Đại số tổ hợp ôn thi đại học

Tôi mong rằng với sáng kiến này sẽ là một tài liệu thiết thực cho giáo viên và học sinh khi học về đại số tổ hợp, góp phần giúp các em đạt kết quả cao trong các kì thi Tú tài và tuyển si

MỤC LỤC

Trang

Vấn đề 1: Nhận diện bản chất của vấn đề là chỉnh hợp khi yếu tố thứ tự là cốt lõi 7

Vấn đề 3: Chứng minh một tính chất liên quan đến A và Pn 10

Vấn đề 1: Nhận diện bản chất vấn đề là tổ hợp khi yếu tố thứ tự không quan hệ 17

Các sai lầm thường gặp khi giải toán đại số tổ hợp 25 Vấn đề 3: Chứng minh một hệ thức bằng cách nêu ý nghĩa tổ hợp của vấn đề 26

Vấn đề 6: Phương trình, bất phương trình chứa 32

k n

C

k n

C

k n

C

k n

C

k n

C

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là môn khoa học có nhiều lợi thế để phát triển trí tuệ cho học sinh Trong quá trình giảng dạy môn toán, việc đưa ra những phương pháp giải cho từng dạng toán giúp cho việc giải các bài toán đó trở nên dễ dàng và ngắn gọn hơn Từ đó tạo sự hứng thú và say mê cho học sinh khi học tập môn toán Trong chương trình toán ở trường THPT, đại số tổ hợp là một nội dung khó đối với học sinh Các bài toán dễ sai khi xét thiếu tình huống, xét tình huống bị trùng lặp hau không thấy được đây là bài toán chỉnh hợp hay tổ hợp … Tuy nhiên, các bài toán dạng này thường gắn liền với thực tiễn và rất thực tế, nên thường gây được sự hứng thú trong học tập cho học sinh Chính vì vậy, việc hướng dẫn và đưa ra phương pháp giải cho các bài toán đại số tổ hợp là hết sức cần thiết Nó đòi hỏi người giáo viên phải không ngừng nâng cao trình độ và khả năng sư phạm của mình

Vì những lí do này tôi đã chọn đề tài về các phương pháp giải các bài toán đại số tổ hợp cho sáng kiến kinh nghiệm của mình Tôi mong rằng với sáng kiến này sẽ là một tài liệu thiết thực cho giáo viên và học sinh khi học về đại số tổ hợp, góp phần giúp các em đạt kết quả cao trong các kì thi Tú tài và tuyển sinh vào các trường Cao đẳng hay Đại học

2 Mục đích, nhiệm vụ và đối tượng nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu:

Phát hiện và hệ thống hóa những phương pháp để giải các bài toán đại số tổ hợp ở trường THPT

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu:

Tìm hiểu và đưa ra các phương pháp giải các nội dung chính của phần đại số tổ hợp

2.3 Đối tượng nghiên cứu:

Học sinh lớp 11 và 12 khi học về p hần đại số tổ hợp, cách tính đạo hàm và tích phân của hàm số (tùy mức độ nhận thức của học sinh)

3 Phương pháp nghiên cứu:

Nghiên cứu lý luận: SGK và các tài liệu tham khảo liên quan đến đại số tổ hợp

4 Cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệm:

Mở đầu

Chương I: Khái niệm mở đầu

Chương II: Chỉnh hợp – hoán vị

Chương III: Tổ hợp – Nhị thức Newton

Kết luận sáng kiến kinh nghiệm

Chương I KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

A CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I BỘ SẮP THỨ TỰ GỒM n PHẦN TỬ

Một dãy số hữu hạn gồm n phần tử viết dưới dạng (a1, a2,…, ak,…, an) gọi là một bộ sắp thứ

tự gồm n phần tử hay gọi tắt là bộ n sắp thứ tự

II QUY TẮC CƠ BẢN CỦA PHÉP ĐẾM

1 Qui tắc nhân của phép đếm

Giả sử một hành động H gồm nhiều giai đoạn liên tiếp A, B, C,…Nếu ta có m cách khác nhau để thực hiện giai đoạn A, một khi đã thực hiện xong A ta có n cách thực hiện giai đoạn B, một khi đã thực hiện xong B ta có p cách thực hiện giai đoạn C …thì ta có tất cả cách

