Giáo trình phương pháp số

Giáo trình phương pháp số

NGUYỄN TÂN ÂN

NGUYỄN THỊ THU THỦY

PHƯƠNG PHÁP TÍNH

VÀ BÀI TOÁN TỐI ƯU

HÀ NỘI - 2010

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 5

Chương 1 TÍNH GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ 8

1 Số gần đúng và sai số của nó 8

1.1 Số gần đúng và sai số 8

1.2 Chữ số có nghĩa và chữ số đáng tin 9

1.3 Cách viết số gần đúng 10

1.4 Sai số làm tròn 10

2 Sự lan truyền sai số 11

2.1 Mở đầu 11

2.2 Sai số của tổng 11

2.3 Sai số của tích 12

2.4 Sai số của thương 13

2.5 Sai số của hàm bất kỳ 14

3 Các loại sai số 14

3.1 Các loại sai số mắc phải khi giải một bài toán thực tế 14

3.2 Các loại đánh giá sai số phương pháp 15

BÀI TẬP 15

Chương 2 TÍNH GIÁ TRỊ VÀ XẤP XỈ HÀM SỐ 16

1 Tính giá trị hàm số 16

1.1 Thuật toán Hoocner tính giá trị đa thức 16

1.2 Tính hàm nhờ chuỗi lũy thừa 17

2 Bài toán nội suy hàm số 18

2.1 Đa thức nội suy Lagrange trên mốc không đều 18

2.2 Đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều 22

2.3 Đa thức nội suy Newton trên mốc không cách đều 23

2.4 Đa thức nội suy Newton trên mốc cách đều 27

2.5 Nội suy tổng quát (nội suy Hermit) 29

3 Xấp xỉ bình phương cực tiểu 30

3.1 Phương pháp chung 30

3.2 Một số dạng hàm cụ thể .30

BÀI TẬP 33

CHƯƠNG 3 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN 34

1 Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm 34

2 Phương pháp chia đôi 35

2.1 Mô tả phương pháp 35

2.2 Thuật toán tìm nghiệm xấp xỉ bằng phương pháp chia đôi 36

3 Phương pháp lặp đơn 37

3.1 Mô tả phương pháp 37

3.2 Cách chọn ϕ(x) thỏa điều kiện hội tụ của phương pháp lặp đơn 39

3.3 Thuật toán tìm nghiệm xấp xỉ bằng phương pháp lặp đơn 40

4 Phương pháp tiếp tuyến (Newton) 40

4.1 Mô tả phương pháp 40

4.2 Sự hội tụ của phương pháp 41

4.3 Thuật toán tìm nghiệm xấp xỉ bằng phương pháp Newton 42

5 Phương pháp cát tuyến 43

5.1 Mô tả phương pháp 43

5.2 Thuật toán tìm nghiệm xấp xỉ bằng phương pháp Cát tuyến 43

6 Phương pháp dây cung 44

6.1 Mô tả phương pháp 44

6.2 Sự hội tụ của phương pháp 44

BÀI TẬP 44

Chương 4 PHƯƠNG PHÁP SỐ TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 46

1 Đại số ma trận 46

1.1 Vectơ cột và vectơ hàng 46

1.2 Ma trận 47

2 Hệ phương trình đại số tuyến tính 50

2.1 Giới thiệu 50

2.2 Giới thiệu phương pháp Cramer 51

2.3 Phương pháp khử Gauss 52

2.4 Phương pháp Gauss-Seidel 55

2.5 Phương pháp giảm dư 59

2.6 Vấn đề ổn định của nghiệm của hệ phương trình 62

3 Tính gần đúng giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận 63

3.1 Giới thiệu 63

3.2 Ma trận đồng dạng 64

3.3 Tìm giá trị riêng bằng phương pháp Đa-nhi-lép-ski 64

3.4 Tìm vectơ riêng bằng phương pháp Đan-nhi-lep-ski 67

BÀI TẬP 69

Chương 5 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN 71

1 Tính gần đúng đạo hàm 71

1.1 Đạo hàm cấp 1 71

1.2 Đạo hàm cấp hai 71

2 Tính gần đúng tích phân 72

2.1 Giới thiệu bài toán 72

2.2 Công thức hình chữ nhật trung tâm 72

2.3 Công thức hình thang 74

2.4 Công thức Simpson (hay công thức Parabol) 76

2.5 Các thuật toán “hcn, ht, sim” tính gần đúng tích phân xác định 78

Chương 6 BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 79

1 Giới thiệu bài toán tối ưu tổng quát 79

1.1 Ví dụ mở đầu 79

1.2 Mô hình bài toán tối ưu tổng quát 79

1.3 Dạng chuẩn tắc và dạng chính tắc 80

2 Đặc điểm của tập các phương án của bài toán QHTT 81

2.1 Tập lồi và đa diện lồi 81

2.2 Đặc điểm của tập các phương án của bài toán QHTT 83

3 Thuật toán đơn hình giải bài toán QHTT 84

3.1 Đường lối chung của thuật toán 84

3.2 Các định lý cơ bản của thuật toán đơn hình 85

3.4 Thuật toán đơn hình 89

4 Tìm phương án cực biên ban đầu 94

4.1 Nhận xét 94

4.2 Định nghĩa ràng buộc chuẩn 95

4.3 Phương pháp phạt hay phương pháp bài toán M 96

BÀI TẬP 100

MỞ ĐẦU

1 Giới thiệu môn học Phương pháp tính

Có các tên gọi sau: Phương pháp tính (Computional methods), phương pháp số (Numerical methods), Giải tích số (Numerical analysis), rộng hơn nữa là Toán học tính toán (Computional mathematics, Numerical mathematics) (theo Bách khoa toàn thư về khoa học và kỹ thuật, NXB

Mc Graw Hill 1992)

Là một khoa học nghiên cứu cách giải gần đúng, mà chủ yếu giải bằng số (gọi là giải số) các phương trình, các bài toán xấp xỉ hàm số và các bài toán tối ưu hóa Một cách ngắn gọn là giải các bài toán bằng số trên máy tính

2 Phân biệt toán tính và toán lí thuyết

Toán lí thuyết quan tâm đến các vấn đề định tính của bài toán: tồn tại, duy nhất, tính chất nghiệm của các bài toán

Toán tính quan tâm đến xây dựng phương pháp, thuật toán để để tìm nghiệm bài toán trên máy tính

Thuật toán được xây dựng phải thỏa mãn yêu cầu về tính khả thi và tính ổn định

Một thuật toán là khả thi nếu nó thực hiện được trên máy tính Một thuật toán gọi là ổn định nếu sai số tính toán (do máy tính làm tròn số) không bị khuếch đại trong quá trình tính

