giáo trình phương pháp số

Ph ng pháp Cholesky Khaletxki phân tích thành MT tam giác 6.

Ch ng 2: B TÚC CÁC THU T TOÁN V MA TR N &

Trong k thu t ít khi ta tìm đ c nghi m chính xác c a các bài toàn d i d ng m t bi u th c gi i tích gi i quy t khó kh n này, ph ng pháp tính (PP tính, hay toán h c tính toán) cho ta các

PP g n đúng, tìm nghi m c a ph ng trình, h ph ng trình đ i s , c a ph ng trình, h ph ng trình vi phân; cách tính g n đúng các đ o hàm, vi phân, x p x các hàm ph c t p hay hàm cho

g n, đ n gi n ng th i, do m i quan h ch t ch gi a các đ i l ng liên quan, cung c p đ c

nh ng thông tin đ y đ v nh ng đi u c n bi t trong l p lu n tính toán và th c hành thi t k

M t khác, lý thuy t ma tr n r t thu n ti n cho vi c l p trình đ th c hi n quá trình t đ ng tính toán, thi t k trên máy tính đi n t

Ma tr n đ c s d ng r ng rãi trong PP s vì:

1.Kí hi u ma tr n là 1 trong nh ng kí hi u cô đ ng và rõ ràng trong di n toán

2.Cho phép t ch c 1 cách có h th ng các s li u, r t phù h p v i tính toán trên MT T

3.Có th nh n d ng, v n d ng, đi u khi n và phân tích nh ng m ng s li u b ng nh ng h th c toán h c ch t ch và chính xác

Trong th c t ta th ng g p 1 h n ph ng trinh đ i s tuy n tính v i n n s , ví d :

1 2 3

; i

.12

2 2 1 2

i

i i i i

i i i i

i i i

L

I E L

I E v L

I E

; 2 4 6

2 1

2

i

i i i i

i i i i

i i i

L

I E L

I E v L

I E

; 4 2 6

2 1

2

i

i i i i

i i i i

i i i

L

I E L

I E v L

I E

Trong đó: Ni - l c d c trong ph n t i; Qi - l c c t trong ph n t i;

M1i - mô men u n t i đ u 1 c a ph n t ; M2i - mô men u n t i đ u 2;

ui - bi n d ng d c tr c c a ph n t i; vi - chuy n v th ng t ng đ i (theo ph ng vuông góc v i tr c thanh) gi a 2 đ u c a ph n t ;

θ1i - góc xoay t i đ u 1 c a ph n t ; θ2i - góc xoay t i đ u 2;

i

M M Q N

S

2 1

i

v u

i i i

i i

i

i i i

i i i

i i

i

i i i

i i i

i i i

i i

i

L

I E L

I E L

I E

L

I E L

I E L

I E

L

I E L

I E L

I E L

A E

k

.4

2.6

.2

4.60

.6

6

120

00

0

2 2

2 2

i i i

i i i i

e f d

f e d

d d b a

00

000

-Xác đ nh biên đ dao đ ng trong các h c h c;

-Phân b dòng đi n trong m ng ph c t p;

-Các bài toán tr ng (nhi t, th m );

-Các bài toán v sóng và chuy n đ ng sóng;

-Các bài toán không d ng khác;

-Các bài toán v t i u hóa;

-Các bài toán phân tích th ng kê v kinh t , xã h i

1.2 nh ngh a:

Ma tr n là m t m ng các s ho c ký hi u đ c s p x p th t theo m hàng và n c t Ta có các kí hi u khác nhau:

c c

c m

1 2

ti t ki m ô nh , khi l u tr trong MT T ta dùng m ng 1 chi u D(I) = dii

x x

x x

x

x x

x

x x

x

x x

x

x x

x x

x x

x

x x x

x

x x x

x

x x x

x

x x x

tr n s có chung ch s hàng, còn ch s c t có quan h nh sau: j’ = j - i + 1;

Trong đó: j’ là ch s c t trong ma tr n ch nh t, j là ch s c t trong ma tr n vuông

B2 = 1

2(A - A

T) (ma tr n ph n x ng)

A = D + L + U

N u A đ i x ng thì LT

= U, ta có A = D + L + LT

2.4 Phép nhân ma tr n v i 1 vô h ng λ:

Tích c a [A] v i vô h ng λ là 1 ma tr n [C] v i các ph n t đã đ c nhân v i λ:

cij = λaij Ta có: [C] = λ[A] = [A]λ

Khi nhân v i (-1) ta đ c ma tr n đ i d u so v i ma tr n xu t phát: (-1)[A] = [-A]

Phép nhân này có tính giao hoán, tính phân ph i và tính k t h p:

λ[A] = [A]λ; (αβ)A = α(βA); (α + β)A = αA + βA;

2.5 Phép nhân hai ma tr n: [A].[B]

i u ki n: Hai ma tr n ph i t ng thích, ngh a là s c t c a ma tr n đ ng tr óc ph i b ng s hàng c a ma tr n đ ng sau

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

7401

N u A đ i x ng: (BT

A B)T = BT AT B = BT A B (V y BT A B c ng đ i x ng) Chú ý:

Trong phép nhân MT tích có th b ng 0, nh ng ch a ch c 2 MT thành ph n là MT r ng [0]

Nh ng ng c l i, n u 1 trong 2 MT thành ph n (A ho c B) là r ng thì ch c ch n MT tích (AB ho c BA) là r ng

Nói chung, không th gi m c MT m t cách đ n gi n nh các s th ng vì không có phép chia MT (AB = CB nh ng ch a ch c A = C, ng c l i thì đúng!)