Ví dụ 1 Trong vòng đấu loại của một cuộc thi cờ vua có 2n người tham dự Mỗi người

chơi đúng một bàn với người khác Chứng minh rằng có 1.3.5…(2n -1) cách sắp đặt

• Với người thứ n chỉ có 1 cách chọn đối thủ duy nhất còn lại

Vậy có 1.3.5… (2n – 1 ) cách sắp đặt cuộc thi

Vấn đề 2: Dùng Qui tắc cộng

Nếu công việc thứ nhất có thể thực hiện theo m cách , công việc thứ hai có thể thực hiẹn theo

n cách và hai công việc này không thể đồng thời thực hiện thỉ có m + n cách để thực hiện một

trong hai công việc

Ví dụ 1 Nếu thư viện có 85 quyển sách Toán và 63 quyển sách Lí thì một học sinh có

85 + 63 = 148 cách để mượn một quyển Toán hoặc Lí từ thư viện

m n p

Ví dụ 2 Trong 2006 năm qua có bao nhiêu năm không phải là năm Tuất ?

GIẢI Lấy năm Tuất 2006 làm mốc thời gian (t = 0) rồi ngược dòng thời gian trở về quá khứ thì khi

số năm là bội của 12 là năm Tuất Ta có tất cả = 167 năm Tuất

Còn lại 2006 – 167 = 1839 năm không phải là năm Tuất

1.4 Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 2 chữ số khác nhau được thành lập từ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

Hướng dẫn: Gọi số cần tìm có dạng Xét các trường hợp của b ta có 13 số

1 5 Có tất cả bao nhiêu số có thể thành lập từ các chữ số 2,4,6,8 nếu

n

p p

Chương II CHỈNH HỢP - HOÁN VỊ

Cho một tập A có n phần tử Một chỉnh hợp n chập r (r n) của n phần tử là một bô sắp thứ

tự gồm r phần tử khác nhau lấy ra từ n phần tử đã cho

!( )!

n

n k

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Vấn đề 1: Nhận diện bản chất của vấn đề là chỉnh hợp khi yếu tố thứ tự là cốt lõi

Ví dụ 1 Cho một đa giác lồi có 15 cạnh Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ với điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của đa giác?

GIẢI

Đa giác lồi có 15 cạnh nên có 15 đỉnh, hai đỉnh thì luôn phân biệt nhau và cứ 3 đỉnh thì

không thẳng hàng Do đó ta lấy 2 điểm tuỳ ý trong 15 điểm thì số vectơ lập được là một chỉnh hợp chập 2 của 15 phần tử Vậy số vectơ là: (vectơ)

Ví dụ 2. Có thể lập được bao nhiêu số với ba chữ số khác 0 cho trước

- Nhưng ta phải loại các số bắt đầu bằng 0, số như vậy được lập bằng cách chọn một trong hai

số chẵn 2, 4 làm đơn vị rồi ghép thêm một chỉnh hợp chập 3 của 4 số khác 0 chưa dùng đến, và cuối cùng đặt số 0 trước 4 số đó có 2.A số như vậy

- Vậy có 3.A – 2.A = 5.4.32.2 – 4.3.22 = 312 số

Ví dụ 5 Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm 5 chữ

số khác nhau và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5,

- Vậy ta có 5A – 4A = 6.52.4.3 – 5.42.3 = 1560 số

0

2 15

15!

15.14 210(15 2)!

A

1 3 2

3

3 3 1 3 2 3 3 3

2 3

4 5

3 4 4

5

3 4

4 6

3 5 4

6

3 5

BÀI TẬP 2.1 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số trong đó

a) Có bao nhiêu gồm 3 chữ số khác nhau có thể tạo ra ?

b) Trong đó có bao nhiêu số nhỏ hơn 400 ?

2.4 Tìm tất cả các số nguyên dương có 3 chữ số khác nhau

a) Có bao nhiêu số lớn hơn 700 ?

3

6

2 5

2 5 2

5

Ví dụ 2 Người ta cần soạn một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu hỏi, chia thành 5 chủ đề,

mỗi chủ đề gồm 10 câu hỏi Cần sắp xếp thứ tự 50 câu hỏi sao cho các câu cùng một chủ đề đứng gần nhau, chủ đề 1 đứng đầu và chủ đề 2, 3 không đứng kề nhau

Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?

