Phát triển năng lực đặc biệt hóa và khái quát hóa cho học sinh trong dạy học đại số và giải tích ở trường trung học phổ thông

Một số hoạt động định hướng việc dạy học giải toán về Đại số và Giải tích thông qua thao tác đặc biệt hóa và khái quát hóa .... Giả thiết khoa học Trên cơ sở chương trình, sách giáo khoa

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa i

Lời cam đoan ii

Lời cảm ơn iii

Mục lục 1

Danh mục các chữ viết tắt 4

MỞ ĐẦU 5

1 Lí do chọn đề tài 5

2 Mục tiêu nghiên cứu 6

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 6

4 Giả thuyết khoa học 7

5 Phương pháp nghiên cứu 7

6 Đóng góp luận văn 7

7 Bố cục luận văn 7

Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN 8

1.1 Dạy học theo hướng tiếp cận năng lực người học 8

1.1.1 Khái niệm năng lực 8

1.1.2 Năng lực toán học 9

1.1.3 Tiếp cận năng lực 11

1.1.4 Dạy học theo hướng phát triển năng lực người học 13

1.2 Tư duy toán học 14

1.2.1 Tư duy 15

1.2.2 Đặc điểm của tư duy 15

1.2.3 Một số vấn đề về tư duy toán học 17

1.3 Thao tác tư duy 19

1.3.1 Mối liên hệ giữa hoạt động tư duy và thao tác tư duy 19

1.3.2 Khái quát hóa 21

1.3.3 Đặc biệt hóa 28

1.4 Vai trò của thao tác đặc biệt hóa và khái quát hóa trong dạy học môn toán ở trường trung học phổ thông 29

1.4.1 Đặc biệt hóa và khái quát hóa trong việc hình thành khái niệm và các tri thức lí thuyết 29

1.4.2 Đặc biệt hóa và khái quát hóa là phương pháp suy nghĩ, mò mẫm giúp ta tìm lời giải cho bài toán 30

1.4.3 Đặc biệt hóa và khái quát hóa là phương pháp suy nghĩ giúp chúng ta mở rộng, đào sâu và hệ thống hóa kiến thức 31

1.5 Một số nhận định về việc sử dụng thao tác đặc biệt hóa và khái quát hóa trong dạy học Đại số và Giải tích ở trường trung học phổ thông hiện nay 32

1.5.1 Nhận định đối với học sinh 32

1.5.2 Nhận định đối với giáo viên 33

1.6 Kết luận chương 1 34

Chương 2 MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG ĐỊNH HƯỚNG NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC ĐẶC BIỆT HÓA VÀ KHÁI QUÁT HÓA CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 35

2.1 Một số hoạt động định hướng việc dạy học khái niệm về Đại số và Giải tích thông qua thao tác đặc biệt hóa và khái quát hóa 35

2.2 Một số hoạt động định hướng việc dạy học định lí về Đại số và Giải tích thông qua thao tác đặc biệt hóa và khái quát hóa 41

2.3 Một số hoạt động định hướng việc dạy học giải toán về Đại số và Giải

tích thông qua thao tác đặc biệt hóa và khái quát hóa 49

2.3.1 Rèn luyện kĩ năng sử dụng thao tác đặc biệt hóa trong việc mò mẫm, suy đoán để tìm lời giải của bài toán 50

2.3.2 Rèn luyện cho học sinh kĩ năng khái quát hóa bài toán và giải quyết bài toán đó để suy ra lời giải của bài toán ban đầu 54

2.3.3 Rèn luyện cho học sinh kĩ năng khái quát hóa bài toán từ đặc điểm toán học của bài toán đó và hình thành bài toán mới từ bài toán tổng quát 56

2.3.4 Rèn luyện kĩ năng khái quát phương pháp giải toán đối với một lớp các bài toán tương tự nhau 59

2.4 Kết luận chương 2 63

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 64

3.1 Mục đích thực nghiệm 64

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 64

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm 64

3.2.2 Nội dung thực nghiệm 64

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 69

3.3.1 Đánh giá định tính 69

3.3.2 Đánh giá định lượng 70

3.4 Kết luận chương 3 71

KẾT LUẬN 72

TÀI LIỆU THAM KHẢO 73

PHỤ LỤC 75

DANH MỤC CÁC CỤM CHỮ VIẾT TẮT

CTGD: Chương trình giáo dục BĐT: Bất đẳng thức

DH: Dạy học ĐC: Đối chứng ĐBH: Đặc biệt hóa GV: Giáo viên HS: Học sinh NXB: Nhà xuất bản KQH: Khái quát hóa PP: Phương pháp PPDH: Phương pháp dạy học SGK: Sách giáo khoa

THPT: Trung học phổ thông TN: Thực nghiệm

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Nhiều nhà nghiên cứu cho rằng: “Dạy học (DH) là toàn bộ các thao tác có mục đích nhằm chuyển các giá trị tinh thần, các hiểu biết, các giá trị văn hóa mà nhân loại đã đạt được hoặc cộng đồng đã đạt được vào bên trong một con người”

Quan niệm này lí giải đầy đủ cách mà nền giáo dục đang cố gắng đào tạo những con người thích ứng với những nhu cầu hiện tại của xã hội Để làm được điều đó, ngành giáo dục và đào tạo phải đổi mới phương pháp dạy học (PPDH) nhằm tạo ra những con người có đầy đủ phẩm chất như: kỉ luật, tự chủ, năng động, sáng tạo, … Định hướng đổi mới về PPDH đã được quy định trong Luật Giáo dục nước Cộng hòa

Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam: “Phương pháp (PP) giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh (HS); phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng PP tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú học tập cho HS” (Luật Giáo dục 2005 sửa đổi)

Như vậy, trong hoạt động dạy học người giáo viên (GV) đóng vai trò chủ đạo, bên cạnh sự nhiệt tình, thân thiện, có kiến thức sâu, rộng thì PPDH của GV có tính quyết định trong việc tạo môi trường học tập, kích thích sự hứng thú, say mê học tập của HS Trong quá trình đổi mới, dù người GV có sử dụng PPDH nào thì vấn đề phát triển tư duy cho HS trong DH luôn luôn là một trong những nhiệm vụ hàng đầu Môn Toán là môn học có tiềm năng phong phú để phát triển tư duy cho

HS Nhiều HS mặc dù có khả năng giải toán, có tư chất tốt nhưng vẫn thiếu sự sáng tạo trong toán học Các em thường giải những bài toán ở đâu đó mà chưa biết cách

đề xuất bài toán ở dạng tổng quát

Trong quá trình DH môn toán ở trường trung học phổ thông (THPT), chúng tôi nhận thấy việc rèn luyện các thao tác như phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa (ĐBH), trừu tượng hóa, khái quát hóa (KQH), so sánh, tương tự, rất quan trọng Bởi vì, nó giúp cho HS nắm vững kiến thức, phát huy được tính chủ động, tích cực trong học tập không chỉ riêng môn toán mà còn đối với các môn học khác, từ đó giúp hình thành ở HS những phẩm chất trí tuệ như tính lính hoạt, độc lập và sáng tạo

Xuất phát từ tình hình thực tiễn DH toán và qua quá trình học tập nghiên cứu

lí luận và PPDH toán, chúng tôi nhận thấy rằng: ĐBH và KQH là những thao tác rất quan trọng trong quá trình phát triển tư duy cho HS, bởi nó liên quan đến các yếu tố như phát triển khả năng suy đoán, tưởng tượng ĐBH và KQH có tác dụng kích thích cho HS tìm tòi, khám phá, rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, tương tự hóa, Quá trình ĐBH và KQH góp phần hình thành các phẩm chất trí tuệ và các lập luận lôgic có lí

Trong thực tiễn dạy và học môn toán ở trường phổ thông, việc rèn luyên thao tác tư duy ĐBH và KQH cho HS chưa được nhiều GV chú trọng đúng mức, đăc biệt

là đối với toán Đại số và Giải tích Hơn nữa, HS ít vận dụng các PP này để giải bài tập toán Đa số HS sau khi hoàn thành xong lời giải một bài toán các em thường không xét đến bài toán tổng quát, hay không đưa ra PP giải tổng quát cho một lớp các dạng toán tương tự Chính điều này làm hạn chế rất nhiều về khả năng phát triển

tư duy toán học cho HS

Với những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài: “Phát triển năng lực ĐBH và KQH cho HS trong dạy học Đại số và Giải tích ở trường THPT” để nghiên cứu

2 Mục tiêu nghiên cứu

- Phân tích năng lực ĐBH và KQH của HS trong dạy học Đại số và Giải tích

ở trường THPT

- Đề xuất biện pháp nhằm phát triển năng lực ĐBH và KQH cho HS trong dạy học Đại số và Giải tích ở trường THPT

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lí luận có liên quan đến vấn đề bồi dưỡng trí tuệ và phát

triển năng lực ĐBH và KQH cho HS

- Điều tra, đánh giá thực trạng việc sử dụng thao tác ĐBH và KQH vào dạy học khái niệm, định lí và bài tập toán ở trường THPT

- Nghiên cứu và đề xuất một số hoạt động sư phạm về việc phát triển năng lực ĐBH và KQH cho HS trong việc học tập Đại số và Giải tích ở trường THPT

- Thực nghiệm (TN) sư phạm để đánh giá tính khả thi của các định hướng sư phạm đã đề xuất