2.6 Phép ngh ch đ o ma tr n: [A]-1

i u ki n: 1 Ma tr n vuông;

2 Không suy bi n (det A # 0)

nh ngh a: Ngh ch đ o c a MT vuông [A] là MT [A]-1

1 Gi i h n ph ng trình n n s : [A] [X] = [I] ⇒ [X] = [A]-1

5 Ph ng pháp Cholesky (Khaletxki) (phân tích thành MT tam giác)

6 Ph ng pháp vi n quanh (đ o MT tam giác)

(riêng) xL,yL,zL To đ c a vect A

trên h XG,YG,ZG là AxG, AyG, AzG,

và trên h xL,yL,zL là AxL, AyL, AzL

;,cos

;,

cos

;,cos

;,cos

;,

cos

33 32

31

23 22

21

13 12

L G

L

G L G

L G

L

G L G

L G

L

Z Z Y

Z X

Z

Z Y Y

Y X

Y

Z X Y

X X

X

λλ

λ

λλ

λ

λλ

λ

Ta có công th c chuy n tr c to đ nh sau:

)2.23(

;

;

;

33 32

31

23 22

21

13 12

11

−+

+

=

++

=

++

=

zG yG

xG zL

zG yG

xG yL

zG yG

xG xL

A A

A A

A A

A A

A A

A A

λλ

λ

λλ

λ

λλ

λ

Hay h th c ma tr n gi a AxL, AyL, AzL và AxG, AyG, AzG nh sau:

)3.23(

;

33 32 31

23 22 21

13 12 11

zL

yL

xL

A A A

A

A

A

λλλ

λλλ

λλλ

hay AL = T.AG; (3-2.3a)

T ng t ta có h th c ma tr n gi a AxG, AyG, AzG và AxL, AyL, AzL:

)4.23(

;

33 23 13

32 22 12

31 21 11

zG

yG

xG

A A A

A

A

A

λλλ

λλλ

λλλ

hay AG = TT.AL; (3-2.4a)

Ma tr n T g i là ma tr n bi n đ i to đ gi a 2 h to đ xL,yL,zL và XG,YG,ZG

Th (3-2.3a) vào (3-2.4a) ta có: AG = TT T.AG; ⇒ TT

T = I ; Ngh a là TT là ngh ch đ o c a T Hay TT

đ c m t ma tr n tam giác trên Quá trình th c hi n đ c chia làm nhi u vòng, m i vòng đ c

b t đ u v i hàng th 2 c a ma tr n, l y hàng đó tr đi hàng th nh t nhân v i ph n t đ u tiên

c a hàng đó và chia cho ph n t đ u tiên c a hàng th nh t Và sau m i vòng b c c a ma tr n

) 1 ( 34 ) 1 ( 33 ) 1 ( 32

) 1 ( 24 ) 1 ( 23 ) 1 ( 22

14 13 12 11

0

0

0

a a a

a a a

a a a

a a a a

Sau vòng th hai (bi n đ i ma tr n v i các ph n t a(1)

) 2 ( 34 ) 2 ( 33

) 1 ( 24 ) 1 ( 23 ) 1 ( 22

14 13 12 11

00

00

0

a a

a a

a a a

a a a a

) 2 ( 34 ) 2 ( 33

) 1 ( 24 ) 1 ( 23 ) 1 ( 22

14 13 12 11

000

000

a

a a

a a a

a a a a

;

00

00

0

) 1 (

) 2 ( 1

) 1 ( 2

1 2

) 1 (

) 2 ( 1 )

2 ( 1 1

) 1 ( 2 )

1 ( 1 2 )

1 ( 22

n n n

n n

n

n n n n

n n

n n

b b b

x x x

a

a a

a a

a

Các ph n t c a các ma tr n A và B trong m i vịng tính (g i k là ch s th t c a vịng l p đang th c hi n) đ c bi n đ i theo các cơng th c sau:

;.) 1 (

) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )

ij k

ij

a

a a a

a

;.) 1 (

) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )

i

a

a b b

b

;,,2,1,

;1,,2

) 1 (

) 2 ( 1 ) 2 ( 1

n n n n n

n n

a

x a b

x

;1,,3,2

;

.) 1 ( 1

) 1 ( )

1 (

x a b

j

n

j r

r j r j j

j j

3.1.1 Tr ng h p ma tr n h s đ i x ng:

Tr ng h p ma tr n h s đ i x ng cách tính tốn th c hi n t ng t , ngồi ra do tính ch t đ i

x ng aij = aji nên vịng th k theo (3-3.3) ta cĩ:

; ( 1)

) 1 ( ) 1 ( ) 1 (

a

; ( 1)

