điểm là

z1, z2, , zn có cấp tương ứng p1, p2, , pn Ngoài ra, trong miền D, f (z) có một số không điểm

là d1, d2, , ds với cấp tương ứng là m1, m2, , ms Khi đó,

12πiI

C

f′(z)f(z)dz = (m1+ m2+ ã ã ã + ms) ư (p1 + p2+ ã ã ã + pn)

Chứng minh .

5.4 Applications

5.4.1 Tích phân hàm phức theo đường cong kín

Nếu hàm f(z) giải tích trên miền D (chu tuyến C) trừ ra một số hữu hạn điểm bất thường côlập bên trong D là z1, z2, , zn.Theo định lí thặng dư ta có