Tổng hợp các công thức toán THPT

Tóm tắt tất cả các công thức toán thông dụng trong chương trình trung học phổ thông

Công thức toán

1 Phương trình bậc hai một ẩn: ax2bx c 0 (a 0)

Gv Nguyễn Bá Hùng mail: bahung2681988@gmail.com

2

4

b ac

  

  0 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

1

2

b x

a

  

2

b x

a

  



  0 Phương trình có nghiệm kép 1 2

2

b

x x

a



  0 Phương trình vô nghiệm

2

' b' ac

  

  ' 0 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

1

b x

a

  

a

  



  ' 0 Phương trình có nghiệm kép 1 2

'

b

x x

a



  ' 0 Phương trình vô nghiệm

 Áp dụng định lý Vi-ét nhẩm nghiệm:

+ Nếu a b c  0 thì pt có 1 nghiệm x 1còn nghiệm kia là x c

a

 + Nếu a b c  0 thì pt có 1 nghiệm x 1 còn nghiệm kia là x c

a



2 Xét dấu tam thức bậc hai: f x( ) ax2 bx c a ( 0; , ; ;S b)

a

( ) 0,

0

a

 



     





0

a

 



     





 là nghiệm của ( )f x  f ( ) 0

x1 x2  af( ) 0   1 2

2

0 ( ) 0 0

S

x x af 





 











 1 2

2

0 ( ) 0 0

S

x x  af 



 







( ) 0

af

af













( ) 0

af

af













( ) 0

af

af













0 ( ) 0

x x



 





 1 2

( ) ( ) 0

f f







2 2

0 ( ) 0 ( ) 0 0 0

S S

af







 







 



3 Cấp số cộng:

a/ Định nghĩa: Dãy số u u1, , , , 2 u n gọi là một cấp

số cộng có công sai d nếu u k u k1d

b/ Số hạng thứ n:

n

u u  n d

c/ Tổng n số hạng đầu tiên:

S u u  u  u u  u  n d

4 Cấp số nhân:

a/ Định nghĩa: Dãy số u u1, , , , 2 u n gọi là một cấp số nhân có công bội q nếu u k u k1.d

b/ Số hạng thứ n: 1 n

n

u u q

c/ Tổng n số hạng đầu tiên:

1

1

n

q

q



 Nếu 1 q1 (| | 1q  ) thì lim 1

1

n n

u S

q



5 Bất đẳng thức Cauchy (Cô-Si):

 , 0 thì

2

a b

a b   ab,dấu“=”xảy ra a b  , ,a b c  thì 0 3

3

a b c

abc

 

 ,dấu “ =” xảy ra a b c 

6 Lũy thừa: a,b > 0

a a a .  a    

a a



 











 

 

 

a b  a b 

 n a k a k n  . .

k

m n a k m n a k a m n

7 Phương trình, bất phương trình mũ:

( ) ( )

f x g x







hoặc 1

( ), ( ) có nghia

a

f x g x









( 1)[ ( ) ( )] 0

a f x g x







8 Logarit: 0N N N1, 2, và 0a b, 1 ta có:

Gv Nguyễn Bá Hùng mail: bahung2681988@gmail.com

2

loga N loga N loga N N

log M

a a M loga N loga N





 loga N



log

log

b a

b

N N

a

log

log

a

b

b

a

 logaN N1 2 loga N1loga N2 

1

2

9 Phương trình, bất phương trình logarit:



log ( ) log ( ) ( ) 0 v ( ) 0

( ) ( )

a

f x g x













( ) 0 log ( ) log ( )

( ) 0 ( 1)[ ( ) ( )] 0

a

f x

g x

a f x g x











II LƯỢNG GIÁC

A Công thức lượng giác:

1 Hệ thức cơ bản.

sin2 x c os2x1

tan cotx x 1

tan

cos

x

x

x



cot

sin

x

x

x



1 cot

sin

x

x

1 tan

cos

x

x

2 Các cung liên kết:

 Đối

cos(- x) = cos x

sin(- x) = - sin x

tan(- x) = - tan x

cot(- x) = - cot x

 Bù

sin  x sinx

cos  x  cosx

tan  xtanx

cot  x  cotx

 Phụ









 Hơn kém 

tanx tanx

cotx cotx

sinx  sinx

cosx  cosx

 Hơn kém

2



2

2

2

2

3 Công thức nhân đôi

sin 2x2sin cosx x

cos 2xcos2x sin2x

=2cos2x – 1

=1 – 2 sin2x

tan 2

1 tan

x x

x





4 Công thức hạ bậc

 2 1 cos 2 sin

2

x

x 

cos

2

x

x 

5 Công thức nhân ba

sin 3x3sinx 4sin3x

cos3x4 cos3x 3cosx



3 2

3tan tan tan 3

1 3 tan

x

x







6 Ct biêủ diễn qua tan

2

x

t 

sin 1

t x t







2 2

1 cos

1

t x t







tan

1

t x t





B Công thức biến đổi

1 Công thức cộng

sinx y  sin cosx ycos sinx y

cosx y  cos cosx ysin sinx y

tan  tan tan

1 tan tan

x y

x y





2 Tích thành tổng

cos cos [cos( ) cos( )]

2

a b a b  a b

sin sin [cos( ) cos( )]

2

a b a b  a b

sin cos [sin( ) sin( )]

2

a b a b  a b

 Đặc biệt

x x x  x  

x x x   x 

1 sin 2 xsinxcosx2

3 Tổng thành tích

x y x y

x y x y

sin sin 2sin cos

x y x y

sin sin 2cos sin

x y x y

tan tan

cos cos

x y



cot cot

sin sin

y x

x y



4 Phương trình lượng giác

a/ Phương trình cơ bản

2



 







 Đặc biệt:

2

x  x k 

2

x  x  k 

sinx 0 x k 

cosxcos  x  k2  k 

 Đặc biệt:

cosx 1 x k 2

cosx 1 x  k2

cos 0

2

x  x k

tanxtan  x  k k 

cotxcot  x  k

b/ Phương trình bậc n theo một hàm lượng giác

 Phương pháp: Đặt t = sin x (hoặc cos x, tan x, cot x)

ta có

1

a t a t  a



Nếu t = cosx hoặc t = sinx thì có điều kiện   1 t 1

c/ Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx

sin cos (a.b 0)

a x b x c  Điều kiện có nghiệm a2b2 c2

Phương pháp: Chia cả hai vế cho a2b2 sau đó đưa về phương trình lượng giác cơ bản

c./ Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx

.sin sin cos cos 0

a x b x x c x

Phương pháp:

+ Xét cos 0

2

x  x k có phải là nghiệm không + Xét cosx 0 chia 2 vế cho cos x và đặt 2 ttanx

d/ Phương trình dạng:

.(sin cos ) sin cos

a x x b x x c

Phương pháp: Đặt

4

t x x x    t

sin cos

2

t

2

1 sin cos

2

t

x x  ) và giải phương trình bậc hai theo t

C Hệ thức lượng trong tam giác:

1 Định lý hàm số cosin:

a b c  bc A

2 Định lý hàm số sin:

2

R

A  B  C 

3 Công thức đường trung tuyến:

a

b c a

Gv Nguyễn Bá Hùng mail: bahung2681988@gmail.com

4 Công thức diện tích tam giác 1 1

abc

R

III Đạo hàm và tích phân

1 Đạo hàm:

u v ' u v' ' u v ' u v v u'  '  u ' u v v u'. 2 '.



 



 

  yf u x( ( )) y u' 'u x

'

x x

 



 ' 1

2

x

x



'

 



 

 

sinx' cos x

cosx'sinx

1 tan '

cos

x

x



' '

u u u

 



 ' '

2

u u

u



 



 

 

sinu'u'.cosu

cosu'u'.sinu

' tan '

cos

u u

u



cot ' 12

sin

x

x



 e x 'e x

 a x 'a x.lna

lnx' 1

x



log ' 1

.ln

a x

x a



cot ' 2'

sin

u u

u



 e u 'u e' u

 a u 'u a' .lnu a

lnu' u'

u



log ' '

.ln

a

u u

u a



2 Bảng các nguyên hàm:

dx x C 



1

( -1) 1

x















 dx2 1

C

x  x





ln

x

a



cosxdxsinx C

sinxdx cosx C

 dx ln | |x C



e dx e x  xC

cos

dx

x C

x 



sin

dx

x C

x  



Chú ý: Nếu

f x dx F x C

1

f ax b dx F ax b C

a



IV Số phức

 Đơn vị ảo i :

i 

i 4k 1

i4k 1 i



i4k 2 1



i4k 3 i



 Dạng đại số:

; ,

z a bi a b   

 số đối  za bi

a bi a b i  ' '

a a b b'; '

(a bi ) ( a bi )

(a a') (b b i')

 số phức liên hợp

z a bi 

(a bi a b i )( ' ' )

= (aa bb' ') ( ab ba i' ')

 z z

z z ' z z'

 'z z z z '

z là số thực  z z

z là số ảo  z z

| |z  a2b2  z z

| ' | | | | ' |z z z z

 1 12

| |

z





'

| |

z z



 z' z'

 



 

 

 ' | ' |

| |

z  z

 z là căn bậc hai của w

z

Nếu z x yi ,

w a bi  thì

2

x y a

xy b







 Dạng lượng giác

z r (cosisin ) với

cos ;sin









z'r'(cos ' sin ') i  suy ra ' '[cos( ') sin( ')] [cos( ') sin( ')] ' '

n n

z r

i

z r













0, 1

k  n

V Nhị thức Niwton.

0

n

k

a b C a C a b C a b  C b C a b

 n 0 1

C C   k n k

C C 

1

C  C C



!( )!

k n

n C

k n k



k n

n A

n k



 P n n!

Chúc các em học tập tốt!