Giáo trình phương pháp số trong xây dựng (chương 1)

Phơng pháp phần tử hữu hạn Phương trình trạng thái - biểu thị theo các hàm ẩn * chuyển vị các phương trình Lamé * ứng suất các phương trình Beltrami - Michel Điều kiện biên + Giải PTTT:

Ph¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n

Gi¸o viªn : TS §ç V¨n B×nh

Bé m«n: KÕt cÊu x©y dùng, §HGTVT Thêi gian : 45 T

1

CHƯƠNG 1 Khỏi niệm cơ bản

1 Sơ đồ giải bài toán phân tích trạng thái ứng suất dạng

A Lý thuyết đàn hồi

B Phơng pháp phần tử hữu hạn

Phương trình trạng thái - biểu thị theo các hàm ẩn

* chuyển vị các phương trình Lamé

* ứng suất các phương trình Beltrami - Michel

Điều kiện biên +

Giải PTTT: * Tích phân các PTVP đạo hàm riêng Nghiệm giải tích

* Rời rạc toán học ( Sai phân hữu hạn) Nghiệm bằng số

Trạng thái ứng suất- biến dạng

2

Nghiên cứu phân tố:

1 ĐK cân bằng (ứng suất - ngoại lực):3 Ph.trình Navier- Cauchy

2 ĐK chập ( biến dạng- chuyển vị): 6 Công thức Cauchy

3 ĐK vật lý ( ứng suất- biến dạng)- ĐL Hooke 6 Ph.trình

• Điều kiện tơng đơng :

- Năng lợng trong mô hình thay thế ≈Năng lợng trong hệ thực

- Trên các biên , điều kiện chập ( liên tục về lực và chuyển vị) phải đợc thoả mãn

HỆ THỰC

HỆ THAY THẾ

Rời rạcvậ

t lý Bậc tự do = ∞ Bậc tự do hữu hạn

PTHH(kớch thước hữu hạn)

Biờn Nỳt (liờn kết

cỏc phần tử

3

• Nhiệm vụ thực hiện trong PPPTHH

Lập các phương trình cơ bản cho toàn hệ trong hệ toạ độ chung

Điều kiện biên

Giải hệ PT đại số tuyến tính Nghiệm

ứng suất,chuyển vị tại nút của các PTHH

4

∂ +

∂

z

xz y

xy x

z x y

z y

x

00

0

00

0

00

τ σ

σ

σ

zx yz xy z y x

y z

x y

y y x

00

0

00

00

00

zx yz xy z y x

x

={gx gy gz}

[ ]∇ -ma trận các toán tử vi phân biểu thị phép biến đổi tuyến tính(toán tử Laplace)Các PTCB phải đợc thoả mãn ở bất kì mọi điểm của vật thể :trong và trên bề mặt

Điều kiện bề mặt:điểm trên bề mặt phải cân bằng với ngoại lực tác dụng trên bề

mặt Theo kết quả nghiên cứu ứng suất trên mặt cắt nghiêng

lτzx+ m τzy+ nσz=pz

l,m,n -c¸c cosin chØ ph¬ng cña ph¸p tuyÕn ngoµi cña mÆt vËt thÓ t¹i ®iÓm ®ang xÐt

l= cos(v,x); m= cos(v,y); n= cos(v,z)

n l m

n m

l

0 0

0

0 0

0

0 0

p p

y x

τ σ

Ph¬ng tr×nh biÓu thÞ ®iÒu kiÖn chu vi :

lσx+ mτxy=px

lτyx+ mσy=py

7

m l

τ σ

• Bµi to¸n kh«ng gian

Trong hÖ x,y,z chuyÓn vÞ cña ®iÓm A bÊt k×

u

∂

∂ +

x x

y z

x y

y y x

0 0

0

0 0

0 0

0 0

y

x

dxux

d y

D C

y y

u

y

∂ +

∂

uy

x x

u

x

∂+

∂

x x

u

y

∂+

∂

y y

u

y

∂+

∂

A1

B1

C1

• Bµi to¸n kh«ng gian

E1[σ x−µ(σ y+σ z)]+α γ xy E µ τ xy G τ xy

1 )

1 ( 2

=

+

=

++

G

1

τ yz (7)

) (

[ 1

σ σ σ

E − +

1)

1(2

1

σ

−+

µ)21

E

γµ

τ

)1(

2 +

11

T E

E

z x y

µ ε

ε µ ε

µ µ

µ

σ

) 2 1 ( )]

( )

1 [(

) 2 1 )(

1

yz yz

(

T E

E

y x z

µε

εµεµµ

µ

σ

)21()]

()

1[(

)21)(

)21(0

00

00

0)

21(0

00

0

00

)21(0

00

00

0)

1(22

2

00

02

)1(22

00

02

2)

1(2

)21)(

1

(

2

µµ

µ

µµ

µ

µµ

µ

µµ

µ

µµ

γ ε

ε ε

zx yz xy z y x

)21( µ

E

12

[ ] [ ][ ]0 [ ]1

)21

E

µε

)21(0

00

00

0)

21(0

00

0

00

)21(0

00

00

0)

1(22

2

00

02

)1(22

00

02

2)1(2

)21)(

1

(

2

µµ

µ

µµ

µ

µµ

µ

µµ

µ

µµ

00

00

0)

1(20

00

0

00

)1(200

0

00

01

00

01

00

01

1

µ µ

µ

µ µ

µ µ

µ µ

τ σ

σ σ

zx yz xy z y x

• Bài toán phẳng-Bài toán phẳng của LTĐH đợc chia thành 2 loại:

- Trạng thái phẳng về ứng suất (TT ứng suất phẳng)

- Đối tợng :tấm,bề dày nhỏ so với hai kích thớc còn lại chịu tải trọng trong mặt phẳng của tấm Gọi x0y - hệ trục trong mặt phẳng tấm;0z- trục ⊥mặt tấm:

E x y x y

à

àε

εà

àα

σσàε

−

+++

−

−

=++

=

1

1)(

1)

(

1

≠0

Nh vậy , εztồn tại và có liên hệ tuyến tính với εxvà εy Có thể bỏ quaεz.Sự gần đúng

này vi phạm điều kiện tơng thích ,nhng với tấm mỏng ,thờng cho phép

yx xy

àε

τ σ

γ ε

11

à à

100

22

2

02

2

)1

(

2 2 0

01

01

1

1 0

à à

à

E E

- Trạng thái phẳng về biến dạng (TT biến dạng phẳng)

Đối tợng : vật thể có tiết diện không đổi ,chiều dài lớn so với kích thớc hai chiều còn lại ,tải trọng ⊥trục dài của vật thể Gọi x0y -hệ trục song song với mặt phẳng tiết diện

: ) ,

( y x u

ux = x

: ) ,

( y x u

y z

x u u u

ε µ µ

ε µ µ

2

=

+ ;

xy yx

xy E γ Gγ

µ τ

E

µ ε

=

µ

µµ

µµ

µµ

210

0

0)

1(22

02

)1(2)21)(

1(2

0

E E

[ ] 1 0

200

01

01

1

µµ

µµ

µ

E

16

• Bài toán một chiều :εy =εz =γxy =γzx =γyz =0=> T

3 MT đàn hồi => một phần tử là môđun đàn hồi E

3 Khái niệm về toạ độ

Hệ toạ độ : công cụ biểu thị lực và chuyển vị tại các nút Qua đó có thể biểu

thị nhất quán các điều kiện nghiên cứu cho một phần tử cũng nh cho một hệ

Quy ớc: thống nhất về phơng ,chiều của lực và chuyển vị (hình vẽ)

CV của hệ hoặc của phần tử đợc mô tả bởi véc tơ chuyển vị tơng ứng :

Giả thiết tại toạ độ j : giữa R j và qjcó sự liên hệ theo đờng cong Rj- qj

Giữa σ và ε có sự liên hệ theo đờng cong σ- ε

18

- Công Wj- phần DT bên dới , giữa đờng cong Rj- qjvà trục qj

- Công bù Wj-phần DT bên trên ,giữa đờng cong Rj- qjvà trục Rj

- NL biến dạng Aj-phần DT bên dới ,giữa đờng cong σ-ε và trục ε

- NL biến dạng bù Aj-phần DT bên trên ,giữa đờng cong σ-ε và trục σ

Độ biến thiên của W j : ∆W j = R j δ q j +δ R j δ q j /2 (19)

Độ biến thiên của Aj : ∆A j=σ δε +δσ δε /2 (20)Xét toàn hệ :

- Chịu lực phân bố:

V V

dV z y x u z y x g dV

z y x u z y x

2

1)

,,(),,

S S

dS z y x u z y x p dS

z y x u z y x

2

1)

,,(),,

u(x,y,z) –chuyển vị tại điểm (x,y,z);

g(x,y,z); p(x,y,z) – cờng độ lực thể tích và lực bề mặt tại điểm (x,y,z)

Trong thực hành : lực phân bố => lực tập trung => chỉ cần xét lực tập trung

Dạng ma trận :

∆W= [ ] [ ] [ ] [ ]q T R q T R

δδδ

2

1

+ (22)Tơng tự :

[ ] [ ]dV [ ] [ ]dV

V

T V

δσδεσ

Tởng tợng trong quá trình thay đổi nhỏ về chuyển vị[ ]δq và biến dạng [ ]δε

[ ]R ;[ ]σ không đổi, nghĩa là [ ]δR =0; [ ]δσ = 0 =>[ ]δq , [ ]δε gọi là CVKD và BDKD

CVKD phải vô cùng bé ,thoả mãn ĐK liên tục về mặt động học ,phù hợp ĐK liên kết Công KD khác với độ biến thiên của công thực (22) là chỉ tồn tại biến phân thứ nhất (bỏ qua VCB bậc hai)

∫ (26)

Hệ đàn hồi tuyến tính - Giả thiết giữa BD và CV có sự liên hệ TT:

[ ] [ ][ ]ε = D q =>[ ]δε = [ ][ ]D δq =>[ ] [ ] [ ]T T T

D q

B.4 Nguyên lý giá trị dừng của thế năng toàn phần (đối với hệ bảo toàn)

Gọi V - thế năng của ngoại lực

Độ biến thiên Vδ của TN của ngoại lực [ ]R =-CKD của ngoại lực [ ]R : Vδ =- Wδ

Theo NLCKD : δ W= Aδ nên Vδ + δ W= Vδ + Aδ =0 => δ(V + A)=0

Gọi Π= V+A- thế năng toàn phần của hệ :δ(V + A)=δ Π=0 => Π =const

21

Định lý: Trong các trờng hợp CV tơng thích thoả mãn các ĐK biên ,khi thoả mãn các ĐK cân bằng

tĩnh thì thế năng toàn phần có giá trị đứng (NL biến phân Lagrange)

* Cũng chứng minh đợc : Dạng biến dạng của hệ tơng ứng với TTCB phải là một trong những dạng làm cho năng lợng biến dạng A cực tiểu(ĐL NLBD cực tiểu)

B.5 Định lý Castigliano thứ nhất (Lagrange)

Xét hệ ĐH phi tuyến ,chịu hệ lực R R1 2 Ri Rn=> q1 q2 qi q

∑

áp dụng NL giá trị đứng δ Π= δ +V δA=0 với chú ý : Aδ và Vδ không phụ thuộc

độ biến thiên của tải trọng vì [ ]δR =0 => A chỉ là hàm của CV : A = A(q1 q2 qi qn)

V V

dV z y x g z y x u dV

z y x g z y x

2

1)

,,(),,

S S

dS z y x p z y x u dS

z y x p z y x

2

1)

,,(),,

u(x,y,z)- chuyển vị tại điểm (x,y,z)

g(x,y,z),p(x,y,z)- cờng độ lực thể tích và lực bề mặt tại điểm (x,y,z)

Trong thực hành :lực phân bố => lực tập trung => chỉ cần xét lực tập trungDạng ma trận : ∆W = * [ ] [ ] [ ] [ ]δR T q δR T δq

δεδσε

Tởng tợng trong quá trình thay đổi nhỏ về lực [ ]δR và ứng suất [ ]δσ

[ ]q ;[ ]ε không đổi ,nghĩa là [ ]δq =0;[ ]δε =0 => [ ]δR ,[ ]δσ gọi là lực KD và ƯSKD

23

Lực KD phải vô cùng bé ,đặt vào hệ trong khi CV của hệ không thay đổi ,thoả mãn ĐK cân bằng tĩnh học

Công bù KD khác với độ biến thiên của công bù thực (34) là chỉ tồn tại biến phân thứ nhất (bỏ qua VCB bậc hai)

C 4 Nguyên lý giá trị dừng của thế năng bù toàn phần

Gọi V* -thế năng bù của ngoại lực

24

§é biÕn thiªn δ V* cña TN bï cña ngo¹i lùc [ ]R =-CKD cña ngo¹i lùc [ ]R :δ V*=-δ

C.5 §Þnh lý Castigliano thø hai (Engesser)

XÐt hÖ §H phi tuyÕn, chÞu hÖ lùc R R1 2 Ri Rn=> CV q1 q2 qi qn

ThÕ n¨ng bï toµn phÇn Π*= V*+A*= A* - j

n

q R

j n

q R

A R R

q R

R

A

δδ

* Sự đối xứng giữa hai khái niệm công và công bù

+ Lực ⇔chuyển vị ;ứng suất ⇔biến dạng

+ Đối chiếu các nguyên lí và định lý (xem tài liệu)

* Hệ đàn hồi tuyến tính

W=W*; A=A*

+ Định lý Clapeyron và các định lý tơng hỗ (xem CHKC)

26