Đường bậc hai trong mặt phẳng tọa độ

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Làm sáng tỏ một số vấn đề của đường bậc hai trong mặt phẳng tọa độ như: đặc điểm, tính chất… 3 Đối tượng nghiên cứu.. Mặt nón gồm hai bộ phận, mỗi bộ phận được gọ

LỜI CẢM ƠN

Học tập và nghiên cứu khoa học luôn là nhiệm vụ quan trọng của mỗi sinh viên

khi bước vào giảng đường đại học Và ai cũng biết rằng trên con đường nghiên

cứu khoa học, nghiên cứu tri thức nhân loại có rất nhiều khó khăn, gian khổ Từ

đó mà mỗi sinh viên khi bắt đầu nghiên cứu rất cần đến sự giúp đỡ đắc lực của

người thầy trong quá trình nghiên cứu khoa học, bản thân em đã nhận được sự

giúp đỡ, chỉ bảo rất tận tình của thầy Bùi Văn Bình cùng các thầy cô giáo của

LỜI CAM ĐOAN

Đề tài này được thực hiện bắt đầu từ tháng 10 năm 2012 đến tháng 4 năm 2013,

tại trường ĐHSP Hà Nội 2 Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của

mình, không sao chép, tùng lặp với kết quả của tác giả nào

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Nguyễn Thị Nhâm

Chương 1: Các đường cônic

Chương 2: Phương trình chính tắc của đường bậc hai

Chương 3: Đường kính liên hợp

Chương 4: Tiếp tuyến của đường bậc hai

KẾT LUẬN

TÀI LIÊU THAM KHẢO

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài:

Hình học là phân môn có tính hệ thống rất chặt chẽ, tính logic và trừu tượng hóa cao hơn so với các phân môn khác của Toán học Có thể nói, hình

học là một môn học khá thú vị nhưng lại tương đối khó với nhiều học sinh

Đường bậc hai(hay còn gọi là đường cong) xuất hiện rất nhiều trong chương trình toán học và đặc biệt là trong giai đoạn THPT Các bài toán được

đưa ra với nhiều phương pháp lựa chọn và phương pháp giải khác nhau Tuy

nhiên, tùy theo khả năng nhận thức và dữ kiện của đề bài mà ta có thể đưa ra

được nhiều lời giải khác nhau Để từ đó học sinh có thể nhận biết được các tính

chất, dấu hiệu cơ bản của các loại đường cong có trong mặt phẳng tọa độ Đồng

thời, phát huy ở học sinh tính tư duy cao, sáng tạo trong khi làm việc

Bắt nguồn từ lòng hăng say toán học, cùng với sự giúp đỡ nhiệt tình của thầy Bùi Văn Bình Em đã chọn và nghiên cứu đề tài: “đường bậc hai trong mặt

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Làm sáng tỏ một số vấn đề của đường bậc hai trong mặt phẳng tọa độ như:

đặc điểm, tính chất…

3 Đối tượng nghiên cứu

Một số tính chất và các bài toán chứng minh, tìm quỹ tích trong hình học

giải tích

4 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu trong sách giáo khoa, sách tham khảo và các bài giảng có liên

quan đến đường bậc hai trong mặt phẳng tọa độ

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

5.1 Ý nghĩa khoa học

Nghiên cứu sâu về các vấn đề có liên quan tới đường bậc hai trong mặt

phẳng tọa độ, ví dụ như: phưoưng trình chính tắc, các đường conic, đường kính

liên hợp, tiếp tuyến

5.2 Ý nghĩa thực tiễn

Cung cấp cho giáo viên và học sinh một số tài liệu tham khảo bổ ích, phục

vụ cho mục đích giảng dạy và học tập môn hình học, đặc biệt là phần nội dung

có liên quan đến phương trình bậc hai trong mặt phẳng tọa độ

NỘI DUNG

CHƯƠNG 1 CÁC ĐƯỜNG CÔNIC

I LÍ THUYẾT CHUNG Giả sử cho hai đường thẳng a và b không vuông góc với nhau và cắt nhau tại