GIẢI

Chủ đề 2, 3 đứng tuỳ ý : trước tiên, sắp theo chủ đề, đây là hoán vị của 4 chủ đề 2, 3, 4, 5,

có 4! cách Tiếp theo sắp các câu trong từng chủ đề, mỗi chủ đề có 10! cách Vậy có :

4!5.10! = 120.10! cách

Chủ đề 2, 3 đứng kề nhau : Xem chủ đề 2 và 3 là một phần tử, ta có hoán vị của 3 phần tử (2,3), 4, 5 hay (3, 2), 4.5 có : 2.3! cách Tiếp theo sắp các câu trong từng chủ đề, có : 5.10! cách Nên có :

2.3!.5.10! = 60.10! cách

Vậy số cách sắp theo yêu cầu là :

120.10! – 60.10! = 60.10! = 217 728 000 cách

Ví dụ 3 Có 5 bi đỏ và 5 bi trắng có kính thước khác nhau đôi một Có bao nhiêu cách sắp

các bi này thành một hàng sao cho hai bi cùng mầu không được nằm kề nhau

GIẢI

Xét một hộp đựng bi có 10 ô trống thẳng hàng, mỗi ô được đánh số từ 1 đến 10

- Lấy 5 bi đỏ vào vị trí ô mang số chẵn 2, 4, 6, 8, 10 ta có5! cách Sau đó lấy 5 bi trắng bỏ vào

5 vị trí còn lại ta cũng có 5! cách Vậy trường hợp này có 5!.5! cách

- Lập luận tương tự lấy 5 bi đỏ bỏ vào các ô mang số lẻ, lấy 5 bi trắng bỏ vào ô số chẵn ta cũng

có 5!.5! cách

Vậy số cách thoả mãn yêu cầu bài toán là :

2.5!.5! = 28 800 cách

Ví dụ 4 a) Có bao nhiêu cách xếp n đại biểu ngồi quanh một bàn tròn

b) Một thiếu nữ có n vỏ sò khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách xâu chúng thành một chuỗi

c) Có bao nhiêu đa giác nhận n điểm phân biệt làm đỉnh

GIẢI

a) Vị trí tương đối giữa các đại biểu hoàn toàn không đổi nếu ta hoán vị vòng họ theo một chiều nhất định (nghĩa là trong hoán vị vòng không có phần tử nào là phần tử cuối cùng, hoặc phần tử đầu tiên) Vậy số cách sắp xếp là = ( – 1)!

Ta có định lí : ''Số hoán vị vòng của n phần tử là P = ( – 1)! ''

n

n ! n

n

b) Với cách xâu nhất định, khi ta lật xâu chuỗi sang bề khác (lật ngửa) ta lại được một cách hoán vị khác mỗi cách xâu ứng với hai hoán vị vòng và có tất cả Pn - 1 = cách xâu c) Ta có thể hoán vị vòng các đỉnh theo cả hai chiều theo cả 2n cách khác nhau mà đa giác vẫn không thay đổi số đa giác là

BÀI TẬP

2.9 Có bao nhiếu số gồm đủ 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5

HD : Có 6! số trong đó 5! số bắt đầu bằng số 0 Vậy có 6! – 5! = 720 số

2.10 Có bao nhiêu cách xếp 7 học sinh đứng thành hàng ngang để chụp ảnh lưu niệm, biết rằng trong đó có 3 em không đứng xa nhau

HD : Coi 3 bạn không đứng xa nhau lập thành một nhóm thì có 5! cách xếp đặt Với mỗi cách trên thì có 3! cách xếp nữa nếu hoán vị 3 bạn đó Vậy có 5!.3! = 720

2.11 Trong phòng có 2 bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu

a) Các học sinh ngồi tuỳ ý

b) Các học sinh nam ngồi một bàn, học sinh nữ ngồi một bàn

n

2

!1

n

r n

5 4 3 2

!1

!6

6720

x

x

!2

!

x x

Do điều kiện n N và n 2 nên n {3, 4, 5}.

Ví dụ 8 Giải phương trình P A + 72 = 6(A + P )

1 2

2 3

2 4

x

x

!2

!2

!

x x

x

06

!