) 1 ( ) 1 ( ) 1 (

a

Tr c phép bi n đ i Gauss cĩ aij = aji, và sau bi n đ i theo các cơng th c trên c ng cĩ a(k)

ij =

a(k)ji, v y tr c và sau phép bi n đ i Gauss các ph n t đ i x ng v n gi nguyên tính đ i x ng

Do đĩ, thu t tốn kh ch ph i ti n hành đ i các ph n t t ma tr n tam giác trên Aïp d ng cơng

th c (3-3.3) v i các ph n t t ma tr n tam giác trên (cĩ j≥i) và aij = aji:

(3-3.3)

(3-3.4)

Mi n I (i=1, ,n-n0)

Mi n II (i=n-n0+1, ,n)

n0 hàng

)5.33(

,,1,

,,2,1

) 1 (

) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )

(

) 1 (

) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )

i j

n s

s i

a

a b b

b

a

a a a

a

k ss

k si k s k i k

i

k ss

k si k sj k

ij k

ij

KK

3.1.2 Tr ng h p ma tr n h s là ma tr n dãi đ i x ng:

T ng t nh tr ng h p ma tr n đ i x ng, thu t toán kh ch ph i ti n hành đ i các ph n t t

ma tr n tam giác trên, ngoài ra trong m i vòng phép kh ch làm thay đ i các ph n t trong

ph m vi chi u r ng c a b ng (vì sau các phép bi n đ i các ph n t còn l i b ng 0 ho c không thay đ i) Vì v y vòng th k mi n tính toán đ c xác đ nh nh hình v :

x x

x x

x

x x x

x

x x x

a

x x x

x

x x x

;,,1,

;,,2,1

;1,,2,

1

;

;

0 0

) 1 (

) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )

(

) 1 (

) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )

=

++

i

j

n s s

s

i

n k

a

a b b

b

a

a a a

a

k ss

k si k s k i k

i

k ss

k si k sj k

ij k

ij

KKK

x x

x x

x

x x x

x

x x x

x

x x x

x

x x x

) 1 (

Mi n II:

;

0

1

ii

n i

i j

j ij i

i

a

x a b

3.2 Ph ng pháp kh Gauss v i phép chia cho ph n t chính:

T t ng c a ph ng pháp này là ch n trong các h s aij h s có tr tuy t đ i l n nh t đ c

N i dung c a PP g m 2 giai đo n:

-Giai đo n thu n:

Bi u di n MT A d i d ng tích hai MT chuy n trí c a nhau: A = TT.T, trong đó:

;

1 1

11

1 1

i t

y t b y

t

b y

ii

i

k k ki i

;

;

1

n i t

x t y

x

t

y x

ii

n

i k k ik i

i

nn n n

Ch ng 3: CÁC PH NG PHÁP TÍNH G N ÚNG

1 Thu t toán n i suy:

1.1 Gi i thi u

c a hàm s y=f(x) t i các đi m x0, x1, x2 xn trên đo n [a, b] là y0, y1, y2 yn trong khi

v i giá tr c a hàm f(x) t i các đi m x0, x1, x2 xn, còn t i các đi m khác trên đo n [a b] thì F(x) khá g n f(x) Bài toán xây d ng hàm F(x) nh v y g i là bài toán n i suy Hàm F(x) g i là hàm n i suy c a hàm f(x) trên đo n [a, b]

1.2 Thu t toán n i suy b c nh t đ tra b ng 1 chi u:

1.2.1 Bài toán:

Gi s quan h gi a 2 đ i l ng x và y đ c cho tr c b i n đi m d i d ng b ng nh sau: Khi bi t m t giá tr x0 b t k nào đó và x0 ∈ [xi-1, xi], ta c n xác đ nh x y giá tr y0 ∈ [yi-1, yi] t ng ng x1 y1

Thu t toán: xác đ nh y0, gi thuy t r ng trên đo n đã cho quan x2 y2

h gi a x và y là b c nh t Khi đó ta có phép n i suy b c nh t nh sau:

-Gi s giá tr tìm đ c c a x0 trong b ng tra th a mãn đi u ki n xi yi

-Cho r ng y bi n đ i b c nh t theo x trên đo n [xi-1, xi], đ th bi u xn yn

di n quan h x-y là đo n th ng AB v i A(xi-1, yi-1) và B(xi, yi),

đi m c n tìm C(x0, y0) đ c xác đ nh d dàng theo quan h đ ng

d ng c a các tam giác ABE và ACD:

y0 = yi-1 +CD

Mà CD

BE

AD AE

1.2.2 Ch ng trình:

- c s li u b ng tra vào các vect X(n), Y(n) Cho giá tr x0;

-Tìm v trí c a x0 trong b ng tra th a: xi-1 ≤ x0 ≤ xi nh sau:

i:=1;

REPEAT

UNTIL (x0<=X[i]) AND ((x0>=X[i-1]);

-Xác đ nh y0 theo công th c trên (3-5.1)

Ghi chú: N u x0 <x1 có th ngo i suy theo kho ng đ u tiên (x1, x2)

N u x0 >xn có th ngo i suy theo kho ng cu i cùng (xn-1, xn)