S, quay đường thẳng b quanh đường thẳng a một góc 2π, ta nhận được một mặt

nón tròn xoay Đường thẳng a, trục đối xứng của mặt nón gọi là trục của mặt

nón S là đỉnh của mặt nón Mỗi đường thẳng nằm trên mặt nón gọi là đường

sinh thẳng và mọi đường sinh thẳng của mặt nón đều đi qua đỉnh của nó

Mặt nón gồm hai bộ phận, mỗi bộ phận được gọi là tầng của mặt nón

 Nếu cắt mặt nón tròn xoay bằng một mặt phẳng vuông góc với trục và không đi qua đỉnh của nó thì ta được giao tuyến là một đường tròn

 Nếu cắt mặt nón tròn xoay bằng một mặt phẳng cắt tất cả các đường sinh thẳng thì ta được giao tuyến là một đường elip

 Nếu cắt mặt phảng nón tròn xoay bằng một mặt phẳng song song với hai đường sinh thẳng thì ta được giao tuyến là một đường hypebol

 Nếu cắt mặt nón tròn xoay bằng một mặt phẳng song song với chỉ một đường sinh thẳng thì ta được giao tuyến là một đường parabol

Từ nhận xét đó mà ta thường gọi hình elip, hypebol, parabol là ba đường Conic

Phương trình chính tắc của ba đường Conic là những phương tính bậc hai đối với

x,y đó cũng là các trường hợp riêng của phương trình:

Ax2+ By2+ 2Cx+ D = 0 (1) trong đó A, B không đồng thời bằng 0

1 PARAPOL a) Định nghĩa Trong một mặt phẳng cho một điểm F và một đường thẳng không đi qua F ,

tập hợp tất cả những điểm M cách đều F và đường thẳng gọi là parabol

F gọi là tiêu điểm và gọi là đường chuẩn của parabol

y

P O F x

b) Lập phương trình của parabol Trong hệ trục tọa độ Đềcac vuông góc với Oxy

,

gọi p là khoảng cách từ f tới :

Giả sử M(x,y) là một điểm của parabol thì:

Gọi d là khoảng cách từ M đến : d=

Bình phương hai vế và rút gọn ta được: (2) Như vậy mọi điểm M nằm

trên parabol thì tọa độ (x;y) của nó thỏa mãn (2)

Ngược lại nếu tọa độ (x;y) của điểm M thỏa mãn phương trình (2) thì điểm M

nằm trên parabol

Thật vậy ta có: r = mà =2px nên

Vậy M cách đều F và nên M nằm trên parabol

Phương trình (2) gọi là phương trình chính tắc của parabol

c) Tính chất

 Parabol có một trục đối xứng

 O gọi là đỉnh cuả parabol

 e= 1 gọi là tâm sai của parabol

 x=p/2 phương trình cuả gọi là đường chuẩn

 Bán kính qua tiêu của điểm thuộc parabol là: MF =

d) Bài tập Bài 1:

Cho parabol (P): y2 = 2px đường thẳng (d) qua điểm M cố định không thuộc (P)

và cắt (P) tại A,B.CMR trung điểm I của AB chạy trên một parabol cố định

Lời giải

(d): t R

Xét sự tương giao của (d) và (p)

Vì (d) (P) tại hai điểm A và B nên (1) có 2 nghiệm thỏa mãn

Vì I là trung điểm của AB nên:

Nhận xét rằng tọa độ I thỏa mãn (2) Vậy quỹ tích trung điểm I thuộc parabol

( ):

Bài 2:

Tìm m để đường thẳng d: x-m=0 cắt (P): tại hai điểm A,B sao cho

AB = 5

Lời giải:

Tung độ các giao điểm của A và B là nghiệm của phương trình:

Đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Khi đó (1) có hai nghiệm phân biệt là và

Do đó

Theo giả thiết ta có

Nên ta có thể tìm được

Bài 3:

Cho parabol Ta xét các đường thẳng y = kx + m có điểm chung duy

nhất với parabol và cắt các trục tọa độ tại hai điểm phân biệt A và B

Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB?