Ví dụ 1 (tính ổn định) Giả sử cần tính tích phân

)1(

1 1

0

1 1

1)1

1 1

0

,2,1

0.0774 0.0718 0.0669 0.0627 0.0590

0.0555 0.0572 -0.0295 1.5596 -30.1924

635.0403 -13969.8864 321308.3881 -7711400.3133 192785008.8325

Kết quả giảm dần từ 0.3679 (khi n=1) đến 0.0555 (khi n=16)

Kết quả sau đó kết quả thay đổi thất thường và giá trị tuyệt đối tăng rất nhanh

Điều này hoàn toàn không phù hợp với lý thuyết vì theo lý thuyết thì I n →0 khi n→∞ do đó

.1

10

1

1 = ≈

e

I đã bị khuyếch đại trong quá trình tính

Nguyên nhân: thay vì

e

I1= ta thu được 1 ~I1 =I1 +δ , trong đó δ là sai số Giả sử các tính toán tiếp theo không mắc phải sai số Với n = 2 ta được

.22

)21()(21

~21

~

2 1

1 1

I

~ với sai số |~I n−I n |=n!δ Do đó, dù δ có bé thì khi n đủ lớn, sai số vẫn

đủ lớn và ta không thể nhận được giá trị chấp nhận được là gần đúng cho I n

Ví dụ 2 (tính khả thi) Cho hệ phương trình đại số tuyến tính

b

trong đó A là ma trận vuông cấp n với định thức khác 0

Về lý thuyết có thể giải hệ trên bằng công thức Cramer

∆

∆

= i i

trong đó ∆ =detA, còn ∆i nhận được từ ∆ do việc thay cột thứ i bởi cột tự do b Nhưng việc tính toán ra nghiệm bằng số cụ thể lại là một việc không đơn giản Theo công thức (2) cần phải tính n +1 định thức cấp n Mỗi định thức là tổng của n! số hạng, mỗi số hạng là tích của n thừa

số Do vậy, để tính mỗi số hạng cần thực hiện n – 1 phép nhân Như vậy, tất cả số phép tính nhân cần thực hiện trong (2) là Q = n!(n+1)(n-1)

Giả sử n = 20 Khi đó Nếu tốc độ của máy tính là 100 triệu phép tính/giây thì thời gian để thực hiện khối lượng tính toán trên là giờ = năm Một thời gian lớn vô cùng! Và như vậy, thuật toán nêu trên là hoàn toàn không khả thi dù máy tính có tăng tốc độ lên gấp hàng nghìn, hàng vạn lần

20

10

*7073.9

Ở trên ta mới chỉ xét việc giải một hệ cỡ 20, mà thực tế khoa học và công nghệ đòi hỏi phải giải các hệ phương trình đại số tuyến tính cỡ hàng vạn, hàng triệu hoặc hơn thế nữa Vì thế, cần phải nghiên cứu đề xuất các phương pháp hiệu quả để có thể giải được các hệ thống phương trình cỡ lớn Đó là một trong các nhiệm vụ của ngành Phương pháp tính

Chương 1 gồm các nội dung sau:

Các khái niệm cơ bản: số xấp xỉ (hay số gần đúng), sai số tuyệt đối và sai số tương đối, chữ số có nghĩa và chữ số đáng tin, cách viết số gần đúng, sai số quy tròn và quy tắc làm tròn để số còn lại gồm các số đáng tin;

Sự lan truyền sai số đầu vào dẫn đến sai số đầu ra x Æ f(x), từ đó tính được sai số của tổng, hiệu, tích, thương

Các loại sai số: giới thiệu các nguyên nhân dẫn đến sai số: sai số khi xây dựng mô hình hóa các đối tượng, sai số về phương pháp thực hiện, sai số do tính toán Và, cách đánh giá tiên nghiệm, hậu nghiệm đối với sai số

Chương 1 TÍNH GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ

1 Số gần đúng và sai số của nó

1.1 Số gần đúng và sai số

Định nghĩa 1.1 Số a được gọi là số gần đúng hay số xấp xỉ của số đúng A (tức giá trị đúng của

đại lượng cần quan tâm) và ký hiệu là a≈ A, nếu sai khác không đáng kể Nếu a A a< A thì được gọi là xấp xỉ thiếu, còn nếu thì được gọi là xấp xỉ thừa của

Thí dụ: Đối với số A= 2 thì a1 =1, 41 là xấp xỉ thiếu, còn a2 =1, 42 là xấp xỉ thừa vì

2 1, 4142135623 = ; đối với số 3,1415926535 π = thì 3,14 là xấp xỉ thiếu, còn 3,15 là xấp xỉ thừa

Định nghĩa 1-1.1 Số ∆ = − được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng |A a| a

Thông thường số đúng không biết nên ta cũng không biết chính xác sai số tuyệt đối của số gần đúng , mà chỉ có thể đánh giá nó Vì thế ta có thể xem đánh giá tốt nhất của ∆ là sai số

tuyệt đối giới hạn của , đó là số bé nhất có thể biết được, thỏa mãn điều kiện

A a

Ví dụ 1-1.1 Nếu coi a=3,14 là xấp xỉ của π thì sai số tuyệt đối là ∆ ≤a 0,002

Sai số tuyệt đối không phản ánh đầy đủ mức độ chính xác của phép đo hoặc tính toán Chẳng hạn, đo chiều dài của hai thanh sắt bằng cùng một thước đo ta nhận được các kết quả sau:

nhưng rõ ràng là phép đo thứ

Định nghĩa 2-1.1 Sai số tương đối của số gần đúng , ký hiệu bở

cm cm

Tuy sai số tuyệt đối của hai phép đo trên là như nhau (= 0,1 cm)

cm cm

l

1,05,

7

1,06,115

nhất chính xác hơn Để thể hiện điều đó ta đưa vào khái niệm sau

A

a A A

với giả thi là A≠0

Tuy nhiên, do số A và ∆ không biết nên trong thực hành ta sẽ chấp

a δadưới đây, gọi là sai số tương đối giới hạn của a

a a

++

++

++

m m

10.10

.10

10.10

1

0 0 1

1 1

α

αα

αα

α

α

(1-1.2)

trong đó αs là những số nguyên từ 0 đến 9, gọi là chữ số hàng thứ s của số a

Định nghĩa 2-1.2 Gọi là sai số tuyệt đối của số , chữ số hàng thứ s của số a được gọi là chữ số đáng tin (hay chữ số đúng) nếu sai số tuyệt đối của số a không vượt quá một nửa đơn vị của hàng thứ s (tức là

a

s

a 102

1

≤

∆ ), và gọi là chữ số nghi ngờ nếu sai số tuyệt đối của số a

không vượt quá một nửa đơn của hàng thứ s (tức là s

a 102

Từ định nghĩa trên suy ra rằng nếu αs là chữ số đáng tin thì mọi chữ số có nghĩa bên trái nó đều

là đáng tin, và nếu αs là đáng ngờ thì mọi chữ số bên phải nó đều là đáng ngờ Việc đánh giá các chữ số đáng tin và đáng ngờ của một số gấn đúng a không phụ thuộc vào bản thân các chữ số

