Giải tích ôn thi đại học

và viết gx = 0fx khi x  ac  = thì fx gọi là VCB VCL bậc cao hơn gx khi x  a Chú ý : d nghịch đảo của một VCBVCL là một VCLVCB khi x a e Tổng của hai VCBVCL khi x là VCBVCL khi xa

CHƯƠNG I:LÝ THUYẾT GIỚI HẠN

1 Số thập phân vô hạn không tuần hoàn được xem là biểu diễn một số vô tỷ

2 Nếu gọi tập hợp số hữu tỷ là  và tập hợp số vô tỷ là I.thì tập hợp số thực

 Số M được gọi là cận trên đúng của tập X  xoX sao cho xo M 

 Số m được gọi là cận dưới đúng của tập X  xoX sao cho xo m 

§2:HÀM MỘT BIẾN SỐ

1) Khái niệm hàm số :Hàm số là ánh xạ f:XY trong đó X;Y

Ta gọi X là tập xác định , còn f (X)Y gọi là tập giá trị

 Hàm lôgarit: ylog xa với a > 0 và a ≠ 1; x0

 Hàm lượng giác: y = sinx ; y = cosx ; y = tgx ; y = cotgx

Hàm lượng giác ngược

 y = arcsinx xác định trên 1,1 và nhận giá trị trên ,

 y = arccosx xác định trên 1,1 và nhận giá trị trên0, và

 yarccot gx có miền xác định (  và miền giá trị (0, ), ) 

Mặt khác còn có mối liên hệ arc cot gx arc tgx

2



  Ngoài ra còn các hàm ngược của các hàm siêu việt

§3:GIỚI HẠN DÃY SỐ

1) KHÁI NIỆM: Cho dãy số x , x , , x1 2 n 1 , x , n

Số a được gọi là giới hạn của dãy biến x nếu bắt đầu từ một chỗ nào đó tức là đối nvới mọi số thứ tự n khá lớn biến x sai khác a nhỏ bao nhiêu cũng được n

Hoặc: số a được gọi là giới hạn của dãy  xn nếu  0, N( )  N0 sao cho

Khi đó ta nói dãy x hội tụ đến a.Đặc biệt khi n x = a với mọi n thì limn x = a n

Từ (1) có  xn a   a   xn a   và khoảng mở (a  , a   được gọi là )lân cận của điểm a.Như vậy với lân cận bé bất kỳ của điểm a,tất cả các giá trị của

n

x bắt đầu từ một giá trị nào đấy cần phải rơi vào lân cận đó

Ví dụ

n 1 1lim

33n 2

thì khi đó với mọi n > N ta có điều phải chứng minh

1 Đại lượng vô cùng bé (gọi là vô cùng bé - VCB): Biến x được gọi là đại lượng n

vô cùng bé nếu limx = 0 n

2) CÁC TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN DÃY

Chọn N = maxN , N1 2  n N xn r ; xn r.Điều này vô lý , nên a= a

3 Định lý 3 :Nếu x có giới hạn thì n x giới nội n

 Được gọi là dãy tăng nếu x1x2  xn 1 x , n

 Được gọi là dãy tăng nghiêm ngặt nếux1x2  , xn 1  x , n

 Được gọi là dãy giảm nếux1x2  xn 1 x , n

 Được gọi là dãy giảm nghiêm ngặt nếu x1 x2  , xn 1  xn 

6 Định LýCho xn a ; yn  thì ta có các kết quả sau b

8 Dãy con: Cho dãy x và một dãy n  xn k được trích ra từ dãy x ở đây dãy n

 nk là dãy tăng và chỉ số chạy là k chứ không phải n.Dãy  xn k gọi là dãy con của dãy x n

10 Bổ đề: Nếu  n n 1 là dãy các đoạn thắt thì tồn tại một điểm duy nhất

thuộc mọi đoạn của dãy

Chứng minh: Do n 1  n n 1, 2, nên a1 a2  an  bn nên an là dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên,nên