1.3 Thu t toán n i suy b c nh t đ tra b ng 2 chi u:

Bi t x0 và y0, ta ph i xác đ nh giá tr z0= f(x0,y0) t ng ng theo phép n i suy b c nh t

-Gi s tìm đ c v trí c a x0 và y0 trong b ng tra, th a đi u ki n:

xi-1 < x0 < xi yj-1 < y0 < yj -Trên c t (j-1) n i suy theo x0 đ tìm đ c z1 (t c là z1=f(x0,yj-1):

- c s li u b ng tra vào các vect X(m), Y(n) và Z(m,n) Cho giá tr x0 và y0;

-Tìm v trí c a x0 và y0 trong b ng tra th a đi u ki n: y x i x y x y i

UNTIL (y0<=Y[j]) AND ((y0>=Y[j-1]);

-Xác đ nh z0 theo trình t v i các công th c trên

1.4 X p x n+1 đi m m c (nút) cho tr c b ng đa th c b c n:

1.4.1 Bài toán:

Quan h gi a hai đ i l ng x và y đ c cho b i n+1 đi m r i r c (đi m m c) b t k

Gi thuy t d ng c a hàm y=f(x) là m t đa th c b c n:

y = f(x) = a0 + a1x + a2x2 + + anxn;

C n xác đ nh đa th c này, t c c n xác đ nh các h s c a đa th c (a0, a1, a2, , an) sao cho đ

th c a hàm đi qua n+1 đi m đã cho

-S li u đã cho: x x1 x2 xi xn xn+1

Theo đi u ki n đ t ra đ đ th c a hàm đi qua n+1 đi m m c đã cho ta ph i có:

f(x1) = a0 + a1 x1 + a2 x12 + + an x1n = y1; f(x2) = a0 + a1 x2 + a2 x22 + + an x2n = y2;

f(xn) = a0 + a1 xn + a2 xn 2 + + an xn n = yn; f(xn+1) = a0 + a1 xn+1 + a2 xn+1 2 + + an xn+1 n = yn+1;

⇒

111

a n

0 1

y y

y n

1 2

Pn(x) = a0xn + a1xn-1 + + an-1x + an

Sao cho Pn(x) trùng v i f(x) t i các nút xi, ngh a là: Pn(xi) =yi; i= 0, 1, , n

Lagr ng đã xây d ng đa th c n i suy d i d ng:

)6.53();

(.)

P

Trong đó:

)7.53(

;)(

)).(

(

)).(

(

)(

)).(

(

)).(

(

)

(

1 1

1 0

1 1

j j j j

j

n j

j j

x x x

x x x x x x x

x x x

x x x x x x x

x

Lagr ng tho mãn các đi u ki n c a bài toán trên

Th t v y, vì Lj(x) là đa th c b c n nên (3-5.6) là đa th c b c n

j i khi x

0

1)( nên Pn(xi) = yi; i =0, 1, , n

u đi m c a đa th c n i suy Lagr ng là đ n gi n, nh ng n u thêm nút n i suy thì ph i tính l i toàn b

1.5.2 S đ kh i c a thu t toán:

STOP

In k t qu f(x) (f(x) = P) START

1.6 a th c n i suy v i nút cách đ u:

1.6.1 Sai phân h u h n:

Gi s hàm y=f(x) có giá tr yi = f(xi) t i các nút cách đ u nhau v i:

xi+1 - xi = h = const; i = 0, 1, 2, , n

Ta đ nh ngh a sai phân h u h n c a hàm y = f(x) nh sau:

- Sai phân c p 1: ∆yi = yi+1 - yi;

1.6.3 a th c n i suy Niut n (Newton) ti n:

Khi cho các nút cách đ u xi = x0 + i.h; i = 0, 1, 2, , n; Niu t n đã l p đa th c n i suy b c n:

Pn(x) = a0 + a1(x - x0) + a2(x - x0).(x - x1) + + an(x - x0) (x - xn-1);

Các h s ai đ c xác đ nh sao cho Pn(xi) = yi: (i=0, 1, , n)

Cho x = x0 ta đ c a0 = Pn(x0) = y0;

Cho x = x1 ta đ c ( ) 1 0 0 ;

0 1

0 1 1

h

y h

y y x

x

a x P

y a

V y đa th c n i suy có d ng:

);

()

(

!

)).(

(

!2)(

!1

)

1 0

2 0 2 0 0

h n

y x

x x x h

y x

x h

y y

t − 0

= , suy ra x=x0 + t.h thì: x - xi = x - x0 - i.h = (t - i).h

Thay vào (3-5.11) đ c:

)12.53(

;

!

)1(

)

1(

!2

)1(

)

( = 0+ ∆ 0+ − ∆2 0 + + − − + ∆ y0 −

n

n t t

t y

t t y t

1.6.4 a th c n i suy Niut n (Newton) lùi:

h i

y a

V i ai theo (3-5.13), đa th c n i suy có d ng:

);

()

(

!

)).(

(

!2)(

!1)

1 2

2 2

h n

y x

x x x h

y x

x h

y y

x

n

n n

n n

n n

)

1(

!2

)1(

!1)

n

n t t

t y

t t y

t y x

P n = n+ ∆ n− + + ∆ n− + + + + − ∆n (3-5.15)

Các đa th c theo (3-5.14) và (3-5.15) g i là đa th c n i suy Niut n lùi xu t phát t xn v i các nút cách đ u, th ng dùng khi tính giá tr hàm t i x g n xn cu i b ng sai phân

u đi m c a đa th c n i suy Niut n là không ph i tính l i t đ u n u ph i thêm nút n i suy m i

Trong nhi u tr ng h p m c dù đã bi t bi u th c gi i tích c a hàm f(x) nh ng vì nó quá ph c

t p nên vi c tính toán giá tr hàm t i các đi m m t nhi u công s c cho vi c tính toán đ n

gi n h n, ta c ng tính giá tr hàm n+1 đi m thu c đo n [a,b] r i xây d ng hàm n i suy có bi u

th c đ n gi n h n Vi c thay th hàm f(x) b ng hàm n i suy nh v y g i là x p x hàm

1.7 X p x hàm b ng PP bình ph ng bé nh t:

1.7.1 Gi i thi u:

Ph ng pháp x p x hàm b ng đa th c nh trên có m t s nh ïc đi m sau:

- N u nhi u nút n i suy thì b c c a đa th c là r t l n gây khó kh n cho tính toán c ng nh

N i dung c a PP bình ph ng bé nh t là ch n hàm x p x P(x) thu c m t l p hàm nào đó đ n

gi n h n f(x) Hàm P(x) s ph thu c m t s tham s , các tham s này đ c xác đ nh sao cho sai s bình ph ng ∑ [ ]

1

2)()( là bé nh t

1.7.2 Hàm x p x ph thu c các tham s m t cách tuy n tính:

1

2 ; Trong đó xi, yi (i = 1, 2, , n) đã bi t, S ph thu c a, b

S bé nh t thì a, b ph i tho h ph ng trình: ;

b

S

; a

;.2

i i

i i i

i

y n b x a

y x x

b x

y S

1

2 2

S

; a

S

00

=+

+

=+

;

;.2

2 3

2 2

3 4

i i

i

i i i

i i

i i i

i i

y n

c x b x a

x y x

c x b x a

x y x

c x b x

y S

1

2sin.cos

S

; a

S

00

+

=+

+

=+

cossinsin

;cos.cos

sincos

cos

;sin

cos

2 2

i i i

i i i

i i i

i i

i

i i

i

x y x

c x x b

x a

x y x

x c

x b

x a

y x

c x b

n a

1 Kh o sát hàm y=f(x) trên đo n [a,b]: PP này d a trên đ nh lý “n u hàm f(x) liên t c và

đ n đi u (có đ o hàm không đ i d u) trên [a, b], đ ng th i f(a) và f(b) trái d u thì ph ng trình f(x) = 0 t n t i m t nghi m duy nh t thu c (a, b)”

PP này ít dùng vì PT siêu vi t th ng có tính ch t bi n thiên ph c t p

2 V đ th c a hàm y=f(x) trên đo n [a,b] b ng m t ch ng trình (vi t b ng NN l p trình nào đó, ví d Pascal), sau đó xác đ nh các đo n con có ch a nghi m d a vào đ th N u đ th

c a hàm y=f(x) khó v thì có th thay ph ng trình f(x) = 0 b ng ph ng trình t ng đ ng h(x)

= g(x), r i v đ th c a các hàm y = h(x) và y=g(x) Hoành đ c a giao c a hai đ th là nghi m

c n tìm

PP này c ng ít dùng vì kh n ng t đ ng hóa không cao

3 Chia đo n [a,b] thành các đo n con dx đ bé và l n l c xét s t n t i nghi m trên các

đo n đó (ph n tách nghi m d i đây s gi i thi u PP này)

2.1.2 B c 2- Chính xác hóa nghi m:

Trên nh ng đo n t n t i nghi m ta ti n hành l p đ tìm nghi m g n đúng c a PT v i đ chính xác ε0 cho tr c

2.2 Tách nghi m:

Chia đo n [a,b] thành nh ng đo n đ bé, xét đo n con b t k có hoành đ các đi m đ u là x1

và x2, f(x) liên t c và đ n đi u trên [x1,x2] Ta th y r ng n u:

-f(x1) f(x2) > 0 thì không t n t i nghi m trên [x1,x2]

Ti p t c v cát tuy n v i đo n ch a nghi m m i

(nh h n), cho đ n khi x0 d n đ n nghi m c a PT

y

N N’’ N’

K t lu n: tìm nghi m đ t đ chính xác ε0 cho tr c ta ph i th c hi n quá trình l p trên đ tìm giao đi m c a các cát tuy n v i tr c Ox cho đ n khi kho ng cách gi a 2 giao đi m liên ti p < ε0 Công th c xác đ nh giao đi m c a cát tuy n và tr c Ox:

2 1

(

2 1

2 1 1 2 0

x f x f

x f x x f x x

+

+

=Chú ý: PP cát tuy n không ph i bao gi c ng th c hi n đ c!!