012

2

x

x x

334

x x x

3

4

x x

Ví dụ 10 Tìm các số âm trong dãy số x1, x2, …, xn với xn =

với Pn là số hoán vị của n phần tử

1434

1.2

n

n

12

b) Tính P1 và suy ra biểu thức của Pn

c) Chứng minh định lí : "Số song ánh giữa hai tập X, Y cùng có n phần tử là Pn = n!"

HD : a) Pn = n Pn– 1 ( Có n cách xen một phần tử thứ n vào n – 1 phần tử đã xếp thứ tự sẵn) b) P1 = 1, Pn = n!

– Các số có 5 chữ số : Có 5! số trong đó có 4! số bắt đầu bằng 0 phải loại ra có

A

3 4

3.A 72

5! 4! 96

Chương III TỔ HỢP – NHỊ THỨC NEWTON

Các hệ số của các lũy thừa với n lần lượt là 0, 1, 2, … được sắp thành từng

hàng của tam giác sau đây, gọi là tam giác Pascal :

k n

k n k k n

C a b

1 x n C n C x C x n n 1 n C x n n n

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Vấn đề 1:

Ví dụ 1 Đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, học sinh cần chọn trả lời 8 câu

a) Hỏi có mấy cách chọn tùy ý ?

b) Hỏi có mấy cách chọn nếu 3 câu đầu là bắt buộc?

c) Hỏi có mấy cách chọn 4 trong 5 câu đầu và 4 trong 5 câu sau?

c) Bạn A và bạn B không thể rời nhau

d) Bạn X và bạn Y không thể làm việc chung với nhau

Có cách chọn ban cán sự không chứa cả A và B

Có cách chọn ban cán sự nếu A và B không chịu rời nhau d) Trong cách lập ban cán sự có cách nhận cả X và Y

Còn lại cách lập ban cán sự không đồng thời chứa X và Y

Ví dụ 3 Một đoàn tầu có 3 toa chở khách : toa I, II, III Trên sân ga có 4 hành khách chuẩn

bị đi tầu Biết rằng mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống Hỏi :

a) Có bao nhiêu cách sắp 4 hành khách lên 3 toa

b) Có bao nhiêu cách sắp 4 hành khách lên tầu để có 1 toa trong đó có 3 trong 4 vị khách

8 10

a) Mỗi khách có 3 cách lên toa I hoặc II hoặc III Vậy số cách sắp 4 khách lên 3 toa là:

3.3.3.3 = 81 cách b) Số cách sắp 3 khách lên toa I là : cách

Số cách sắp 1 khách còn lại lên toa II hoặc III là : 2 cách

Vậy nếu 3 khách ở toa I thì có : 4.2 = 8 cách

Lập luận tương tự nếu 3 khách ở toa II hoặc III cũng là 8 cách

Vậy số cách thoả mãn yêu cầu bài toán là : 8 + 8 + 8 = 24 cách

Ví dụ 4 Có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó 10 câu trung bình và 15 câu dễ Từ 30 câu đó có thể lập bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu khác nhau, sao cho mỗi đề phải có 3 loại (khó, trung bình, dễ) và số câu dễ không ít hơn 2?

GIẢI

Số đề thi gồm 2 câu dễ 2 câu trung bình và 1 câu khó :

Số đề thi gồm 2 câu dễ 1 câu trung bình và 2 câu khó :

Số đề thi gồm 3 câu dễ 1 câu trung bình và 1 câu khó :

Vì các cách chọn đôi một khác nhau, nên số đề kiểm tra là :

23625 + 10500 + 22750 = 56 875

Ví dụ 5 Một đội văn nghệ có 10 người trong đó có 6 nữ và 4 nam Có bao nhiêu cách chia đôi văn nghệ :

a) Thành 2 nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ bằng nhau

b) Có bao nhiêu cách chọn 5 người trong đó không quá 1 nam

GIẢI

a) Do mỗi nhóm có số người bằng nhau nên mỗi nhóm phai có 5 người

Do số nữ bằng nhau nên mỗi nhóm phải có 2 nữ

Vậy mỗi nhóm phải có 3 nữ 2 nam

Số cách chọn là :

b) Số cách chọn 5 người toàn nữ là :