Chứng minh :Giả sử  xn có a xn b  Chia n a, bthành hai phần bằng nhau ,khi

đó ít nhất có một đoạn chứa vô số các phần tử của  xn gọi đoạn đó là  lại chia 1

1

 thành hai hai phần bằng nhau và lại có một phần chứa vô số các phần tử của xn

gọi là  Cứ tiếp tục như vậy ta thu được dãy đoạn thắt 2  n n 1 trong đó

13 SỐ e:

Cho dãy số

n n

§4:GIỚI HẠN HÀM SỐ

1) Giới hạn hàm số tại một điểm: Cho hàm số f(x) xác định trên tập X  và

nhận giá trị trên  ,x là một điểm giới hạn của tập X 0

1 Định nghĩa : Số  được gọi là giới hạn của hàm f(x) khi x dần tới x nếu 0

3 Định nghĩa : Ta gọi số  là giới hạn trái của hàm f(x) khi x x0  0

(nghĩa làxx0 nhưng luôn bé hơn x ) nếu 0  0, 0 sao cho

2) Giới hạn ở vô tận và giới hạn vô tận

6 Định nghĩa : Ta gọi số  là giới hạn của hàm f(x) khi x  

nếu 0 , M 0 sao cho f (x)   xảy ra với mọi x > M Ký hiệu

xlim f (x)

   

7 Định nghĩa : Ta gọi số  là giới hạn của hàm f(x) khi x   nếu 0

Tương tự cho trường hợp x   ta cũng có kết quả là e

Vậy

x

x

1lim 1

f (x)

1lim 1 f (x) lim 1 e

đặc biệt khi  = 1 thì f(x) và g(x) là hai VCB (VCL) cùng bậc khi x a

là hai VCB (VCL) tương đương khi x và viết f(x) a  g(x) khi x a

b)  = 0 thì g(x) gọi là VCB (VCL) bậc cao hơn f(x) khi x a

và viết g(x) = 0(f(x)) khi x  a

c)  = thì f(x) gọi là VCB (VCL) bậc cao hơn g(x) khi x  a

Chú ý :

d) nghịch đảo của một VCB(VCL) là một VCL(VCB) khi x a

e) Tổng của hai VCB(VCL) khi x là VCB(VCL) khi xa  a

f) Tích của VCB(VCL) với một đại lượng bị chặn là VCB(VCL)

g) Trong khi lấy giới hạn ta có thể thay bằng các VCB(VCL) tương đương

Hàm số liên tục trong a, b,liên tục trên khoảng (a,b) và liên tục phảitại a, liên tục trái tại b,hay

x (a, b).Nếu hàm số không liên tục tại x ,hoặc không liên tục trái (phải) tại đó 0

§2:CÁC PHÉP TOÁN TRÊN HÀM SỐ LIÊN TỤC

1) Định lý 1: Tổng, tích, thương (mẫu số ≠ 0) các hàm liên tục tạix là hàm liên 0tụcx 0

2) Định lý 2: Nếu hàm số f(x) liên tục tại x ,và hàm 0 g(y) liên tục tại y0 f (x )0thì hàm hợp g f (x) liên tục tại x 0

Chú ý: Hàm của một biểu thức toán học xác định ở đâu thì liên tục tại đó

§3:TÍNH CHẤT HÀM LIÊN TỤC

1) Định lý: Nếu hàm số f liên tục tại điển a và f(a) > 0 (hay f(a) < 0) thì tồn tại một

lân cận của a để sao cho với mọi x thuộc lân cận đó thì f(x) > 0(hay f(x) < 0)

2) Định lý Bônxanô-Côsi thứ nhất:Nếu f(x) xác định,liên tục trên a, bvà

f (a)f (b) Khi đó c0  (a, b)để f(c) = 0

3) Định lý Bônxanô-Côsi thứ hai: Nếu f(x) xác định,liên tục trên a, bvà f(a) = A f(b) = B,thì C : ACB  c (a, b) : f (c)C

Chứng minh:Xét hàm g(x) = f(x) - C.Sau đó vận dụng Bônxanô-Côsi thứ nhất

4) Định lý (Vâyestrat thứ nhất):

Hàm f xác định, liên tục trên a, bthì bị chặn trên đó

Chứng minh:Giả sử hàm f(x) không bị chặn trên a, b,khi đó với mỗi

 n

n luôn x  a, b sao cho f (x )n n

Từ  xn a, b  xnk a, b : x nk x0a, b và

k k

5) Định lý (Vâyestrat thứ hai) Nếu hàm f xác định và liên tục trên a, bthì đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên a, b

Chứng minh:Do f(x) bị chặn trên a, b nên

(trái với M là cận trên đúng).Vậy x0a, b : f (x ) 0 M

Tức M là giá trị lớn nhất của f(x) trêna, b

Tương tự đối với giá trị bé nhất

6) Định nghĩa: Hàm f(x) được gọi là liên tục đều trên (a, b) ((a, b) là khoảng hữu

hạn,vô hạn,đóng hoặc mở) nếu:

0, x , x  (a, b),sao cho ( ) 0 : x x f (x ) f (x )

               

7) Đlý (Canto):

Nếu hàm f (x) xác định và liên tục trên a, bthì liên tục đều trên đó

Chứng minh:Giả sử hàm f(x) không liên tục đều trên a, b.Tức là

thì dãy con của dãy  xn k cũng hội tụ về x 0

Do f (x) liên tục trên a, bnên

k k

Nếu hàm số có đạo hàm tại x thì liên tục tại đó.Đạo hàm của hàm số tại một điểm là 0

hệ số góc của tiếp tuyến với đường tại điểm đó

2) Đạo hàm của hàm hợp: Giả sử u  (x)có đạo hàm tại x và 0 ux  (x )0 ,hàm

y = f(u) có đạo hàm tại u0  (x )0 là yu f (u )u 0 Khi đó hàm hợp yf(x)

có đạo hàm tại x và 0 yx fu(x )0 x(x )0 ,hay gọn hơn yx f uu x

đạo hàm trái tại x 0

4) Đạo hàm của hàm ngược

Giả sử y = f(x) có đạo hàm tại x là 0 f (x ) 0  và là hàm số có hàm ngược 0

x  (y).Khi đó đạo hàm của x  (y)tại y0 f (x )0 là

0

1(y)

Đặc biệt nếu y = x thì dxdy nên ta có thể viết dyy dx

Từ định nghĩa vi phân nên các quy tắc lấy vi phân tương tự như các quy tắc lấy đạo hàm

2) Tính bất biến của vi phân: Giả sử có dx  (t)dt và dy y dtt với yf(t)

Thì ta cũng có dy y dtt  y x dt x t nhưng dx (t)dt dy y dxx ,như vậy biểu thức vi phân không thây đổi khi biên độc lập hay biến hàm.Đó gọi là tính bất biến của

vi phân

§3:ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO

1) Định nghĩa các đạo hàm cấp cao:Giả sử hàm f(x) có đạo hàm hữu hạn tại

x(a, b)khi đó yf (x) cũng là một hàm số và giả sử nó cũng có đạo hàm,được gọi

là đạo hàm cấp hai ký hiệu

2 2

d f (x)

n 0,1, 2,

Quy ước y(0) f(0)(x) f (x)

2) Quy tắc tính đạo hàm cấp cao hoàn toàn tương tự như quy tắc đạo hàm cấp 1

Vi phân cấp cao:Giả sử dy y dxx là vi phân của hàm f(x) trên (a, b) cũng là một hàm

số khả vi, vi phân của dy y dxx được gọi là vi phân cấp hai (lưu ý dx là một số tùy ý không phụ thuộc x): d(dy)d(y dx)x d y2 y dxx 2 Cứ tiếp tục như vậy ta có các kết quả của vi phân cấp cao và

d(dn 1 y)d(yx(n 1) dxn 1 )d y2 yx(n)dxn

Lưu ý:Các vi phân cấp cao không còn tính bất biến

§4:CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN

1) Các định lý giá trị trung bình:

1 Bổ đề Fecma:Giả sử hàm f(x) xác định trên khoảng (a, b) và đạt giá trị lớn

nhất(nhỏ nhất) tại một điểm c trong (a, b).Nếu f (c) f (c)  0

2 Định lý Roll :Giả sử hàm f(x) liên tục trên a, bvà khả vi trong (a, b) ,

f (a)f (b) Khi đó  c (a, b) sao cho f (c)  0

Chứng minh: Do f(x) liên tục trên a, bnên đạt giá trị lớn nhất M và giá trị

3 Định lý Lagrăng: Giả sử hàm f(x) liên tục trên a, bvà khả vi trong (a, b) ,

Khi đó c (a, b) sao cho f (c) f (b) f (a)

Chứng minh: xét hàm F(x) f (x) f (a) f (b) f (a)(x a)

b a



 thỏa mãn các điều kiện

của định lý Roll nên  c (a, b) sao cho F (c)  ,tức là 0 f (c) f (b) f (a) 0

4 Định lý Cô si: G/sử hàm f(x) và g(x) liên tục trên a, b, khả vi trong (a, b)

g (x) 0 x (a, b).Khi đó c (a, b) sao cho f (b) f (a) f (c)

f (a)

k!

2 Công thức Taylo đối với hàm bất kỳ:

Cho một hàm f(x) xác định trên (a, b) (hữu hạn hoặc vô hạn) và có đạo hàm đến

cấp n + 1 tại x0(a, b).Khi đó

0

f (x )

(x x )n!

(n 1)

n 1 0

(x x )(n 1)!







được gọi là công thức Taylo của f(x) tại x ,trong đó c nằm giữa 0 x và x 0

Chú ý: Nếu x0  thì khai triển Taylo còn gọi là khai triển Macloranh 0

3 Một số khai triển Macloranh hàm sơ cấp cơ bản

n 0

xln(1 x) ( 1)

§5:ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN

1)Khảo sát hàm số:Việc khảo sát hàm số ta thực hiện như trong chương trình đã

học ở phổ thông trung học,nhưng lưu ý khi xét cực trị của hàm số mà gặp trường hợp các đạo hàm của hàm số thỏa mãn f(k)(x )0 0 với k 1, n  ,thì ta xét theo 1kết quả:

2)Định lý : Hàm f(x) xác định tại x0(a, b)và f(k)(x )0 0 với k 1, n 1

và f(n)(x )0 0.Nếu n lẻ thì hàm số không có cực trị, nếu n chẵn thì hàm số có cực trị tại x : 0

 Khi f(n)(x )0 0 thì hàm số có cực đại tại x 0

 Khi f(n)(x )0 0 thì hàm số có cực tiểu tại x 0

Chứng minh : Trong khai triển Taylo của hàm f(x) tại x ta có 0

f (x)f (x )đổi dấu khi x biến thiên qua x 0

 Nếu n chẵn thì (x x )0 nnguyên mội dấu khi x biến thiên qua x dẫn đến 0

0

CHƯƠNG IV:PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN

§1: TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC ĐỊNH

1) Nguyên hàm: Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x),nếu

F (x) f (x).Nhưvậy F(x) + C sẽ là họ nguyên hàm của f(x),với Cconst.Khi đó phép toán tìm họ nguyên hàm của hàm f(x) gọi là tích phân bất định của hàm f(x)

2 Tích phân từng phần: UdV UV VdU

3 Tích phân truy hồi: thực tế là giải phương trình tích phân,ví dụ như tính

ax bx c



 



Nếua0:

thì

duI

6 Tích phân dạng I6  ax2 bxc dx

Nếu a 0 I6  a u2 k du2 trong đó u x b

2a

ax bx c



 

 trong đó là P (x) đa thức bậc n n

  

 

2 2 3

10 Tích phân hàm lượng giác:

Tích phân dạng I1 R(sin x,cos x)dx R là hàm hữu tỷ

b) Nếu R(sin x, cos x)  R(sin x,cos x) thì đặt sin xt

c) Nếu R( sin x,cos x)  R(sin x,cos x) thì đặt cos xt

d) Nếu R( sin x, cos x)  R(sin x, cos x) thì đặt tgx = t

§2:TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

1)Định nghĩa, điều kiện tồn tại tích phân xác định:

Cho hàm f(x) xác định trên đoạn a, b,chia a, bbởi các điểm chia x với kk 0, n thỏa mãn a x0 x1  xn  đặt b xk  xk 1 xk với k 0, n.Đặt  maxxk.Trên mỗi đoạn x , xk k 1  lấy bất kỳ điểm k : xk   k xk 1

 mà không phụ thuộc vào phép chia a, b thì giới

hạn đó gọi là tích phân xác định của hàm f(x) trên a, b, và viết

b

a

If (x)dx.Khi đó hàm f(x) là hàm khả tích trên a, b

Nếu ta gọi m và k M tương ứng là cận dưới và cận trên đúng của f(x) trên k x , xk k 1 

1 Nếu thêm các điểm chia mới thì tổng Đacbu dưới chỉ có thể tăng lên và tổng

Đacbu trên chỉ có thể giảm đi

Chứng minh:Giả sử có x : x k xxk 1 thì tổng Đacbu trên ở trên x , xk k 1  là

Sk M (xk x )k M (xk k 1 x ) do x , x  k   x , xk k 1 và x , x k 1   x , xk k 1 

nên Mk M ;Mk k Mk Sk Sk

2 Mỗi tổng Đacbu dưới không vượt quá mỗi tổng trên,mặc dù tổng trên ứng

với cách chia khác nhau

1 Nếu hàm f(x) lien tục trên a, bthì khả tích trên đó

2 Hàm f(x) giới nội trên a, bchỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạn,thì khả tích trên a, b

3 Hàm f(x) đơn điệu giới nội trêna, bthì khả tích trên đó

do đó

x 0

(x x) (x)(x) lim f (x)

1 Diện tích hình phẳng:Miền phẳng giới hạn bởi hai đường cong f(x) và g(x)

liên tục trên a, bđược xác định bởi

3 Trong tọa độ cực: Đường cho bởi rr( ) với      được xác định 1 2





   

4 Độ dài đường cong:

a Xác định bởi yf (x) với a x  đươc tính b

b

2 a

a

V  f (x)dx

c Do yf (x)0 (ax b)quay xung quanh 0y:

b 0y

a

V  2 xf (x)dx

6 Diện tích mặt tròn xoay do đường cong phẳng yf (x)với (a x b)

quay xung quanh trục 0x:

2 0x

CHƯƠNG V:CHUỖI

A:CHUỖI SỐ

§1:KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

1) CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1 Định nghĩa:Cho dãy số vô hạn a ,a , a , Khi đó tổng vô hạn 1 2 n

chuỗi (1) gọi là phân kỳ





2 Các định lý đơn giản

a Định lý 1:Nếu chuỗi (1) hội tụ thì phần dư của nó cũng hội tụ và hội tụ về 0

b Hệ quả : Nếu chuỗi (1) hội tụ thì n

chuỗi (1) hội tụ   0, N 0 sao chon, mN : an 1 an 2  am  

Chứng minh: Chuỗi (1) hội tụ   Sn hội tụ   0, N 0 sao cho: Sn Sm  

tức là an 1 an 2  am  

§2:CHUỖI SỐ DƯƠNG

1) Nhân xét:Chuỗi số dương là trường hợp đặc biệt của chuỗi số,nên mọi tính

chất của chuỗi số đều đúng cho chuỗi số dương.Ngoài ra nó còn có tính chất riêng khác

2) Định nghĩa: Cho chuỗi số 1 2 n n

3) Định lý 1:Chuỗi số dương (2) hội tụ  dãy  Sn bị chặn trên

Ví dụ: Xét sự hội tụ của chuỗi

n 1

1n

  Vậy chuỗi điều hòa phân kỳ

Ví dụ: Xét sự hội tụ của chuỗi

s

n 1

1n





 với sco nst 

Hội tụ khi n 1 phân kỳ khi n 1

4) Định lý 2:Cho hai chuỗi số dương n

Cho hai chuỗi số dương n

c) Nếu 1 thì không có kết luận

Chứng minh:Khi 1 với N đủ lớn thì  0 với n 1

Tương tự khi 1 thì ta có an 1 qan   1 n Nvới N đủ lớn,chứng tỏ m

c) Nếu 1 thì không có kết luận

Chứng minh hoàn toàn tương tự như chứng minh tiêu chuẩn Đalambe

8) Tiêu chuẩn Ráp: Nếu có r sao cho: 1

9) Tiêu chuẩn tích phân Côsi:

Cho hàm f(x) dương và giảm trên a,  ,khi đó chuỗi

 hội tụ hay phân kỳ

 với sự tồn tại hay không tồn tại giới hạn

n

n a

lim f (x)dx



Chứng minh:Với mỗi xa,  luôn tồn tại k: akx a k1

§3:CHUỖI SỐ VỚI DẤU BẤT KỲ

1) Chuỗi đan dấu:Chuỗi n 1 n

 với an  được gọi là chuỗi đan dấu 0

2) Định lý Lepnit: Cho chuỗi đan dấu n 1 n

tức là dãy S2nđơn điệu tăng và bị chặn trên bởi a vì: 1

b) Dãy  bn đơn điệu bị chặn

5) Tiêu chuẩn Abel: Chuỗi số n n

1 Định nghĩa :Dãy hàm u (x) , nn  0,1, 2,3, điểm x0X được gọi là điểm hội

tụ của chuỗi hàm u (x)n nếu dãy số u (x )n 0 hội tụ điểm x1X được gọi là điểm phân kỳ của dãy hàm u (x)n  nếu dãy số u (x )n 1 phân kỳ

 được gọi là phân kỳ

2 Miền hội tụ của chuỗi hàm n

a) Tiêu chuẩn tích phân Côsi: n

n n

 Nếu  f (x) 1 thì phải xét trực tiếp

3 Dãy hàm u (x)n được gọi là hội tụ đều về hàm u(x) trên tập X nếu 0  0 cho trước nhỏ bao nhiêu tùy ý, N sao cho x X0  n N : u (x)n u(x)  

Ký hiệu: u (x)n u(x) với xX0

4 Định nghĩa:Chuỗi hàm (1) được gọi là hội tụ đều về hàm S(x) trên tập X

nếu  0 cho trước nhỏ bao nhiêu tùy ý

5 Định lý: Chuỗi hàm (1) hội tụ đều trên tập X điều kiện cần và đủ nếu  0

cho trước nhỏ bao nhiêu tùy ý, N sao cho x X : n  N và với số p nguyên dương bất kỳ ta có un 1 (x)un 2 (x)  un p (x)  