Lời giải:

Rõ ràng k ≠ 0 (vì nếu k = 0 thì đường thẳng y = m không cắt các trục tại hai điểm

Theo giả thiết, phương trình : hay có nghiệm duy

Do đó Vậy tập hợp các điểm I là parabol: , đối xứng

với parabol: qua trục Oy

Bài 4:

Qua một điểm M cố định trên trục của Parabol (P), ta vẽ một đường thẳng cắt

(P) tại hai điểm A và B Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ A và B tới

trục đối xứng của (P) là hằng số

Lời giải:

Chọn tọa độ Oxy sao cho (P) có phương trình:

và điểm M(a; 0) cố định trên trục Ox của (P)

Khi đó trục đối xứng của (P) là Ox Đường thẳng đi qua M

Bài tập tham khảo:

Bài 1: Cho parabol (P)

a.Tìm tiêu điểm F, đường chuẩn và vẽ đồ thị (P)

b.Gọi F’ là giao điểm của đường chuẩn với trục Ox Tìm trên (P) điểm M sao

cho:

c.Tìm trên (P) hai điểm A,B sao cho OB AF

Bài 2 Lập phương trình chính tắc của (P), biết khoảng cách từ tiêu điểm F đến

đường thẳng x + y – 12 = 0 là 2

Bài 3: Cho đường tròn(O) có hai đường kính AB vàCD vuông góc với nhau,

là đường thẳng tiếp xúc với (O) tại A với mỗi điểm M trên O (M , kẻ

MM’ vuông góc với CD ( Gọi N là giao điểm của các đường thẳng

AM’ và OM

a Chứng minh rằng khoảng cách từ N đến O và đến bằng nhau

b Tìm tập hợp các điểm N khi M thay đổi trên (O) Bài 4: Cho (P) : và đường thẳng đi qua tiêu điểm F của (P)

và cắt (P) tại hai điểm M và N Gọi

a Tính FM và FN theo p và

b Chứng minh rằng khi quay quanh F thì không đổi

c Tìm giá trị nhỏ nhất của tích FM.FN khi thay đổi

II HYPEBOL

a, Định nghĩa Trong mặt phẳng cho hai điểm cố định, =2c (c ) tập hợp tất cả

những điểm M của mặt phẳng đó sao cho (trong đó a là một

số dương không đổi,a<c) gọi là một đường hypebol

gọi là hai tiêu điểm, khoảng cách c gọi là tiêu cự của hypebol

y

O x

b, Lập phương trình:

2a

= bình phương hai vế và rút gọn ta được:

Tiếp tục bình phương 2 vế và rút gọn ta được:

Vì c>a nên ta đặt = khi đó phương trình (1) sẽ là:

hay

Vậy nếu M nằm trên hypebol thì tọa độ của nó thỏa mãn phương trình (2)

Ngược lại ta chứng minh rằng nếu tọa độ (x,y) của điểm M thỏa mãn phương

Nếu thì và = ; M =

Vậy : M

Như vậy trong mọi trường hợp = 2a, nghĩa là M nằm trên hypebol

Vậy phưong trình (2) gọi là phương trình chính tắc của hypebol

c, Tính chất

 Hypebol có hai trục đối xứng:

 Hypebol có một tâm đối xứng: gốc tọa độ O và được gọi là tâm hypebol

 2a gọi là trục thực, a gọi là nửa trục thực của hypebol

 2b gọi là trục ảo, b gọi là nửa trục ảo của hypebol

 Nhận y= làm đường tiệm cận

 e= ,e gọi là tâm sai của hypebol

 x= là đường chuẩn của hypebol

 Phương trình các cạnh hình chữ nhật cơ sở:

 Bán kính qua tiêu của điểm thuộc hypebol:

d, Bài tập

Bài 1:

Chứng minh rằng nếu một đường thẳng cắt một hypebol tại hai điểm A và B,

và cắt hai đường tiệm cận của nó tại hai điểm P,Q thì AP=BQ

Tọa độ của điểm B là:

Tọa độ P là nghiệm của hệ phương trình:

Tọa độ Q là nghiệm của hệ phương trình:

Trường hợp 2 :

Giả sử phương trình đường cắt(H) tại A,B là

Tọa độ A,B là nghiệm của hệ:

Áp dụng định lí viet ta có:

Đường cắt đường tiệm cận tại P nên tọa độ điểm P là

Chứng minh rằng: Tích số khoảng cách từ một điểm của hypebol tới hai đường

tiệm cận là một số không đổi

Chứng minh như sau:

Gọi phương trình (H):

Gọi

Phương trình tiệm cận ( )

Bài 3:

Cho hai điểm A(-1; 0) và B(1; 0) và đường thẳng :

a) Tìm tập hợp các điểm M sao cho MB = 2MH, với H là hình chiếu vuông góc của M trên

b) Tìm tập hợp các điểm N sao cho các đường thẳng AN và BN có tích các

Bài tập tham khảo:

Bài 1: Viết phương trình chính tắc của hypebol (H), biết rằng (H) và đường

thẳng d: có điểm chung duy nhất là M(2; ) và d không

song song với các tiệm cận của (H)

Bài 2: Cho hypebol (H) : và đường thẳng : x – y + m = 0

a Chứng minh rằng: luôn cắt (H) tại hai điểm M , N thuộc hai nhánh khác nhau của (H)(

b Gọi là tiêu điểm trái và là tiêu điểm phải của (H) Xác định m để

Bài 3: Cho hai điểm A(-1; 0) và B(1; 0) và đường thẳng :

a Tìm tập hợp các điểm M sao cho MB= 2MH, với H là hình chiếu vuông góc của M trên

b Tìm tập hợp các điểm N sao cho các đường thẳng AN và BN có tích hệ số góc bằng 2

3.Elip

a, Định nghĩa:

Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm cố định Tập hợp

tất cả những điểm M của mặt phẳng đó sao cho (a cố định,

a>c) gọi là 1 đường elip

gọi là hai tiêu điểm, khoảng cách c gọi là tiêu cự của elip

b, Lập phương trình elip trong hệ tọa độ đêcac vuông góc

Chọn trục Oy là đường trung trực của đoạn thẳng , còn trục Ox nằm trên

đường thẳng đi qua và theo hướng từ đến khi đó

Bình phương hai vế và rút gọn ta được: , tiếp tục

bình phương hai vế và rút gọn ta được:

Vì a>c nên là một số dương Đặt khi đó (2) sẽ có dạng:

Chia hai vế cho ta được:

Như vậy nếu M là một điểm trên elip thì tọa độ (x,y) của nó thỏa mãn phương

trình (3)

Ngược lại ta chứng minh rằng bất kỳ điểm M nào mà có tọa độ(x;y) của nó thỏa

mãn phương trình (3) cũng đều thuộc elip,tức:

Từ (3) ta có:

Do đó:

Ngoài ra từ (3) ta có hay mà nên

Từ đó ta có:

 Elip nhận trục hoành và trục tung làm trục đối xứng

 Elip nhận O làm tâm đối xứng và gọi là tâm elip

 Khoảng cách gọi là trục lớn, a gọi là nửa trục lớn

 Khoảng cách gọi là trục bé, b gọi là nửa trục bé

 gọi là tâm sai của elip, e<1

 Đường chuẩn của elip:

 Bán kính qua tiêu của điểm thuộc elip:

Trường hợp 2:

Giả sử phương trình đường thẳng OA là: , và phương trình (E):

Ta có tọa độ A là nghiệm của hệ:

Đường phương trình đường OB có dạng:

tọa độ của B là nghiệm của hệ:

Vậy ta có điều phải chứng minh

Vậy (E) có phương trình là:

Tìm m để d cắt (E) tại hai điểm A,B sao cho AB =

Cho hai điểm B,C chứng minh rằng quỹ tích những đỉnh A của tam giác

ABCmà đường thẳng ơ le của nó song song với BC là một đường elip( đường

thẳng ơ le là đường thẳng đi qua trọng tâm, trực tâm và tâm đường trìn ngoại tiếp

của tam giác)

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ đêcac vuông góc Oxy sao cho O là trung điểm của BC Ox

trùng với BC, Oy là đường thẳng vuông góc với BC tại O

Gọi B(-b; 0), C(b; 0) và A( ; ( )

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC

Gọi ( ) là đường thẳng ơle của tam giác ABC

Theo giả thiết (∆) BC

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên ( )

Do H thuộc đường ơle là trực tâm của tam giác ABC

Ta có:

Vậy quỹ tích những điểm A là một (E) có phương trình :

Bài tập tham khảo:

Bài 1: Cho elip (E): và đường thẳng d: x + y +3 = 0

a Chúng minh rằng d không có điểm chung với (E)

b Ta xét điểm thuộc (E) Tính khoảng cách từ M đến d Tìm tọa

độ của M để khoảng cách đó nhỏ nhất

Bài 2: Cho elip (E) là một đường thẳng qua tiêu

điểm phải của (E) và cắt (E) tại hai điểm M, N Gọi là góc giữa tia và

tia

a Chúng minh rằng:

b Tìm độ dài lớn nhất, nhỏ nhất của đoạn MN khi quay quanh

Chương 2

ĐƯỜNG BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC

I LÍ THUYẾT CHUNG Trong một hệ trục tọa độ đecac vuông góc Oxy, ta xét một đường bậc hai có phương trình tổng quát:

Các hệ số A,B,C không đồng thời bằng 0

Sau đây ta tìm tất cả các đường bậc hai dạng chính tắc cho bởi (1) Dùng phép quay tọa độ Oxy một góc để thành hệ , theo công thức đổi tọa độ:

Khi đó M(x;y) đối với hệ tọa độ cũ Oxy sẽ có tọa độ( ) đối với hệ tọa

độ mới O , ta thay (2) vào (1) được phương trình của đường bậc hai đã cho trong hệ tọa độ mới nó có dạng:

Trong đó:

Nếu B≠0 ta có thể chọn để B’=0 bằng cách:

Vậy nếu trong phương trình (1), B≠0 thì bằng cách quy hệ tọa độ góc thỏa

mãn điều kiện (4) ta đưa phương trình (4) về dạng:

Xét các trường hợp trong phương trình (5)

1) Nếu A’≠0, C’≠0 khi đó (5) được viết lại như sau:

c) Nếu A’>0, C’<0:

+ trường hợp F’<0 thì đặt : thì phương trình (7) trở thành : ta được một hypebol

+ trường hợp F’>0 thì đặt : thì phương trình (7) trở thành : ta được một hypebol

d) Nếu A’>0, C’>0, F’=0, thì phương trình (7) trở thành:

Phương trình này xác định cho ta một cặp đường thẳng:

và chúng cắt nhau tại gốc tọa độ a) Nếu A’>0, C’>0, F’=0, thì phương trình (7) đươcj đưa về dạng:

chỉ cho một điểm thỏa mãn phưong trinhf này, đó là điểm gốc tọa độ

2) Nếu A’≠0, C’=0, E’≠0 khi đó (5) được viết lại như sau:

Hay

Thực hiện phép tịnh tiến tọa độ:

Khi đó phương trinh (9) có dạng:

a) Nếu thì đặt: ta được là phương trình parabol b) Nếu thì đặt: ta được là phương trình parabol 3) Nếu A’≠0, C’=0, E’=0 khi đó (5) được viết lại như sau:

Thực hiện phép tịnh tiến tọa độ:

Khi đó phương trình (10) có dạng:

Trong đó: