Giáo trình phương pháp số trong xây dựng (chương 2)

Rời rạc hoá: chia kết cấu liên tục thành một số hữu hạn các miền hoặc các kết cấu con gọi là các PTHH có kích thớc hữu hạn càng nhỏ càng tốt.. + Có dạng hình học và kích thớc khác nhau

CHƯƠNG 2 NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

- Mễ HèNH CHUYỂN VỊ

ý đồ thay thế môi trờng liên tục -> tập hợp hữu hạn các phần tử đã xuất hiện

từ lâu:

* Euler (TK 18) kiến nghị thay thế mảng mỏng bằng một hệ dây mềm trực giao

* Bernoulli (1774) thay tấm chữ nhật bằng một hệ dầm trực giao để nghiên cứu dao động

* Đầu thế kỷ XX Timosenko tính đập chắn bằng mô hình tính có dạng vòm –côn xôn

*Hrennikoff (1941) xem vật thể đàn hồi nh một hệ thanh khớp không gian

*Rzanhitxn (1956) mô hình hoá môi trờng liên tục bằng hệ thanh ,lập điều kiện

t-ơng đt-ơng giữa vật thể và mô hình thay thế (áp dụng cho trờng hợp hệ số Poisson

4

/

1

=

à ).

*Absi (1970) đã lập điều kiện tơng đơng trên cơ sở tơng đơng năng lợng

*Từ đầu của thập kỷ 60, nhiều tác giả đã công bố tài liệu về phơng pháp này nh J.H.Argyris, R.C.Clough, H.C.Martin, R.J.Melosh, M.JTurner vv Đặc biệt, O.C.Zienkiewic(1970), đã dùng thuật ngữ phần tử hữu hạn để đặt tên phơng pháp

1 Sự rời rạc hoá kết cấu liên tục

Mô hình RRH đợc chọn thờng phải thoả mãn hai yêu cầu:

+ Xấp xỉ càng chính xác càng tốt các tính chất hình học và vật liệu của kết cấu thực

+ Tránh đợc càng nhiều càng tốt những phức tạp về mặt toán học

Rời rạc hoá: chia kết cấu liên tục thành một số hữu hạn các miền (hoặc các kết

cấu con ) gọi là các PTHH có kích thớc hữu hạn càng nhỏ càng tốt

Các PTHH có thể :

+ Có tính chất vật liệu không đổi hoặc thay đổi từ PT này sang PT khác

+ Có dạng hình học và kích thớc khác nhau

Kích thớc và số lợng các PT phụ thuộc :

+ Dạng hình học và tính chất chịu lực của hệ

+ Yêu cầu về độ chính xác của bài toán

Dạng hình học của PTHH :

+ Thanh khi tính hệ thanh

+ Tấm tam giác, chữ nhật khi tính kết cấu tấm

+ Hình hộp, hình trụ, hình chóp khi tính vật thể đàn hồi

Biên hay mặt biên của PTHH: thẳng hoặc cong

Sau khi RRH kết cấu, các PTHH đợc giả thiết nối với nhau tại một số điểm quy

định (thờng ở đỉnh của mỗi PT) gọi là các nút ,tập hợp các PT đợc rời rạc goi là lới PTHH

Lới PTHH càng mau -> số lợng pT càng lớn ->độ chính xác càng tăng

-> số lợng ẩn lớn (cần chú ý vấn đề ổn định nghiệm)

45 1045

20 60 20 100

Các loại phần tử hữu hạn

Cùng một dạng hình học, tuỳ theo số lợng và cách đặt nút trên biên -> phân loại PTHH

• PTHH bậc một (PTHH tuyến tính ): nút đặt ở các đỉnh của PT (a, c)

• PTHH bậc hai , ngoài các nút ở đỉnh còn có thêm một nút trên mỗi cạnh (b,d)

• PTHH bậc ba ngoài các nút ở đỉnh còn có thêm hai nút trên mỗi cạnh…

• PTHH tam giác tuyến tính : phổ biến nhất, đợc dùng từ khi PPPTHH ra đời (năm1956), cho kết quả tốt khi phân tích bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi

- PTHH chữ nhật tuyến tính : giảm nhẹ khối lợng tính nhờ lới chia có quy luật rõ ràng hơn, cho kết quả khả quan khi tính các tấm uốn có dạng chữ nhật

- PTHH tam giác bậc hai :đợc sử dụng từ năm 1965; cho kết quả chính xác hơn vì

đã tăng số nút trong mỗi phần tử ; CV trên biên sát với CV thực hơn

Về trực quan, một PTHH bậc hai có thể xem tơng đơng với bốn PTHH tuyến tính

có kích thớc nhỏ hơn

Trong bài giảng chỉ xét các loại PTHH tuyến tính

2 Hàm chuyển vị

Việc chọn hàm CV tại điểm bất kỳ trong PTHH nhằm xác định sự liên hệ giữa CV nút với CV của mọi điểm trong phạm vi của PTHH

Trờng chuyển vị - véctơ các hàm CV tại điểm bất kỳ trong PTHH.

a

c

b

d

+ PTHH không gian : [ ]U = {ux(x,y,z) uy(x,y,z) uz(x,y,z)} (1) + PTHH phẳng : [ ]U = {ux(x,y,z) uy(x,y,z)} (2) Các hàm CV thờng đợc chọn dới dạng hàm đa thức

)

,

(x y = 1 + 2x+ 3y+

PTHH Số số hạng hay số hệ số αjcủa các hàm phải bằng số CV nút của PTHH

ẩn số của bài toán là chuyển vị tại các nút của lới PTHH => mô hình chuyển vị

hàm CV biểu thị một đờng thẳng Các đờng thẳng này phải nghiệm đúng tại các tọa

độ của từng đôi nút một, tất cả các điểm trên biên nối giữa hai nút sẽ nằm trọn trên

đờng thẳng đó Kết quả : các biên của PTHH là thẳng trớc khi BD sẽ vẫn là thẳng sau khi BD

Hai biên chung của hai PTHH kề nhau có cùng một kiểu chuyển vị => tơng thích

Điều kiện cần và đủ để một PTHH tuyến tính tơng thích : Các hàm CV là các đa thức bậc một, trong mỗi hàm có số số hạng bằng đúng số nút của PTHH

+ PTHH tam giác:

ux( x , y ) = α1 + α2x + α3y uy(x,y)=α4 + α5x + α6y (3)

+ PTHH chữ nhật: u x(x,y)=α1 +α2x+α3y+α4xy;

uy(x,y)=α5 +α6x +α7y +α8xy (4) + PTHH hình chóp : u x(x,y,z)=α1 +α2x+α3y+α4z ;

uy(x,y,z)= α5 +α6x+α7y +α8z (5)

uz(x,y,z)= α9 +α10x+α11y+α12z

+PTHH hình hộp :

u x(x,y,z)=α1 +α2x+α3y +α4z+α5xy+α6yz +α7zx+α8xyz

uy(x,y,z)= α9 +α10x+α11y +α12zα13xy+α14yz+α15zx +α16xyz (6)

uz(x,y,z)= α17 +α18x+α19y+α20z +α21xy+α22yz+α23zx+α24xyz

Điều kiện cần và đủ để một PTHH bậc hai tơng thích :hàm CV là đa thức bậc hai có

số số hạng chứa trong mỗi hàm bằng đúng số nút của PTHH tơng ứng

Các hàm chuyển vị là các đa thức bậc hai Mỗi hàm biểu thị một đờng cong parabol thoả mãn các toạ độ của ba điểm nút trên mỗi cạnh, nh vậy trớc và sau khi biến dạng, các điểm thuộc một cạnh sẽ nằm trên đờng cong parabol đó Mặt khác, ba nút nói trên cũng thuộc về một phần tử kề bên, nên cả hai PTHH kề nhau có biến dạng giống nhau theo cạnh chung

+PTHH tam giác :

6 5

2 4 3

2 1 ) ,

12 11

2 10 9

8

7 α x α y α x α xy α y

+PTHH chữ nhật :

6 5

2 4 3 2

1 α x α y α x α xy α y

8

2

7x y α xy

14 13

2 12 11

10

α + x+ y+ x + xy+ y + x2y+α16 xy2 Trong các liên hệ trên x,y,z là toạ độ của điểm bất kì của PTHH trong hệ toạ độ riêng Nên chọn hệ toạ độ riêng sao cho có nhiều toạ độ của đỉnh PTHH bằng không càng tốt

3 Quy đổi lực phân bố thành lực tập trung ở nút PTHH

Với mỗi PTHH, ngoài lực tập trung sẵn có ở nút (nếu có), còn có :

* Lực phân bố thể tích [ ] [ ]T

z y

x g g g

g =

*Lực phân bố theo bề mặt [ ]p =[p x p y p z] T

Dới tác dụng của [ ]g và [ ] p => [ ] [ ]T

z y

x u u u

U = tại điểm bất kỳ bên trong PTHH

Cho PTHH chịu chuyển vị KD [ ] δ u thì [ ] g và [ ] p sẽ phải sinh công khả dĩ:

V U

S

U

∫ δ [ ] p dS (9)

V, S -thể tích và diện tích phân bố tải trọng

Giữa [ ]U và [ ]q có sự liên hệ : [ ]U =[ ]B [ ]q

[ ]B -Ma trận chữ nhật, thực hiện phép biến đổi TT từ [ ]q sang [ ]U

=> [ ]δU =[ ]B [ ]δq => [ ]δU T=[ ]δq T[ ]B T

[ ] [ ] [ ]T

V

T

B

W = δ q ∫

δ [ ]g dV +[ ]T

q

δ ∫ [ ]

S

BT

[ ]p dS =[ ]T

q

δ [ ]R g + [ ]T

q

δ [ ]R p (10)

Với [ ]R g = [ ]T

V

B

∫ [ ]g dV ; [ ]R = p ∫ [ ]

S

B T

[ ]p dS (11)

Gọi [ ]R -lực tập trung quy đổi về nút ; CKD của [ ]R :

[ ]δW = [ ]T

q

δ [ ]R (12)

Điều kiện tơng đơng : Công KD của các lực phân bố = Công KD của [ ]R

Đối chiếu (10) và (12):

[ ]R = [ ]R + g [ ]R p (13)

4 Các phơng trình cơ bản của PPPTHH-mô hình chuyển vị

Có thể lập theo nhiều hớng, chẳng hạn :NLý CKD, ĐL Castigliano Sử dụng NLý CKD

4.1 Phơng trình cân bằng của PTHH thứ i

* Trong hệ toạ độ địa phơng 0xyz

Với hệ đàn hồi tuyến tính :

[ ] [ ] [ ]ε i = D i q i ;[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] σ i = E0 i ε i = E0 D i q i

TheoNLCKD: : [ ] [ ] [ ]i

V

T i

[ ] [ ] [ ] [ ]i

V

i i

T

i E D dV q











Hay [ ] R i= [ ] [ ] K i q i (14)

[ ] K i = ∫ [ ] [ ] [ ]

V

i i

T

i E D dV

D 0 (15)

[ ]q - véc tơ chuyển vị nút ; i

[ ] R i- véc tơ các lực nút

[ ] K i- ma trận độ cứng của PTHH thứ i biểu thị phép biến đổi TT từ [ ] q isang

[ ] R i

[ ] K i- vuông, đối xứng, kích thớc bằng tổng các thành phần CV nút của PTHH

- Chứa các đặc trng cơ học và hình học của PTHH

- Suy biến ( K = 0) vì cha thể hiện điều kiện biên

* Trong hệ toạ độ chung O'x'y'z' chọn dùng cho toàn hệ

Oxyz => O'x'y'z'

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]i i i i i

′

→

′

Tìm [ ]T ; i xét một nút có 3 CV, từ hình giải tích:

x'

q2

q

q1 q'3

q'2

Hệ tọa độ địa phuơng z'

y'

z y

x

PTH

H i

3

cosin

x lxx’ lxy’ lxz’

y lyx’ lyy’ lyz’

z lzx’ lzy’ lzz’

1 1 ' 2 ' 3

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

q l q l q l q

q l q l q l q

q l q l q l q

′

′

′

với (17)

+ Trờng hợp PTHH là một điểm nút: [ ] [ ]T i = l

+ Trờng hợp tổng quát: [ ]T i - MT khối chéo Kích thớc phụ thuộc kích thớc của

[ ]q ; số khối chéo bằng số tập hợp CV nút i

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

i

+ Trờng hợp thanh không gian: 2nút, mỗi nút có tập hợp 3 CV thẳng và 3 CV

xoay:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

i

T =  l l l l 

+ Trờng hợp thanh thanh thẳng trong mặt phẳng x, y: phơng z không đổi; 2 nút,

mỗi nút có 3 CV

[ ]T i = [ ] [ ]l l 

[ ]

q l q

′

   

  =   ′

   

    ′

   

[ ] '' ''

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

l l l

l l l l

l l l

′

′

′

[ ] ''

xx xy

yx yy

l l

l l l

′

′

(19)

Vì lực và CV tại nút cùng đợc mô tả theo cùng hệ toạ độ địa phơng và chung nên :

[ ] [ ] [ ] R i = T i R ' i=> [ ] R' i= [ ] T

i

T [ ] R i (20) PTCB trong hệ TĐ địa phơng [ ]R = i [ ] [ ]K i q i => [ ]T i [ ]R' = i [ ]K i[ ]T i[ ]q' i

[ ]R' = i [ ] − 1

i

T [ ]K i [ ]T i [ ]q' i (21) Khi đổi hệ TĐ ,công của lực trên các chuyển vị tơng ứng không đổi ,nên có ĐK :

[ ] [ ]T i =

i R

i q' [ ]R' => ( i [ ]T i[ ]q' ) i T [ ]T i [ ]R' = i [ ] T

i q' [ ] T

i

T [ ]T i [ ]R' = i [ ] T

i q' [ ]R' i

Nghĩa là [ ] T

i

T [ ]T = i [ ]1 -ma trận đơn vị => [ ]T ma trận trực giao : i [ ] − 1

i

T =[ ] T

i T

(21) => [ ]R' = i [ ] T

i

T [ ]K i[ ]T i[ ]q' i

=> [ ]K ' = i [ ] T

i

T [ ]K i [ ]T ; i [ ]R' = i [ ] T

i

T [ ]R ; i [ ]q' = i [ ] T

i

T [ ]q i (23)

4.2 Phơng trình cân bằng của toàn bộ kết cấu

* Ghép các phần tử - Giả sử hệ đợc rời rạc hoá thành m PTHH Viết (22) cho tất cả

các PT rồi gộp lại sẽ đợc :

[ ]R = ' [ ]K ' g [ ]q (24)'

Trong đó : [ ]R' ={ [ ] [ ] [ ] [ ]R'1 R' 2 R'i R' m }

[ ]q = ' { [ ]q'1[ ] [ ] [ ]q'2 q'i q' m } (25)

[ ]K'g = [ ] [ ] [ ] [ ]K'1 K'2 K'i K' m

* Khử trùng lặp - Trong (24), một số phần tử của [ ]R và ' [ ]q đợc lặp lại một số lần '

Ví dụ : tại nút k có r PTHH quy tụ => có r PT thể hiện ĐKCB tại nút k => lặp lại r lần Cần gộp r PT đó thành một PT chung

Biến đổi [ ]R =' [ ]K ' g [ ]q => ' [ ] [ ][ ]R = K q

+ [ ]q =' [ ]H [ ]q (26)

[ ]q -MT chuyển vị nút của toàn hệ sau khi đã khử trùng lặp

[ ]H - MT nhận dạng kết cấu, cấu trúc phụ thuộc hình dạng kết cấu

+ Tìm [ ]R theo ĐK công khả dĩ không thay đổi :' W [ ] [ ]q T R [ ]q

δ δ

δ = ' ' = [ ]R'

Từ (26) : [ ] [ ]δq' = H [ ]δq =>[ ]T

q'

δ = [ ]δq T [ ]H T => [ ]δq T [ ]H T[ ]R =' [ ]δq T [ ]R

Vì [ ]δq bất kì , khác không nên : (27)

+ Tìm [ ]K theo (24),(26) [ ]R =' [ ]K ' g [ ]q =' [ ]K ' g [ ]H [ ]q

Thay vào (27): (28)

Với (29)

Nếu tại các nút của hệ có ngoại lực tập trung mô tả bởi [ ]R P thì trong (28) cần thay

[ ]R bằng

[ ]R' = [ ]R +[ ]R P =[ ]K [ ]q (30)

* Khử suy biến - PTCB (28) và (30) biểu thị sự cân bằng của hệ còn tự do trong không gian nên [ ]K suy biến

Sau khi bổ sung ĐK biên :

(31) [ ] [ ][ ]R* = K* q*

[ ]R' =[ ]R +[ ]R = P [ ]K [ ]q

[ ]R =[ ]K [ ]q [ ]K =[ ]H T [ ]K ' g [ ]H

[ ]R =[ ]H T[ ]R'

[ ]R* và [ ]q* - suy từ [ ]R' và [ ]q :loại các phần tử thứ i (hàng i) tơng ứng tại toạ độ thứ

i có LK ngăn cản ;

[ ]K* - suy từ [ ]K : loại hàng thứ i và cột thứ i tơng ứng với chuyển vị nút thứ i đã bị khử LK thứ i

[ ]K* không suy biến -> tồn tại [ ]K* − 1

Từ (31) -> (32)

Biết [ ]q* -> Trạng thái ứng suất và biến dạng cần tìm

5 Thứ tự giải bài toán

1 Chọn loại và dạng PTHH

2 Rời rạc hoá kết cấu thành lới PTHH theo loại và dạng đã chọn

3 Chọn hàm chuyển vị xấp xỉ [ ] U i cho PTHH đã chọn

4 Lập ma trận độ cứng [ ]K icho từng PTHH trong hệ toạ độ địa phơng

+ [ ]U i=[ ]B i [ ]q i => [ ]B i

+ Căn cứ tính chất của vật liệu => [ ]E0 i

+ Lập [ ]K itheo (15): [ ] K i = ∫ [ ] [ ] [ ]

V

i i

T

i E D dV

5 Xác định MT [ ] R icho từng PTHH trong hệ toạ độ địa phơng (cha kể TT tập trung đặt ở nút)

+ Xác định [ ] Rg i và [ ] Rp i theo (11):

[ ] Rg = ∫ [ ] [ ]

V

T

dV g

B ; [ ] Rp =∫ [ ] [ ]

S

T p dS

B

[ ]q = * [ ]K* − 1[ ]R *

+ Xác định [ ] R i: [ ] R i= [ ]R + g i [ ] Rp i

6 PTCB của các PTHH trong hệ TĐ địa phơng :

7 PTCB của các PTHH trong hệ TĐ chung:

* Lập [ ] [ ]T

i

i T

T =>

* Tìm [ ] [ ]T

i

i T

R' = [ ]R i

* Tìm [ ]K ' i= [ ]T

i

T [ ]K i [ ]T i

* Tìm [ ]q' i=[ ]T

i

T [ ]q i

8 PTCB của toàn hệ trong hệ TĐ chung:

* Gộp các PTHH

9 PTCB của toàn hệ sau khi khử trùng lặp

* Lập [ ]H -> [ ]T

H

* Tìm [ ]R =[ ]H T [ ]R'

* Tìm [ ]R' = [ ]R +[ ]R P

* Tìm [ ]K =[ ]H T [ ]K ' g [ ]H

* Lập [ ]q

10 PTCB của toàn hệ sau khi khử suy biến:

*Điều kiện biện

11.Giải PT để xác định MT chuyển vị nút của toàn hệ

[ ] [ ] [ ]R i = K i q i

[ ] [ ] [ ]R'i = K'i q'i

[ ]R' =[ ]K g' [ ]q'

[ ]R =[ ]K [ ]q

[ ] [ ][ ]R* = K* q*

12.Xác định MT CV nút của từng PTHH

[ ]q => i [ ]ε i= [ ] [ ]D i q i=>[ ]σ i=[ ]E0 i [ ]ε i

[ ] [ ] [ ]* * 1 *

R K