4 Giả thiết khoa học

Trên cơ sở chương trình, sách giáo khoa (SGK) hiện hành nếu trong DH toán

GV chú ý rèn luyện kĩ năng thực hiện các thao tác tư duy ĐBH và KQH thì sẽ phát triển được năng lực giải toán góp phần nâng cao chất lượng DH toán ở trường THPT

5 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng các phương pháp (PP) nghiên cứu chủ yếu sau:

- PP nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu chuyên ngành PPDH, tâm lí,

các tạp chí nghiên cứu giáo dục, các SGK, sách tham khảo liên quan đến ĐBH và KQH

- PP điều tra – quan sát: Tìm hiểu khả năng ĐBH và KQH của HS ở trường

THPT thông qua việc DH khái niệm, định lí và bài tập toán Đại số và Giải tích

- PP thực nghiệm sư phạm: Thử nghiệm sư phạm bước đầu kiểm tra tính khả

thi và tính hiệu quả của phương án đề ra

- PP tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết những kinh nghiệm rút ra từ thực tế

giảng dạy và quá trình nghiên cứu của bản thân, trao đổi với đồng nghiệp

6 Đóng góp của luận văn

Góp phần làm rõ một số thành phần trong năng lực giải toán của HS thông qua việc rèn luyện thao tác ĐBH và KQH

Đưa ra được những định hướng sư phạm trong việc hình thành các khái niệm toán học, các định lí, giải toán Đại số và Giải tích thông qua việc sử dụng các thao tác ĐBH và KQH

Luận văn có thể được sử dụng làm tài liệu tham khảo cho GV toán nhằm góp phần nâng cao hiệu quả DH môn toán ở trường THPT

7 Bố cục luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn gồm 3 chương:

Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Chương 2 MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG ĐỊNH HƯỚNG NHẰM PHÁT TRIỂN

NĂNG LỰC ĐBH VÀ KQH CHO HS TRONG DH ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Ở TRƯỜNG THPT

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

Chương 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Dạy học theo hướng tiếp cận năng lực người học

1.1.1 Khái niệm năng lực

Thực tế trong tiếng Việt cũng như tiếng Anh, từ năng lực được sử dụng với

nhiều nghĩa cụ thể gắn với các lĩnh vực khác nhau, trong những tình huống và ngữ

cảnh riêng biệt Hơn nữa, năng lực lại rất gần nghĩa với một số từ khác như tiềm năng, khả năng, kĩ năng, do vậy nếu chỉ nói chung chung thì sẽ rất phức tạp và khó xác định Tuy nhiên, từ năng lực có nghĩa gốc mà Từ điển tiếng Việt [16, tr 660-661] đã nêu lên là:

a) Khả năng, điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó;

b) Phẩm chất tâm lí và sinh lí tạo cho con người khả năng hoàn thành một hoạt động nào đó với chất lượng cao

Ngoài ra, trong chương trình giáo dục (CTGD) ở một số nước đã đưa ra khái niệm về năng lực như sau:

Theo CTGD trung học Québec - Bộ giáo dục Canada (2004), thì:

“Năng lực có thể định nghĩa như là một khả năng hành động hiệu quả bằng

sự cố gắng dựa trên nhiều nguồn lực Những khả năng này được sử dụng một cách phù hợp, bao gồm tất cả những gì học được từ nhà trường cũng như những kinh nghiệm của HS; những kĩ năng, thái độ và sự hứng thú; ngoài ra còn có những nguồn bên ngoài chẳng hạn như: bạn cùng lớp, thầy cô giáo, các chuyên gia hoặc các nguồn thông tin khác”

CTGD của New Zealand thì nêu một cách ngắn gọn:

“Năng lực là một khả năng hành động hiêu quả hoặc là sự phản ứng thích đáng trong các tình huống phức tạp nào đó.”

Trong chương trình cải cách giáo dục ở Indonesia, nêu rõ: “Năng lực là những kiến thức, kĩ năng và các giá trị được phản ánh trong thói quen suy nghĩ và hành động của mỗi cá nhân Thói quen tư duy và hành động kiên trì, liên tục có thể

giúp một người trở nên có năng lực, với ý nghĩa làm một việc gì đó trên cơ sở có kiến thức, kĩ năng và các giá trị cơ bản.”, và chương trình này cũng đã dành hẳn một mục để giới thuyết về Tư tưởng cơ bản của khái niệm năng lực, theo đó khái

niệm năng lực trong CTGD được hiểu như:

a) Năng lực đề cập đến khả năng của HS khi làm một cái gì đó trong những bối cảnh khác nhau;

b) Năng lực thể hiện kinh nghiệm học tập, ở đó HS phải là người thành thạo; c) Kết quả học tập theo năng lực thể hiện ở việc giải thích sự vật thông qua

PP học tập của HS;

d) Những HS có năng lực khi làm một cái gì đó cần xác định rõ khả năng trong một tiêu chuẩn rộng, có thể đạt được kết quả thông qua việc thực hiện và có thể đo đếm được

Tóm lại, tất cả những khái niệm trên có thể được phát biểu dưới những câu

từ khác nhau nhưng tất cả đều khẳng định: nói đến năng lực là phải nói đến khả năng thực hiện, là phải biết làm, chứ không chỉ biết và hiểu Tất nhiên hành động

(làm), thực hiện ở đây phải gắn với ý thức và thái độ; phải có kiến thức và kĩ năng,

chứ không phải làm một cách “máy móc” và “mù quáng”

1.1.2 Năng lực toán học

Đã có nhiều công trình nghiên cứu về năng lực toán học từ những phương diện khác nhau:

- Theo V.A.Krutecki, năng lực toán học được hiểu theo hai ý nghĩa:

Một là: Theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với việc

học toán, đối với việc nắm giáo trình toán học ở trường phổ thông Nắm một cách nhanh và tốt các kiến thức kĩ năng, kĩ xảo tương ứng

Hai là: Theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học) tức là năng lực hoạt động

sáng tạo toán học, tạo ra những kết quả mới khách quan có giá trị lớn đối với xã hội loài người

Giữa hai mức độ hoạt động toán học đó không có một sự ngăn cách tuyệt đối Nói đến HS có năng lực, đã nắm giáo trình toán một cách độc lập và sáng tạo, đã

tự đặt và giải bài toán không phức tạp lắm, đã tự tìm ra các con đường các PP sáng

tạo để chứng minh các định lí, độc lập suy ra các công thức, tự tìm ra các PP giải độc đáo những bài toán không mẫu mực

- Theo A.N.Kôlmôgôrôv, xem xét năng lực toán học trên cơ sở ba thành tố

có liên quan khả năng biến đổi biểu thức chữ, tưởng tượng và suy luận lôgic:

1) Năng lực biến đổi thành thạo các biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm kiếm các PP xa lạ với các qui tắc thông thường để giải phương trình

2) Trí tưởng tượng hình học hay “trực giác hình học”

3) Nghệ thuật suy luận lôgic được phân nhỏ hợp lí tuần tự

UNESCO đã công bố 10 tiêu chí năng lực toán học cơ bản như sau:

1) Năng lực phát biểu và tái hiện những định nghĩa, kí hiệu, các phép toán, các khái niệm

2) Năng lực dịch chuyển các dữ liệu thành kí hiệu

3) Năng lực tính nhanh và tính cẩn thận sử dụng đúng các kí hiệu

4) Năng lực biểu diễn dữ liệu, ẩn, các điều kiện ràng buộc giữa chúng thành

kí hiệu

5) Năng lực theo dõi một hướng suy luận hay chứng minh

6) Năng lực xây dựng một chứng minh

7) Năng lực giải một bài toán đã toán học hóa

8) Năng lực giải một bài toán có lời văn (chưa toán học hóa)

9) Năng lực phân tích bài toán và xác định phép toán có thể áp dụng

10) Năng lực KQH toán học

Trên cơ sở nghiên cứu những lí luận và thực tiễn, sau đây là một số định nghĩa về năng lực toán học:

Định nghĩa 1: Năng lực học tập toán học là các đặc điểm tâm lí cá nhân

(trước hết là các đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động toán học và giúp cho việc nắm giáo trình toán một cách sáng tạo Giúp cho việc nắm một cách

tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kĩ năng và kĩ xảo toán học [13]

Định nghĩa 2: Năng lực toán học được hiểu là những đặc điểm tâm lí cá nhân

(trước hết là những hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu của hoạt động toán học, trong những điều kiện vững chắc như nhau thì là nguyên nhân của sự thành công

trong việc nắm vững một cách sáng tạo toán học với tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong

lĩnh vực toán học [9]

Tuy nhiên, ở mỗi người cũng có sự khác nhau về mức độ năng lực toán học

Do vậy trong DH toán, vấn đề quan trọng là lựa chọn nội dung và PP thích hợp để sao cho mọi đối tượng HS đều được nâng cao dần về mặt năng lực toán học

1.1.3 Tiếp cận năng lực

Tiếp cận hiểu một cách thông thường là tiến gần đến một ai, một vật gì đó

Trong lí luận về phát triển chương trình thì thuật ngữ tiếp cận chỉ cách thức vận dụng một số PP để tìm hiểu, thiết kế một CTGD Từ góc độ này, có thể thấy ý nghĩa

của thuật ngữ tiếp cận nghiêng nhiều về quan điểm thiết kế chương trình, là PP luận

của việc xây dựng chương trình chứ không phải là một PP cụ thể nào đó Cách tiếp cận sẽ định hướng cho toàn bộ các thành tố của CTGD: từ đề xuất mục tiêu, chuẩn chương trình đến xác định các lĩnh vực/môn học, các hoạt động; từ việc lựa chọn nội dung, PPDH, cách tổ chức đến kiểm tra đánh giá kết quả, Có nhiều cách tiếp

cận CTGD, tuy nhiên có hai cách tiếp cận chủ yếu, đó là: tiếp cận nội dung và tiếp cận năng lực

Tiếp cận nội dung là cách nêu ra một danh mục đề tài, chủ đề của một lĩnh

vực/môn học nào đó Tức là tập trung xác định và trả lời câu hỏi: Chúng ta muốn người học cần biết cái gì? Cách tiếp cận này chủ yếu dựa vào yêu cầu nội dung học

vấn của một khoa học bộ môn nên thường mang tính "hàn lâm", nặng về lí thuyết

và tính hệ thống, nhất là khi người thiết kế ít chú đến tiềm năng, các giai đoạn phát triển, nhu cầu, hứng thú và điều kiện của người học

Tiếp cận năng lực là cách tiếp cận nêu rõ kết quả - những khả năng hoặc kĩ

năng mà người học mong muốn đạt được vào cuối mỗi giai đoạn học tập trong nhà trường ở một môn học cụ thể Nói cách khác, cách tiếp cận này nhằm trả lời câu hỏi: Chúng ta muốn người học biết và có thể làm được những gì?

Chúng ta có thể hình dung sự khác nhau giữa tiếp cận nội dung và tiếp cận năng lực được thể hiện ở bảng sau:

Tiêu thức Tiếp cận nội dung Tiếp cận năng lực

Quan niệm

Học là quá trình tiếp thu và lĩnh hội tri thức qua đó hình thành kĩ năng

Học là quá trình kiến tạo, HS

tự tìm tòi, khám phá, phát hiện, tự hình thành hiểu biết, năng lực

Mục tiêu giảng dạy Chú trọng cung cấp tri thức, kĩ

năng, kĩ xảo

Chú trọng hình thành các năng lực (sáng tạo, hợp tác,…)

Mục tiêu học tập

Học để đối phó với thi cử; Sau khi thi xong, những điều đã học thường bị quên, ít dùng đến

Học để đáp ứng yêu cầu công việc; Những điều đã học cần thiết bổ ích cho cuộc sống và công việc sau này

Mục tiêu nêu ở bài

Yêu cầu đối với

người học Biết cái gì?

Được lựa chọn nhằm đạt được chuẩn đầu ra;

Từ tình huống thực tế;

Những vấn đề mà HS quan tâm

Tổ chức các hình thức học tập đa dạng, cơ động, linh hoạt; Học ở lớp, trong thực

tế, học đôi bạn, học theo nhóm, học theo lớp

Trong thời đại ngày nay, do tốc độ phát triển của xã hội hết sức nhanh chóng với những biến đổi liên tục và sự tăng nhanh về khối lượng tri thức, đặc biệt trong các lĩnh vực thông tin truyền thông, công nghệ vật liệu, điện/điện tử tự động hóa,

PP tiếp cận nội dung dần trở nên lạc hậu Để chuẩn bị cho thế hệ trẻ đối mặt và đứng vững trước những thách thức của đời sống, vai trò của giáo dục ngày càng trở nên quan trọng Thay đổi, sửa sang, cải tiến chương trình, thậm chí cải cách giáo dục đã được nhiều nước tiến hành và xu thế thiết kế chương trình theo hướng tiếp cận năng lực được khá nhiều quốc gia quan tâm, vận dụng trong giai đoạn hiện nay

1.1.4 Dạy học theo hướng phát triển năng lực người học

Đổi mới PPDH đang thực hiện bước chuyển từ CTGD tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học, nghĩa là từ chỗ quan tâm đến việc HS học được cái

gì đến chỗ quan tâm HS vận dụng được cái gì qua việc học Để đảm bảo được điều

đó, phải thực hiện chuyển từ PPDH theo lối “truyền thụ một chiều” sang dạy cách học, cách vận dụng kiến thức, rèn luyện kĩ năng, hình thành năng lực và phẩm chất Tăng cường việc học tập trong nhóm, đổi mới quan hệ GV – HS theo hướng cộng tác có ý nghĩa quan trọng nhằm phát triển năng lực xã hội Bên cạnh việc học tập những tri thức và kĩ năng riêng lẻ của các môn học chuyên môn cần bổ sung các chủ

đề học tập tích hợp liên môn nhằm phát triển năng lực giải quyết các vấn đề phức hợp Bên cạnh đó, chúng ta cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của người học, hình thành và phát triển năng lực tự học (sử dụng SGK, nghe, ghi chép, tìm kiếm thông tin, …), trên cơ sở đó trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tư duy Chúng ta có thể chọn lựa một cách linh hoạt các PP chung và PP đặc thù của môn học để thực hiện Tuy nhiên, dù sử dụng bất kì PP nào cũng phải đảm bảo

được nguyên tắc “HS tự mình hoàn thành nhiệm vụ nhận thức với sự tổ chức, hướng dẫn của GV”

Việc sử dụng PPDH phải gắn chặt với các hình thức tổ chức DH Tuỳ theo mục tiêu, nội dung, đối tượng và điều kiện cụ thể mà có những hình thức tổ chức thích hợp như học cá nhân, học nhóm; học trong lớp, học ở ngoài lớp, … Chúng ta cần chuẩn bị tốt về PP đối với các giờ thực hành để đảm bảo yêu cầu rèn luyện kĩ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn, nâng cao hứng thú cho người

học Cần sử dụng đủ và hiệu quả các thiết bị DH môn học tối thiểu đã qui định Ngoài ra cần tăng cường sử dụng các đồ dùng DH tự làm và vận dụng công nghệ thông tin trong hoạt động DH

Việc đổi mới PPDH theo định hướng phát triển năng lực thể hiện qua bốn đặc trưng cơ bản sau:

1) DH thông qua tổ chức liên tiếp các hoạt động học tập, giúp HS tự khám phá những điều chưa biết chứ không thụ động tiếp thu những tri thức được sắp đặt sẵn GV là người tổ chức và chỉ đạo HS tiến hành các hoạt động học tập phát hiện kiến thức mới, vận dụng sáng tạo kiến thức đã biết vào các tình huống học tập hoặc tình huống thực tiễn, …

2) Chú trọng rèn luyện cho HS biết khai thác SGK và các tài liệu học tập, biết cách tự tìm lại những kiến thức đã có, suy luận để tìm tòi và phát hiện kiến thức mới, …Định hướng cho HS cách tư duy như phân tích, tổng hợp, ĐBH, KQH, tương tự, quy lạ về quen, … để dần hình thành và phát triển tiềm năng sáng tạo

3) Tăng cường phối hợp học tập cá thể với học tập hợp tác, lớp học trở thành môi trường giao tiếp GV – HS và HS – HS nhằm vận dụng sự hiểu biết và kinh nghiệm của từng cá nhân, của tập thể trong giải quyết các nhiệm vụ học tập chung

4) Chú trọng đánh giá kết quả học tập theo mục tiêu bài học trong suốt tiến trình DH thông qua hệ thống câu hỏi, bài tập (đánh giá lớp học) Chú trọng phát triển kĩ năng tự đánh giá và đánh giá lẫn nhau của HS với nhiều hình thức như theo lời giải/đáp án mẫu, theo hướng dẫn, hoặc tự xác định tiêu chí để có thể phê phán, tìm được nguyên nhân và nêu cách sửa chữa các sai sót

Nói tóm lại, đổi mới PPDH theo hướng phát triển năng lực người học thì cần phải vận dụng DH theo tình huống, dạy học sinh định hướng hành động, tăng cường

sử dụng phương tiện DH và công nghệ thông tin hợp lí nhằm phát huy khả năng tự học cho HS Bên cạnh đó, việc kiểm tra, đánh giá cũng phải chú trọng vào năng lực của người học, đặc biệt là: tính tư duy sáng tạo, khả năng vận dụng kiến thức nhằm giải quyết những vấn đề trong cuộc sống, …

1.2 Tư duy toán học

1.2.1 Tư duy

Nhận thức cảm tính có vai trò quan trọng trong đời sống tâm lí của con người, nó cung cấp vật liệu cho các hoạt động tâm lí cao hơn Tuy nhiên, thực tế cuộc sống luôn đặt ra những vấn đề mà bằng cảm tính, con người không thể nhận thức và giải quyết được Muốn cải tạo thế giới, con người phải đạt tới nhận thức cao hơn, đó là nhận thức lí tính (còn gọi là tư duy)

Trong tâm lí học, một trong những nghiên cứu đầy đủ nhất về tư duy đã được trình bày trong các công trình của X.L.Rubinstêin Những công trình này đã thúc đẩy hàng loạt vấn đề cơ bản liên quan đến việc nghiên cứu hình thức hoạt động tâm

lí phức tạp Theo cách hiểu của X.L.Rubinstêin: “Tư duy đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể” [3, tr 246]