Số cách chọn 5 nữ và 1 nam là :

Vậy số cách chọn 5 người trong đó không quá 1 nam là : 6 + 60 = 66

Ví dụ 6 Có 16 học sinh gồm 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình Có bao nhiêu cách chia số học sinh thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 người, đều có 2 học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá

GIẢI

Vì mỗi tổ đều có học sinh giỏi nên số học sinh giỏi mỗi tổ là 1 hoặc 2

Vì mỗi tổ đều có ít nhất 2 học sinh khá nên số học sinh khá mỗi tổ là 2 hoặc 3

Do đó nếu xem số học sinh giỏi, khá, trung bình mỗi tổ là toạ độ một véctơ 3 chiều ta có 4 trường hợp đối với tổ 1 là (1, 2, 5), (1, 3, 4), (2, 2, 4), (2, 3, 3)

3 4

4!

43!

6!

4 604!2!

C

Tương ứng 4 trường hợp đó đối với tổ 2 là (2, 3, 3), (2, 2, 4), (1, 3, 3), (1, 2, 5)

Ta tháy 2 trường hợp bị trùng.Vậy chỉ có 2 trường hợp là :

Trường hợp 1 :

Số cách chọn một tổ nào đó có 1 giỏi, 2 khá, 5 trung bình là :

Vậy tổ còn lại có 2 giỏi, 3 khá, 3 trung bình thoả mãn yêu cầu bài toán

Trường hợp 2 :

Số cách chọn một tổ nào đó có 1 giỏi, 3 khá, 4 trung bình là :

Vậy tổ còn lại có 2 giỏi, 2 khá, 4 trung bình thoả mãn yêu cầu bài toán

Do đó số cách chia học sinh thành 2 tổ thoả mãn yêu cầu bài toán là :

Ví dụ 7 Có 9 bi xanh, 5 bi đỏ, 4 bi vàng có kích thước đôi một khác nhau Có bao nhiêu cách chỏn ra :

a) 6 viên bi trong đó có đúng 2 viên bi đỏ

b) 6 viên bi trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ

C

4 13

4.C 6

2 6

BÀI TẬP 3.1 Một tổ có 12 học sinh Thầy giáo có 3 đề kiểm tra khác nhau Cần chọn 4 học sinh cho môi

đề kiểm tra Hỏi có mấy cách chọn?

3.2 Một học sinh phải trả lời 10 trong 13 câu hỏi kiểm tra :

a) Có bao nhiêu cách chọn?

b) Có bao nhiêu cách nếu 2 câu đầu là bắt buộc?

c) Có bao nhiêu cách nếu phải trả lời 1 trong hai câu đầu?

d) Có bao nhiêu cách nếu phải trả lời đúng 3 trong 5 câu đầu?

e) Có bao nhiêu cách nếu phải trả lời ít nhất 3 trong 5 câu đầu?

b) Sao cho 2 học sinh A và B không cùng đi?

c) Sao cho 2 học sinh A và B cùng đi hoặc cùng không đi?

ĐS : a) 495 cách b) 450 cách c) 225 cách

3.4 Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lí nam Muốn lập 1 đoàn công tác có

3 người gồm cả nam lẫn nữ, cần có cả nhà toán học lẫn vật lí Có bao nhiêu cách chọn

ĐS : 90 cách

3.5 Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau Người ta muốn chọn ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư đó lên 3 bì thư đã chọn Mỗi bì thư chỉ có một tem thư Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy ĐS : 1200 cách

3.6 Một bộ bài 52 lá ; có 4 loại : cơ, rô, chuồn, bích mỗi loại 13 lá Muốn lấy ra 8 lá trong đó phải có đúng 1 lá cơ, đúng 3 lá rô và không quá 2 lá bích Hỏi có bao cách?

a) Hỏi có bao nhiêu cách lấy 3 quả cầu cùng mầu 3 quả cầu cùng số

b) Hỏi có bao nhiêu cách lấy 3 quả cầu khác mầu, 3 quả cầu khác mầu và khác số

ĐS : a) Có 34 cách lấy 3 quả cầu cùng mầu ; Có 4 cách lấy 3 quả cầu cùng số

b) Có 120 cách lấy 3 quả cầu khác mầu ; Có 64 cách lấy 3 quả cầu khác mầu và khác số

