Giáo trình phương pháp số trong xây dựng (phương pháp phân phối mô men)

Quy ớc về dấu của nội lực trong phơng pháp Cross có phần khác với cách quy ớc về dấu trong Sức bền vật liệu: ] Mômen uốn tại nút đợc xem là dơng khi làm cho thớ giữa của thanh quay theo

9 Phơng pháp

phân phối mômen (Phương phỏp H.Cross)

Phơng pháp phân phối mômen thuộc loại phơng pháp tính lặp đúng dần, cho kết quả tiệm cận dần tới kết quả tính chính xác (phơng pháp lực hay phơng pháp chuyển vị) theo số lần thực hiện phép lặp

Phơng pháp H Cross đợc xây dựng trên cơ sở những giả thiết giống nh những giả thiết của phơng pháp chuyển vị

Phơng pháp H Cross có những u điểm sau:

]Tính toán đơn giản Hầu hết các phép tính trong phơng pháp Cross chỉ là những phép tính cộng

và nhân do đó chỉ cần dùng máy tính phổ thông cũng đủ để thực hiện

] Phơng pháp Cross chỉ yêu cầu phải giải một số lợng phơng trình rất ít so với số lợng phơng

trình theo các phơng pháp "chính xác", có trờng hợp không cần phải giải hệ phơng trình Tuy nhiên, phơng pháp này cũng còn có những điểm hạn chế tơng tự nh phơng pháp chuyển vị, thờng chỉ áp dụng có hiệu quả cho những hệ khung hoặc dầm

A Khái niệm và quy ớc về dấu

Đại lợng cần tìm trong phơng pháp Cross là mômen uốn tại tiết diện ở các đầu thanh Những

mômen này đợc ký hiệu bằng chữ M có mang theo hai chỉ số Chỉ số thứ nhất biểu thị vị trí

của tiết diện chịu mômen uốn, chỉ số thứ hai kết hợp với chỉ số thứ nhất biểu thị thanh chịu mômen uốn đó Đối với lực cắt ta cũng ký hiệu tơng tự

Ví dụ M aB đọc là mômen uốn tại tiết diện a thuộc thanh

aB (hình 9.1); Q aB đọc là lực cắt tại tiết diện a thuộc

thanh aB

Quy ớc về dấu của nội lực trong phơng pháp Cross có phần khác với cách quy ớc về dấu trong Sức bền vật liệu:

] Mômen uốn tại nút đợc xem là dơng khi làm cho thớ giữa của thanh quay theo chiều kim

đồng hồ và đợc xem là âm khi làm cho thớ giữa của thanh quay ngợc chiều kim đồng hồ

(hình 9.2)

]Lực cắt đợc xem là dơng khi làm cho phần thanh chịu lực quay theo chiều kim đồng hồ và

đợc xem là âm khi làm quay ngợc chiều kim đồng hồ (giống SBVL), (hình 9.3).

B Sự phân phối mômen xung quanh một nút(b i toan c à ơ bản))

204

B A

M AB

Hình 9.1

M BA

Hình 9.2

M>0 M>0

M>0 M>0

M>0 M<0

Q<0 Q>0

Hình 9.3

Q<0 Q>0 Q<0

Q>0

Để chuẩn bị nghiên cứu phơng pháp phân phối mômen ta khảo sát bài toán cơ bản: sự phân

phối mômen xung quanh một nút không có chuyển vị thẳng.