Có thể chỉ ra một số định nghĩa khác về tư duy, chẳng hạn: “Tư duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính qui luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan” [5, tr.117] hoặc “Tư duy

là một quá trình tâm lí liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ - quá trình tìm tòi và sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách từng phần hay khái quát thực tế trong khi phân tích hoặc tổng hợp nó Tư duy sinh ra trên cơ sở hoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vượt xa giới hạn của nó” [20, tr 8]

“Tư duy con người mang bản chất xã hội, sáng tạo và có cá tính ngôn ngữ Trong quá trình phát triển, tư duy con người không dừng lại ở trình độ tư duy bằng thao tác tay chân, bằng hình tượng mà con người còn đạt tới trình độ tư duy bằng ngôn ngữ, tư duy khái quát – hình thức tư duy đặc biệt của con người” [5, tr.19]

Trong quá trình tư duy, sử dụng phương tiện ngôn ngữ, sản phẩm có tính xã hội cao

để nhận thức tình huống có vấn đề, để tiến hành các thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, ĐBH, KQH nhằm đi đến những khái niệm, phán đoán, suy lí, những qui luật – những sản phẩm khái quát của tư duy

1.2.2 Đặc điểm của tư duy

Theo [21], [23], [24], [25], tư duy có những đặc điểm cơ bản sau đây:

- Tính "có vấn đề" của tư duy

Tư duy chỉ xuất hiện khi gặp những hoàn cảnh, những tình huống "có vấn đề" Tình huống "có vấn đề" là tình huống chứa đựng một mục đích, một vấn đề

mới mà những hiểu biết cũ, PP hành động cũ không đủ sức giải quyết Muốn giải quyết vấn đề mới đó, để đạt được mục đích mới đó, con người phải tìm cách thức giải quyết mới, tức con người phải tư duy

Ví dụ 1.1: Sau khi HS đã học được cách giải phương trình bậc hai, GV yêu

cầu các em giải phương trình sau: x2  3xx2  3x 2 3  0 Giải phương trình này

là một tình huống có vấn đề với các em tại thời điểm đó vì chưa có một thuật giải nào có thể giúp các em giải được một phương trình bậc bốn Do đó, buộc các em phải suy nghĩ để tìm cách giải phương trình trên Các em tìm thấy hứng thú trong việc tìm lời giải bởi vì có biểu thức đồng dạng x23x giúp các em liên tưởng tới đặt ẩn phụ Và sau khi đặt ẩn phụ tx23x thì phương trình ban đầu trở thành phương trình t22t30 đã có thuật giải

- Tính gián tiếp của tư duy

Con người sử dụng ngôn ngữ để tư duy Nhờ có ngôn ngữ mà con người sử dụng các kết quả nhận thức (khái niệm, phán đoán, quy luật, …) vào quá trình tư duy để nhận thức được cái bên trong, bản chất của sự vật, hiện tượng Trong quá trình tư duy, con người sử dụng những công cụ, phương tiện (đồng hồ, nhiệt kế, máy móc, …) để nhận thức đối tượng mà không thể trực tiếp tri giác chúng

- Tính trừu tượng và khái quát của tư duy

Tư duy có khả năng trừu xuất khỏi sự vật, hiện tượng những thuộc tính, những dấu hiệu cá biệt, cụ thể, chỉ giữ lại những thuộc tính chung, bản chất cho nhiều sự vật và hiện tượng Trên cơ sở đó mà khái quát những sự vật, hiện tượng riêng lẻ, nhưng có những thuộc tính bản chất chung thành một nhóm, một loại, một phạm trù

Ví dụ 1.2: Công thức tính diện tích tam giác S ah a

2

1

 , trong đó h a là độ dài

đường cao hạ từ đỉnh A, a là độ dài cạnh đối diện từ đỉnh A (diện tích tam giác bằng

một nửa đường cao nhân với cạnh đáy) Để có được công tức tổng quát trên, chúng

ta đã gạt bỏ những chi tiết không quan trọng như tam giác gì, làm bằng chất liệu gì,

độ dài các cạnh có mối quan hệ như thế nào, đặt trong phẳng hay trong không gian,

… mà chỉ giữ lại yếu tố bản chất là độ dài đường cao và độ dài cạnh đáy để có

được công thức mang tính khái quát trên

- Tư duy liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ

Nếu không có ngôn ngữ thì quá trình tư duy ở con người không thể diễn ra được, đồng thời các sản phẩm của tư duy (khái niệm, phán đoán, quy luật, …) cũng không được chủ thể và người khác tiếp nhận Ngôn ngữ cố định lại các kết quả của

tư duy, là vỏ vật chất của tư duy và là phương tiện biểu đạt kết quả của tư duy Ngược lại, nếu không có tư duy thì ngôn ngữ chỉ là chuỗi âm thanh vô nghĩa Tuy nhiên, ngôn ngữ không phải là tư duy, ngôn ngữ chỉ là phương tiện của tư duy

- Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính

Tư duy bắt đầu từ nhận thức cảm tính, nhà tâm lí học X L Rubinstein đã

viết: “Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong tư duy trừu tượng, tựa hồ như làm thành chỗ dựa cho tư duy”

Tư duy là một quá tình tâm lí, nghĩa là tư duy có nảy sinh, diễn biến và kết thúc 1.2.3 Một số vấn đề về tư duy toán học

Cũng như những lĩnh vực khác của đời sống xã hội, toán học với tư cách là một khoa học có nguồn gốc từ thực tiễn và có ứng dụng vô cùng đa dạng, phong phú trong thực tiễn với những đặc điểm về đối tượng và PP nghiên cứu cũng là một đối tượng của tư duy, và như là một tất yếu, xuất hiện tư duy toán học

“Để nhận thức được mặt nội dung của hiện thực cần có tư duy biện chứng,

và để nhận thức mặt hình thức của hiện thực cần có tư duy lôgic Do đó, tư duy toán học là sự thống nhất giữa tư duy biện chứng và tư duy lôgic Theo đó, tư duy toán học cũng có những cặp phạm trù quan trọng: cụ thể - trừu tượng, nhận thức cảm tính – nhận thức lí tính, cái chung – cái riêng, cái bản chất – cái không bản chất” [9, tr 60-61] Luận điểm nói trên cần được vận dụng một cách cụ thể và thích

hợp vào việc DH nhằm phát triển tư duy toán học cho HS

Giáo dục toán học cho HS nhằm đạt được các mục tiêu:

- Truyền thụ cho HS những kiến thức cơ bản được chọn lựa cho phù hợp với đặc điểm của đối tượng Toán học một cách có hệ thống;

- Rèn luyện cho HS những kĩ năng, kĩ xảo toán học;

- Phát triển tư duy toán học cho HS [20, tr 12]

Tư duy toán học là một mục tiêu quan trọng trong hoạt động toán học của

HS, nhưng nếu thiếu sự phát triển một cách có phương hướng thì không thể đạt được mức độ mong muốn về kiến thức và kĩ năng trong quá trình DH toán

Nhiều nhà toán học đã bày tỏ ý kiến về tư duy toán học như sau:

Viện sĩ B V Gơnhedencô đưa ra một số yêu cầu đối với tư duy toán học, đó là:

- Năng lực nhìn thấy sự không rõ ràng của quá trình suy luận;

- Thấy được sự thiếu vắng các mắc xích cần thiết của chứng minh;

- Có thói quen lí giải lôgic một cách đầy đủ;

- Phân chia rõ ràng tiến trình suy luận, sự cô đọng, sự chính xác của các ký

hiệu [20, tr 15]

Nhà toán học A Ia Khinsin cho rằng những nét độc đáo của phong cách tư duy toán học là:

- Suy luận theo sơ đồ lôgic chiếm ưu thế;

- Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất dẫn đến mục đích; phân chia rành mạch các bước suy luận;

- Sử dụng chính xác các ký hiệu;

- Tính có căn cứ đầy đủ trong các lập luận, đặc biệt không bao giờ chấp nhận

những khái quát không có suy luận, những phép tương tự không có cơ sở [9, tr 127]

A I Marcusêvich nhấn mạnh đến những kĩ năng cần được bồi dưỡng cho

HS trong DH toán là:

- Kĩ năng loại bỏ những chi tiết không căn bản chỉ để giữ lại bản chất của vấn đề, chẳng hạn kĩ năng trừu tượng hoá;

- Kĩ năng rút ra hệ quả lôgic từ những tiên đề đã cho;

- Kĩ năng phân tích vấn đề thành những trường hợp riêng;

- Kĩ năng KQH kết quả nhận được và đặt ra vấn đề mới ở dạng khái quát;

- Kĩ năng xây dựng sơ đồ của hiện tượng sao cho chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết cho việc giải thích vấn đề về mặt toán học;

- Kĩ năng xây dựng các kết luận được rút ra từ các suy luận, đối chiếu kết quả đó với các điều được dự kiến;

- Kĩ năng đánh giá ảnh hưởng của việc thay đổi các điều kiện đến sự tin

cậy,… [20, tr 16]

1.3 Thao tác tư duy

1.3.1 Mối quan hệ giữa hành động tư duy và thao tác tư duy

Về mối quan hệ giữa hành động tư duy và thao tác tư duy, có hai cách giải thích như sau:

Nhiều nhà tâm lí học (trong đó có J Piaget) cho rằng:

- Hành động (Action) là các ứng xử của cá nhân đối với sự tác động của các yếu tố môi trường bên ngoài;

- Thao tác (Operations) là các hành động đã được chuyển vào bên trong (hành động bên ngoài được nội hiện) và đã được rút gọn