2.3.3 Ph ng pháp chia đôi kho ng nghi m:

Gi s đo n [x1,x2] có ch a duy nh t 1 nghi m và f(x1)

f(x2) < 0, f(x) liên t c trên [x1,x2]

N i dung c a ph ng pháp chia đôi th c hi n nh sau:

Chia đôi đo n ch a nghi m [x1,x2] b i x0 = x1 x2

2+

N u f(x1) f(x0) < 0 thì nghi m thu c đo n [x1,x0], ng c l i

thì nghi m thu c [x0,x2]

L p l i vi c chia đôi kho ng ch a nghi m m i, trong quá

trình l p nói trên x0 s d n t i nghi m c a PT

tìm đ c nghi m v i đ chính xác ε0 cho tr c ta l p vi c chia đôi cho đ n khi ⎟ x1 - x2⎟ < ε0 Khi đó đi m gi a x0 là nghi m c a PT th a mãn đ chính xác ε0

y

M

NN’

) ( ) (

a f b f

a f b b f a x

ph ng trình vi phân có ý ngh a trong vi c gi i quy t các bài toán th c t

Các bài toán v ph ng trình vi phân th ng g p v i 2 d ng: Bài toán Côsi và bài toán biên Khi phân tích các k t c u xây d ng, ph n nhi u các yêu c u tính toán có th gi i v i d ng bài toán biên, vì v y trong ph n này s xét PP gi i g n đúng cho bài toán biên

3.1.2 Bài toán biên:

Bài toán biên là d ng bài toán ph ng trình vi phân, v i đi u ki n b sung đ c cho t i nhi u

h n m t đi m

Ví d bài toán biên đ i v i ph ng trình vi phân tuy n tính c p 2 có d ng:

Tìm hàm y = y(x) trên [a, b] th a mãn:

y’’(x) + p(x).y’(x) + q(x).y(x) = f(x); a ≤ x ≤ b (3-6.1)

V i đi u ki n: k0.y(a)+ k1.y'(a) = α; (3-6.2)

l0.y(b)+ l1.y'(b) = β; (3-6.3) Trong đó p(x), q(x), f(x) là các hàm đã bi t;

k0, k1, l0, l1, α, β là các h ng s đã bi t

3.1.3 Gi i bài toán biên tuy n tính b ng PP sai phân:

gi i bài toán trên, ta chia đo n [a, b] thành n ph n b ng nhau b i các đi m xi v i

xi = x0 + i.h; i = 0, 1, , n; x0 = a; xn = b; ;

n

a b

G i t p h p các đi m {xi} là l i sai phân, các đi m xi là các nút c a l i G i h là b c c a

l i N u h = const ta có l i đ u

Gi s có hàm y(x) là nghi m đúng c a bài toán M c đích c a PP này là tìm giá tr g n đúng yi

c a y(x) t i các nút xi trên l i sai phân Vì v y PP này đ c g i là PP sai phân

Ta có khai tri n Taylor c a hàm y(x) có d ng:

)(

!

)(

)(

!2

)('')(

!1

)(')

(

)

) ( 2

0 0

0 0

k

x x k

x y x

x x y x x x y x

y

x

y

(0)(

!4)(''

!3)(''

!2)('

!1)(

!4)(''

!3)(''

!2)('

!1)(

)

4 3

2

h x

y

h x y

h x y

h x y

h x y

(0

!4

''

!3

''

!2

'

!

1

4 ) 4 ( 4 3

(0

!4

''

!3

''

!2

'

!

1

4 ) 4 ( 4 3

T i nút cu i i = n, t (3-6.5) có: ' 1 0( );

h h

y y

L y (3-6.4) tr (3-6.5) theo v , đ c: 0( );

.2

2 1 1 '

h h

y y

i = + − − +

L y (3-6.4) c ng (3-6.5) theo v , đ c: '' 1 2.2 1 0( 2);

h h

y y y

2,1(

;

y

y

y

i i i i i i i i

i

)7.63(

k

y

k

)8.63(

.2

;.2

.2

;.2

)2 (

h p

f g

h p

h q n

h p

h q m

i

i i

i

i i

Khi gi i các bài toán c h c, ta ph i tìm nghi m c a các ph ng trình đ o hàm riêng trên mi n D

v i các đi u ki n biên khác nhau

Ph ng trình vi phân đ võng cu t m ch u u n:

2 4 ;

4 2 2 4 4

4

D

q y

w y

x

w x

w

=+

12

.2

2

2

2 2 2

2 1 4

4 2 2 4 4

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂+

∂

∂

y

k x k h E y y x x

ωω

ϕϕ

ϕ

);

,(2

4 4 2 2 4 4

4 2

2 2 2

2

y y x x

D y

k x

∂

∂

∂+

gi i các bài toán này là dùng các PP g n đúng, trong đó PP sai phân h u h n r t r ng rãi u

đi m c a PP này là t ng quát, áp d ng cho m t l p r ng các bài toán biên, trong mi n có hình dáng b t k v i các đi u ki n biên khác nhau

Trình t th c hi n:

- B c th nh t: ròi r c hóa mi n D Thay mi n D liên t c b ng m t s h u h n các đi m g i là nút c a l i sai phân Tùy bài toán c th , có th ch n các l i sai phân khác nhau n gi n

nh t là l i hình vuông, hình ch nh t Ta s tìm nghi m c a bài toán t i các đi m nút này

- B c hai: sai phân hóa ph ng trình đ o hàm riêng Thay các đ o hàm riêng c a hàm c n tìm

b ng các t sai phân.Nh v y ta đã chuy n ph ng trình đ o hàm riêng thành m t h các ph ng trình đ i s

- B c ba: sai phân hóa các đi u ki n biên.Thay các đi u ki n biên b ng các ph ng trình đ i s

có ch a giá tr c a hàm t i các nút trên biên hay g n biên

T p h p các ph ng trình đ i s khi sai phân hóa ph ng trình đ o hàm riêng và các đi u ki n biên đ c g i là m t l c đ sai phân

- B c b n: Gi i h PT đ i s tìm giá tr c a hàm t i các đi m nút ó là nghi m g n đúng c a

- Nghi m g n đúng c a bài toán h i t nhanh v nghi m chính xác (khi l i sai phân càng dày), hay nói cách khác là l c đ sai phân ph i n đ nh

,(2 2 2

u u

Và th a đi u ki n biên: u(x,y) = ϕ(x,y) v i m i (x,y) trên biên S c a mi n D, ϕ(x,y) là hàm liên

t c trên S

N u f(x,y) =0 thì ph ng trình này đ c g i là ph ng trình Laplax

2 2 2 2

y

u x

u u

∂

∂+

x

u x

u u

u

∂

∂+

∂

∂

∂+

Chia các đi m nút n m trong mi n D thành 2 lo i:

Mij là đi m (nút) trong n u 4 đi m lân c n nó Mi-1,j, Mi+1,j, Mi,j-1, Mi,j+1 đ u n m trong D

Mij là đi m (nút) biên n u nó không ph i là đi m trong

- B c 2: sai phân hóa Pt đ o hàm riêng

T ng t nh khi gi i PT vi phân, thay các đ o hàm riêng b ng các t sai phân V i các kho ng chia không đ i theo m i ph ng, các t sai phân đ c bi u di n nh sau:

;2

1 , 1 ,

k

z z

22

1 , , 1 ,

2

2

k

z z z

, 1 ,

1

h

z z

22 , 1 , ,

2

.2

2

3

2 , 1 , 1 , 2

2

.2

2

3

, 2 , 1 ,

1 ,

1 , , 1 , 2

2

4

4

464

1

2

−

− +

z k k

z z z

−+

−+

i

z z z z

z h h

z z z

y

y

z

, 2 , 1 ,

, 1 ,

2 4 2

, 1 , ,

1 2

2

4

4

464

1

2

−

− +

n m m n

y

z x

1.2

1

j i j i j i j

z k h x

z y

z z

z

.4

1 , 1 1 , 1 1 , 1 1 ,

2

4

x

z y y

i+1

i

i+1,j i,j i-1,j i-1

i-2i+2

k

k k

hhh

y

x

3.2.3 X p x các đi u ki n biên:

N u mi n D là ch nh t ta s ch n l i sao cho biên S n m trên l i Khi đó giá tr c a hàm t i

các đi m trên biên fij = đã bi t

N u mi n D là mi n b t k v i biên là đ ng cong thì giá tr c a hàm t i các nút biên đ c tính

theo giá tr c a hàm t i các đi m trong và đi u ki n biên n i suy tuy n tính:

;

1

' 1

h

u h u

;

2

' 2

h

u h u

T ch vi c tính toán k t c u đ c th c hi n b ng các công c thô s , trong đó m i bài toán

đ c xem xét nh m t tr ng h p riêng r theo đ c tính c a nó và gi i theo các ph ng pháp thích h p, ng i ta chuy n sang s d ng MT T, trong đó bao g m vi c ch n thu t toán t ng quát, l p các ch ng trình mang tính t đ ng hóa và h th ng hóa cao đ có th áp d ng cho m t

l p r ng các bài toán có chung m t s tính ch t ch y u

Nh v y đòi h i ph i xây d ng đ c các PP tính t ng quát v i các công th c đ c trình bày đ n

gi n và cô đ n

g Các công th c này đ c bi u di n b ng các ngôn ng phù h p v i MT T, mà ngôn ng ma

tr n là m t trong nh ng công c di n đ t lý t ng nh t M t khác, h u h t các MT T hi n nay là máy tính s , ch phân tích các đ i l ng d i d ng s Do đó các PP tính s c n đ c nghiên c u

và áp d ng

Trong tính toán k t c u, ng i ta dùng PP tính d n đ n vi c mô t các nghi m c a bài toán theo

m t t p h p s , th ng đ c g i là “PP r i r c hóa” Thu t ng này v th c ch t c ng có th

đ c thay th b ng m t s h u h n các ph n t r i r c có mô hình đ n gi n, chúng đ c n i v i nhau

m t s đi m g i là các nút

Lí thuy t t ng đ ng n ng l ng c ng d a trên c s r i r c hóa v t lý, v i mô hình đ c dùng

là các h thanh t ng đ ng Nh v y vi c tính toán cu i cùng đ c th c hi n trên h thanh

b ng các PP c h c quen thu c (PP l c, PP chuy n v , PP h n h p)