đó mà phụ thuộc vào sai số tuyệt đối của a và vị trí của chúng

Ví dụ 2-1.2. Số gần đúng a = 3.7284 với ∆ = 0.0047 có 3 chữ số đáng tin là 3, 7 và 2, còn các achữ số 8 và 4 là đáng ngờ

1.3 Cách viết số gần đúng

Có hai cách viết số gần đúng

Cách 1: Viết kèm theo sai số a±∆a

Cách này thường dùng để viết các kết quả đo đạc, thực nghiệm, trong đó là sai số của thiết

1.4 Sai số làm tròn

Khi thực hiện các tính toán nếu số có quá nhiều chữ số trong biểu diễn thập phân, chẳng hạn

=3.14151926535, thì để cho thuận tiện người ta thu gọn số này bằng cách bỏ bớt một số chữ

số cuối để được một số

a a

θ = − được gọi là sai số làm tròn

Dưới đây là quy tắc làm tròn số nhằm bảo đảm cho sai số làm tròn không vượt quá nửa đơn vị của chữ số cuối cùng được giữ lại:

• Nếu bỏ đi nhiều chữ số khác 0 và chữ số bỏ đi đầu tiên ≥ 5 thì thêm vào chữ số giữ lại cuối cùng một đơn vị, còn nếu chữ số bỏ đi đầu tiên < 5 thì để nguyên chữ số giữ lại cuối cùng

• Nếu chỉ bỏ đi một chữ số 5 thì chữ số được giữ lại cuối cùng nếu là chữ số lẻ thì tăng thêm 1, còn nếu là chẵn thì giữ nguyên

Ví dụ 1-1.4. Đối với số =3.14151926535 ta làm tròn thành 3.141519, 3.14152, 3.1415, 3.142, 3.14 nếu cần giữ lại 6, 5, 4, 3 hoặc 2 chữ số sau dấu chấm thập phân Sai số làm tròn tương ứng không vượt quá

=| A-a’| = | A-a +a-a’| ≤ | A -a| + | a - a’| ≤

Ví dụ 3-1.4 Cho a = 0.35 với =0.003 Do đó các chữ số 3 và 5 là đáng tin Sau khi làm tròn thành a’ = 0.4 ta có = a

ra là biết sai số của π và d, liệu ta có thể tính được sai số của V không Một cách tổng quát, vấn đề đặt ra là sai số của các dữ liệu đầu vào lan truyền và dẫn đến sai số của kết quả tính toán như thế nào?

Để giải quyết vấn đề này xét hàm số u của 2 biến số x và y:

u = f(x,y) Giả sử x là xấp xỉ của giá trị đúng X, y là xấp xỉ của giá trị đúng Y và ta coi u là xấp xỉ của giá trị đúng u = f(X,Y) Biết sai số về x và y, hãy tính sai số của u

Ký hiệu ∆x = x - X là số gia của x, còn dx là vi phân của biến x

Theo định nghĩa về sai số tuyệt đối, ta có | ∆x | ≤ ∆x

Theo công thức vi phân của hàm nhiều biến ta có:

y x

u

y

u x

u

∆

∂

∂+

Chú ý: Công thức (1-2.1) là công thức quan trọng để tính sai số của hàm hai biến u = f(x,y) bất

kỳ dựa vào đạo hàm riêng của từng biến Công thức (1-2.1) được sử dụng trong việc chứng minh các công thức tính sai số của tổng, hiệu, tích thương biểu diễn hàm hai biến

2.2 Sai số của tổng

Cho u = x y.±

Ta có

Như vậy, sai số tuyệt đối của một tổng đại số bằng tổng các sai số tuyệt đối của các số hạng

Ví dụ 1-2.2 Giả sử x = 3.6 và y = 6.4 là hai số đã được làm tròn Tính tổng của chúng và xác định sai số của tổng thu được

Giải. Vì x và y đã được làm tròn đến một chữ số sau dấu chấm thập phân nên sai số tuyệt đối của chúng là ∆ = x ∆ = 0.05 Do đó u = x + y =3.6 + 6.4 =10.0 với sai số tuyệt đối là ∆y u = ∆x +

y

∆ = 0.05 + 0.05 = 0.1, tức là u = 10 ± 0.1

Chú ý: Xét trường hợp u = x - y và x, y cùng dấu Lúc đó ta có

y x

y x u

u

∆+

Ta thấy rằng nếu | x -y | rất bé thì sai số tương đối rất lớn

Ví dụ 2-2.2 Giả sử x = 15.29 và y = 15.14 là hai số đã được làm tròn Xác định sai số tương đối của x, y và của hiệu hai số trên

Giải. Ta có hiệu u = x - y = 15.29 -15.14 = 0.15 Do x và y đã được làm tròn đến 2 chữ số sau dấu chấm thập phân nên sai số tuyệt đối của chúng là ∆x = ∆y = 0.005 Vì thế sai số tuyệt đối của hiệu là ∆u = ∆ + ∆x y = 0.01 Do đó sai số tương đối của hiệu là δu =∆u/ |u| = 0.01/ 0.15 = 0.066 trong khi sai số tương đối của x và y tương ứng là 0.000327

29.15

005.0

000330

014.15

(

1)

200201

(

)200201

)(

200201

(

+

=+

∆u = y∆x+ x∆y

Do đó

y x

u

y x

Ta có quy tắc sau:

Sai số tương đối của một tích bằng tổng các sai số tương đối của các thừa số của tích

Ví dụ 1-2.3. Giả sử X và Y là hai cạnh của một hình chữ nhật mà độ dài của chúng (tính bằng cm) được làm tròn đến một chữ số sau dấu chấm thập phân là 15.6 và 8.2 Hỏi giá trị thực sự của diện tích của hình chữ nhật nằm trong khoảng nào?

Giải: Ký hiệu x = 15.6, y = 8.2 Như vậy x là giá trị gần đúng của X và y là giá trị gần đúng của

Y với sai số tuyệt đối là 0.05 Do đó sai số tương đối của chúng là

0061.02.8

05.0,

0032.0

*92.127

|

=

∆u u δu Do đó, X *Y =127.92±1.19, tức là giá trị thực sự của diện tích của hình chữ nhật nằm trong khoảng từ 126.73 đến 129.11

2.4 Sai số của thương

y

u

∂

∂ = 2

x

y y

x y

∂

∂ ∆x

n Suy ra

n x n x

x u

x

u x

u x

u

∆

∂

∂++

∆

∂

∂+

(1-2.5)

Ví dụ 1-2.5. Tính sai số tuyệt đối và sai số tương đối của thể tích hình cầu:

V = (1/6)πd3

nếu cho đường kính d = 3.7 ± 0.05 cm và π = 3.14 ± 0.0016

Giải Xem π và d là đối số của hàm V, áp dụng (1-2.4) và (1-2.5) ta có

δV = δπ + 3δd (Hệ số 1/6 không ảnh hương đến sai số tương đối)

3.1 Các loại sai số mắc phải khi giải một bài toán thực tế

Như đã biết, để nghiên cứu một đối tượng thực tế, chẳng hạn một đối tượng vật lý như dòng chảy trong sông, hiện tượng dẫn nhiệt trong một thanh vật chất, hay một đối tượng kinh tế-xã hội, người ta thường xây dựng mô hình toán học của đối tượng và nghiên cứu đối tượng thông qua

mô hình Do tính chất phức tạp của đối tượng nên người ta không thể đưa hết tất cả các yếu tố liên quan vào mô hình, mà buộc phải loại bỏ những yếu tố không quan trọng và ảnh hưởng ít đến đối tượng Kết quả là người ta chỉ nhận được mô hình toán học phản ánh gần đúng đối tượng cần

nghiên cứu Sai số mắc phải trong quá trình này gọi là sai số mô hình

Khi đã có mô hình toán học, thường là các phương trình vi phân, tích phân hoặc phương trình đại số, người ta phải giải nó Nói chung người ta không nhận được lời giải đúng của một bài toán

mà chỉ có thể nhận được lời giải gần đúng bằng một phương pháp nào đấy, thí dụ phương pháp

lặp giải phương trình phi tuyến, phương pháp hình thang tính tích phân, Sai số mắc phải khi

phải giải một bài toán bằng phương pháp gần đúng được gọi là sai số phương pháp Đây là loại

sai số mà chúng ta cần quan tâm khi nghiên cứu các phương pháp gần đúng (giải tích hoặc số trị)

vì sai số này phản ánh chất lượng của phương pháp và thông qua nó có thể đánh giá được khối lượng tính toán cần thiết để có được lời giải với một độ chính xác cho trước

Sau khi đã có phương pháp hoặc thuật toán giải một bài toán cần phải thực hiện nó trên máy tính

để có được lời giải số Trong quá trình tính toán bằng số này không thể tránh khỏi việc làm tròn

số Sai số xảy ra trong công đoạn này được gọi là sai số tính toán

Một loại sai số nữa có thể mắc phải khi giải một bài toán thực tế là sai số dữ liệu khi các dữ liệu

đầu vào của bài toán nhận được bằng các phép đo đạc hoặc quan sát thực nghiệm hoặc là lời giải gần đúng của một bài toán khác

3.2 Các loại đánh giá sai số phương pháp

Sai số của một phương pháp số có thể được đánh giá tiên nghiệm hoặc hậu nghiệm

Đánh giá sai số tiên nghiệm là đánh giá sai số nhận được trước khi thực hiện tính toán Thí dụ,

để giải một phương trình phi tuyến bằng một phương pháp lặp đơn (xem Chương 3) ta có thể đánh giá được sai số của nghiệm gần đúng nhận được sau n lần lặp theo công thức

0 1

*

q x

trong đó 0< q< 1, x* là nghiệm đúng, x0 là xấp xỉ ban đầu

Đánh giá sai số hậu nghiệm là đánh giá sai số nhận được sau khi tính toán được nghiệm Thí

dụ, sau khi tính được xn theo phương pháp lặp đơn (xem Chương 3) ta có đánh giá hậu nghiệm

x

BÀI TẬP

1. Khi xác định hằng số khí của không khí, nhận được R =29.25 Hãy xác định các giới hạn của R biết sai số tương đối giới hạn của R là 1%

2 Đo trọng lượng của 1 dm3 nước ở 00 C nhận được: p = 999.847g ± 0.001g

Hãy xác định sai số tương đối của phép đo trên

3. Cho số e = 2.718281828459045 Hãy quy tròn số e đến chữ số có nghĩa thứ 13, 12 và

11 và xác định sai số quy tròn tuyệt đối

4. Lấy a=2.718 thay cho số e Hãy xác định sai số tương đối

5. Hãy quy tròn các số dưới đây (xem là đúng) với ba chữ số có nghĩa đáng tin và xác định sai số tuyệt đối ∆ và sai số tương đối δ của chúng:

c) 0.01204 d) - 0.00152281

Chương 2 TÍNH GIÁ TRỊ VÀ XẤP XỈ HÀM SỐ

1 Tính giá trị hàm số

1.1 Thuật toán Hoocner tính giá trị đa thức

a) Giới thiệu thuật toán

Cho đa thức p(x) bậc n có dạng tổng quát:

n n n

x b c

a b

k k k

k

0 0

(2-1.1)

Hệ (2-1.1) cho thấy chỉ cần tính n phép nhân và n phép cộng và các số hạng tham gia tính toán

bé hơn phương pháp tính trực tiếp

b) Sơ đồ tính bằng tay

Để tính bằng tay, ta biểu diễn (2-1.1) dưới bảng sau

1.2 Tính hàm nhờ chuỗi lũy thừa

Nếu hàm số y = f(x) dễ tính đạo hàm mọi cấp tại x = x0 và biểu diễn hàm dưới dạng chuỗi Taylor dưới đây hội tụ :

)(

!

)()

x f x

x f x

f

0

0 0

) (

)(

!

)()

và ước lượng sai số là :

1 0

) 1 (

)!

1(

)()

+

−+

n

c f x

R hoặc trực tiếp ước lượng từ phần dư của chuỗi

trong đó c là điểm nào đó giữa x và x0

)()

(

!0

)()

0 0

1 0 0

) 1 ( 0 0 0

) 0

(

x f x x x f x x x f x x x f

x

Thay vào ta có sin 360 = sin (π/ 6 + π/30) = sin (π/6) + (π/30) cos (π/6) + R1

= 1

2

3.302

1

R

++ π

2

302

2 Bài toán nội suy hàm số

Một trong các bài toán cơ bản của giải tích số là nội suy hàm số Bài toán này thường gặp trong các trường hợp sau :

i) Cần phục hồi hàm số ) đối với mọi điểm x thuộc khoảng [a, b] nếu chỉ biết giá trị của nó tại một số điểm Những giá trị này thường là các giá trị quan sát, hoặc đo đạc được

(x f

],[, ,, 1

2

)sin(

)()

(

x x

xt e

t x x

iii) Ngoài ra, nội suy hàm số còn được sử dụng để xây dựng các công thức tính đạo hàm, tính tích phân số hoặc tìm gần đúng nghiệm của phương trình

Bài toán nội suy hàm một biến số được phát biểu như sau: Trên đoạn [a, b] cho tập các điểm

nút a≤ x o< x1< <xn ≤ b và tại các điểm này cho các giá trị y i = f(x ),(i 0,n) àm f (x) xây dựng hàm g (x) d ính toán và trùng với hàm f ại các điểm nút trên tức là

),0(

- Hàm hữu tỉ, tức là phân thức đại số

- Đa thức lượng giác

- Hàm ghép trơn (spline), tức là hàm đa thức từng mẩu

Trong chương này chúng ta chỉ tập trung vào nội suy bởi đa thức đại số - một công cụ nội suy kinh điển và một phần về nội suy bởi hàm ghép trơn - công cụ nội suy hiện đại Các dạng nội suy khác sẽ chỉ được giới thiệu qua Nếu không nói rõ hơn ta sẽ ngầm định hiểu đa thức là đa thức đại số

2.1 Đa thức nội suy Lagrange trên mốc không đều

2.1.1 Thiết lập đa thức nội suy Lagrange

Đa thức nội suy Lagrange của hàm y = f(x) tại các điểm mốc xi ∈ [a, b] (i=0 n, ) cho bởi công thức sau:

n x f x l x

L

1

)()()

i i

i i i i

n i

i

x x x

x x

x x x x x

x x x

x x x x x x

l

0 1

1 0

1 1

0

)) (

)(

) (

(

)) (

)(

) (

()

(Tử số khuyết nhân tử (x - xi), mẫu số khuyết nhân tử (xi - xi))

Ta thấy Ln(x) thỏa mãn điều kiện nội suy

),0(),()

j i x

l i j ij

,0

,1)

Vì khi i = j, thay x ở tử số bởi xi thì tử số giống mẫu số Khi i ≠ j thì trên tử số có số hạng dạng (xj - xj) = 0 (lưu ý rằng tử số chỉ khuyết số hạng xj-xi) Thay (4-2.1) vào (1-2.1) ta thu được (4-2.1)

Xét hai trường hợp đơn giản của đa thức nội suy Lagrange

a) Nội suy Lagrange bậc nhất

Nội suy bậc nhất còn gọi là nội suy tuyến tính

Khi n = 1, ta có hai mút nội suy x0và x1, và

0 1

0 1

1 0

1 0

x x

x x x f x x

x x x f

x

L

−

−+

−

−

b) Nội suy Lagrange bậc hai

Khi n = 2 ta có ba nút nội suy x0, x1 vµ x2và

))(

(

))(

()())(

(

))(

()())(

(

))(

()()

(

1 2 0 2

1 0

2 2

1 0 1

2 0

1 2

0 1 0

2 1

0 2

x x x x

x x x x x f x x x x

x x x x x f x x x x

x x x x x f x

−

−

−

−+

7)6

12

1)(

02

1(

)6

1)(

0(.1)2

16

1)(

06

1(

)2

1)(

0(.2

1)2

10)(

6

10

(

)2

1)(

6

1(

x x

−

−

−

−+

1,

12

)1(3)1)(

1(6

)1(

)01)(

11(

)0)(

1(.3)1.(

1

)1)(

1(.1)11.(

1

)1(.3

1)

(

2

2

++

=

++

−+

−

−

=

−+

−++

−

−++

x x

x x

x

x x x

x x

x x

L

Để tính 3 =31 / 2 ta xấp xỉ 3 2

6

11)2

1(

1(

)()

) 1 (

x n

f x

x, 0,K,]

,

[ b a

∈

,)()!

1()()

n

M x

L x

Tính gần đúng sin 3π nhờ đa thức nội suy và đánh giá sai số

Giải Đa thức nội suy hàm y=sin x xây dựng theo các điểm đã cho là

.)42

(2

)4

(.1)24

(4

)2

(.707,0)

(

ππ

ππ

π

−

−+

sinπ ≈ 2 π ≈

L

Theo công thức (8-2.1)

.)3

(

!3

)3

(3

2

πωπ

('''max

2 0 2

y M

x

.2162

3

.433

)3

3

πππππππ

ω = − − =

2166

1)3

(3

Chú ý Công thức đánh giá sai số (4.8) được thiết lập với giả thiết Nếu điều

kiện trên không thoả mãn, tức là khi hàm không có đủ độ trơn cần thiết thì ta không thể nói

gì về sai số nội suy cả Trong trường hợp này cần phải xem xét bài toán cụ thể

]

,[)

Ví dụ 4-2.1. Cho hàm f (x)bởi công thức f (x)= x

Khi đó đa thức nội suy hàm f (x)tại các điểm x0 =−1,x1 =0,x2 =1 là đa thức

max)

()(

1

2 1

x

2.1.2 Thuật toán nội suy Lagrange

Bài toán: Cho bảng các giá trị (x i,y i), (i=0,n) Tính giá trị của đa thức nội suy LagrangeL n (x)tại điểm x cho trước theo công thức

j i

j i

n

x x

x x y x

L

y

0 0

2.2 Đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều

Giả sử hàm f(x) nhận các giá trị yi tại các điểm tương ứng xi (i=o,n) cách đều một khoảng h

))1((

))1((

)1(

1 1

1

0

n t h x

x

i t h x

x

i t h x

x

t h x

x

t h x

)1(

1 1

1 0

i n h x x

h x

x

h x x

i h x x

i h x x

n i

i i

i i

i i

.2.1.)1.(

1)

1(

))) (

1())(

1() (

1()( 0

i n i

i

n t i

t i t t

t ht x

1()

t ht

x

Vậy công thức nội suy Lagrange (1-2.1) trong trường hợp mốc cách đều một khoảng h có dạng :

x f n

t t

t ht x

1()

i t

C x f n

n t t

t ht x

L

0

1 0

)(

)()1(

!

)) (

1()

452

)2)(

1(

2

.11

20

5

!2

)2)(

2 2

1 2

0 2 2

+

−

=+

t

t t t

t t

t

t

C t

C t

C t

t

t

t

L

2.3 Đa thức nội suy Newton trên mốc không cách đều

Đa thức nội suy Lagrange (1-2.1), như ta đã thấy rất đơn giản và dễ tính nếu các nút nội suy đã được cố định Nhưng nếu như ta bổ sung thêm nút nội suy thì quá trình tính lại phải thực hiện lại

từ đầu Đây là nhược điểm rất lớn của đa thức nội suy Lagrange Để khắc phục nhược điểm này người ta tính đa thức nội suy theo một cách khác hiệu quả hơn Đó là công thức nội suy Newton

Để xây dựng công thức này, ta cần đến khái niệm tỷ sai phân đối với các mốc không đều và khái niệm sai phân đối với mốc cách đều

2.3.1 Khái niệm tỷ sai phân

Giả sử f (x) là một hàm số xác định và liên tục trong đoạn [ ]a, b Tiếp theo giả sử a=x0 <x1 < < x n=b là tập các điểm nút, tại đó cho trước giá trị của hàm

Ta định nghĩa:

- Tỷ sai phân bậc 0 của hàm f (x) tại là x i f(x i)

- Tỷ sai phân bậc 1 của hàm f (x)tại vàx i x jlà

j i

j i

j i

x x

x f x f x x f

−

−

),(

- Tỷ sai phân bậc 2 của hàm f (x) tại ,x i x j,x klà

k i

k j j

i k

j i

x x

x x f x x f x x

(

- Một cách tổng quát, tỷ sai phân bậc k của f tại x0,x1, ,x k+1là

k k

x x x f x x x f x x x

1 0 1

0

), ,,(), ,,(), ,,

(

Dễ thấy rằng tỷ sai phân có các tính chất sau:

i) Thứ tự các nút trong tỷ sai phân có thể đảo ngược, chẳng hạn

),

(x i x j

f = f(x j,x i),

),,

(x i x j x k

f = f(x k,x j,x i), ,

)

, ,,

(), ,,

và tỷ sai phân bậc n + 1 của Pn(x) là đa thức = 0 Kết luận này dễ chứng minh dựa vào định lý Bezout

), ,,,

n x x x x P

2.3.2 Đa thức nội suy Newton trên mốc không cách đều

Từ định nghĩa các tỷ sai phân suy ra

),,()

()()

(x P x0 x x0 P x x0

0

0 0

)()(),(

x x

x p x p x x

(),(),

(x x0 P x0 x1 x x1 P x x0 x1

1

1 0 0

1 0

),(),(),,(

x x

x x P x x P x x x P

−

−

=)

,,,()

(),,(),,

(x x0 x1 P x0 x1 x2 x x2 P x x0 x1 x2

), ,,()

(), ,(

), ,,

( 0 n−1 = n 0, 1 n−1 − − n−1 0 n−1

P

), ,,()

(), ,,(), ,,

), ,(

0)

(), ,

)(

(

)

,,())(

(),()()()

(

1 0 1 1

0

2 1 0 1 0

1 0 0 0

n n

n

n n

n n

x x x P x x x x x x

x x x P x x x x x x P x x x P x

−+

=

(1-2.3)

Bây giờ, nếu là đa thức nội suy của hàm P n (x) f (x) tại các nút x0,x1, ,x n tức là

),(

)(

(

)

,,())(

(),()()()

(

1 0 1 1

0

2 1 0 1 0

1 0 0 0

n n

n

x x x f x x x x x

x

x x x f x x x x x x f x x x f x

−+

hay

i i

P

1

1 0 1 1

0

()

Đa thức dạng (2-2.3) hay (3-2.3) được gọi là đa thức nội suy Newton (tiến) xuất phát từ

nút Nó trùng với đa thức nội suy Lagrange (vì đa thức nội suy là duy nhất) nhưng được viết trong dạng khác

Nhận xét 2 Sau khi đã tính được các tỷ sai phân, để tính đa thức nội suy Newton một cách hữu hiệu người ta thường dùng lược đồ Horner

[ ( , ) ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ]

)()

(

)

(x = f x0 + x−x0 f x0 x1 + x−x1 f x0 x1 x2 + x−x2 f x0 x3 +

P

2.3.3 Đánh giá sai số của nội suy Newton mốc không đều

Từ định nghĩa của các tỷ sai phân viết cho hàm , tương tự như trong tiểu mục trước, có thể thu được

)

(x f

), ,,,()) (

(), ,,()) (

(

)

,,())(

(),()()()

(

1 0 0

1 0 1 0

2 1 0 1 0

1 0 0 0

n n

n

x x x x

x x x f x x x x x x f x x x f x

f

−

−+

−+

=

−

Để ý đến (2-2.3) ta viết được

), ,,,()()

()

(x P n x n 1 x f x x0 x1 x n

Từ đây suy ra biểu diễn sai số của đa thức nội suy Newton

), ,,,()()

()

2.3.4 Sơ đồ tính tỷ sai phân và đa thức newton mốc không đều

Để tính các tỷ sai phân (t.s.p) trong công thức của đa thức nội suy Newton (4.3.2) người ta lập bảng sau (thí dụ cho n=4)

Ví dụ 1-2.3 Cho bảng giá trị của hàm số y= f (x)

x 0 2 3 5 6 f(x) 1 3 2 5 6 1) Xây dựng đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút x0 = 0 của hàm số

y=)

25.1(

)(

)(

(

),,,())(

)(

(

),,())(

(

),()()()

(

4 3 2 1 0 3 2

1 0

3 2 1 0 2 1

0

2 1 0 1 0

1 0 0 0

4

x x x x x f x x x x x x x

x

x x x x f x x x x x

x

x x x f x x x

x

x x f x x x f x

=

.160

413120

60160

73120

11

)120

11()5)(

3)(

2(10

3)3)(

2()3

2()2(11)

(

2 3

4

4

++

−+

⋅

−

−+

−

⋅

−+

⋅+

=

x x

x x

x x x x x

x x x

x x x

P

2) Khi đó f(1.25)≈ P4(1.25)=3.9312

2.3.5 Thuật toán nội suy newton trên mốc không đều

Nhìn vào bảng tỷ sai phân và công thức nội suy Newton (3-2.3) dễ thấy rằng việc tính giá trị của

n tại điể x có thể mô tả bởi đoạn mã sau:

đa thức Newto m

),0(i= n

2.3 y = y + tich * f0;

2 return y;

2.4 Đa thức nội suy Newton trên mốc cách đều

Giả sử các nút nội suy x cách đều nhau một khoảng là h, tức là i x i = x0 +ih, (i=1,n) Trong

thức nội suy trở nên dễ dàng hơn nhờ các sai phân

â

ho các giá trị của hàm Ta định nghĩa sai phân cấp một của hàm

nh :

à

trường hợp này việc tính đa

2.4.1 Khái niệm sai ph n

sau

• Sai phân cấp một tại nút x l i ∆f i = f i+1− f i

2 / 1 1

2 /

i i i

i i i

i i i i

h x x x

1 0

f f f f f x x

h i x x x

f

!), ,,

( 0 1 = ∆i f0

),1

2.4.2 Đa thức nội suy Newton trên mốc cách đều

Trong công thức của đa thức nội suy Newton (2-2.3) hoặc (3-2.3) ở mục trước biểu diễn tỷ sai phân qua sai phân theo công thức (1-2.4) và đặt x = x0 + t.h ta thu được

∆

−+

∆+

=+

n

0

!Đây chính là công thức của đa thức nội suy Newton trên mốc cách đều (th

i

n n

f i

t t

t f

f n

n t t

t f

t t f t f th

x

0 0 0

)1) (

1(

!