Đối tượng của thao tác tư duy không phải là sự vật có thực như của hành động, mà là những hình ảnh, biểu tượng, ký hiệu Như vậy, thao tác tư duy là hành

động tinh thần, chứ không phải là hành động thực, vật chất ở bên ngoài [15, tr 73]

Cách giải thích của A N Lêônchiep và các nhà tâm lí học cùng xu hướng có phần khác với cách hiểu trên khi xem xét tư duy từ bình diện hoạt động Các nhà tâm lí học này giải thích hành động và thao tác trong cấu trúc chung của hoạt động

Sự giống nhau và khác nhau giữa chúng thể hiện như sau:

- Hành động tư duy được hiểu là hành động tâm lí trọn vẹn, chịu sự chi phối

bởi một mục đích được ý thức (hành động tâm lí có thể hiểu là làm một việc nào đó

có mục đích);

- Thao tác là phương tiện, là cơ cấu kĩ thuật, là phương thức hành động để triển khai đến mục đích đó Thao tác không có mục đích tâm lí riêng, nó chỉ là phương tiện để thực hiện mục đích của một hành động nào đó;

- Thao tác và hành động có chung lôgic;

- Cấu trúc của thao tác được định hình trong các phương tiện (công cụ) kĩ

thuật Vì vậy, quá trình hình thành thao tác thực chất là quá trình học cách sử dụng các công cụ đó Thời kì đầu, quá trình học này chính là hành động tâm lí Sau đó,

hành động được luyện tập và kĩ thuật hoá để trở thành thao tác

- Cùng một mục đích nhưng trong những điều kiện khác nhau, chủ thể hành động có các thao tác khác nhau

Như vậy, mặc dù thao tác khác hành động, nhưng nó được sinh ra từ hành động, kĩ thuật hoá nó, tước bỏ mục đích và chuyển nó vào trong một hành động khác Khi chuyển thành thao tác, hành động được rút gọn và thuần thục [15] Vì

vậy, thao tác gắn bó chặt chẽ với kĩ năng

Quá trình tư duy nảy sinh khi con người có nhu cầu giải quyết một nhiệm vụ nhận thức nào đó, không thể tách tư duy ra khỏi tâm lí nói chung trong việc giải quyết nhiệm vụ nhận thức Bởi vì, tâm lí về bản chất là hoạt động, cho nên tham gia vào tâm lí với tư cách yếu tố cấu thành nó, không chỉ có các đối tượng tinh thần (các biểu tượng, các khái niệm), mà còn có các hành động tinh thần (hành động tri giác, hành động tưởng tượng, hành động xúc cảm, ) Với ý nghĩa đó, có thể xem xét tư duy với tư cách là một hoạt động của con người, là một hoạt động trí tuệ với các hành động và thao tác đặc trưng Hành động trí tuệ là hành động tinh thần có liên quan đến quá trình tư duy, là hành động tinh thần hướng tới mục đích nhận thức Mỗi hành động trí tuệ bao hàm trong nó một loạt các thao tác được thực hiện trong một trật tự xác định và phù hợp với những quy tắc nhất định Từ đó, một tập hợp các hành động trí tuệ như là một chỉnh thể để giải quyết một nhiệm vụ nhận thức nào đó gọi

là hoạt động trí tuệ trong việc giải quyết nhiệm vụ nhận thức ấy [9]

Quá trình tư duy bao gồm nhiều giai đoạn, tuy nhiên tính giai đoạn của quá trình tư duy chỉ phản ánh được mặt bên ngoài, cấu trúc bên ngoài của tư duy, còn nội dung bên trong mỗi giai đoạn của quá trình tư duy lại là một quá trình phức tạp,

diễn ra trên cơ sở của những thao tác tư duy, và như quan điểm đã nêu trên, còn gọi

là thao tác trí tuệ hay thao tác trí óc [24, tr 116]

Xét về bản chất, tư duy là một quá trình cá nhân thực hiện các thao tác tư duy

để giải quyết vấn đề hay nhiệm vụ đặt ra Cá nhân có tư duy hay không chính là ở chỗ họ có tiến hành các thao tác tư duy trong đầu mình hay không Do vậy, thao tác

tư duy còn được gọi là quy luật bên trong của tư duy

Thao tác tư duy không đồng nhất với tư duy Quá trình tư duy là quá trình thực hiện các thao tác tư duy để đạt được mục đích Việc rèn luyện các thao tác tư duy cuối cùng cũng nhằm vào mục đích chung là phát triển tư duy cho HS, một

trong các mục tiêu chính của việc DH [24, tr 116] Có thể liệt kê, mô tả một số thao

tác tư duy cụ thể dưới đây của các nhà khoa học:

Theo M N Sácđacôp [19], tư duy được thực hiện và phát triển trong những

hình thức riêng của nó: phân tích, tổng hợp và so sánh; trừu tượng hóa, khái quát hóa và cụ thể hóa; quy nạp, diễn dịch và tương tự; phát hiện những mối liên hệ và quan hệ; hình thành những khái niệm, phân loại và hệ thống hóa chúng

Theo G Polya [17], thao tác tư duy bao gồm: phân tích, tổng hợp, so sánh,

tương tự hóa, KQH, ĐBH

Trong [2], [21], [23], [25], các tác giả cho rằng thao tác tư duy bao gồm:

phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa và KQH

Nguyễn Bá Kim trong [11] không gọi là thao tác tư duy mà gọi là các hoạt

động trí tuệ cơ bản, bao gồm: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hóa, trừu tượng hóa, KQH, ĐBH

Theo tác giả Hoàng Chúng [1], thao tác tư duy bao gồm: phân tích, tổng hợp,

so sánh, KQH, trừu tượng hóa và cụ thể hóa

Từ phân tích và tổng hợp các ý kiến nêu trên, có thể hiểu rằng thao tác tư duy

là một hành động tư duy được kĩ thuật hóa và đã rút gọn, có thể rèn luyện để đạt được các mức độ nhất định Việc rèn luyện các thao tác tư duy cho HS chính là việc

tập luyện các hành động tư duy Trong luận văn, chúng tôi tập trung nghiên cứu hai thao tác tư duy sau, đó là: ĐBH và KQH

1.3.2 Khái quát hoá

G Polya cho rằng: "KQH là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu" [17]

Tác giả Đào Văn Trung đã viết: "Từ trong những sự vật khác nhau, tìm ra những tính chất chung của chúng và quy kết lại, PP tư duy này gọi là khái quát"

[22, tr 169]

Theo Hoàng Chúng [10, tr 23]: "KQH là dùng trí óc tách ra cái chung trong các đối tượng, sự kiện hoặc hiện tượng Muốn KQH, thường phải so sánh nhiều đối

tượng, hiện tượng, sự kiện với nhau" "Khi KQH, chúng ta tách ra cái chung trong các đối tượng nghiên cứu, chỉ khảo sát cái chung này, gạt qua một bên những cái riêng phân biệt đối tượng này với đối tượng khác, không chú ý tới những cái riêng này”

Trong số các năng lực trí tuệ thì năng lực KQH tài liệu toán học là thành phần cơ bản nhất của năng lực toán học, điều này đã được các nhà sư phạm, nhà toán học như V A Kruchetxki, A I Marcusêvich, tổ chức quốc tế UNESCO, khẳng định trong sơ đồ cấu trúc năng lực toán học của mình

Trong môn Toán ở trường phổ thông nói chung và phân môn Đại số và Giải tích nói riêng, có nhiều tình huống liên quan đến hoạt động KQH, chẳng hạn như:

- KQH để hình thành khái niệm

- KQH để hình thành định lí

- KQH các bài toán Toán học

- KQH để hình thành PP giải các lớp bài toán

- KQH hướng suy nghĩ giải bài tập toán

Chúng tôi thống nhất với tác giả Nguyễn Bá Kim, đó là có hai dạng khái

KQH thường gặp trong môn Toán có thể biểu diễn bằng sơ đồ sau [12, tr 5]:

Chẳng hạn, khi dạy quy tắc nhân GV có thể dẫn dắt HS đi từ những trường hợp riêng lẻ đến tổng quát:

- Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có

3 con đường đi Do đó, để đi từ nhà An đến nhà Cường có tất cả 4 3  12cách đi; từ

KHÁI QUÁT HÓA

Khái quát hóa từ cái riêng lẻ đến cái tổng

quát

Khái quát hóa từ cái tổng quát đến cái tổng quát hơn

Khái quát hóa tới cái tổng quát

đã biết

Khái quát hóa tới cái tổng quát chưa biết

nhà An đến nhà Bình có m con đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có n con

đường đi Do đó, có tất cả m n cách đi từ nhà An đến nhà Cường

- Giả sử một công việc nào đó gồm hai công đoạn A và B Công đoạn A có

thể làm theo n cách, với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có m cách Khi đó công việc có thể thực hiện theo n.m cách Đó là một kết quả tổng quát

- Chúng ta tiếp tục đi đến một kết quả tổng quát hơn từ kết quả tổng quát

trên: Giả sử một công việc nào đó gồm k công đoạn A1,A2, ,A k Công đoạn A1 có thể thực hiện theo n1 cách, công đoạn A2có thể thực hiện theo n2cách, …, công đoạn A k có thể thực hiện theo n k cách Khi đó công việc có thể thực hiện theo

k

n

n

n1. 2 cách

Cả hai trường hợp trên đều là sự khái quát đi đến kiến thức mới Bên cạnh

đó còn có dạng KQH đi đến kiến thức đã biết, dạng này được tiến hành chẳng hạn

khi giải những bài toán, trong đó KQH thể hiện ở việc “liên hệ những tình huống cụ thể của bài toán với những tiên đề, định nghĩa, định lí thích hợp, ở việc nhận biết cái tổng quát đã biết trong những cái cụ thể.” [12, tr 6]

Ví dụ 1.3: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y x3  3x2  2 tại điểm M(1;0)

Để làm bài toán cụ thể này, HS phải liên hệ đến phương trình tiếp tuyến của

đồ thị hàm số tổng quát y f (x) tại điểm M(x0;f(x0)) là:

)())(

'

x f x x x f

y   , đó chính là khái quát hóa

Có thể thực hiện KQH đến cái tổng quát đã biết mang tính quy trình như sau:

KQH đến cái tổng quát đã biết

Bước 1: Xác định vấn đề cần giải quyết;

Bước 2: Lựa chọn, xác định những thuộc tính, quan hệ của đối tượng gắn với bản chất vấn đề cần giải quyết;

Bước 3: Đưa đối tượng vào một lớp đối tượng theo thuộc tính, quan hệ đã xác định Xác định những nguyên tắc, quy luật, công thức tổng quát của lớp đối tượng đó có liên quan đến việc giải quyết vấn đề

Ví dụ 1.4: Tìm giới hạn của dãy số (u n), với u n  4n2  5n 8 n

Có nhiều hành động tham gia vào quá trình giải bài toán trên, dự kiến rằng

vì chưa có một quy tắc, định lí nào về tìm giới hạn của dãy số cho phép ta áp dụng được trực tiếp để tìm lim( 4 2 5 8 )

n n

n    cho nên HS sẽ biến đổi dãy số cần tìm giới hạn trên theo hai hướng như sau:

n n

2 4 3 2

2 2

2 2

1854

8538

54

8538

54

n n n n

n n n

n n

n n n

n n

Nếu HS không thể tự mình biến đổi thì GV có thể gợi ý bằng câu hỏi:

- Có quy tắc, định lí nào về tìm giới hạn của dãy số cho phép ta áp dụng được trực tiếp để tìm lim( 4 2 5 8 )

n n

n    hay không?

- Hãy tìm cách biến đổi 4n2 5n8n về dạng quen thuộc!

Lúc này, KQH sẽ là một thành phần tham gia gián tiếp vào quá trình giải bài toán

Bước 1: Xác định vấn đề cần giải quyết

Bước 2: Lựa chọn, xác định những thuộc tính, quan hệ của đối tượng gắn với bản chất vấn đề cần giải quyết

GV có thể đặt câu hỏi sau cho HS:

Có quy tắc, định lí nào về tìm giới hạn của dãy số cho phép ta áp dụng được

v n thì limu n   , 1

limv n 

Bước 3: Đưa đối tượng vào một lớp đối tượng theo thuộc tính, quan hệ đã xác định Xác định những nguyên tắc, quy luật, công thức tổng quát của lớp đối

tượng đó có liên quan đến việc giải quyết vấn đề

GV có thể đặt câu hỏi sau cho HS:

- Nếu limu n   và limv n  1 thì limu n v n sẽ như thế nào?

Dự kiến HS trả lời: limu n v n  (Ở đây, HS đã đặt tình huống cụ thể trên vào tình huống tổng quát, đó là: Nếu limu n  , lim v n L 0, v n  0 thì

u n v n 

- Hãy trình bày lại lời giải!

Với cách biến đổi thứ hai, KQH tham gia với trật tự tương tự như trên, tức

là HS đã đặt tình huống cụ thể limu n  3, limv n  0, v n  0 để tìm

KQH đến cái tổng quát chưa biết

Dạng khái quát này đi đến kiến thức mới, có thể là một khái niệm, một định

lí hay một bài tập nào đó mà ta muốn hình thành hoặc mở rộng

Bước 1: Xác định vấn đề cần khái quát;

Bước 2: Xác định các đặc điểm của các đối tượng riêng lẻ;

Bước 3: So sánh các đặc điểm đó để tìm ra các đặc điểm giống nhau và khác nhau;

Bước 4: Trong các đặc điểm giống nhau đó giữ lại cái bản chất và trừu xuất chúng ra khỏi đối tượng;

Bước 5: Chuyển từ việc nghiên cứu các đối tượng riêng lẻ sang nghiên cứu một tập lớn hơn chứa các đối tượng riêng lẻ đó;

Bước 6: Chứng minh các đặc điểm vừa tách ra ở bước 4 cũng thỏa mãn trong tập lớn hơn ở bước 5;

Bước 7: Phát biểu kết quả tổng quát vừa chứng minh được

Dạng KQH này đi đến kiến thức mới, chẳng hạn như hình thành khái niệm theo con đường quy nạp, mở rộng một khái niệm, mở rộng một định lí, mở rộng một bài toán,

Ví dụ1.5: Tính các tích phân sau và tìm bài toán tổng quát cùng với PP giải:

1 2 1

1

dx x

1

1 2012

2012 1

2012

) (

- Tích phân không phụ thuộc vào biến số lấy tích phân, do đó I1 có thể được

viết như thế nào?

1 2012

1

1

2 1

2

1

Tích phân cuối cùng được tính một cách dễ dàng

- Tương tự hãy tính các tích phân I2,I3,I4 !

Sau khi hướng dẫn HS tính các tích phân trên, các bước trong quy trình KQH được tiến hành nhằm mục đích tìm được tích phân tổng quát và PP tính

Bước 1: Xác định vấn đề cần khái quát

- Hãy tìm tích phân tổng quát cùng với PP tính

Bước 2: Xác định các dấu hiệu, các đặc điểm, các thuộc tính, các mối quan

hệ của các đối tượng riêng lẻ

- Hãy tìm các đặc tính của tích phân vừa tính!

Tích phân I1 lấy trên đoạn   1 ; 1 , hàm số dưới dấu tích phân

1

2012x

x

là

thương của hàm đa thức 2

x và 2012x1; Tích phân I2 lấy trên đoạn   

2

; 2



, hàm

số dưới dấu tích phân là thương của hàm lượng giác cosx và 2x 1; Tích phân I3

lấy trên đoạn  2 ; 2, hàm số dưới dấu tích phân là thương của hàm trị tuyệt đối x

hệ đó để tìm ra dấu hiệu giống nhau và khác nha

So sánh các đặc điểm trên chúng ta thấy rằng:

Khác nhau: Cận khác nhau, hàm lấy tích phân khác nhau

Giống nhau: Cận đối xứng, hàm lấy tích phân là thương của một hàm chẵn

và hàm số có dạng x1

m Bước 4: Giữ lại đặc điểm: Cận lấy tích phân đối xứng, hàm lấy tích phân là

thương của một hàm chẵn và hàm số có dạng x1

m Bước 5: Chuyển từ việc tính các tích phân cụ thể trên về việc tính tích phân

chỉ chứa đặc điểm vừa được tách ra ở bước 4: Tính dx

m

x f I

a a x

(1), trong đó

)

(x

f là hàm chẵn, liên tục trên đoạn a; a, m là số thực dương khác 1

Bước 6: Chứng minh các thuộc tính, dấu hiệu, đặc điểm, mối liên hệ vừa tách ra ở bước 4 cũng thỏa mãn trong tập lớn hơn ở bước 5

Đặt xt , tích phân đã cho được viết dưới dạng:

dx m

x f m dt m

t f m

I

a

a

a a x x t

) (

2 1

Bước 7: Phát biểu bài toán tổng quát: Tính tích phân dx

m

x f I

a a x

(1), trong

đó f (x)là hàm chẵn, liên tục trên đoạn a; a, m là số thực dương khác 1

PP giải: Đặt xt , tích phân đã cho được viết dưới dạng:

dx m

x f m dt m

t f m

I

a

a

a a x x t

) (

dx x f

dx x f

Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho

sang việc nghiên cứu một tập nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho [17, tr 19]

Trong [4], các tác giả cho rằng: Nếu bằng ĐBH ta tìm được một mệnh đề đúng

thì càng thêm tin tưởng vào giả thuyết là đúng, còn nếu qua ĐBH ta nhận được mệnh

đề sai thì ta có thể hoàn toàn bác bỏ dự đoán [4, tr 147]

Có thể quan niệm về ĐBH như sau: ĐBH là quá trình dùng trí óc chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho nhằm mục đích kiểm nghiệm lại tính đúng đắn của KQH, giải quyết một vấn đề

Ví dụ 1.6: ĐBH mệnh đề "Tích của một số chẵn những thừa số âm luôn là một số dương" theo nhiều cách như sau:

- Lấy số thừa số bằng 2 chúng ta có mệnh đề: "Tích của hai số âm luôn là một số dương" Tiếp tục lấy hai thừa số bằng nhau chúng ta có mệnh đề: "Bình phương của một số âm luôn là một số dương"

- Lấy các thừa số bằng nhau chúng ta có mệnh đề: "Lũy thừa bậc chẵn của một số âm luôn là một số dương" Tiếp tục lấy số mũ bằng 2 chúng ta cũng có mệnh đề: "Bình phương của một số âm luôn là một số dương"

Ví dụ 1.7: Với kết quả vừa đạt được ở ví dụ 1.5, bằng cách ĐBH có thể tạo ra

1 2

cos sin

1 2012

1 3

1 )

1

,…

1.4 Vai trò của thao tác ĐBH và KQH trong giải toán ở trường THPT

Trong toán học, ĐBH và KQH đã trở thành một PP suy nghĩ sáng tạo và là nguồn gốc của nhiều phát minh trong toán học sơ cấp cũng như trong toán học cao cấp ĐBH và KQH có thể vận dụng để mò mẫm dự đoán kết quả bài toán, tìm phương hướng giải bài toán; để mở rộng, đào sâu và hệ thống hóa kiến thức

Khi giải một bài toán, một PP tổng quát là tìm cách đưa bài toán phải giải về một bài toán đơn giản hơn, dễ giải hơn sao cho nếu giải được bài toán này ta sẽ giải được bài toán đã cho (nhờ áp dụng kết quả hoặc PP giải của bài toán đó) ĐBH và KQH có nhiều tác dụng về mặt này

Nhiều khi việc giải bài toán trong trường hợp đặc biệt chưa giúp ta giải được bài toán đã cho Điều đó vẫn cứ tốt, vì như vậy chúng ta đã giải được một phần của bài toán Đối với những bài toán đã cho, việc giải được một phần của bài toán cũng rất có giá trị

Đối với nhà trường phổ thông ĐBH và KQH đã thâm nhập vào mọi khâu của quá trình DH, ĐBH và KQH là con đường giúp chúng ta hình thành các tri thức lí thuyết, là PP suy nghĩ giúp chúng ta mò mẫm, dự đoán để tìm lời giải của bài toán,

mở rộng đào sâu và hệ thống hóa kiến thức

1.4.1 ĐBH và KQH trong việc hình thành khái niệm và các tri thức lí thuyết

ĐBH và KQH là con đường giúp chúng ta hình thành các tri thức lí thuyết

như các định lí, tính chất, hệ thức, … Chẳng hạn, bằng KQH, ĐBH có thể đề xuất

định lí mở rộng của định lí về BĐT Cauchy

Ví dụ 1.8: Định lí về BĐT Cauchy cho hai số không âm a và b như sau:

A

C

ab b

a



2Dấu bằng xảy ra khi ab

Sau khi hướng dẫn HS nắm bắt được định lí trên, GV tiếp tục yêu cầu HS hãy phát biểu tương tự BĐT Cauchy cho 3 số không âm a, bvà c

- Dự kiến HS trả lời: 3

c b

a  Dấu bằng xảy ra khi abc

Sau đó, GV yêu cầu HS khái quát hóa BĐT Cauchy trong trường hợp áp

dụng cho n số không âm a1,a2, ,a n

- Dự kiến HS trả lời: n

n

n a a a n

a a

a

2 1 2

1   Dấu bằng xảy ra khi a1 a2  a n

1.4.2 ĐBH và KQH là PP suy nghĩ, mò mẫm giúp ta tìm lời giải cho bài toán

Với những bài toán không có thuật toán ta có thể ĐBH để giải bài toán trong những trường hợp riêng, để từ cách giải đó chúng ta có thể định hướng cho HS đưa

ra lời giải bài toán trong trường hợp tổng quát Chẳng hạn, ta xét ví dụ sau đây:

Ví dụ 1.9: Cho ABC Chứng minh rằng với x, y z, là 3 số thực tùy ý, ta có:

A xz C yz B xy z

cos)

1(  B C A (2)

Từ đó, yêu cầu HS chứng minh (2)

Lấy các vectơ đơn vị e1 ;e2 ;e3có gốc đặt lần lượt tại A,B,Cnhư hình vẽ

 , 2 cos , 2 cos , 0 cos

2

đpcm C

B A

A C

cos0

)coscos

)(cos2(

2 2

đpcm A

xz C yz B xy z

y

1.4.3 ĐBH và KQH là PP suy nghĩ giúp chúng ta mở rộng, đào sâu và

hệ thống hóa kiến thức

Từ những kiến thức bài toán đã cho chúng ta có thể vận dụng KQH, ĐBH để hình thành những tri thức mới, đề xuất và giải những bài toán mới Trên cơ sở đó chúng ta sẽ đào sâu và hiểu rõ các khái niệm, định lí, góp phần mở rộng vốn kiến thức của mình Từ đó sẽ tạo cho chúng ta hiểu rõ hơn bản chất và các quy luật của các sự kiện toán học, xác lập mối liên hệ và thống nhất giữa các tri thức mà chúng

Chúng ta có thể đào sâu, đề xuất bài toán mới từ bài toán trên như thế nào?

* Nhìn theo góc độ số mũ ở hai vế của BĐT (1): Xét riêng 3

a và a2b ta thấy trong số hạng 3

a số mũ của a là 3, trong số hạng a2b thì số mũ của a là 2, số mũ của b là 1 Như vậy số mũ của a đã giảm đi 1 đơn vị nhưng tổng số mũ của a và b

trong số hạng a2b bằng số mũ của a trong 3

a Từ đó, ta có những BĐT tương tự sau:

a b b a b

a4 4 3  3 (2)

a b b a b

a5 5 4  4 (3)

Theo hướng khai thác đó ta có thể KQH bài toán như sau:

a b b a b

a      (m,nN,nm) (5) Khi ta ĐBH các giá trị m, n ở BĐT (5) ta thu được các BĐT mới

Chẳng hạn, với mn 4 ta thu được BĐT quen thuộc: 4 4 2 2

2 b a b

a   (6) Với m2,n5 ta thu được BĐT: 5 5 2 3 3 2

a b b a b

a c c b b a c b

Cho n số dương a1,a2, ,a n Chứng minh rằng:

k m k n k

m k k m k m n m

m

a a a

a a a a a

a1  2    1 2  2 3   1 (m,kN,mk) (10) Bằng những cách làm đó ta có thể hướng HS độc lập suy nghĩ để không ngừng rèn luyện tính sáng tạo, đào sâu kiến thức nhằm phát triển tư duy cho HS

1.5 Một số nhận định về việc sử dụng thao tác ĐBH và KQH trong DH Đại số và Giải tích ở trường THPT hiện nay

niệm Đối với học định lí, có một số HS không biết cách khai thác từ giả thiết của định lí có thể dẫn tới điều gì, không nắm vững cấu trúc lôgic của định lí, các PP chứng minh một định lí, không khai thác các ứng dụng định lí, không biết và không

có nhu cầu KQH hay ĐBH một định lí Tương tự, đối với việc giải bài tập, việc phân tích cái đã cho và cái phải tìm nhiều em còn mơ hồ Chẳng hạn, bài toán giải

và biện luận của phương trình lại đi tìm tham số, bài toán tìm điều kiện của tham số

để phương trình có nghiệm lại tìm nghiệm x Đối với các bài toán cần phải phân

chia thành các trường hợp riêng, các em không biết dựa vào đâu lại có thể phân chia được, dẫn đến phân chia các trường hợp không đầy đủ, không độc lập Có những

HS đã biết cách phân chia lại không biết sử dụng thao tác tổng hợp kết hợp các trường hợp lại để cho kết quả cuối cùng của bài toán Đa số HS khi giải các bài tập trong SGK làm theo hướng dẫn mà không đặt vấn đề suy nghĩ xem tại sao lại giải như vậy, điều đó dẫn tới các em đã không giải được các bài toán có cấu trúc tương

tự Từ đó, chúng ta có thể kết luận:

- Nhiều HS gặp khó khăn và sai lầm trong khi học môn Đại số và Giải tích

- Đa số HS thấy việc KQH là phải tìm ra một bài toán tổng quát mới, là khó khăn, chỉ dành cho HS khá, giỏi

- Nguyên nhân chính của việc HS gặp khó khăn và sai lầm trong khi thực hiện thao tác ĐBH và KQH là do HS chưa nhận thức đầy đủ về vai trò, mục đích và cách thức thực hiện các thao tác đó

1.5.2 Nhận định đối với GV

Chúng tôi đã trò chuyện, phỏng vấn 63 GV dạy Toán tại các trường THPT ở thị xã Hương Thủy và huyện Phú Vang của tỉnh Thừa Thiên Huế để tìm hiểu về thực trạng nhận thức và thực hiện rèn luyện thao tác ĐBH và KQH cho HS (hệ thống câu hỏi đã thể hiện trong phụ lục 1, bảng số liệu và kết quả xử lí số liệu được thể hiện trong phụ lục 2) Chúng tôi có nhận xét chung như sau:

- Một số GV ngại việc dạy khái niệm vì cho rằng mất nhiều thời gian và không quan trọng nên chỉ phát biểu qua loa dẫn đến các em không nắm được bản chất của khái niệm, nội hàm của khái niệm GV cũng ít kết nối, hệ thống hóa các khái niệm, các định lí, các chủ đề với nhau nên HS không thấy được mối quan hệ giữa các chủ đề, sự thống nhất của môn học

- GV đã có ý thức trong việc bồi dưỡng thao tác ĐBH và KQH cho HS, tuy nhiên GV vẫn chưa nhận thức đầy đủ về tầm quan trọng, mục đích của các thao tác