3.9 Xếp 3 bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 bi xanh giống nhau vào một hộc có 7 ô trống

a) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau

b) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau 3 bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 bi xanh xếp cạnh nhau

ĐS :a) 840 cách b) 48 cách

3.10 Một tập thể có 14 người gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình Người ta muốn chọn

ra một tổ công tác gồm 6 người Tìm số cách chọn trong mõi trường hợp sau :’

a) Trong tổ phải có mặt cả nam lẫn nữ

b) Trong tổ phải có một tổ trưởng ,5 tổ viên , hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ ĐS : a) 2974 cách b) 15 048 cách

3.11 Số 210 có bao nhieu ước số

ĐS : 16 số

3.12 Một trăm số được đánh số 1, 2, …, 100 được bán cho 100 người Có 4 giải thưởng trong đó

có một giải độc đắc

a) Có bao nhiêu cách tặng giải?

b) Có bao nhiêu cách tặng giải nếu vé số 47 trúng giải độc đắc

c) Có bao nhiêu cách tặng giải nếu vé số 47 là một trong các giải trúng

d) Có bao nhiêu cách tặng giải nếu vé số 47 không trúng giải

e) Có bao nhiêu cách tặng giải nếu vé số 47 và 19 đều trúng giải

f) Nếu các vé số 19, 47 và 73 đều trúng giải

g) Nếu các vé số 19, 47,73 và 97 đều trúng giải

h) Nếu các vé số 19, 47,73 và 97 đều không trúng giải

i) Nếu giải độc đắc rơi vao một trong các vé số 19, 47,73 và 97

j) Nếu các vé số 19, 47 trúng giải còn các vé số 73 và 97 không trúng giải

ĐS : a) 94 109 400 b) 941 094 c) 3 764 376 d) 90 345 024 e) 114 072 f) 2384 g) 24 h) 79 727 040 i) 3 764 376 j0 109 440 3.13 Bảng chữ cái có 26 kí tự trong đó có 5 nguyên âm

a) Có bao nhiêu chữ gồm 5 kí tự trong đó có 3 phụ âm khác nhau và 2 nguyên âm khác nhau?

ĐS : 1 596 000

b) Trong đó có bao nhiêu chữ chưá b? ĐS: 228 000 c) Trong đó có bao nhiêu chữ chưá b và c? ĐS: 22 800

d) Trong đó có bao nhiêu chữ bắt đầu bằng b và chứa c? ĐS: 4560

e) Trong đó có bao nhiêu chữ bắt đầu bằng b và kết thúc bằng c? ĐS: 1140

f) Trong đó có bao nhiêu chữ bắt đầu bằng b và chứa a? ĐS: 18 240

g) Trong đó có bao nhiêu chữ chưá a, b, c? ĐS: 9120

3.14 Cho A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

a) Có bao nhiêu tập con của A chứa 1 mà không chứa 2

b) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau mà không bắt đầu bởi 123 lập từ A

ĐS : a) 64 b) 3348 số

3.15 Có 4 người Việt, 4 người Thái, 4 người Trung Quốc và 4 người Triều Tiên Cần chọn 6 người đi dự hội nghị Hỏi có mấy cách chọn sao cho :

a) Mỗi nước đều có đại biểu?

b) Không có nước nào có hơn 2 đại biểu?

Giao điểm khác với n điểm Ai

Cách 2: N = đường thẳng cho giao điẻm Nhưng mỗi điểm Ai có n – 1 đường thẳng

đi qua nên có giao điểm trùng với Ai Có giao điểm trùng với A1, A2, …, An Vậ y

số giao điểm khác với n điểm là

c) Cứ 3 đường thẳng xác định một tam giác Có tam giác Nhưng vì qua mỗi đỉnh Ai có

n – 1 đường thẳng nên có tam giác suy biến thành điểm Ai Có tam giác suy biế n

thành n điểm A1, A2, …, An

Ví dụ 2 Cho đa giác đều H có 20 cạnh Xét các tam giác có 3 đỉnh lấy từ 3 đỉnh của H a) Có bao nhiêu tam giác như vậy? Có bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh là 2 cạnh của H b) Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh c ủa H? Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của H