)1) (

1(

!2

)1()

Sai số (hay phần dư) của đa thức nội suy này đã chứng minh được có dạng

nội suy hàm số đối với những giá trị của x ở vùng đầu bảng

2.4.3 Đánh giá sai số của nội suy Newton mốc cách đều

1 )

1 ( 0

)!

1(

)()

()

+

−

−+

=+

2.4.4 Sơ đồ tính sai phân với mốc cách đều

Để tính các sai phân tiến làm hệ số trong đa thức Newton ta lập bảng các sai phân (thí dụ cho n = 4)

Giải Lập bảng các sai phân

1()1(

66

)2)(

1(22

)1()1(1)

(

3

−

−+

−+

⋅

−+

−

⋅+

=

t t t t

t t

t t t t

t t

t

P

1

Vì thế f(1/2)≈ P3(1/2)=0,625

2.4.5 Thuật toán nội suy newton trên mốc cách đều

Dưới đây là tính giá trị của hàm cần nội suy tại điểm x thuộc các mốc nội suy Khác với tính đa thức Newton trên lưới không đều, ở đây ta chỉ cần một mảng fi (i =0,n) Từ bảng sai phân và công thức nội suy Newton (2-2.4) ta đi đến đoạn mã giả sau

input: x0 , x, h, f i (i=0,n)

output: y là giá trị của hàm tại điểm x

Algorithm:

2.3 y = y + tich * f0;

3 return y;

2.5 Nội suy tổng quát (nội suy Hermit)

Mục này giới thiệu sơ lược bài toán nội suy đa thức cho hàm số một cách tổng quát

Giả sử trên đoạn [a, b] thuộc miền xác định của hàm số f x cho ( ) m+1 nút phân biệt

0, , ,1 m

x x x và giả sử tại các nút đó ta biết các giá trị của hàm số và giá trị của đạo hàm của nó

đến một cấp nào đó (cấp cao nhất của đạo hàm tại mỗi nút có thể khác nhau) Chẳng hạn,

Số được gọi là bội của nút k i x i i ( =0,1, , ).m

Giả sử rằng tổng bội của tất cả các nút là k0+ + +k1 k m = + Cần xây dựng đa thức n 1.bậc sao cho

( )

n

H x n

),0,,0()()

)

(

i i

j n

k

k k

)()()!

1(

)()

(

)

1 0

) 1 (

b a x

x x

x x x n

f x

H

x

m k

k n

1

1 0 1

a a

a

đạt min Điều kiện cực trị của hàm S là

m i

a

S

i

, ,0,

(1-3.2)

1

),

0)1(2

1

1

i n

n

i

i i

x bx a y

bx a y

=+

i i

y x b

x a

x

y b

x na

1 1

2 1

1 1

)(

)(

)(

0)(2

0)1(2

1

2 2 1

2 1

2

n i

i i i i

i n

n i

i i i

x cx bx a y c

S

x cx bx a y b

S

cx bx a y a

S

Rút gọn ta được

=+

+

=+

i i n

i i n

x b

x a

x

y x c

x b

x a

x

y c

x b

x na

1

2 1

4 1

3 1

2

1 1

3 1

2 1

1 1

2 1

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

Y

4.35 3.93 0.92 0.89

Áp dụng công thức (6-4.6) ta có hệ

)(

)(

i i i i

i i

i

i

i i

i

Y X B

X A

X

Y B

X nA

⎩

⎨

⎧

=+

=+

92.093

.335

4

89.035

.45

B A

B A

Giải hệ trên ta được A = -0.69, B= 1 Do đó a = eA = 1/2, b = B = 1

Vậy đa thức nội suy là g(x) = e x

2

1

a) f(x)= cos(x) trên đoạn [0, π/2], 12ξ =π/

b) f(x)=xcos(x) trên đoạn [0, π/2], ξ =π/6

c) f(x)=2x trên đoạn [-1, 1], ξ = 0.5

d) f(x)=ex trên đoạn [-1, 1], ξ = 0.5 (cho e≈2.7183)

3 Cho 3 x bởi bảng sau

Dùng đa thức nội suy Newton trên lưới đều tính 3 8.5 và đánh giá sai số

4. Dân số của một quốc gia qua điều tra được cho trong bảng sau

Dân số (triệu

người)

45 50.5 54 60.5 64

Hãy ước lượng dân số của quốc gia này năm 1975

5. Tìm đa thức bậc ba nội suy tốt nhất cho hàm :

(i) f(x)=2x trên đoạn [-1, 1] (ii) f(x)=sin(x) trên đoạn [0, π /2]

CHƯƠNG 3 GIẢI GẦN ĐÚNG

PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

1 Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm

Cho f(x) là một hàm số xác định và liên tục trong miền D của trục số thực Xét phương trình:

Ta gọi x* ∈ D là nghiệm của phương trình (1-1) nếu f(x*) = 0

Định nghĩa 1-1 Nếu khoảng (a, b) chỉ chứa một nghiệm x* của phương trình (1-1) thì ta gọi khoảng (a, b) là khoảng phân ly của nghiệm x*

Định lý 1-1 Về sự tồn tại nghiệm

Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn kín [a, b] và nhận giá trị trái dấu tại các điểm mút a và b, tức là f(a)f(b) < 0 Khi đó trong khoảng (a, b) tồn tại ít nhất một điểm x* sao cho f(x*)=0

Định lý 2-1 Về sự tồn tại duy nhất nghiệm

Nếu hàm f(x) liên tục và đơn điệu (tăng/giảm) trong khoảng [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì (a, b) là khoảng phân ly của một nghiệm của phương trình f(x) = 0

Một phương trình có thể có nhiều nghiệm số (thực) Trước khi đi tìm xấp xỉ các nghiệm này ta cần phải phân ly chúng, nghĩa là tìm các khoảng sao cho mỗi khoảng chỉ chứa một nghiệm Phân

ly nghiệm của phương trình có thể thực hiện bằng hai phương pháp: phương pháp giải tích và phương pháp đồ thị

Phương pháp giải tích dựa trên việc khảo sát sự biến thiên của hàm số và định lý 2-1

Ví dụ 1-1 Xét phương trình

026)

Ví dụ 2-2.1 Xét phương trình

f(x) = 2x - cos x = 0 (2)

Ta có f’(x) = 2 + sin x > 0 và f(0) = - 1, f(1) = 2 - cos 1 > 0 Do đó (0, 1) là khoảng phân ly của nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Phương pháp đồ thị tìm khoảng phân ly của các nghiệm của phương trình f(x) = 0 dựa trên việc

xác định các khoảng chứa các điểm cắt của đồ thị của hàm số y = f(x) với trục hoành hoặc hoành

độ của các điểm cắt nhau của hai đồ thị g(x), h(x) nếu phương trình g(x) = h(x) tương đương với phương trình đã cho

Ví dụ 3-1 Lại xét phương trình (2) Đặt g(x)

= x và h(x) = (1/2)cos x Nhìn vào hình vẽ ta

thấy khoảng phân ly của nghiệm duy nhất của

phương trình (2) là (0, π/2)

Nếu khoảng phân ly (a, b) của một nghiệm x*

của phuơng trình là khá nhỏ thì ta có thể coi

điểm bất kỳ trong khoảng này là xấp xỉ của

x*

Một cách thông dụng để thu hẹp khoảng phân

ly của nghiệm là phương pháp chia đôi được trình bầy dưới đây

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Giả sử (a, b) là khoảng phân ly của nghiệm x* của phương trình f(x) Ta sẽ thu hẹp khoảng phân

ly của x* bằng cách liên tiếp chia đôi khoảng phân ly mới tìm được cho đến khi độ rộng của khoảng phân ly nhỏ hơn sai số ε cho trước

Bước 1 Đặt a0 = a, b0 = b;

Bước 2 Lặp các công việc sau đây:

2.1 Chia đôi khoảng [a0, b0] bởi điểm giữa

2

0 0 0

b a

=

2.2 Xử lí một trong 3 khả năng sau sẽ xảy ra

(i) Nếu f(x0) = 0 thì x0 là nghiệm x* cần tìm

(ii) Nếu f(x0).f(a0) < 0 thì nghiệm nằm trong khoảng (a0, x0), do đó ta đặt a1 = a0,

b1 = x0

(iii) Nếu f(x0).f(b0) < 0 thì nghiệm nằm trong khoảng (x0, b0), do đó ta đặt a1 = x0,

b1 = b0 Như vậy sau lần chia đôi thứ nhất hoặc ta thu được nghiệm đúng x0 hoặc ta thu hẹp được khoảng phân ly thành [a1, b1] với độ rộng

2

1 1 1

a b a b

2.3 Quay trở lại bước 2.1 để tiếp tục quá trình chia đôi, sau n lần chia đôi hoặc ta thu được xn-1 là nghiệm đúng hoặc ta thu được khoảng phân ly (an, bn) với độ rộng

n n n n

a b a b

là nghiệm gần đúng Khi

n n

Rõ ràng là dãy số xn tiến dần đến x* khi n Æ ∞ tức là phương pháp chia đôi hội tụ

Nhận xét. Phương pháp chia đôi sử dụng rất ít thông tin về hàm f(x) (chỉ cần dấu của hàm) nên

;1,

1,

75,0758

,0)(,8513

ε Quá trình lặp được thể hiện qua bảng sau đây:

2.2 Thuật toán tìm nghiệm xấp xỉ bằng phương pháp chia đôi

Ouput: nghiệm gần đúng x0 của phương trình f(x) = 0

Algorithm:

Bước 1: Gán c = (a + b)/2;

Bước 2: Lặp quá trình sau đây khi (b-a) > ε

2.1 Nếu f(c) = 0 thì gán x0 := c và kết thúc lặp, ngược lại làm bước 2.2 2.2 Nếu f(a)f(c) < 0 thì gán b := c

Nếu không thì gán a := c Bước 3: In ra nghiệm x0 = c;

Định lý 1-3.1. Về sự hội tụ của phương pháp lặp

Giả sử ϕ(x) là hàm khả vi trên đoạn [a.b] và thoả mãn các điều kiện sau:

i) Phương trình (1-3.1) có nghiệm duy nhất x* ∈ (a, b)

ii) Quá trình lặp (2-3.1) hội tụ và có ước lượng

1

11

11

Để đặc trưng cho tốc độ hội tụ của các phương pháp lặp dưới đây chúng ta đưa ra khái niệm về

cấp hội tụ của phương pháp

Định nghĩa 1-3.1. Ta nói một phương pháp lặp giải phương trình có cấp hội tụ α nếu

- sai số tiên nghiệm của xấp xỉ thứ n là đại lượng cấp α của sai số xấp xỉ thứ n - 1, nghĩa là,

Ví dụ 1-3.1. Tìm gần đúng nghiệm của phương trình 2x - cos x = 0 với độ chính xác 10-3

Giải Trong Ví dụ (2-2.1) ta đã xác định được khoảng phân ly nghiệm của phương trình trên là

(0, π/2), và phương trình trên đưa được về dạng

2

1)

(

' x = − x ≤q=

ϕ

,22

1)(

2,0[)

2/11

2/1

4307,0cos2

34

3max)

('

1 0 1

)('max

('

M

b x a b

x) 1 '( )(

x f x

ϕ(x) được xây dựng như trên thoả mãn điều kiện thứ nhất của Định lý 1-3.1

Có thể chứng minh được rằng với cách chọn

3.3 Thuật toán tìm nghiệm xấp xỉ bằng phương pháp lặp đơn

khoảng phân ly [a, b], sai số được phép ε, điểm ban đầu x0 ∈ [a, b]

Ouput: nghiệm gần đúng x của phương trình f(x) = 0

Algorithm:

Bước 1: Khởi gán sai số e := 1;

Bước 2: Lặp quá trình sau đây khi e > ε

gọi là phương pháp tuyến tính hoá

Mô tả phương pháp: Giả sử xn-1 là một xấp xỉ đã tính

được của nghiệm đúng x* Trong lân cận của x*, thay

đường cong y = f(x) bởi tiếp tuyến với nó tại điểm

A(xn-1, f(xn-1)) Tiếp tuyến này có phương trình là

f(x n ) f(x n-1 )

Giả sử f’(xn-1) ≠ 0 Ký hiệu hoành độ của điểm cắt của

tiếp tuyến với trục hoành là xn Thế thì

)('

)(

1

1 1

n

x f

x f x