đó, chưa có một cách thức DH phù hợp

- Đối với KQH, đa số GV chỉ hiểu theo nghĩa là tìm bài toán mới tổng quát

và xem đó là một công việc khó khăn, chỉ có thể thực hiện cho HS khá, giỏi Nhiều

GV khi ra bài tập làm thêm cho HS phụ thuộc quá nhiều vào sách tham khảo mà không biết vận dụng các thao tác KQH, ĐBH để tạo các bài toán mới

về các thao tác tư duy, nhưng cơ bản là thống nhất các thao tác: phân tích, tổng hợp,

so sánh, tương tự hóa, trừu tượng hóa, KQH, ĐBH Trong đề tài, chúng tôi chỉ đề cập đến hai thao tác, đó là ĐBH và KQH

Luận văn cho rằng, trong toán học có hai dạng KQH và do đó đề tài cũng đã đưa ra hai quy trình để thực hiện thao tác này

Chỉ ra thực trạng của việc thực hiện các thao tác ĐBH và KQH của GV và

HS ở trường THPT thông qua các hình thức sau: Trò chuyện, phỏng vấn một số GV Toán THPT trên địa bàn tỉnh Thừa Thiên Huế, có đối chiếu với kinh nghiệm của bản thân qua việc trực tiếp giảng dạy ở trường THPT Kết quả khảo sát bước đầu cho thấy HS còn gặp nhiều khó khăn và sai lầm trong khi thực hiện các thao tác ĐBH và KQH, nguyên nhân do họ chưa nhận thức đầy đủ về vai trò, mục đích, chưa được rèn luyện nhiều các thao tác đó Đặc biệt là HS chưa có cách thức thực hiện các thao tác tư duy ĐBH và KQH GV đã có ý thức trong việc bồi dưỡng các thao tác ĐBH và KQH cho HS, tuy nhiên họ vẫn chưa nhận thức đầy đủ về tầm quan trọng, mục đích của hai thao tác đó, chưa có một cách thức DH phù hợp Đa

số GV đều cho rằng việc phát triển năng lực ĐBH và KQH cho HS là cần thiết Việc nghiên cứu những cơ sở lí luận về phát triển năng lực ĐBH và KQH là cơ

sở quan trọng trong việc đề ra các định hướng DH thích hợp nhằm rèn luyện cho HS

có hai kĩ năng này Đây là những nội dung mà chúng tôi sẽ trình bày trong chương 2

Chương 2 MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG ĐỊNH HƯỚNG NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC ĐẶC BIỆT HÓA VÀ KHÁI QUÁT HÓA CHO HỌC SINH TRONG DẠY

HỌC ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Ở TRƯỜNG THPT 2.1 Một số hoạt động định hướng việc DH khái niệm về Đại số và Giải tích thông qua thao tác ĐBH và KQH

Khái niệm toán học có thể được hình thành theo ba con đường:

- Con đường qui nạp

- Con đường suy diễn

- Con đường kiến thiết

Theo [14, tr 157], thì:

Về con đường qui nạp: “Con đường này xuất phát từ một số trường hợp cụ thể (như mô hình, hình vẽ, ví dụ cụ thể, ) người ta dẫn dắt HS bằng trừu tượng hóa và KQH tìm ra dấu hiệu đặc trưng của một khái niệm thể hiện qua từng trường

hợp cụ thể đó, từ đó đi đến định nghĩa khái niệm”

Về con đường suy diễn: “Con đường thứ hai để hình thành khái niệm cho HS

là là con đường suy diễn, trong đó việc định nghĩa khái niệm mới xuất phát từ định

nghĩa khái niệm toán học mà HS đã biết”

Về con đường kiến thiết: “Con đường này mang cả những yếu tố quy nạp lẫn suy diễn Yếu tố suy diễn thể hiện ở chỗ xuất phát từ những yêu cầu để xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần hình thành Yếu tố quy nạp thể hiện ở chỗ KQH quá trình xây dựng những đối tượng đại diện riêng lẻ đi đến đặc điểm tổng quát đặc trưng cho khái niệm cần định nghĩa”

Trong DH khái niệm ta không nên tuyệt đối hóa hay xem nhẹ con đường nào

mà tùy thuộc vào khái niệm cụ thể, tính hợp lí và sử dụng phù hợp với trình độ tư duy của HS để chọn qui nạp, suy diễn hay kiến thiết

Ví dụ 2.1: Khi dạy về khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ [18, tr 40]

chẵn, hàm số lẻ như trên Chẳng hạn:

GV: Cho hai hàm số 2

2 )

f  và g(x) x3 2x Tìm tập xác định của các hàm trên?

Dự kiến HS trả lời: Hai hàm số f (x) và g (x) đều có tập xác định là DR

GV: Hãy tính các giá trị của f (x) và g (x) tại các giá trị của x được cho bởi

GV: Hãy so sánh giá trị của hàm số f (x) và giá trị của hàm số g (x) tại các

điểm đối nhau?

Dự kiến HS trả lời: f(3) f(3); f(2) f(2); f(1) f(1)

)3()3

g   ; g(2)g(2); g(1)g(1)

GV: Yêu cầu HS chứng minh: f(x) f(x), xD

)()( x g x

g   , xD

Dự kiến HS trả lời:

Ta có: f( x)  2 ( x)2  2x2  f(x), xD

 x g x x x x x x

x

g(  )  (  )3 2 (  )   3 2   ( 3 2 )   , xD

GV: Từ kết quả chứng minh trên, kết hợp với tập xác định của các hàm số,

GV nhấn mạnh: hàm số f (x) được gọi là hàm số chẵn, hàm số g (x) được gọi là

hàm số lẻ Sau đó, GV yêu cầu HS phát biểu một cách tổng quát về định nghĩa hàm

số chẵn và hàm số lẻ

Dự kiến HS trả lời: Phát biểu định nghĩa như SGK

Ví dụ 2.2: Khi dạy về công thức Nhị thức Niutơn [7, tr 55]

n n n n k

k n k n n

n n n n

b C ab C b

a C b

a C a C b

3 

C ; C31?; C32 ?; C33?

Dự kiến HS trả lời: C20  1; C12  2; C22  1

10

C ; 2 2

C và thay các hệ số ở vế phải của (3) bởi các tổ hợp 0

3

C ; 1 3

C ; 2 3

C ; 3 3

C thì ta được điều gì?

2 1

2 2 0 2 2

b C ab C a C b

3 2 2 3 2 1 3 3 0 3 3

b C ab C b a C a C b

GV: Hãy nhận xét số mũ của a và số mũ của b ở vế phải trong hai hằng đẳng

thức trên?

Dự kiến HS trả lời:

Ở (2): Số mũ của a giảm từ 2  0; số mũ của b tăng từ 0  2

Ở (3): Số mũ của a giảm từ  ; số mũ của b tăng từ 

GV: Với các nhận xét trên, hãy dự đoán các biểu thức  4

b C ab C b a C b a C a C b

5 4 4 5 3 2 3 5 2 3 2 5 4 1 5 5 0 5 5

b C ab C b a C b a C b a C a C b

n n n n k

k n k n n

n n n n

b C ab C b

a C b

a C a C b

a  0  1  1       1  1

GV: Từ đó GV khẳng định cho HS công thức khai triển nhị thức Niu – tơn

trong trường hợp tổng quát

Ví dụ 2.3: Hình thành khái niệm về hàm số lũy thừa [8, tr 58]

Hàm số yx , với R, được gọi là hàm số lũy thừa

Để dẫn dắt HS tiếp cận khái niệm trên, GV có thể thực hiện như sau:

y 1 và y x Nếu viết các biểu thức của hàm

số dưới dạng lũy thừa, thì các hàm số trên được viết lại như thế nào?

Dự kiến HS trả lời: yx 1 và 2

1

x

y

GV: Từ các hàm số trên, hãy định nghĩa một hàm số tổng quát sao cho các

hàm số trên là trường hợp riêng của nó?

Cho hai số dương a, b với a 1 Số  thỏa mãn đẳng thức a b được gọi là

lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là loga b

b a b

a  

 log

GV có thể hướng dẫn HS nắm bắt khái niệm trên bằng các hoạt động sau:

GV (gợi động cơ): Số  thỏa đẳng thức 2 3 là gì?

Người ta chứng minh được rằng luôn tồn tại duy nhất số  sao cho 2 3,

để thể hiện số  này ta cần có một khái niệm và ký hiệu đặc trưng cho nó

GV: Theo a) ta có 22 4, nên ta nói “2 là lôgarit cơ số 2 của 4” và viết

Dự kiến HS trả lời: “ gọi là lôgarit cơ số a của b” và viết là   loga b

GV: Như vậy, thực chất loga b là gì?

Dự kiến HS trả lời: loga b là một số  mà a b

GV: Yêu cầu HS KQH định nghĩa lôgarit cơ số a của b như trong SGK ?

1

2 3 

c) log 49 27

1  vì ) 49

7

1( 2  d) log 1 0

2  vì ( 2)0 1

GV: Dựa vào định nghĩa, hãy cho biết:

a) loga1  ? b) loga a ? c) log  ?

a

a d) loga b ?

a

Dự kiến HS trả lời:

a) loga1  0 b) loga a 1 c) loga a  d) aloga b b

GV: Hãy giải thích vì sao không có lôgarit của số âm và số 0?

Dự kiến HS trả lời: Vì với a0,a1 thì  0

Bài toán 2: Tìm các lôgarit sau (nếu có):