Xét hệ chỉ có một nút a không

có chuyển vị thẳng nh trên hình

9.4 Giả sử đặt tại nút a một

mômen ngoại lực M, yêu cầu:

- Xác định các mômen uốn M aB ,

M aC , M aD do mômen M phân

phối vào các tiết diện ở đầu a

trong mỗi thanh

-Xác định mômen uốn M Ba ,

M Ca và M Da tại các đầu đối diện

với nút a

Tất nhiên, các mômen uốn M aB , M aC , M aD phải cân bằng với mômen M, ta có:

M aB + M aC + M aD + M = 0 (9.1)

Dới tác dụng của mômen M các đầu thanh tại nút a bị xoay Căn cứ vào các số liệu tìm đợc

trong bảng 6.2 chơng 6, theo quy ớc về dấu của Cross ta có:

ΦVới thanh aB có đầu đối diện B là ngàm:

AB AB

AB

AB

R 4 M l

EI 4

−

trong đó R aB − độ cứng đơn vị quy ớc của thanh có đầu đối diện là ngàm,

R aB =

AB

AB l

EI

ΦVới thanh aC có đầu đối diện là khớp:

AC AC

AC AC AC

AC

AC

R 4 M l

EI 4

3 4

M l

EI 3

−

trong đó R aC − độ cứng đơn vị quy ớc của thanh có đầu đối diện là khớp,

R aC =

AC

AC l

EI 4

3

ΦVới thanh aD có đầu đối diện là ngàm trợt dới dạng hai thanh song song với trục thanh:

AD

AD AD AD

AD AD

AD

R 4 M l

EI 4

1 4

M l

EI

M

−

=

−

=

−

trong đó R aD − độ cứng đơn vị quy ớc của thanh có đầu đối diện là ngàm trợt dới dạng hai thanh

song song với trục thanh,

R aD =

AD

AD l

EI 4

1

Theo giả thiết nút a là nút cứng ta có: ϕaB =ϕaC =ϕaD =ϕ

Thay (9.2), (9.4) và (9.6) vào điều kiện trên:

ϕ =

AD

AD AC

AC AB

AB

R 4

M R

4

M R

4

Theo tính chất của tỷ lệ thức đồng thời chú ý đến (9.1), ta có:

ϕ

M

AB

M

AC

A C

B

D

M

DA

ϕ

ϕ

M M

AD

M

BA

Hình 9.4

ϕ = 4 M ( R M R M R ) 4 ( R R M R )

AD AC AB AD

AC AB

AD AC

AB

+ +

= +

+

+ +

So sánh (9.9) với (9.8) ta suy ra:

M R R R

R M

AD AC AB

AB

M R R R

R M

AD AC AB

AC

M R R R

R M

AD AC AB

AD

Nh vậy, mômen M đặt tại nút a sẽ phân phối ảnh hởng vào các đầu thanh quy tụ tại nút với

những giá trị xác định theo (9.10) Ta gọi những mômen này là mômen phân phối.

Để xác định mômen tại các đầu thanh đối diện ta có thể vận dụng kết quả trong bảng 6.2 áp dụng quy ớc về dấu của Cross ta có:

M Ba =

2

1

M aB ; M Ca = 0 ; M Da = − M aD (9.11)

Ta gọi những mômen này là mômen truyền.

Trong trờng hợp tổng quát, khi nút a gồm nhiều thanh quy tụ ta có thể suy rộng các công thức

trên và đợc:

ϖMômen phân phối tại đầu a thuộc thanh aX có đầu đối diện X:

(9.12)

ϖMômen truyền:

(9.13) Trong đó:

βXa − hệ số truyền của thanh aX;

γaX - hệ số phân phối của thanh aX :

(9.14)

R aX − độ cứng đơn vị quy ớc của thanh aX;

∑R − tổng số độ cứng đơn vị quy ớc của các thanh quy tụ tại nút

Tùy theo điều kiện liên kết tại đầu thanh đối diện X, các độ cứng đơn vị quy ớc R aX và hệ số truyền βXa sẽ có trị số khác nhau (xem bảng 9.1) Trong trờng hợp đầu đối diện X là đầu tự do,

ta dễ dàng nhận thấy các trị số này bằng không

Bảng 9.1

Liên kết tại đầu đối diện với nút R AX βXA

C Cách tính hệ có nút không chuyển vị thẳng(n 2 =0)

Để trình bày đợc đơn giản ta sẽ tìm hiểu nội dung phơng pháp thông qua hệ trên hình 9.5a Tuy nhiên, cách lập luận vẫn là tổng quát và áp dụng đợc cho hệ bất kỳ có nút không chuyển vị

206

M AX = − γAX M.

M XA = βXA M AX

γAX = R∑AX R

Tởng tợng ngăn cản chuyển vị xoay của các nút bằng cách đặt vào mỗi nút hai chốt (hình 9.6a) Trên hình 9.6b mô tả nút F trong trờng hợp bị chốt

lực trong hai hệ này khác nhau

lực mômen (tơng tự nh các R kP trong phơng pháp chuyển vị) gọi là ngẫu lực chèn Ngẫu lực

chèn phải cân bằng với các mômen uốn tại đầu của những thanh quy tụ vào nút đó do tải trọng tác dụng trên hệ có nút bị chốt gây ra Chẳng hạn với nút F trên hệ 9.5b vẽ riêng trên hình 9.6b,

ta có:

M F + M FH + M FC + M Fe = 0.

Do đó:

M F = − (M FC + M Fe + M FH ).

Nh vậy, ngẫu lực chèn tại một nút nào đó bằng tổng đại số các mômen uốn tại đầu các thanh

quy tụ ở nút đang xét do tải trọng gây ra trên hệ có nút bị chốt nhng đổi dấu.

Nếu thay các chốt của hệ ở hình 9.5b bằng những ngẫu lực chèn vừa tìm đợc ta sẽ đợc hệ có nút không bị chốt tơng đơng nh trên hình 9.5c Tất nhiên nội lực trong hệ trên hình 9.5c cũng khác với nội lực trong hệ trên hình 9.5a

Bây giờ ta xét hệ phụ (hình 9.5d) chỉ chịu những ngẫu lực đặt tại nút có giá trị bằng ngẫu lực chèn nhng ngợc chiều Ký hiệu những ngẫu lực này là M* B = − M B ; M* C = − M C và gọi là

các mômen nút cứng Gọi nh vậy là vì giá trị của những mômen này là tổng đại số các mômen

uốn ở đầu những thanh quy tụ tại nút đang xét do tải trọng gây ra trong hệ có tất cả các nút bị chốt cứng Ví dụ:

M* F = − M F = M FC + M Fe + M FH Theo nguyên lý cộng tác dụng, ta có:

Hệ thực chịu tải

Hệ chịu tải trọng và những ngẫu lực chèn đặt ở các nút +

Hệ không chịu tải trọng, chỉ chịu những mômen nút cứng ở các nút

F M

FH

M

FE

M

FC

Hình 9.6

b) B a)

H

H G

D

B

A

a)

C

F E

H G D

B A

b)

C

F E

M*

B = − M

B

M*

C = − M

C

M*

Ê = − M

E

M*

F = − M

F

≠

G

F

M

E

M

C

M

B

C F D

B A

c)

E

M*

F

M*

E

M*

C

M*

B

C

F D

B A

d)

E

+

(hình 9.5a) (hình 9.5b hoặc c) (hình 9.5d)

Nh vậy, muốn tìm nội lực trong hệ trên hình 9.5a ta phải tìm nội lực trong hai hệ trên hình 9.5c

và 9.5d

Đối với hệ trên hình 9.5c ta dễ dàng tìm ngay đợc nội lực bằng cách sử dụng các số liệu trong bảng 6.1, chơng 6, vì hệ này tơng đơng với hệ trên hình 9.5b là hệ gồm những phần tử mẫu đã

đợc nghiên cứu (biểu đồ mômen uốn trong hệ chính là biểu đồ M trong phơng pháp chuyển o P

vị)

Vấn đề mới cần phải đề cập là tính hệ 9.5d chỉ chịu các mômen nút cứng Ta sẽ tính hệ này

theo phơng pháp lặp đúng dần.

Trớc tiên, giả thiết tất cả các nút của hệ đều bị chốt Nhng vấn đề cần thực hiện là phải tính hệ với các nút đợc tự do Vậy muốn đi từ trạng thái đầu (các nút bị chốt) đến trạng thái cuối cùng (các nút đợc tự do) ta phải trải qua quá trình tính toán nh thế nào?

Nếu tháo chốt tại tất cả các nút cùng một lúc thì sẽ cha giải đợc bài toán vì không có sẵn kết quả mẫu Bởi vậy ta cần phải lần lợt tháo chốt ở từng nút

Giả sử tháo chốt ở nút B còn các nút khác vẫn chốt cứng, lúc này bộ phận BaCe của hệ sẽ có

dạng giống nh bài toán mẫu đã xét

Sau khi tháo chốt ở nút B, nút này sẽ xoay đến vị trí cân bằng mới, ta lại chốt nút B ở vị trí cân

bằng mới, tiếp đó chuyển sang nút khác và cũng thực hiện nh ở nút B Trong quá trình tháo chốt

nhiều lần ở tất cả các nút, góc xoay sẽ giảm dần dần Tất nhiên, cần thực hiện nhiều lần nh vậy cho đến khi những góc xoay này trở thành không đáng kể, nghĩa là khi tháo tất cả các chốt thì tất cả các nút không xoay nữa và trạng thái này là trạng thái cuối cùng cần tìm

Để nắm đợc tiến trình phân phối mômen ta xét trờng hợp hệ trên hình 9.5d

Đầu tiên, tháo chốt ở nút B, trên hình vẽ, tên nút đợc tháo chốt ghi trong khuyên tròn (hình

9.7a) Lúc này mômen làm cho nút không cân bằng trong lần tính lặp đầu tiên gọi là trong chu trình 1, ký hiệu là M B,1 đợc xác định bằng mômen nút cứng M* B:

M B,1 = M* B Dới tác dụng của M B,1 , nút B xoay tới vị trí cân bằng mới áp dụng các công thức (9.12), (9.13)

ta xác định đợc mômen phân phối (gạch chân) và mômen truyền:

M

ômen phân phối: M ômen truyền:

M ba,1 = −γBa M B,1 ; M aB,1 = βaB M ba,1 = 0;

M BC,1 = −γBC M B,1 ; M CB,1 = βCB M BC,1 = −

2

1

γBC M B,1 ;

M be,1 = −γBe M B,1 ; M eB,1 = βeB M be,1 = −2 1γBe M B,1

Tất nhiên những mômen vừa tìm đợc tại các đầu thanh cha phải là kết quả cuối cùng, vì lúc này chỉ riêng nút B đợc tự do còn các nút khác vẫn bị chốt.

208

M

FC,1

M

CF,1

M

B,1 M BC

M

E,1

M EF

G

E

H F

D

A

a)

B

M

EB,1

M C

BE,1

B

G

E

H F

M

C,1

C

D A

b)

M

FC,1

C

B

G

E

H

Hình 9.7

M

F,1

C

D

A

c)

M

HF,1

M

FH,1

B

F

C

D A

d)

M

GE,1

M

EG,1

M

CF,1

M

EB,1

M

BE,1

M FE

Chốt nút B ở vị trí cân bằng mới, chuyển sang tháo chốt ở nút lân cận, chẳng hạn nút C (hình

9.7b) Bây giờ tại C, mômen làm cho nút không cân bằng trong chu trình 1 là M C,1 bao gồm hai mômen: mômen nút cứng M* C sẵn có từ trớc và mômen truyền M CB,1 vừa tích lũy thêm trong quá trình tháo chốt ở nút B:

M C,1 = M* C + M CB,1

Dới tác dụng của M C,1 nút C xoay tới vị trí cân bằng mới áp dụng các công thức (9.12), (9.13)

ta có:

M

ômen phân phối: M ômen truyền:

M CB,1 = −γCB M C,1 ; M BC,1 = βCB M CB,1 = −

2

1γBC M C,1 ;

M CF,1 = −γCF M C,1 ; M FC,1 = βCF M CF,1 = −2 1γCF M C,1

Lại chốt nút C ở vị trí cân bằng mới và chuyển sang tháo chốt ở nút F………

M F,1 = M* F + M FC,1

Để tìm mômen uốn tại các đầu thanh của hệ cho ban đầu ta chỉ cần lấy tổng đại số mômen

nút cứng M*, mômen phân phối và mômen truyền tích lũy dần trong các chu trình.

Rõ ràng là càng thực hiện nhiều chu trình bao nhiêu thì độ chính xác càng tăng bấy nhiêu

Ta sẽ tìm hiểu thứ tự thực hiện thông qua ví dụ cụ thể

Ví dụ 9.1 Vẽ biểu đồ mômen uốn cho hệ trên hình 9.8a.

1 Xác định độ cứng đơn vị quy ớc của các thanh theo bảng 9.1:

R aB = R CD = ei / 4 = 0,25ei; R BC = R Ce = e.2i / 4 = 0,50ei; R BF = 0.

2 Xác định hệ số phân phối cho từng đầu thanh quy tụ vào các nút theo (9.14) và kiểm tra các

hệ số phân phối theo điều kiện: tổng các hệ số phân phối xung quanh một nút phải bằng đơn

vị

• Tại nút B: γBa = 0,25ei / (0,25ei + 0,50ei) = 0,333;

γBC = 0,50ei / (0,25ei + 0,50ei) = 0,667.

Kiểm tra: 0,333 + 0,667 = 1,000.

• Tại nút C: γCB =γCe = 0,50ei / (0,50ei + 0,50ei + 0,25ei)= 0,400;

γCD = 0,25ei / (0,50ei + 0,50ei + 0,25ei)= 0,200.

Kiểm tra: 0,400 + 0,400 + 0,200 = 1,000.

3 Xác định các mômen nút cứng M* tại các đầu thanh do tải trọng gây ra (sử dụng bảng 6.1 với

chú ý áp dụng quy ớc về dấu của phơng pháp Cross) Trong trờng hợp này, ta có:

M* Ce = − M* eC = ql 2 /12 = 3.4 2 /12 = 4 kNm; M* BF = − 2 kNm.

Trên các thanh khác không có tải trọng nên không có mômen nút cứng

4 Phân phối và truyền mômen Quá trình phân phối và truyền mômen đợc thực hiện trên bảng

tính (bảng 9.2) Cách lập bảng nh sau:

ϖ Hàng thứ nhất ghi ký hiệu các nút và các đầu thanh có liên kết ngàm, ngàm trợt (đối với đầu thanh có khớp không cần ghi vì mômen uốn tại đó luôn luôn bằng không)

ϖ Hàng thứ hai ghi ký hiệu những đầu thanh quy tụ tại các nút tơng ứng Nút nào có bao nhiêu thanh quy tụ thì có bấy nhiêu cột

ϖ Hàng thứ ba ghi các hệ số phân phối tơng ứng với các đầu thanh quy tụ vào nút (theo kết quả tính ở bớc thứ hai) Dới hàng thứ ba, kẻ đờng hai nét để sau này khi cộng các mômen uốn khỏi lẫn với các hệ số phân phối

ϖ Hàng thứ t ghi giá trị mômen nút cứng M* tại các đầu thanh (theo kết quả tính ở bớc 3).

ϖ Từ hàng thứ năm về phía dới ghi kết quả phân phối và truyền mômen lần lợt tơng ứng với các nút đợc tháo chốt Trên cột thứ nhất của mỗi hàng này ghi ký hiệu nút đợc tháo chốt

Đối với bài toán đang xét, quá trình thực hiện nh sau:

Φ Chu trình 1:

• Bắt đầu tháo chốt tại nút C Mômen không cân bằng:

M C,1 = M* C = M* CE = 4,000 kNm.