PP ph n t biên c ng thu c nhóm r i r c hóa v t lý Gi ng nh PP PTHH, PP ph n t biên tìm

l i gi i x p x c a bài toán d i d ng phân tích Green nghi m c a các ph ng trình vi phân c

b n trên mi n r i r c hóa Nh ng khác v i PP PTHH cho các giá tr s c a hàm c n tìm t i t t c các đi m nút trên toàn mi n r i r c, PP ph n t biên cho các giá tr s c a hàm c n tìm trên các biên đã đ c r i r c c a mi n đang xét Nh v y trong k t c u nhi u chi u, bài toán d ng nh

đã đ c đ n gi n b t m t ph ng trong không gian, d n đ n gi m đáng k s n

Trong lý thuy t đàn h i tuy n tính (Lý thuy t đàn h i tuy n tính đ c xây d ng trên c s gi thuy t bi n d ng nh , lý thuy t đàn h i phi tuy n d a trên c s gi thuy t bi n d ng l n), các

m i liên h gi a các đ i l ng c n xét đ i v i m t v t th đàn h i là: chuy n v -bi n d ng, bi n

d ng- ng su t, ng su t-t i tr ng Các quan h đó đ c mô t b ng 15 ph ng trình vi phân

đ o hàm riêng v i bài toán không gian:

a Sáu ph ng trình bi u th s liên h gi a bi n d ng và chuy n v ,

2.1.1 Bài toán không gian:

Trong h tr c x,y,z chuy n v c a m t đi m b t k đ c xác đ nh b i 3 thành ph n:

ux = ux(x,y,z); uy = uy(x,y,z); uz = uz(x,y,z);

Liên h trên đ c bi u th d i d ng ma tr n nh sau:

εε

00

00

00

u u

εε

y z

x y

00

u u

εε

εε

εε

y z

x y

z y x

00

0

00

00

00

u u

x

00

E

1[σzz - µ(σxx + σyy)] + αT;

20

00

00

0)

1.(

20

000

00

)1.(

2000

00

01

00

01

00

01

µµ

µ

µµ

µµ

µµ

σσ

σσ

σσ

20

00

00

0)

1.(

20

000

00

)1.(

2000

00

01

00

01

00

01

µµ

µ

µµ

µµ

µµ

;

T quan h gi a ng su t và bi n d ng trên có th suy ra bi u th c xác đ nh ng su t, th ng

đ c g i là đ nh lu t Hooke t ng quát:

σxx =

)21)(

1( +µ − µ

E

[(1-µ).εxx + µ(εyy + εzz)] -

)21( − µ

E

αT; σxy =

)1.(

2 +µ

E

.εxy = G.εxy;

σyy =

)21)(

1( +µ − µ

E

[(1-µ).εyy + µ(εxx + εzz)] -

)21( − µ

E

αT; σyz =

)1.(

2 +µ

E

.εyz = G.εyz;

σzz =

)21)(

1( +µ − µ

E [(1-µ).εzz + µ(εxx + εyy)] -

)21( − µ

00

0

0)21(00

00

00

)21(00

0

00

0)1.(

22

2

00

02

)1.(

22

00

02

2)1.(

2

µµ

µ

µµ

µ

µµ

µ

µµ

εε

εε

εε

+

)21(

;

N u T = 0 thì có d ng: {σ} = [D].{ε}; (Bi u th c này bi u th đ nh lu t Hooke)

Ma tr n vuông [D] đ c g i là ma tr n đàn h i:

[D] =

)21)(

1.(

00

0

0)21(00

00

00

)21(00

0

00

0)1.(

22

2

00

02

)1.(

22

00

02

2)1.(

2

µµ

µ

µµ

µ

µµ

µ

µµ

2.2.2.1 Bài toán tr ng thái ph ng v ng su t:

Khi v t th có d ng t m (chi u dày nh so v i hai chi u còn l i), và ch u t i tr ng trong m t

ph ng c a t m

Kí hi u Oxy là h tr c n m trong m t ph ng c a t m và Oz là tr c vuông góc v i m t ph ng t m:

Th a nh n các gi thi t sau: σzx = σzy = σzz = 0;

.2

xy xy

1 )

1.(

200

01

01

xy yy xx

xy yy

xx

α σ

σ

σ µ µ

µ ε

ε ε

Các bi n d ng còn l i là: εzx = εzy = 0;

1

11

1

T T

µ

µ ε

ε µ

µ α

σ σ µ ε

−

+++

−

−

=++

−

=

Nh v y εzz ≠0 Có th b qua εzz, s g n đúng này vi ph m m t s đi u ki n t ng thích, nh ng

do chi u dày t m r t bé k t qu đ t đ c v n đ đ chính xác c n thi t

yy xx

µ ε

µ ε µ

σ

−

−+

xx yy

µ ε

µ ε µ

σ

−

−+

−

=

;.)

1.(

yx

µ σ