GIẢI

a) Số tam giác có 3 đỉnh lấy tử 3 đỉnh của H là :

A4 A3

Cứ mỗi đỉnh của H cùng với 2 đỉnh kề bên tạo

thành một tam giác có 2 cạnh là 2 cạnh của H Các A1 A2

tam giác này không trùng nhau và không có cách

nào khác để tạo tam giác có 2 cạnh là cạnh của H

Mà H có 20 đỉnh nên có đúng 20 tam giác tam giác có 2 cạnh là 2 cạnh của H

b) Xét các tam giác mà một đỉnh là A1 Để có đúng một cạnh là cạnh của H ta bỏ đi 4 cạnh A1A2,

A2A3, A1A20, A20A19 Vậy có đúng 16 tam giác mà đỉnh là A1 và có đúng 1 cạnh là cạnh của H

Mà H có 20 đỉnh, vậy số tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của H là : 20.16 = 320

Do đó số tam giác không có cạnh nào là cạnh của H là : 1140 – (20 + 320) = 800

n

3 N

C

3 1

20!

11403!17!

Ví dụ 3 Cho 5 điểm đồng phẳng sao cho các đường thẳng nối các cặp điểm trong 5 điểm đó

không có 2 đường thẳng nào song song, vuông góc, hay trùng nhau Qua mỗi điểm ta vẽ các

đường thẳng vuông góc với tất cả các đường thẳng không đi qua nó Không kể 5 điểm đã cho, số

giao điểm của các đường thẳng vuông góc đó là bao nhiêu

GIẢI

Gọi 5 điểm đó là A, B, C, D, E Có đường thẳng không đi qua A nên từ A vẽ được 6

đường thẳng vuông góc với các đường thẳng không đi qua A ; tương tự từ B cũng vẽ được 6

đường thẳng vuông góc với các đường thẳng không đi qua B Đáng nhẽ 2 nhóm đường thẳng này

cắt nhau tại

6.6 = 36 điểm (không kể A và B), nhưng vì có đường thẳng không đi qua 2 điểm A, B

nên 3 đường thẳng vuông góc với chúng vẽ từ A và 3 đường thẳng vuông góc với chúng vẽ từ B

đôi một song song số giao điểm của 2 nhóm đường thẳng trên chỉ còn 36 – 3 = 33 điểm Có

cách chọn các cặp điểm như A, B Có 33.10 = 330 giao điểm của các đường thẳ ng

vuông góc Thế nhưng cứ mỗi 3 điểm như A, B, C thì 3 đường cao của tam giác ABC đồng qui

tại một điểm thay vì cắt nhau tại 3 điểm nên số giao điểm giảm đi 2 Vì có tam giác như

ABC nên số giao điểm giảm đi 10.2 = 20

Vậy số giao điểm của các đường vuông góc đó là : 330 – 20 = 310

BÀI TẬP

A4 A3 3.18 Trong một n giác lồi có

a) Bao nhiêu đường chéo

b) Bao nhiêu giao điểm của các đường chéo A1

ĐS : a) b) A2 3.19 Trong mặt phẳng cho 1 thập giác lồi Xét các tam giác mà 3 đỉnh của nó là 3 đỉnh của thập

giác Hỏi trong số các tam giác đó có bao nhiêu tam giác mà 3 cạnh của nó dều không phải là 3

cạnh của thập giác

ĐS : 50

3.20 Có p điểm trong mặt phẳng trong đó có q điểm thẳng hàng, số còn lại không có 3 điểm nào

thẳng hàng Nối p điển đó lại với nhau Hỏi :

a) Có bao nhiêu đường thẳng?

b) Chúng tạo ra bao nhiêu tam giác

ĐS : a)

b)

3.21 Cho p điểm trong không gian trong đó có q điểm đồng phẳng số còn lại không có 4 điểm

nào đồng phẳng Dựng tất cả các mặt phẳng chứa 3 trong p điểm đó Hỏi :

a) Có bao nhiêu mặt phẳng khác nhau

b) chúng tạo ra bao nhiêu tứ diện

ĐS : a) b)

3.22 Trong mặt phẳng cho n đường thẳng đôi một cắt nhau và không có 3 đường chéo nào đồng

qui Hỏi chúng tạo thành :