Vận dụng các công thức (9.12) và (9.13) ta có:

M

ômen phân phối: ômen truyền: M

M CB,1 = − 0,4.4 = −1,60 kNm; M BC,1 = (1/2)( −1,60) = − 0,80 kNm;

M ce,1 = − 0,4.4 = −1,60 kNm; M eC,1 = (1/2)( −1,60) = − 0,80 kNm;

M CD,1 = − 0,2.4 = − 0,80 kNm; M DC,1 = (1/2)( − 0,80) = − 0,40 kNm.

Kiểm tra theo điều kiện tổng các mômen phân phối bằng mômen nút cứng nhng trái dấu:

−1,60 −1,60 − 0,80 = − 4,00 kNm.

Ghi các số liệu vào hàng thứ 5 trên bảng 9.2

Bảng 9.2

Nút,

γ 0,000 0,333 0,667 0,400 0,400 0,200

C − 0,80 − 1,60 − 1,60 − 0,80 − 0,40 − 0,80

210

6,00

0,50

1,00 1,00 2,00

E C

B

a)

3 kN/m

4 m

4 m

1 m

EI EI

0,50

1.00 1,00

2,00

(kNm)

Hình 9.8

M

B + 0,47 0,00 + 0,93 + 1,87 + 0,93

C −0,19 − 0,37 − 0,37 − 0,19 − 0,09 − 0,19

B + 0,03 0,00 + 0,06 + 0,13 + 0,06

C − 0,01 − 0,02 − 0,02 − 0,01 − 0,01 − 0,01

kq + 0,50

[+0,50]

−2,00

+ 0,99

[+1,00]

+ 1,01

[+1,00]

− 1,00

[−1,00]

+ 2,01

− 1,00

[−1,00]

− 0,50

[−0,50]

− 5,00

[−5.0]

• Chốt nút C và chuyển sang tháo chốt tại nút B

Mômen không cân bằng: M B,2 = − 2,00 − 0,80 = − 2,80 kNm.

áp dụng công thức (9.12) và (9.13), ta đợc:

M

ômen phân phối: M ômen truyền:

M Ba ,2 = − 0,333(− 2,80) = +0,93 kNm; M aB,2 =(1/2)0,93=+0,47 kNm;

M BC,2 = − 0,667(− 2,80) = +1,87 kNm; M CB,2 =(1/2)1,87=+0,93 kNm.

Ghi kết quả vào hàng 6 trên bảng 9.2

Nh đã biết, khi tháo chốt ở các nút trong chu trình thứ i nào đó thì nguyên nhân làm cho nút

không cân bằng là các mômen truyền từ các nút khác tới trong chu trình thứ (i-1) chứ không

phải mômen đã đợc phân phối Bởi vậy, trong lần phân phối thuộc chu trình thứ i thì những

mômen đã phân phối ở chu trình thứ (i-1) trở về trớc sẽ không tham gia Để tránh nhầm lẫn ta

gạch chân những giá trị mômen phân phối Điều đó có nghĩa là trong chu trình phân phối thứ i

ta không xét đến những mômen ở phía trên kể từ giá trị gạch chân

Φ Chu trình 2:

• Chốt nút B và tháo chốt ở nút C

Mômen không cân bằng tại C là M C,2 = + 0,93 kNm Ta có:

M

ômen phân phối: M ômen truyền:

M CB,2 =− 0,4.0,93 =− 0,37 kNm; M BC,2 = (1/2)(− 0,37) =− 0,19 kNm;

M ce,2 =− 0,4.0,93 = − 0,37 kNm; M eC,2 = (1/2)(− 0,37) =− 0,19 kNm;

M CD,2 =− 0,2.0,93 = − 0,19 kNm; M DC,2 = (1/2)(− 0,19) =− 0,09 kNm.

• Chốt nút C và tháo chốt ở nút B

Mômen không cân bằng M B,2 = − 0,19 kNm.

M

ômen phân phối: M ômen truyền:

M ba,2 =− 0,333(− 0,19) =+0,06 kNm; M aB,2 =(1/2).0,06=+ 0,03 kNm;

M BC,2 =− 0,667(−0,19) = +0,13 kNm; M CB,2 =(1/2).0,13=+0,06 kNm.

Φ Chu trình 3:

• Chốt nút B và tháo chốt ở nút C

Mômen không cân bằng tại C là M C,3 = + 0,06 kNm

M

ômen phân phối: M ômen truyền:

M CB,3 =− 0,4.0,06 =− 0,024 kNm; M BC,3 =(1/2)(−0,024)=−0,01 kNm;

M ce,3 =− 0,4 0,06 =− 0,024 kNm; M eC,3 =(1/2)(−0,024)=−0,01 kNm;

M CD,3 =− 0,2 0,06 =− 0,012 kNm; M DC,3 =(1/2)(−0,012)=−0,01 kNm.

• Chốt nút C và tháo chốt ở nút B

Mômen không cân bằng M B,3 = − 0,01 kNm.

ômen phân phối: M ba,3 = − 0,333(− 0,01) = 0,00;

M BC,3 = − 0,667(− 0,01) = 0,01 kNm.

Các mômen phân phối đã khá nhỏ, nếu tiếp tục truyền đi nữa thì mômen truyền lớn nhất chỉ bằng 0,004 kNm nên có thể bỏ qua đợc và dừng lại ở đây.

Cộng đại số tất cả các mômen trong mỗi cột trên bảng 9.2 (kể từ hàng thứ t trở xuống) ta sẽ

đ-ợc mômen uốn tại các đầu thanh

5 Vẽ biểu đồ nội lực Sau khi biết mômen uốn tại các đầu thanh ta vẽ đợc các biểu đồ nội lực

theo quy cách đã biết trong các chơng 5 và 6 song cần lu ý là quy ớc về dấu của mômen uốn trong phơng pháp này có khác trớc

Kết quả vẽ biểu đồ mômen uốn cho trờng hợp này nh trên hình 9.8b

6 Kiểm tra cân bằng nút Nút B: −2,00 + 0,99 + 1,01 = 0 (cân bằng).

Nút C: −1,00 + 2,01 −1,00 = 0,01 ≈ 0.

Thực ra tại nút C vẫn cha cân bằng mà còn phải nhận thêm một mômen không cân bằng là

0,004 kNm truyền từ nút B tới Nh vậy sai số tơng đối lớn nhất so với mômen uốn bé nhất tại

nút C là:

100 00 , 1

004 ,

Chú thích:

lớn nhất làm nút khởi điểm thì quá trình phân phối sẽ tắt nhanh hơn Thứ tự tháo chốt tại các nút trong mỗi chu trình có thể chọn bất kỳ.

D Cách tính hệ có nút chuyển vị thẳng n 2 khac khong

Hớng giải bài toán hệ có nút chuyển vị thẳng là thay thế việc tính hệ có n 2 chuyển vị thẳng độc lập bằng cách tính n 2 +1 b i toan hệ có nút không chuyển vị thẳng à

Để trình bày đợc đơn giản ta lập luận với hệ trên hình 9.9 Tuy nhiên, lý luận vẫn mang tính tổng quát và áp dụng đợc cho hệ bất kỳ

Các nút của hệ 9.9a có hai chuyển vị thẳng độc

lập Dới tác dụng của tải trọng, hệ biến dạng

theo đờng đứt nét Các nút thuộc tầng dới

chuyển vị ngang ∆1, các nút thuộc tầng hai

chuyển vị ngang ∆2

Để đa hệ này về hệ có nút không chuyển vị thẳng ta cần đặt thêm hai liên kết loại một nh trên hình 9.9b Tất nhiên lúc này cách làm việc của hệ 9.9b và 9.9a sẽ khác nhau Muốn cho hai hệ làm việc giống nhau ta cần gây ra trong hệ các chuyển vị cỡng bức theo phơng ngang tại các liên kết mới đặt thêm vào với giá trị vừa đúng bằng ∆1 và ∆2 Nói khác đi, cần cho những liên kết này chuyển vị cỡng bức theo phơng ngang để sao cho phản lực trong những liên kết này bằng không, vì trên hệ 9.9a không tồn tại những liên kết đó tức là không tồn tại phản lực Ta có

212

∆

2

∆1

R

1

R

2

∆2

a)

∆1

b)

Hình 9.9

điều kiện:

R 1 = 0; R 2 = 0 (9.15)

áp dụng nguyên lý cộng tác dụng ta thấy phản lực và nội lực trong hệ 9.9b (vẽ lại trên hình 9.10a) bằng tổng các phản lực và nội lực trong ba hệ:

Φ Hệ có nút không chuyển vị thẳng chịu tải trọng (hình 9.10b)

Φ Hệ có nút không chuyển vị thẳng, không chịu tải trọng, nhng liên kết đặt thêm vào tại tầng một chịu chuyển vị cỡng bức bằng ∆1 (hình 9.10c)

Φ Hệ có nút không chuyển vị thẳng, không chịu tải trọng, nhng liên kết đặt thêm vào tại tầng hai chịu chuyển vị cỡng bức bằng ∆2 (hình 9.10d)

Các điều kiện (9.15) có dạng:

R 1 = R 1 ( P ,∆1 ,∆2 ) =R 1 P+R 1∆1+R 1∆2 =0;

R 2 = R 2 ( P ,∆1 ,∆2 ) =R 2 P+R 2∆1+R 2∆2 =0. (9.16)

Biểu đồ mômen uốn trong hệ 9.9b hay 9.10a là tổng các biểu đồ sau:

(M) = (M P ) + ( M∆1 )+( M∆2 ). (9.17)

Trong (9.16) và (9.17):

R k P− phản lực tại liên kết đặt thêm vào thứ k do tải trọng gây ra trong hệ có nút không chuyển

vị thẳng;

(M P ) − biểu đồ mômen uốn do tải trọng gây ra trong hệ có nút không chuyển vị thẳng;

m

k

R ∆ − phản lực tại liên kết k do chuyển vị cỡng bức tại liên kết m có giá trị bằng ∆m gây ra

)

M

( ∆m − biểu đồ mômen uốn trong hệ có nút không chuyển vị thẳng do chuyển vị cỡng bức tại

liên kết m có giá trị bằng ∆m gây ra

Nhng các chuyển vị ∆m cha biết nên để cho tiện lợi trong tính toán ta biểu thị:

trong đó δm là chuyển vị tại liên kết m có giá trị chọn tùy ý (có thể chọn bằng đơn vị hay khác

đơn vị) còn k m là hệ số cha biết, giữ vai trò ẩn số

Đồng thời, nếu gọi:

r km − phản lực tại liên kết k do riêng chuyển vị cỡng bức tại liên kết m có giá trị bằng δm gây ra;

( M m ) − biểu đồ mômen uốn trong hệ có nút không chuyển vị thẳng do chuyển vị cỡng bức tại liên kết m có giá trị bằng δm gây ra,

thì theo nguyên lý cộng tác dụng, ta có:

m

k

) M

Thay (9.19) vào (9.16) và (9.20) vào (9.17) ta đợc:

1

1

R Δ

∆2

2

1

RΔ

2

Δ

2

R

1

2Δ

R

∆1

R 1

R

2

Hình 9.10

R 1P

R

2P

∆1

a)

∆2

c)